2024-2025學(xué)年廣東省湛江市麻章區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省湛江市麻章區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077m，將數(shù)0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣73．（3分）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．(4．（3分）如圖所示，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，小明在池塘一側(cè)選取一點(diǎn)P，測得PA＝7m，PB＝5m，那么A，B之間的距離可能是（）A．2m B．9m C．12m D．13m5．（3分）下列各等式從左到右的變形是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．8a2b3c＝2a2?2b3?2c C．x+1=x(1+1x) D．x2+4x+4＝（6．（3分）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（3，2）7．（3分）要使分式x?2x+5有意義，xA．x≠﹣5 B．x≠2 C．x≠2且x≠﹣5 D．x≠2或x≠﹣58．（3分）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)E在線段BC上，∠1＝50°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°9．（3分）如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（）A．a(chǎn)2+3a B．2a2+6a C．2a2+3a D．a(chǎn)2+6a10．（3分）我國明代《永樂大典》記載“綾羅尺價(jià)”問題：“今有綾、羅共三丈，各直錢八百九十六文，■．”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈（1丈＝10尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，■．”設(shè)綾布有x尺，則可得方程為120?896A．每尺綾布比每尺羅布貴120文 B．每尺綾布比每尺羅布便宜120文 C．每尺綾布和每尺羅布一共需要120文 D．每尺羅布比每尺綾布便宜120文二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）分解因式：a2+5a＝．12．（3分）計(jì)算：2﹣1+（π﹣3）0＝．13．（3分）如圖，AC＝AD，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得△ABC≌△ABD．14．（3分）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為度．15．（3分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長線與AC邊的延長線交于點(diǎn)E，∠E＝30°，BF與AE的數(shù)量關(guān)系是．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18每題7分，共24分。16．（10分）（1）計(jì)算：（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）；（2）化簡：a217．（7分）解分式方程：2?xx?3=18．（7分）如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個(gè)小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點(diǎn)，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。19．（8分）如圖，在△ABC中∠B＝40°，D為BC邊上一點(diǎn)，且CA＝CD．（1）做∠C的平分線交AB于點(diǎn)M（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接DM，若BM＝BD，求∠A的度數(shù)．20．（8分）荔枝是嶺南一帶的特色時(shí)令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元購進(jìn)了一批荔枝，由于荔枝剛在果園采摘比較新鮮，前兩天他以高于進(jìn)價(jià)40%的價(jià)格共賣出150千克，由于荔枝保鮮期短，第三天他發(fā)現(xiàn)店里的荔枝賣相已不大好，于是果斷地將剩余荔枝以低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格全部售出，前后一共獲利750元．（1）若購進(jìn)的荔枝為a千克，則這批荔枝的進(jìn)貨價(jià)為；（用含a的式子來表示）（2）求該水果店的老板這次購進(jìn)荔枝多少千克．21．（8分）如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個(gè)性質(zhì)是（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。22．（13分）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)凈水裝置，將雜質(zhì)含量為n的水用m單位量的凈水材料過濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為n1+m現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水．（1）用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為；（2）小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計(jì)了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次過濾．三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：方案編號第一次過濾用凈水材料的單位量水中雜質(zhì)含量第二次過濾用凈水材料的單位量第二次過濾后水中雜質(zhì)含量A6a11+6a//B5a11+5aa1(1+5a)(1+a)C4a2a①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；②通過計(jì)算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？（3）當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時(shí)，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為（用含a的式子表示）．23．（14分）將一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別關(guān)于各自對邊所在直線作對稱點(diǎn)，由這三個(gè)對稱點(diǎn)確定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．（1）一個(gè)周長為l，面積為S的等邊三角形的“再生三角形”的周長是，面積是；（2）如圖1，已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△A'B'C'是Rt△ABC的“再生三角形”，其中點(diǎn)A'，B'，C分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)，試猜想△A'B'C'與Rt△ABC的面積有怎樣的關(guān)系，并加以證明．（提示：連接AA'，并延長A′A交B'C'于點(diǎn)D．）（3）如圖2，已知△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，△A'B'C'是△ABC的“再生三角形”，其中點(diǎn)A'，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)．求證：△A'B'C'是等邊三角形．（4）小舒認(rèn)為所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪認(rèn)為不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你認(rèn)為誰的判斷是正確的？請說明理由．

2024-2025學(xué)年廣東省湛江市麻章區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ACDBDAACDC一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．2．（3分）人體中紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077m，將數(shù)0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7【解答】解：將數(shù)0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為7.7×10﹣6．故選：C．3．（3分）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．(【解答】解：A、原式＝a5，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤；B、原式＝﹣8a3，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤；C、原式＝a4，故選項(xiàng)C計(jì)算錯(cuò)誤；D、原式=x6y故選：D．4．（3分）如圖所示，為估計(jì)池塘兩岸A，B間的距離，小明在池塘一側(cè)選取一點(diǎn)P，測得PA＝7m，PB＝5m，那么A，B之間的距離可能是（）A．2m B．9m C．12m D．13m【解答】解：連接AB，由三角形三邊關(guān)系定理得到：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，∴7﹣5＜AB＜7+5，∴2＜AB＜12，∴A，B之間的距離可能是9cm．故選：B．5．（3分）下列各等式從左到右的變形是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．8a2b3c＝2a2?2b3?2c C．x+1=x(1+1x) D．x2+4x+4＝（【解答】解：A、分解因式的結(jié)果是幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；B、因式分解是多項(xiàng)式的，不是針對單項(xiàng)式，不是因式分解，不符合題意；C、因式分解是整式范圍內(nèi)的分解，不包括分式，不是因式分解，不符合題意；D、滿足因式分解的定義，是因式分解，符合題意．故選：D．6．（3分）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（3，2）【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，3），∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3）．故選：A．7．（3分）要使分式x?2x+5有意義，xA．x≠﹣5 B．x≠2 C．x≠2且x≠﹣5 D．x≠2或x≠﹣5【解答】解：∵分式有意義，∴x+5≠0，∴x≠﹣5，故選：A．8．（3分）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)E在線段BC上，∠1＝50°，則∠AED的度數(shù)是（）A．70° B．68° C．65° D．60°【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝50°，∴△ABE中，∠B=180°?50°∴∠AED＝65°，故選：C．9．（3分）如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（）A．a(chǎn)2+3a B．2a2+6a C．2a2+3a D．a(chǎn)2+6a【解答】解：∵拼成的長方形的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積，∴拼成的長方形的面積＝（a+3）2﹣32＝a2+6a，故選：D．10．（3分）我國明代《永樂大典》記載“綾羅尺價(jià)”問題：“今有綾、羅共三丈，各直錢八百九十六文，■．”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈（1丈＝10尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，■．”設(shè)綾布有x尺，則可得方程為120?896A．每尺綾布比每尺羅布貴120文 B．每尺綾布比每尺羅布便宜120文 C．每尺綾布和每尺羅布一共需要120文 D．每尺羅布比每尺綾布便宜120文【解答】解：設(shè)綾布有x尺，則羅布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，設(shè)綾布有x尺，則可得方程為120?896∴缺失的條件為每尺綾布和每尺羅布一共需要120文．故選：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）分解因式：a2+5a＝a（a+5）．【解答】解：∵a2+5a公有因式為a，∴原式＝a（a+5），故答案為：a（a+5）．12．（3分）計(jì)算：2﹣1+（π﹣3）0＝32【解答】解：原式=1故答案為：3213．（3分）如圖，AC＝AD，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件∠CAB＝∠DAB（答案不唯一），使得△ABC≌△ABD．【解答】解：①當(dāng)添加條件∠CAB＝∠DAB時(shí)，使得△ABC≌△ABD，理由如下：在△ABC和△ABD中，AC=AD∠CAB=∠DAB∴△ABC≌△ABD（SAS）；②當(dāng)添加BC＝AC時(shí)，使得△ABC≌△ABD，理由如下：在△ABC和△ABD中，AC=ADAB=AB∴△ABC≌△ABD（SSS）．故答案為：∠CAB＝∠DAB（答案不唯一）．14．（3分）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為45度．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由圖形的折疊可知，∠BAM＝∠EAM=12∠∠BAF＝∠FAB'=12∠∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案為：45．15．（3分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長線與AC邊的延長線交于點(diǎn)E，∠E＝30°，BF與AE的數(shù)量關(guān)系是BF=16AE【解答】解：∵AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵EF⊥AB，∠E＝30°，∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，∴△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)C作CH⊥EF于H，如圖所示：設(shè)BF＝a，AB＝x，則AF＝AB﹣BF＝x﹣a，∴AC＝AB＝x，∵EF⊥AB，∴∠BFD＝∠CHD＝90°，∵AD垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△BFD≌△CHD（AAS），∴BF＝CH＝a，在Rt△ECH中，∠E＝30°，∴CE＝2CH＝2a，∴AE＝AC+CE＝x+2a，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF，即x+2a＝2（x﹣a），∴x＝4a，∴AE＝x+2a＝6a，∵BF＝a，∴BF=16故答案為：BF=16三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18每題7分，共24分。16．（10分）（1）計(jì)算：（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）；（2）化簡：a2【解答】解：（1）（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）＝m2+2m+1﹣m2﹣m+2m+2＝3m+3；（2）a=(a+2)(a?2)a?1?=(a+2)(a?2)a?1?＝a+2．17．（7分）解分式方程：2?xx?3=【解答】解：去分母得：2﹣x＝x﹣3+1，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的解．18．（7分）如圖，公園有一條“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F處各有一個(gè)小石凳，且BE＝CF，M為BC的中點(diǎn)，連接EM、MF，請問石凳M到石凳E、F的距離ME、MF是否相等？說出你推斷的理由．【解答】解：石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，BE=CF∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距離ME、MF相等．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。19．（8分）如圖，在△ABC中∠B＝40°，D為BC邊上一點(diǎn)，且CA＝CD．（1）做∠C的平分線交AB于點(diǎn)M（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接DM，若BM＝BD，求∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示，射線CM即為所求；（2）∵BM＝BD，∠B＝40°，∴∠BDM＝70°，∴∠CDM＝110°，∵CM為∠ACD的角平分線，∴∠ACM＝∠DCM，又∵AC＝CD，CM＝CM，∴△ACM≌△DCM（SAS）．∴∠A＝∠CDM＝110°．20．（8分）荔枝是嶺南一帶的特色時(shí)令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元購進(jìn)了一批荔枝，由于荔枝剛在果園采摘比較新鮮，前兩天他以高于進(jìn)價(jià)40%的價(jià)格共賣出150千克，由于荔枝保鮮期短，第三天他發(fā)現(xiàn)店里的荔枝賣相已不大好，于是果斷地將剩余荔枝以低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格全部售出，前后一共獲利750元．（1）若購進(jìn)的荔枝為a千克，則這批荔枝的進(jìn)貨價(jià)為3000a元/千克；（用含a（2）求該水果店的老板這次購進(jìn)荔枝多少千克．【解答】解：（1）依題意得：3000a故答案為：3000a（2）設(shè)該水果店的老板這次購進(jìn)荔枝x千克，依題意得：3000x×40%×150?3000解得x＝200．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是原方程的根．答：設(shè)該水果店的老板這次購進(jìn)荔枝200千克．21．（8分）如圖1和2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DA＝CD，這個(gè)性質(zhì)是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∠DEA=∠DFC∠DAE=∠DCF∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如圖，在BC時(shí)截取BK＝BD，連接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的結(jié)論得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。22．（13分）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)凈水裝置，將雜質(zhì)含量為n的水用m單位量的凈水材料過濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為n1+m現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水．（1）用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為13（2）小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計(jì)了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次過濾．三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：方案編號第一次過濾用凈水材料的單位量水中雜質(zhì)含量第二次過濾用凈水材料的單位量第二次過濾后水中雜質(zhì)含量A6a11+6a//B5a11+5aa1(1+5a)(1+a)C4a2a①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；②通過計(jì)算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？（3）當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時(shí)，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為3a（用含a的式子表示）．【解答】解：（1）水中的雜質(zhì)含量為n1+m∴現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水，用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為11+2故答案為：13（2）①方案C水中雜質(zhì)含量：11+4a，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量：1②11+6a∵a＞0，∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0∴11+6a同理可得：1(1+5a)(1+a)∴1(1+4a)(1+2a)∴方案C的最終過濾效果最好；（3）將第一次凈水材料用量定為3a時(shí)，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為1(1+3a將第一次凈水材料用量定為2a時(shí)，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為1(1+2a)(1+4a)，結(jié)果與將第一次凈水材料用量定為4a將第一次凈水材料用量定為a時(shí)，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為1(1+a)(1+5a)，結(jié)果與將第一次凈水材料用量定為5a∵在將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a時(shí)，4a的最終過濾效果最好，同理，可得1(1+3a∴將第一次凈水材料用量定為3a時(shí)，其最終過濾效果最好，∴為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為3a．故答案為：3a．23．（14分）將一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別關(guān)于各自對邊所在直線作對稱點(diǎn)，由這三個(gè)對稱點(diǎn)確定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．（1）一個(gè)周長為l，面積為S的等邊三角形的“再生三角形”的周長是2l，面積是4S；（2）如圖1，已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△A'B'C'是Rt△ABC的“再生三角形”，其中點(diǎn)A'，B'，C分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)，試猜想△A'B'C'與Rt△ABC的面積有怎樣的關(guān)系，并加以證明．（提示：連接AA'，并延長A′A交B'C'于點(diǎn)D．）（3）如圖2，已知△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，△A'B'C'是△ABC的“再生三角形”，其中點(diǎn)A'，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對稱點(diǎn)．求證：△A'B'C'是等邊三角形．（4）小舒認(rèn)為所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪認(rèn)為不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你認(rèn)為誰的判斷是正確的？請說明理由．【解答】（1）解：如圖，△ABC為等邊三角形，△A′B′C′為其“再生三角形