數(shù)學(xué)物理方法常微分方程的本征值問(wèn)題

一、Sturm–Liouville型方程它與一定線性齊次邊界條件或周期性條件或自然邊界條件能夠組成本征值問(wèn)題，稱為S-L型本征值問(wèn)題。稱為本征值稱為權(quán)函數(shù)1第1頁(yè)二、幾個(gè)常見(jiàn)S-L型本征值問(wèn)題1、而①②兩種情況下，求解S-L型本征值問(wèn)題2第2頁(yè)①本征值本征函數(shù)3第3頁(yè)②本征函數(shù)本征值4第4頁(yè)2、Bessel方程本征值問(wèn)題5第5頁(yè)3、Legendre方程本征值問(wèn)題6第6頁(yè)這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中諧振子問(wèn)題4、Hermite方程本征值問(wèn)題7第7頁(yè)這個(gè)本征值問(wèn)題來(lái)自量子力學(xué)中氫原子問(wèn)題5、Laguerre方程本征值問(wèn)題8第8頁(yè)三、正交函數(shù)系1、正交函數(shù)定義：假如兩個(gè)函數(shù)滿足，則稱它們?cè)趨^(qū)間上正交假如函數(shù)是復(fù)函數(shù)，則寫(xiě)為2、歸一化定義：由正交定義，對(duì)一本征函數(shù)系當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，9第9頁(yè)稱為歸一化因子。則有稱為正交歸一函數(shù)系10第10頁(yè)3、完備性條件4、完備性定義：在對(duì)應(yīng)敬意上滿足狄里赫利條件任意函數(shù)能夠用正交完備函數(shù)系展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即：可用正交歸一條件求得，即11第11頁(yè)狄里赫利條件：在上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)。四、S—L型本征值問(wèn)題性質(zhì)1、條件①及其導(dǎo)數(shù)在中連續(xù)；②在中連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)連續(xù)或最多有一階極點(diǎn)；12第12頁(yè)③中，在區(qū)間端點(diǎn)處可能有一階零點(diǎn)。2、性質(zhì)①結(jié)論1：全部本征值都是實(shí)數(shù)，且非負(fù)，即②結(jié)論2：存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)本征值，成一遞增數(shù)列對(duì)應(yīng)有沒(méi)有窮多個(gè)本征函數(shù)稱為本征函數(shù)系，同一本征值對(duì)應(yīng)本征函數(shù)可能不止一個(gè)。13第13頁(yè)③結(jié)論3：對(duì)應(yīng)于不一樣本征值本征函數(shù)，在區(qū)間上帶權(quán)函數(shù)正交，即：展開(kāi)為絕對(duì)且一致收斂，即：廣義傅里葉級(jí)數(shù)。③結(jié)論4：本征函數(shù)系在區(qū)間組成一個(gè)完備系，即任意一個(gè)含有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)，只要它滿足本征值問(wèn)題中邊界條件，均能夠