2025年上海高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題模擬卷5（解析版）

；題型必刷?大題仿真卷

大題仿真卷05(A組+B組+C組)

(模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘)

0---------------A組.鞏固提升-----------?>

一、解答題_

1.如圖，在四棱錐尸中，底面是邊長為2的菱形，且/。/8=60。，PA=PD=C，且

PB=2.

AB

(1)求證：平面尸/Z)_L平面/BCD；

(2)設(shè)E為PC的中點(diǎn)，求平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小.

【答案】(1)證明見解析；

(2)arccos—.

7

【分析】(1)由已知可得尸“結(jié)合尸可得尸A/_L平面4BCD,再結(jié)合面面垂直的判定定

理即可證結(jié)論.

(2)以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得EAD的一個(gè)法向量，平面尸4D的一個(gè)法向量，利用向

量法可求平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小.

【解析】(1)取4D中點(diǎn)連接BM、PM.

因?yàn)镻A=PD=母,所以所以尸M=])=7V22-12=1,

因?yàn)榈酌?8CD是邊長為2的菱形，且/。/3=60。，

所以△48。是等邊三角形，所以且=百，

又PM=\,PB=2,所以尸笈=尸河2+臺新2,所以8M.

又由于且5”、4。是平面4BCZ)上的兩條相交直線，

故PA/JL平面48CZ).

又由于PMu平面尸,

所以平面尸40_L平面/BCD.

(2)以〃'為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA>MB-9為x、V、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

Z\

E

C

y

則P(0,0,l),4(1。0),5(0,V3,0),C(-2,V3,0),n(-1,0,0),

進(jìn)而有E-1,

2'21

于是麗=(1,后0),DE=。李j

設(shè)平面EAD的法向量為々=(x),z),

6y=0

DBn{=x+?

則，1,令x=g\貝!Jy=_l,2=6,

■y+—z=0

2

所以平面防。的一個(gè)法向量*=(后

又平面PAD的一個(gè)法向量后=(0,1,0)，

々?%V7

故COS4,%=

7，

因此平面EBD與平面PAD所成銳二面角的大小為arccos——.

7

2.己知函數(shù)/口)=夕2，+5是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a的值;

(2)已知關(guān)于x的方程2"/(x)+2)-左=0在xe[0,+⑹上有解，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【答案】(1)。=1

(2)^>4

【分析】⑴由/(-%)=f(%)可構(gòu)造方程求得。的值;

(2)利用換元法令”2，,xe[0,+8),從而得到方程/+2/+1一人=0在此1時(shí)有解，再分參數(shù)，求出右邊的

值域即可.

【解析】(1)由偶函數(shù)定義知：/(—X)-/(x),

即夕2-*+'=。-2-'+2、="2'+2一，，:.a=l.

2r

(2)由(1)知/(X)=2，+3,

2J(/(x)+2)-￡=0,gp2X\lx+^+l\-k=Q,

即(2*『+l+2x2,一左=0,令t=2，”［0,+8),則此1,

貝|J方程/+2f+l-左=0在fNl時(shí)有解，

則a=產(chǎn)+2/+1,令g(/)=(/+l『2(1+1)~=4,t>4,則上24.

3.2024年法國奧運(yùn)會落下帷幕.某平臺為了解觀眾對本次奧運(yùn)會的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾,

得到他們對本屆奧運(yùn)會的滿意度評分(滿分100分)，平臺將評分分為

［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］共5層，繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).并在這些評分中

以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了

⑴求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數(shù)；

(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概

率；

(3)己知這1000名觀眾的評分位于［50,80)上的均值為67,方差為64.7,位于［50,100］上的均值為73,方差

為134.6,求這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差.

【答案】(1)68

27

(2)—

-95

⑶這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為87,17.7.

【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；

(2)先求出［90,100］的人數(shù)，利用對立事件結(jié)合古典概型求解即可；

(3)根據(jù)題意利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解.

【解析】(1)V20x0.35=7,

...第35百分位數(shù)為第7,8兩個(gè)數(shù)的平方數(shù)竺產(chǎn)=68

(2)由圖1可知，圖2中［90,100］有2人,

所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設(shè)為

事件A,

所以P(/)=l-與=1-史=幺.

(3)由題意可知：落在設(shè)0,80)的頻率為0.1+0.25+0.35=0.7,落在［80,100］的頻率為0.3,

因?yàn)檫@1000名觀眾的評分位于［50,80)上的均值為67,方差為64.7,

位于［50,100］上的均值為73,方差為134.6,

所以［=67,s：=64,7,x=73,？=134.6,

設(shè)這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為兀局,

0.70.3

所以元=73=x67+?x解得：X=87,

0.7+0.30.7+0.322

0.7回7+@-73）1+晨

s2[s；+（87-73）[=134.6,

0.7+0.3

解得：s；=17.7.

這1000名觀眾的評分位于［80,100］上的均值與方差分別為87,17.7.

22

4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，己知橢圓「：才+皆=1(°>0)的左、右焦點(diǎn)為耳、F2.

(1)若直線/：苫+丁-4=0與y軸相交于點(diǎn)？/,工到直線/的距離為2逝，求砧?瓦萬；

(2)若。=1,點(diǎn)A為橢圓「上的任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓「的上、下頂點(diǎn)分別為〃1,初2，記片鳥的面積為H，

監(jiān)的面積為$2,若￡>$2,求|。旬的取值范圍；

(3)若。=1,過點(diǎn)8(1,3)的直線與橢圓交于尸、。兩點(diǎn)(尸在0的上方)，線段尸。上存在點(diǎn)使得

\BP\力\MP，求|,阿|,+|,訝,怕勺最小值.

【答案】⑴函?不=-64

⑵苧)

⑶嚕

【分析】小問1：使用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合向量的數(shù)量積求解，

小問2：表示出三角形的面積，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入消元求解出相應(yīng)的變量的范圍，進(jìn)而求出的

范圍，

小問3：首先設(shè)直線尸。的方程，再設(shè)“國,必),。(%,%)，?(%,%),利用條件啟=總結(jié)合韋達(dá)定理

將M（x°,%）的橫坐標(biāo)/用斜率上表示出來，再將m代入直線方程，求出為和斜率左的關(guān)系，進(jìn)而利用斜率

左，求出M（x。,外）滿足的直線方程，然后根據(jù)直線尸0的斜率不存在時(shí)，尸=］，-1］

BP\\MP\1（3、

由胃=置=］，解出滿足斜率存在時(shí)的直線方程，最后利用將軍飲馬的思路，求對稱點(diǎn)求出

I孫I+M段的最小值.

【解析】（1）由已知耳（。⑼，因?yàn)?：x+y-4=o,

|Q+O—4/~/、

所以巴到直線/的距離d」/,「=2后,所以”=8,所以外8,0,

VI2+12

又因?yàn)镹（0,4）,所以恒=（8,0）,可=（一8,4）,誠?百=8x（-8）+0x4=-64；

（2）當(dāng)a=l時(shí)，「：［+＜=1,則￡（一1,0）,g（1,0）,

設(shè)孫NO,則岳=；區(qū)段.帆=河，邑=曰監(jiān)弧巾|=；.26.國=6忖，

因?yàn)槠罚?2,所以帆＞石國，EP/＞3x\又因?yàn)?+。=1,所以丁=311一；

所以31-?。?f,所以0vx2v$網(wǎng)=商+/卜+3

（3）顯然點(diǎn)8（1,3）在橢圓外，設(shè)尸（再,％）,0（工2,%）,Af（x0,y0）,

22

當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，設(shè)直線尸。的方程為＞-3=左（》-1）與橢圓方程亍+g=l聯(lián)立消去九化簡得

（4左2+3）尤2+（24左一8左2）尤+4kz-241+24=0,

_8甘-24k

x+x

l2-4r+3

則由A=（24左一8左2丫一4卜左2+3）（4-一24左+24）＞0,

4左2-24左+24

X[X

24F+3

BP\MP\1-巧=玉々

得"2+2?-2>0,所以">6-1或"v-Vi-1，由-^77=^7^，可得

BQ|W|1-x2x0-x2

8k2-2Ak8后2-48左+48

解得Xo=\+寧二2x牛4介2+3-4a2+34左—8

2—（X]+X2）、8甘-24k4人+1

2一

4左—8\4人+3

,0=左（%-1）+3=左T+3=而？消去％可得"""。，

4左+1

當(dāng)直線尸。的斜率不存在時(shí)，P0：x=l,尸［,,

\BP\MP\1（3、

由位=置=§，可得滿足方程/+5-4=°，

所以點(diǎn)n滿足直線x+4y-4=0,且位于橢圓的內(nèi)部，設(shè)尸2（1,0）關(guān)于直線工+外-4=0的對稱點(diǎn)為

n-923

m=——

。（加,〃），貝上m-\1"J17

m+\,n24

+4-——4=0n二——

2217

又%（-1,0）,所以|孫|+\MF21=|孫|+\MD\>|7^Z）|=

8734

17

【點(diǎn)睛】在第三小問中利用直線尸。的斜率為“橋梁”求解出點(diǎn)M滿足的直線方程是解決這一問題的關(guān)鍵點(diǎn).

5.對于集合4={%,出，。3,…,2且"eN*,定義N+/={x+y|工€//€/且》片訓(xùn).集合/中的元素個(gè)

數(shù)記為當(dāng)|/+4=空心時(shí)，稱集合N具有性質(zhì):r.

⑴判斷集合4={1,2,3},4={1,2,4,5)是否具有性質(zhì)r,并說明理由；

⑵設(shè)集合8={l,3,p,4}(，qeN,且3<p<q)具有性質(zhì)「，若3+3中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求P、4

的值；

(3)若集合/具有性質(zhì)「，且/+/中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合/中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大

值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)集合4具有性質(zhì)「，集合4不具有性質(zhì)r,理由見解析

(2)P，4的值分別為4,5或5,9

(3)存在最大值，最大值為4

【分析】(1)根據(jù)集合/具有性質(zhì)「的定義進(jìn)行判斷，可得答案；

(2)寫出3+3中的所有元素，分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程組，解得答案；

(3)一數(shù)列新定義得在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an^+an<an_l+an,得到%+%-2=出+冊用，由

此分類討論，可確定〃的取值，可得答案.

【解析】(D4+4={3,4,5},|4+閡=3,故集合I具有性質(zhì)

4x3

4+4={3,5,6,7,9},區(qū)+闋=5<;一,故集合4不具有性質(zhì)r

(2)因集合B具有性質(zhì)「，

故忸+司=6,5+3={4,1+°,1+%3+p,3+q,p+公,

(i)^4<l+p<l+q<3+p<3+q<p+q,

1+q<3+〃<

則，2(/l+〃：)=4+(:l+q、)，解得{「夕_=4,

20+q)=(l+p)+(3+p)q

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為4,5.

(ii)若4<1+P<3+夕<1+9<3+9<夕+9，

3+p<l+q

則2(l+p)=4+(3+0，解得〃.

/、/\/、\Q=y

2(3+。)=0+。)+(1+0)

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為5,9.

(3)不妨設(shè),,,<1<%，

則在集合/+/中，a1+a2<a1+a3<---<an_2+a?<%+an.

又4+N中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

則"=(%+%)-(%+。2)=(%+%)一(。"-2+%)，

即d=%-g=-an_2，故%+*=/+.

當(dāng)〃>5時(shí)，&，。3，。"-2，。"一1是集合力中互不相同的4項(xiàng)，

從而|/+/|<映』，與集合/具有性質(zhì)「矛盾.

當(dāng)〃=5時(shí)，2a3=a2+a4,即a2M3M4成等差數(shù)列，且公差也為d,

故Z+4中的元素從小到大的前三項(xiàng)為1+%，。1+4，。1+%，

且第四項(xiàng)只能是4+。5或%+。3.

(i)若第四項(xiàng)為％+。5，則/+%+4=%+%，從而%-。4="=。3-。2，

于是/+%=/+%，故恒+/|〈咚“，與集合/具有性質(zhì)：r矛盾.

(ii)若第四項(xiàng)為電+。3，則％+%+□=%+〃3,故％+2d=電.

另一方面，(〃4+。5)-(。1+?)=9",即。5=%+74.

于是％+〃5=2al+72=2a2+32=a3+a4,

故M+與集合A具有性質(zhì):r矛盾.

因此，77<4.

由(2)知，〃=4時(shí)，存在集合/具有性質(zhì)「，

故集合A中的元素個(gè)數(shù)存在最大值，最大值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題，綜合考查了學(xué)生的閱讀理解接受并理解新信息的能力,解答的關(guān)

鍵是理解新定義的含義并能依此解決問題，其中還要注意分類討論與整合的思想方法.

?>------B組?能力強(qiáng)化----------O

一、解答題

1.如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC=4,/8=/C,NBAC=90°,D為

TT

半圓弧BG的中點(diǎn).若異面直線9和/C所成角的大小為7,求:

A

(1)該幾何體的體積；

⑵直線BD和AB所成角的大小.

【答案】(1)8亞+40兀

71

⑵2

TT

【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算根據(jù)直線8。和/C所成角的大小為二，求出幾何體的高，進(jìn)而可

4

求體積；

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明直線3。和垂直，即可求解.

【解析】(1)連接4。，由題意得&。關(guān)于平面對稱，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)44]=h,

則A(0,0,0),B(0,2V2,0),C(2>/2,0,0),DQ&,2應(yīng),h),

所以麗=(2V2,0,/?),AC=(2V2,0,0),

因?yàn)楫惷嬷本€BO和/C所成角的大小為

解得〃=2&，

\BD\-\AC\跖廬血V2

V=--AB-AC-h+--n-(—y-h

222

=--2V2-2V2-2V2+--7i-22-2V2=872+4V2TT；

22

(2)BD=(2V2,0,2VI),AB=(0,2A/2,0),

因?yàn)辂?刀=0，

JT

所以直線和43所成角的大小為

2.已知函數(shù)/(x)=Gcos2x+sinxcosx,

(1)若f(a)=]^-,求。；

（2）如果關(guān)于x的方程=m在區(qū)間（0/）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍

（由A[

【答案】（1）a=----^左左或。=—&k兀,左EZ；（2）加E{0}D1——,A/3UV3,l+——

124I2JI2J

【分析】（1）化簡得到〃x）=sin12x+（j+等，計(jì)算/■,）=與叵.\?20+三|=3解得答案.

（2）g（x）=|〃x）卜sin[2x+q）+t,畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.

【解析】(1)/(x)=V3cos2x+sinxcosx=+cos2x)+；sin2x=sinf2x+yj+

2

/(〃)=5山(2〃+工]+@=匕旦.sin(2a+^]=-

「I3J22I3J2

TTTTTT)7TTCTT

2a-\——=——F2k兀或2aH——=----F2k兀,故。=----^左乃或。=——卜k兀，ksZ

3636124

(2)設(shè)g(x)=/(x)|=5,2彳+：|+菖

sin

則g(x)=

.7l\6「a2乃

-sin2xH-------,xG—,—

I3j2[23.

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：心=0或（加＜1+且或1-立〈加〈百

22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)求值，函數(shù)的零點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

3.為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對400

名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃

油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.

購車意向

年齡段合計(jì)

愿意購買新能源車愿意購買燃油車

青年

中老年

合計(jì)

(1)完善2x2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對新能源車和燃油車的意向購買

與年齡是否有關(guān)；

(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中

青年人數(shù)的分布和期望.

2n(ad-bcY

附:V=---------------------------------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)

(2)分布列見解析，y

【分析】(1)根據(jù)題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購買燃油車中年人數(shù)和

青年人數(shù)，即可補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)/公式計(jì)算出，根據(jù)表格即可判斷；

(2)先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù)，求出青年人數(shù)的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出分布列,

再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.

【解析】(1)中老年共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍，

所以愿意購買新能源車的中老年人數(shù)為100人，愿意購買燃油車的中老年人數(shù)為50人，

青年共有250人，愿意購買新能源車是愿意購買燃油車的4倍，

所以青年中愿意購買新能源車為200人，愿意購買燃油車為50人，

故2x2列聯(lián)表如下：

年齡段購車意向合計(jì)

愿意購買新能源車愿意購買燃油車

青年20050250

中老年10050150

合計(jì)300100400

零假設(shè):消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡無關(guān),

n(ad-bc)2400(200x50-100x50)2

Z2?8.889>6.635=x

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~250x150x300x100001

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷〃。不成立,

即認(rèn)為消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān)；

2

(2)愿意購買新能源車的共有300人，青年人與中老年人的比例為

所以分層隨機(jī)抽樣抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，記這5人中,

青年的人數(shù)為X,則X的可能取值為2,345,

「3

2r二工尸(X=3)=2

尸(X=2)=,=42'1)C：21'

50

eV1福5尸"5)=罟rr』i

所以X的分布列如下:

X2345

51051

P

42211421

則E(X)=2X2+3XW+4X』+5X-!-=W

'/422114213

所以這5人中青年人數(shù)的期望為

22

4.已知橢圓｝=的下頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，離心率為苧，P是橢圓C上一動點(diǎn)，當(dāng)

直線/P經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，原點(diǎn)。到直線/尸的距離為也.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線/尸與圓相交于點(diǎn)M(異于點(diǎn)A),M關(guān)于。的對稱點(diǎn)記為N,直線/N與橢圓C

相交于點(diǎn)。(異于點(diǎn)A).

①若|/尸|=2|/叫，求△/尸。的面積；

k

②設(shè)直線ACV、尸。的斜率分別為匕、《，試探究廣}是否為定值，并說明理由.

【答案】（1）［+必=1

⑵①至1;②證明見解析

9

【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得。，b,c,進(jìn)而得到所求橢圓

方程；

（2）①設(shè)直線/P的斜率為左，則直線/P的方程為了=h-1,聯(lián)立橢圓方程可得尸的坐標(biāo)，聯(lián)立圓方程可

得新的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得0的坐標(biāo)，由|/尸|=2|/時(shí)可得無，求得p,Q

坐標(biāo)，以及|/以，由△/尸。的面積為:|力斗以。|,計(jì)算可得；②運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，分別計(jì)算線AW

的斜率為勺，直線尸。的斜率為左2，即可得證.

【解析】（1）據(jù)題意，橢圓。的離心率為魚，即￡=也.

2a2

當(dāng)直線/尸經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，直線/P的方程為±+4=1,即6x-cy-6c=0,

c-b

由原點(diǎn)。到直線z尸的距離為心，可知產(chǎn)7,即產(chǎn)，=4

2yjb2+tc22yjb2+c22

聯(lián)立可得，a=2,c=6故〃=/一,2=1.

所以橢圓C的方程為二+F=l.

4-

（2）①據(jù)題意，直線/P的斜率存在，且不為0,

設(shè)直線/P的斜率為左，則直線/尸的方程為尸船-1,

2

聯(lián)立?+/=1,整理可得(1+4/)/-8履=0,

8k

所以》=0或》=

1+4左2

8k4k2~r

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為1+4/'4/+1,

聯(lián)立y=AX-1和/+>2=1,

整理可得(1+/b2-2h=0,所以x=o或

1rft

(2kk2-r

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為[1+左2'后

顯然，是圓。的直徑，故

所以直線/N的方程為k

k

［±-i

用代替人得點(diǎn)。的坐標(biāo)為刀上，弓一

8k4_r、

即。-

左2+4'4+左2,

①由|，尸|=2］，〃|可得，xp=2XM,

8k二2?普解得』f

即

1+4左2

根據(jù)圖形的對稱性，不妨取左=交，

2

'A51A(oB7、

則點(diǎn)尸，2的坐標(biāo)分別為［卷一「周一，；)

故|蟲=竽，園=孚.

所以A/P0的面積為［/尸=J_XtAX還=竺/.

21112399

222

lr-1lr+1Jr-1

②直線■的斜率.虧=丁

4F-14-r

4左2+14+42_左2一1

直線尸。的斜率幻=

8k—8k5k

1+4左2左2+4

得證.

【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，以及直線與圓的方程

聯(lián)立，解方程求交點(diǎn)，考查直線的斜率公式的運(yùn)用以及“設(shè)而不求，整體代換的思想”，化簡整理的運(yùn)算能力,

計(jì)算量較大，屬于中檔題.

5.已知。為實(shí)數(shù)，/(x)=(x+a)ln(x+l).對于給定的一組有序?qū)崝?shù)(后,加)，若對任意為，x2e(-l,+oo),

都有［g-〃再)+加］［g-〃％)+小］NO,則稱伍，加)為/(x)的“正向數(shù)組”.

⑴若a=-2,判斷(0,0)是否為f(x)的“正向數(shù)組”,并說明理由；

(2)證明：若化加)為“X)的“正向數(shù)組”，則對任意x>T,都有近-”x)+〃7W0；

(3)己知對任意/,(7'伉)J-(%))都是/(x)的“正向數(shù)組”，求a的取值范圍.

【答案】(1)(0,0)不是/(力的“正向數(shù)組”;

(2)證明見解析；

(3)。的取值范圍是(-叫1].

【分析】(1)代入有〃x)=(x-2)ln(x+l),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到〃x)的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可；

(2)假設(shè)存在%>-1,使得辰-/(%)+加>0,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意x>-l,6-/(x)+加20恒成立,

設(shè)尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-加，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；

(3)代入有r(xo)x-/(x)+/(xo)-xor(xo)>O恒成立或八%)x-/(x)+/(%)-％/(%)V0恒成立,設(shè)

g(x)=/(x)-r(x0)x,求出g(x0)是g(x)的最大值或最小值時(shí)。的取值范圍即可.

【解析】⑴若a=-2,/(x)=(x-2)ln(x+l),

對住,優(yōu))=(0,0),即[AX1-/(X1)+777][AX2-/(X2)+7H]=/(X1)./(X2),

而當(dāng)％e(0,2),尤2?僅,+8)時(shí)，

/(X])=(X[-2)ln(x1+1)<0,/(x2)=(x2-2)In(x2+1)>0,

即/(』)?/(xJ<0,不滿足題意.

所以(0,0)不是〃x)的“正向數(shù)組”.

(2)反證法:假設(shè)存在％>T,使得質(zhì)-/(力+%>0,

V化加)為〃x)的“正向數(shù)組”，

對任意芯>-1，都有[Ax0-/(x0)+m\-\lcc'o-f(x'o)+m]>0.

，對任意x>T,6-/(x)+機(jī)20恒成立.

令尸(x)=(x+a)ln(x+l)-Ax-m,則尸(x)40在上恒成立，

F((x)=ln(x+l)+工+；=ln(x+l)+——^+(1-左),

設(shè)G(x)=F'[x)=ln(x+l)+--；+(1一)),

G'(H=」一-a—1x+2—a

')x+1(x+l)2(x+l)2，

則當(dāng)。>1時(shí)，G(無)在(Ta-2)上為負(fù),在(“-2,+8)上為正,

所以G(x)=〃(x)在(T,a-2)上單調(diào)遞減，在(“-2,+動上單調(diào)遞增;

若尸，(a-2)<0,當(dāng)X--1,尸<x)f+8,當(dāng)x-?+8,N(X)->+8,

即存在戶'(X])=尸'(%2)=0，使斤'(X)在(-1,西)上為正，在(占,%)上為負(fù)，在(工2,+8)上為正，

所以FQ)在(T,xJ上單調(diào)遞增，在(再,％)上單調(diào)遞減，在(乙，+8)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)Xf-l,尸(x)f-8,當(dāng)Xf+8,尸(x)f+8,則F(x)的值域?yàn)镽；

若/("2)20,r(x)>r(a-2)>0,F(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增,

又當(dāng)XT■-1,尸(x)f-oo,當(dāng)xf+8,F(x)->+oo,則F(久)的值域?yàn)镽.

當(dāng)時(shí)，G(x)=(2「0,G(x)=F(x)在(T+8)上單調(diào)遞增,

又當(dāng)F(x)T?-00,當(dāng)Xf+8,9(x)f+oo,

必存在尸(不)=0,使斤'(X)在(-1,再)上為負(fù)，在(X],+8)上為正，

所以FQ)在(-1,再)上單調(diào)遞減,在(西,+8)上單調(diào)遞增,

又當(dāng)XfT,尸(X)f+8,當(dāng)xf+8,/(x)f+8,貝I]F(X)的值域?yàn)閇尸(國),+8).

由值域可看出，與尸(x)VO在(-L+S)上恒成立矛盾.

一對任意x>-l,都有foc-/(x)+機(jī)40.

(3)V(/'(X。)都是“X)的“正向數(shù)組”，

.對任意X],x2e(T,+8),都有

[/'(%)再-)+"%)-％](%)][尸(%)&-f(%)+/(%)-)[20,

則，'(%)尤-〃%)+，(％)-％/'(入0)2。恒成立或/'(尤0)》-，(無)+，(%)-%/''(%)40恒成立,

即/(X)-/(%)無4/(尤0)-/(%)無0恒成立或/'(力-，(龍()卜。/(%)-/?0)/恒成立,

設(shè)g(x)=/(x)-1f(尤o)x=(尤+a)ln(x+l)-1f(xo)x,

則/(%)-廣(%)%=8(%)，

即g(%)是g(x)的最大值或最小值.

l

g'(x)=/'(x)_/'(Xo)=ln(x+l)+^^一/'(X0)=ln(x+l)+^^+[l_/'(x())],

人"T"J.Jx-I*J.

,,

jag^xo)=/(x0)-/(x0)=o.

當(dāng)a>l時(shí)，由(2)可得，8@)=(》+°)1!1(_￥+1)--'。0)_￥=尸@)+加的值域?yàn)镽,無最大值或最小值;

當(dāng)aVI時(shí),g〈x)=ln(x+l)+合+[1-尸(％)]在(-1,+8)上單調(diào)遞增,

又g'(Xo)=/'(Xo)-/'(Xo)=O,則g'(x)在(T,%)上為負(fù)，在(%,+」)上為正,

所以g(x)=/(x)-&)x在(-1,%)上單調(diào)遞減，在(x。,+動上單調(diào)遞增,

則g(X。)是g(X)的最小值，滿足g(x)=/(x)-最(%)X2/(X。)-廣(%)%,

此時(shí)對任意X],x2G(-1,+<?),都有

xXXxXxxxxx

[_f(o)1-/(1)+/(o)-J'(o)][/*(o)2-/(2)+/(o)-xof'(xo)]>0.

二。的取值范圍是(-8』.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2問的關(guān)鍵是運(yùn)用反證法，通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，

最后即得到證明；本題第3問的關(guān)鍵是理解“正向數(shù)組”的變形推理得到/(x)-//'(x0)x。恒

成立或/(力-/'(%),"/)-/(%區(qū)恒成立,并構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)(x°)x,得到g(x0)是g(x)的

最大值或最小值，最后結(jié)合前面的證明得到結(jié)果.

o-----------c組?高分突破-----------<>

一、解答題

1.已知在△4BC中，角42,C所對的邊分別為“，瓦C,且滿足a=J5b,a>c,

siib4+cos(5+C)=cos(5-C)；

⑴求角C的值；

(2)若△4BC的面積為:，求△4BC的周長.

【答案】(l)c=:

4

⑵1+6

【分析】(1)由$3+儂(8+。)=3(8-。)，利用兩角和差的余弦公式化簡得siiL4=2sin5sinC,再根據(jù)

題中條件利用正弦定理進(jìn)行化簡求出sinC="l,最后根據(jù)角的大小關(guān)系，確定角C的值；

2

■JT

(2)由4=回，C=~,借助余弦定理求出6=c,即△/BC為等腰直角三角形，再根據(jù)ZUBC的面積為

),求出。,6,c的值，即可得到的A/BC的周長.

【解析】(1)由題意得：siib4+cos^cosC-sin5sinC=cos^cosC+sinBsinC,

BP：sirk4=2siiiSsinC,

?/a=41b，/.siib4=V2sin5，

6

又sin5wO,因止匕sinC=?,

2

因?yàn)镼〉c,因此/>C,故C為銳角，

IT

因此。=%

4

JT

(2)由Q=y/2b，C=—,

則由余弦定理：c?=G+b?—2abcosC=2b?+b?—Zxjib?X叵=b?,得：b=c,

2

因此可得：B=C=，71N=7Tg,因此，ZUBC為等腰直角三角形，

42

又S=N=：得:b=c*，"=$/卜閆=1

因此，△4BC的周長為1+VL

2.已知△N2C和所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,/A4c=120。，。是線段2c

的中點(diǎn)，AD=43.

(1)求證：ADLBE；

⑵設(shè)/E=2,在線段/￡上是否存在點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A),使得二面角4-8尸-C的大小為45。.

【答案】(1)證明見解析

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)余弦定理計(jì)算3c=2后，根據(jù)勾股定理得到月。2確定平面H8E,得到證

明.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面4BF的一個(gè)法向量為7=(0,1,0),平面C2廠的一個(gè)法向

量為的=。，周一,2，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.

\)

【解析】⑴BC2=/162+/152-2^C-745-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2后,

BD=yf7,則BO?=/32+AC)2,故/。1/8,

又N￡)_LZE,平面ZBE,AEcAB=A,故/D_L平面48E,

8Eu平面48E,i^ADLBE,

(2)△NBC和所在的平面互相垂直，則平面/8Cn平面4DE=AD,

4。1ZE且4Eu平面4DE,故NE_L平面4BC,

如圖所示：以AB,AD,AE分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

ZM

則4(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,273,0),設(shè)尸(0,0,a),ae(0,2],

平面Z8F的一個(gè)法向量為%=(0,1,0),

—.fw,?BC=2y/3y-4x=0

設(shè)平面CBE的一個(gè)法向量為%=(x,%z),則^____.-

n2-BF=—2x+az=0

，解得“=26,不滿足題意.

綜上所述：不存在點(diǎn)尸，使二面角的大小為45。.

3.為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位:

g/m3）與樣本對原點(diǎn)的距離x（單位：加）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表

99999

￡(x,-q2

XyU之(%-盯Z(x,-可(凹-刃E(%-謂乂%-刃

Z=1Z=1Z=1i=li=\

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識，判斷歹=。+爪與/=，+。哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量了關(guān)于樣本對原點(diǎn)

的距離X的回歸方程類型？

⑵根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：

（i）建立了關(guān)于X的回歸方程；

（ii）樣本對原點(diǎn)的距離X=20時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？

（3）已知該金屬在距離原點(diǎn)x米時(shí)的平均開采成本少（單位：元）與％＞關(guān)系為少=100（y-lnx）（14x4100）,

根據(jù)（2）的結(jié)果回答，x為何值時(shí)，開采成本最大？

【答案】（i）y=c+4

X

⑵（i）y=100-—；（ii）99.5g/m3

X

⑶10

【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，即可判斷；

（2）（i）由（1）及所給數(shù)據(jù)求出力、a,即可得到回歸方程；（ii）將x=20代入計(jì)算即可；

（3）依題意，可得獷=100（）（100-J-lrw］,令/（x）=100-?-lnx,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可

求出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得解.

9

2（占-可（%-刃

26.13

【解析】（1）因?yàn)椋?。+區(qū)的線性相關(guān)系數(shù)4=i=l?0.898,

1~99760x14.12

區(qū)（占一亍一刃2

V/=1i=l

9

￡(%-筋)(%-刃

一1.40

y=c+4的線性相關(guān)系數(shù)弓i=l?-0.996,

ri~~9V0.14xl4.12

X￡(%-琦￡(力-刃2

i=lZ=1

；用＜同，

..y=c+-更適宜作為平均金屬含量V關(guān)于樣本對原點(diǎn)的距離x的回歸方程類型.

X

9

.