2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一次方程（組）及其應(yīng)用 （學(xué)生版+教師版）

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

-------^次方程（組）及其應(yīng)用學(xué)生版

知識清單梳理

知識點(diǎn)一等式的性質(zhì)

1.性質(zhì)1：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果

仍是等式.即如果a=b,那么?±c=.

2.性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為。的數(shù)），

所得結(jié)果仍是等式.即如果那么=bc,-C=

（cWO）.

知識點(diǎn)二一元一次方程

3.一元一次方程的概念：在一個方程中，只含有個未知

數(shù)，而且方程中的代數(shù)式都是整式，未知數(shù)的指數(shù)都是,

這樣的方程叫作一元一次方程.

4.解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）

移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）未知數(shù)的系數(shù)化為1.

知識點(diǎn)三二元一次方程（組）

5.二元一次方程：含有個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)

的次數(shù)都是的方程叫作二元一次方程.

6.二元一次方程組：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組

方程叫作二元一次方程組.

7.二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫作

二元一次方程組的解.

8.二元一次方程組的解法

（1）代入消元法：將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未

知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù),

化二元一次方程組為一元一次方程.

（2）加減消元法：通過兩式相加（減）消去其中一個未知數(shù).

知識點(diǎn)四一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

9.一般解題步驟：審、設(shè)、歹［）、解、驗(yàn)、答.

10.常見類型及關(guān)系

（1）利潤問題：售價=標(biāo)價又折扣；銷售額=x銷量；

利潤=__________—成本；利潤率=普*100%.

成本

（2）行程問題

①相遇問題：全路程=甲走的路程乙走的路程.

②追及問題

a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程.

b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離追者走

的路程.

（3）工程問題：工作量=工作效率X.

高頻考點(diǎn)過關(guān)

考點(diǎn)一一元一次方程的解法

1.（2024商河二模）若％=—5是關(guān)于X的方程a—3%=16的解，則

a的值是（）

A.1B.-1C.-5D.-31

2.關(guān)于%的方程3%—2根=1的解為正數(shù)，則根的取值范圍是（）

11

A.m<--B.m>--

22

11

C.m>-D.m<-

22

3.關(guān)于工的一元一次方程2%+7TI=5的解為％=1,貝Im的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

4.代數(shù)式在三與代數(shù)式3—2%的和為％則％=.

5.（2024天橋二模）若一元一次方程3%—a=0的解為％=1,則a

考點(diǎn)二二元一次方程組的解法

人力、（3x-\-y=8，口

6.解萬程組：?

、2%—y=7.D

x—2y=3,口

7.解方程組:1?313

-x+-y=—.m□

V24，4

考點(diǎn)三一次方程（組）的應(yīng)用

8.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就.

其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、

物價各幾何？譯文：今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人

出7錢，又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為工人，

物價為y錢，以下列出的方程組正確的是（）

By-8%=3,

Jx—y=4

C8%-y=3,8x一y=3,

D.

y—7x=4Jx—y=4

9.《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良

馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良

馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，

慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬％天可以追

上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240%+150%=150X12

B.240%—150%=240X12

C.240%+150%=240X12

D.240%—150%=150X12

10.（2024天橋二模）某景區(qū)為落實(shí)《關(guān)于推動露營旅游休閑健康有

序發(fā)展的指導(dǎo)意見》，擬購買A,5兩種型號的帳篷，為游客提供露

營服務(wù).已知購買4種帳篷2頂和5種帳篷4頂，共需5200元；購

買A種帳篷3頂和5種帳篷1頂，共需2800元.

(1)求A種帳篷和5種帳篷的單價各是多少元？

(2)若該景區(qū)要購買A,3兩種型號的帳篷共20頂，其中5種帳篷

數(shù)量不少于A種帳篷數(shù)量的號為使購買帳篷的總費(fèi)用最低，應(yīng)購買

A種帳篷和B種帳篷各多少頂？購買帳篷的總費(fèi)用最低為多少元？

達(dá)標(biāo)演練檢測

1.（2024天橋一模）周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精

濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了30元錢（兩

種物品都買），小明的購買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

2.一瓶牛奶的營養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，碳水

化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g.設(shè)蛋白質(zhì)、脂肪的含量分別為

%（g）,y（g）,可列出方程為（）

A.%+y=3。B,x+jy=30

C.|%+尸3。D,x+|y=30

3.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是:

“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一

尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩

余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少

尺？可設(shè)木頭長為％尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是

y—x=4.5,x—y=4.5,

、2%—y=1、2%—y=1

x—y=4.5,

4.關(guān)于％的一兀一次方程X+2機(jī)=5的解為％=1,則772的值為（）

A.2B.-2C.3D.-3

_Q支-0

5.若和］一'都是關(guān)于X,y的二元一次方程以一2y=。

（y=ily=-3

的解，則》一Q的值為.

6.解方程：

(1)x—3=2x+l；

⑵-

7.解方程組：

8.小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共

用了62元.已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價

多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價.

9.大學(xué)生小敏參加暑期實(shí)習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報

酬是"型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金，當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)

束實(shí)習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺"型平板電腦和300元現(xiàn)金.

（1）這臺M型平板電腦價值多少元？

（2）小敏若工作冽天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得

多少報酬（用含機(jī)的代數(shù)式表示）？

2025年山東濟(jì)南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點(diǎn)復(fù)習(xí)

-------^次方程（組）及其應(yīng)用教師版

知識清單梳理

知識點(diǎn)一等式的性質(zhì)

1.性質(zhì)1：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果

仍是等式.即如果a=b,那么a+c=b±c.

2.性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為。的數(shù)），

所得結(jié)果仍是等式.即如果那么ac=bc,-c=-c（cWO）.

知識點(diǎn)二一元一次方程

3.一元一次方程的概念：在一個方程中，只含有一個未知數(shù),而

且方程中的代數(shù)式都是整式，未知數(shù)的指數(shù)都是1,這樣的方程

叫作一元一次方程.

4.解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）

移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）未知數(shù)的系數(shù)化為1.

知識點(diǎn)三二元一次方程（組）

5.二元一次方程：含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)

都是1的方程叫作二元一次方程.

6.二元一次方程組：共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組

方程叫作二元一次方程組.

7.二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫作

二元一次方程組的解.

8.二元一次方程組的解法

（1）代入消元法：將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未

知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù),

化二元一次方程組為一元一次方程.

（2）加減消元法：通過兩式相加（減）消去其中一個未知數(shù).

知識點(diǎn)四一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

9.一般解題步驟：審、設(shè)、歹［）、解、驗(yàn)、答.

10.常見類型及關(guān)系

（1）利潤問題：售價=標(biāo)價X折扣；銷售額=售價X銷量;利

潤=售價一成本；利潤率=瞿><100%.

-----------成本

（2）行程問題

①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程.

②追及問題

a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程.

b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路

程.

（3）工程問題：工作量=工作效率X工作時間.

高頻考點(diǎn)過關(guān)

考點(diǎn)一一元一次方程的解法

1.（2024商河二模）若％=—5是關(guān)于％的方程。一3%=16的解，則

a的值是（A）

A.1B.-1C.-5D.-31

2.關(guān)于%的方程3%—2根=1的解為正數(shù)，則根的取值范圍是（B）

11

A.m<--B.m>--

22

1I

C.m>-D.m<-

22

3.關(guān)于%的一元一次方程2%+加=5的解為％=1,則根的值為（A）

A.3B.-3C.7D.-7

4.代數(shù)式看與代數(shù)式3—2%的和為4,則尸一1.

5.（2024天橋二模）若一元一次方程3%—a=0的解為％=1,則Q=

3.

考點(diǎn)二二元一次方程組的解法

'3%+y=8,口

6.解方程組:

、2%—y=7.D

f3%+y=8,口

解：

、2%—y=7,□

①+②得5%=15,解得％=3,

將％=3代入①得3X3+y=8,解得y=—1,

y—13

故原方程組的解為■

ly=-1.

x—2y=3,口

7.解方程組:

***口

x-2y=3,□

解:1?313「

-%+-y=—?n

(24，4

②X2—①得少=%解得y=l.

將y=l代入①得％—2=3,解得X=5,

???原方程組的解為

ty=1.

考點(diǎn)三一次方程（組）的應(yīng)用

8.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就.

其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、

物價各幾何？譯文：今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人

出7錢，又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為工人，

物價為y錢，以下列出的方程組正確的是（C）

y-8%=3,

A.B.\

y—7x=4Jx—y=4

8%—y=3,8x—y=3,

C.

y—7x=4Jx—y=4

9.《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良

馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良

馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，

慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬"天可以追

上慢馬，則下列方程正確的是（D）

A.240%+150%=150X12

B.240x-150%=240X12

C.240%+150%=240X12

D.240%—150%=150X12

10.（2024天橋二模）某景區(qū)為落實(shí)《關(guān)于推動露營旅游休閑健康有

序發(fā)展的指導(dǎo)意見》，擬購買A,5兩種型號的帳篷，為游客提供露

營服務(wù).已知購買A種帳篷2頂和5種帳篷4頂，共需5200元；購

買4種帳篷3頂和5種帳篷1頂，共需2800元.

（1）求A種帳篷和5種帳篷的單價各是多少元？

（2）若該景區(qū)要購買4,5兩種型號的帳篷共20頂，其中3種帳篷

數(shù)量不少于A種帳篷數(shù)量的號為使購買帳篷的總費(fèi)用最低，應(yīng)購買

A種帳篷和B種帳篷各多少頂？購買帳篷的總費(fèi)用最低為多少元？

解：（1）設(shè)A種帳篷的單價是加元，5種帳篷的單價是〃元，

根據(jù)題意，得［2僧+4九=5200,解得尸=600,

（3m+n=2800,5=1000.

答：A種帳篷的單價是600元，5種帳篷的單價是1000元.

（2）設(shè)購買A種帳篷％頂，購買帳篷的總費(fèi)用為y元，則購買5種

帳篷（20一%）頂.

?:B種帳篷數(shù)量不少于A種帳篷數(shù)量的%

.?.20—解得％W15.

根據(jù)題意，得y=600%+1000（20—%）=—400%+20000.

:一400<0,隨%的增大而減小，

當(dāng)％=15時，y最小值=-400X15+20000=14000,

此時20—%=20—15=5.

答：購買A種帳篷15頂，購買5種帳篷5頂，總費(fèi)用最低為14000

元.

達(dá)標(biāo)演練檢測

1.（2024天橋一模）周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精

濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了30元錢（兩

種物品都買），小明的購買方案共有（B）

A.3種B.4種C.5種D.6種

2.一瓶牛奶的營養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，碳水

化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g.設(shè)蛋白質(zhì)、脂肪的含量分別為

%(g),y(g),可列出方程為(A)

A.%+y=3。B.%+|尸3。

C|%+尸3°D,x+|y=30

3.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是:

“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一

尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩

余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少

尺？可設(shè)木頭長為％尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是

y—x=4.5,x—y=4.5,

、2%—y=1、2%—y=1

x-y=4.5,y—x=4.5,

4.關(guān)于％的一元一次方程X+2機(jī)=5的解為％=1,貝Im的值為(A)

A.2B.-2C.3D.-3

_r-\支-0

5.若和］一'都是關(guān)于％,y的二元一次方程以一2y=》

(y=ily=-3

的解，則b—a的值為2.

6.解方程：

(1)x—3=2%+1；

解：移項(xiàng)得%—2%=1+3,合并同類項(xiàng)得一%