2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí)：矩形的性質(zhì)（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+7大考點(diǎn)舉一反三+過關(guān)測(cè)試）

第10講矩形的性質(zhì)

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解矩形的概念；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.探索并證明矩形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

矩

形

矩形的對(duì)邊平行且相等

的

性性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角

質(zhì)

矩形的對(duì)角線相等

7直角三角形斜邊中線定理卜直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理------

知識(shí)點(diǎn)1：矩形的概念與性質(zhì)

1.概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

2,性質(zhì)：（1）矩形的對(duì)邊平行且相等；

（2）矩形的四個(gè)角都是直角；

（3）矩形的對(duì)角線相等。

知識(shí)點(diǎn)2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：利用矩形的性質(zhì)求角度

例1.（23-24八年級(jí)上?四川遂寧?期末）如圖，矩形力BCD中，連接AC,延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使BE=AC,

連接DE,若乙4cB=40°,則NE的度數(shù)是（）

1

AD

【變式1-1］（23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，矩形力BCD的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作。E_LBD,交CD于點(diǎn)E,連接BE.若NCOE=20°,則44BD=.

【變式1-2］（23-24八年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末）如圖，在矩形力BCD中，對(duì)角線"與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)力

作ZE_LBD,垂足為點(diǎn)E,若NE力C=2NG4D,貝!UCOD=度.

【變式1-3］（23-24八年級(jí)下?福建福州?期末）如圖，在矩形力BCD中，AB^AO,對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)

O,以點(diǎn)4為圓心，以力。的長(zhǎng)為半徑作弧，交力。于點(diǎn)￡,連接。E,則NDOE=<

考點(diǎn)二：根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

2.（23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期中）如圖，矩形4BCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)。，4AOD=

60。，AD=4,則該矩形的周長(zhǎng)是（

A.16B.4+4V3D.16V3

2

【變式2-1］（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）已知：如圖，矩形2BCD中，AB=5,BC=12,對(duì)角線AC、

BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是線段力。上任意一點(diǎn)，且PE14C于點(diǎn)E,PF1BD于點(diǎn)F,貝iJPE+PF等于（）

A.6B.5C.—D.—

1312

【變式2-2］（22-23八年級(jí)下?廣東深圳?期末）如圖，在矩形4BCD中，P,Q分別是BC,DC上的點(diǎn)，E,F分別

是4P,PQ的中點(diǎn).BC=12,DQ=5,在點(diǎn)P從B移動(dòng)到C（點(diǎn)Q不動(dòng)）的過程中，則線段EF=.

【變式2-3］（23-24八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的

中點(diǎn)，0E=3,AD=8,則。4的長(zhǎng)為.

考點(diǎn)三：根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積

例3.（23-24八年級(jí)下?山東濱州?階段練習(xí)）如圖，EF過矩形力BCD對(duì)角線的交點(diǎn)O,且分別交

AB,CD于E、F,那么陰影部分的面積是矩形4BCD的面積的（）

【變式3-1］（23-24八年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）矩形的兩條對(duì)角線之和為20,其中一條邊長(zhǎng)為6,則

該矩形的面積為（）

A.60B.48C.40D.24

3

【變式3-2］（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，點(diǎn)P是矩形4BCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF〃BC,

分別交力B,CD于點(diǎn)E,F,連接P4PC.若BE=b,PF=3<3,則圖中陰影部分的面積

為.

【變式3-3］（23-24八年級(jí)下?重慶大足?期末）如圖，點(diǎn)￡是矩形4BCD內(nèi)任一點(diǎn)，若A8=6,BC=8.則

圖中陰影部分的面積為.

考點(diǎn)四：利用矩形的性質(zhì)證明

Qf］例4.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?期末）如圖，在矩形力BCD中，對(duì)角線4C的垂直平分線分別與邊48和邊

CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,與邊力D交于點(diǎn)￡,垂足為點(diǎn)。

（1）求證：△力。M三△CON

（2）若AB=3,4）=6,請(qǐng)直接寫出2E的長(zhǎng)為

【變式4-1］（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，四邊形力BCD是矩形，點(diǎn)￡在力。邊上，點(diǎn)尸在的

延長(zhǎng)線上，且BE=CF.

求證：四邊形EBCF是平行四邊形.

4

【變式4-2］（23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期中）如圖所示，矩形4BCD中，力C與BD交于。點(diǎn)，BE1AC

于E,CF1BD^F,求證：BE=CF.

【變式4-3］（23-24八年級(jí)下?山東泰安?期中）如圖，在矩形A8CD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC,DF1AE,

垂足為尸，連接DE.

⑴求證：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的長(zhǎng).

考點(diǎn)五：求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

5.（22-23九年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形力BCD如圖所示，A（-

6,2）,B（2,2）,C（2,-3）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(-6,3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-3,-6)

【變式5-1］（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)均已

標(biāo)出，那么a—b的值為（）

5

(a,13)

/>(15,b)

(5,SK^2)、

O\JC

A.-3B.-1C.3D.1

【變式5-2](22-23八年級(jí)下?重慶江津?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形。ABC的頂點(diǎn)4-2,1),

C(2,4),點(diǎn)B在y軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【變式5-3](23-24八年級(jí)下?云南昆明?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的頂點(diǎn)4C的坐標(biāo)

分別為(10,0),(。,4),點(diǎn)。是。力的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP=PD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

考點(diǎn)六：矩形與折疊問題

例6.(23-24八年級(jí)下?全國(guó)?開學(xué)考試)已知：將長(zhǎng)方形力BCD沿直線4c對(duì)折，將點(diǎn)B折到點(diǎn)E處，AE

交CD于點(diǎn)F,

(1)求證：△力CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面積.

6

【變式6-1］（23-24八年級(jí)下?云南昆明?期中）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)

圖1圖2

【操作】如圖1，在矩形4BCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片力BCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)。落

在點(diǎn)D'處，MD'與BC交于點(diǎn)N.

【猜想】（1）請(qǐng)猜想線段MN、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【應(yīng)用】（2）如圖2,繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使4M恰好落在直線MD'上，點(diǎn)月落在點(diǎn)4處，點(diǎn)B

落在點(diǎn)B'處，折痕為ME.若CD=4,MD=8,求EC的長(zhǎng).

【變式6-2］（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）把一張矩形A8CD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)/與點(diǎn)E重合,

點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合（￡、/兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為DG.

（1）求證：四邊形BGDH為平行四邊形;

（2）若AB=6,BC=8,求線段FG的長(zhǎng).

7

【變式6-31（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）在矩形力BCD中，AB=5,BC=13,在DC上取一點(diǎn)E,將^BCE

沿直線BE折疊，得到△BEF.

（1）如圖1,若點(diǎn)下剛好落在力D上時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,若點(diǎn)E從C到。的運(yùn)動(dòng)過程中，N4BF的角平分線交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求M到力。的距

離.

考點(diǎn)七：斜邊的中線等于斜邊的一半

，、例7.（23-24八年級(jí)下?河北保定?期末）已知/,B,C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示.若D

地位于4,C兩地的中點(diǎn)處，則2,。兩地之間的距離是（）

A.2.5kmB.6kmC.6.5kmD.7.5km

【變式7-1]（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?期末）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。,8。=5,力C=12,。為力B的中

點(diǎn)，貝！ICD的長(zhǎng)為（）

A.5B.5.5

【變式7-2]（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?期末）如圖，在△力BC中，D是8C上一點(diǎn)，連接2D,AB=AD,E、F

分別是力C、BD的中點(diǎn)，連接EF、AF,

A.V6B.2V6

8

【變式7-3］（23-24八年級(jí)下?貴州黔西?期末）如圖，在△4BC中，AB=10,點(diǎn)。，E分別是ZB,BC的中

點(diǎn)，連接DE,在DE上有一點(diǎn)R且EF=3,連接力F,BF.^AFLBF,則力C的長(zhǎng)為（）

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（23-24八年級(jí)下?云南昆明?期末）如圖，矩形4BC。的對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)。，440B=60°,已知ZB=1,

貝1傷。的長(zhǎng)度是（）

AD

BC

A.1B.2C.yD./

2.（23-24八年級(jí)下?山西?期末）如圖，已知矩形力BCD沿著直線折疊，使點(diǎn)。落在C'處，BC'交AD于E,

AD=8,4B=4,貝UDE的長(zhǎng)為（）

/

8y...............七

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24八年級(jí)下?云南紅河?期末）如圖，在直角三角形2BC中，乙4cB=90°,AC=5,BC=12,CD

為△ABC的中線，貝!|CD的長(zhǎng)為（）

k

C°-----

A.5B.6C.6.5D.13

9

4.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?期末）如圖，在矩形COED中，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,則CE的長(zhǎng)是（

5.（23-24八年級(jí)下?吉林松原?期末）如圖，在矩形力BCD中，對(duì)角線4c與BD相交于點(diǎn)O,若力。=力B,則

的度數(shù)（）

6.（23-24八年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?開學(xué)考試）如圖，矩形4BCD中，AB=3,AD=1,48在數(shù)軸上，若以點(diǎn)/

為圓心，對(duì)角線4C的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于則點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為（）

7.（23-24八年級(jí)下?福建福州?期中）如圖，在矩形4BCD中，AD=7,CD=4,點(diǎn)、E,b分別在BC,CD

上，BE=3,CF=2,若G是4E的中點(diǎn)，〃是BF的中點(diǎn)，連接G“，則G"的長(zhǎng)為（）

二、填空題

8.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在RtaABC中，CD是斜邊上的中線，乙4=20。，則

ZBCD=<

9.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在矩形48CD中，4B=6,=8,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)

10

。，點(diǎn)E,尸分別是40,4D的中點(diǎn),

10.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）把一張矩形紙片（矩形4BCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合,

折痕為EF,若28=3cm,BF=5cm,則重疊部分△DEF的面積是.cm乙2.

三、解答題

11.（23-24八年級(jí)下?江蘇徐州?期中）已知：如圖，矩形力BCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE||DB,交

力B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形CDBE是平行四邊形;

（2）若AC=8,求EC的長(zhǎng).

12.（23?24九年級(jí)上?福建莆田?期末）已知如圖，將矩形ZBCD繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,

點(diǎn)5與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E恰好落在4。邊上，BHJ.CE交于點(diǎn)H,

求證：

(1)ABCH=ACED

(2)AB=BH.

11

第10講矩形的性質(zhì)

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解矩形的概念；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.探索并證明矩形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算。

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

矩

形

矩形的對(duì)邊平行且相等

的

性性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角

質(zhì)

矩形的對(duì)角線相等

直角三角形斜邊中線定理卜直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理------

知識(shí)點(diǎn)1：矩形的概念與性質(zhì)

3.概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

4.性質(zhì)：（1）矩形的對(duì)邊平行且相等；

（2）矩形的四個(gè)角都是直角；

（3）矩形的對(duì)角線相等。

知識(shí)點(diǎn)2：直角三角形斜邊上的中線

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

◎模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：利用矩形的性質(zhì)求角度

例1.（23-24八年級(jí)上?四川遂寧?期末）如圖，矩形4BCD中，連接力C,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使BE=AC,

連接DE,若N71CB=40。，貝lUE的度數(shù)是（）

12

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用矩形的對(duì)角線相等是解決問題

的關(guān)鍵.

連接BD,依據(jù)矩形的性質(zhì)，即可得到NCBD=乙4cB=40°,再根據(jù)AC=BD,AC=BE,即可得出BD=

BE,進(jìn)而得到NE的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接BD交4C于點(diǎn)。，

:矩形力BCD中，NACB=40。，OC=OB,AC=BD,

：.4CBD=乙ACB=40°,

vAC=BD,AC=BE,

：.BD=BE,

???NE=g(180°-乙DBE)=|(180°-40°)=70°,

故選:D.

【變式1-1](23-24九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí))如圖，矩形力BCD的對(duì)角線4C與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作。E_LBD,交CD于點(diǎn)E,連接BE.若NCOE=20°,則44BD=_.

【答案】35735度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義及角的和差求出NBOC=70。，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出

13

OA=OB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可.熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?OE1BD,

???(BOE=90°,

???(COE=20°,

Z.BOC=乙BOE-乙COE=70°,

??泗邊形ABCD是矩形，

???AC=BD,OB=OD,OA=OC,

OA=OB,

??.Z.OAB=乙OBA,

???/-BOC=Z.OAB+Z-OBA,

???乙OBA=35°,BPzXBD=35。，

故答案為：35°.

【變式1-2](23-24八年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末)如圖，在矩形2BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)力

作AE1BD,垂足為點(diǎn)E,若=2Z.CAD,貝l]zT。。=度.

【答案】45

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩

形的性質(zhì).根據(jù)矩形的性質(zhì)可得到。4=。0,推出4。力。=4。04，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和NE4C=

2/LCAD,可得NEAC=N40E,由4E1BD,即可求解.

【詳解】解：???四邊形4BC0是矩形,

AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA—OD,

??.Z.OAD=乙ODA,

???Z-AOE=Z.OAD+Z.ODA=2Z-OAD,

???Z.EAC=2/.CAD,

???Z-EAC=Z.AOE,

???AE1BDf

???乙EAC=乙4OE=45°,

???乙COD=Z.AOE=45°,

故答案為：45.

14

【變式1-3］（23-24八年級(jí)下?福建福州?期末）如圖，在矩形4BCD中，AB=A0,對(duì)角線4C與BD相交于點(diǎn)

0,以點(diǎn)/為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑作弧，交力D于點(diǎn)E,連接。E,貝此DOE=

【答案】45

【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解題

的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

首先證明出△04B是等邊三角形，得到NQ48=乙40B=60。，然后利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定

理求出4E。力=3180。-NE力。）=75°,進(jìn)而求解即可.

【詳解】：四邊形4BCD是矩形

AOA=OB,ABAD=90°

■：AB=AO

。力=OB=AB

.?.△OAB是等邊三角形

：.^OAB=Z.AOB=60°,

：.^OAD=^BAD-^OAB=30°

:以點(diǎn)N為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑作弧，交4D于點(diǎn)￡,

：.AE=AO

：.AEOA=|(180°-NEA。)=75°

."DOE=180°-4AOB-Z.AOE=45°.

故答案為：45.

考點(diǎn)二：根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

、］例2.（23-24八年級(jí)下?貴州黔東南-期中）如圖，矩形力BCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)。，AAOD=

60°,AD=4,

A.16

【答案】C

15

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形對(duì)角線的性質(zhì)和利用勾股定理求邊長(zhǎng)，熟練掌

握矩形及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得。。=。。,乙4。。=60。,△4。。是等邊三角形，可求出BD,勾股

定理可求出48,即可求出矩形的面積.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

OA=OD=OB=OC,

???/,AOD=60°,

是等邊三角形，

AD=OD=AO=4,

BD=2AD=8,

???AB=<BD2-AD2=V64-16=4百，

.?.矩形的周長(zhǎng)=2X48+2X4=8V3+8,

故選：C.

【變式2-1］（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）已知：如圖，矩形ABCD中，4B=5,BC=12,對(duì)角線AC、

BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是線段力D上任意一點(diǎn)，且PE14C于點(diǎn)E,PF1BD于點(diǎn)F,貝iJPE+PF等于（）

【答案】C

【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

連接OP,利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出。4。。的長(zhǎng)，然后由So。。USMOP+S^DOP求得答案.

【詳解】解：連接P。，

:矩形4BCD中，AB=5,BC=12,

16

'S矩形/BCD="B'BC=60,OA—OC,OB=OD,AC=BD,乙ABC=90°,

；.AC=7AB2+BC2=V52+122=13,

1I13

?“△ZOD=矩形ARC。=15，％=°。=5人0=萬(wàn)，

,**^/\AOD=^/\AOP+S^DOP，

-1-1-11IQ

即：-PE+50D-PF=；OA(PE+PF)=楙X￡X(PE+PF)=15,

：.PE+PF

13

故選：c.

【變式2-2](22-23八年級(jí)下?廣東深圳?期末)如圖，在矩形力BCD中，P,Q分別是BC,DC上的點(diǎn)，E,尸分別

是4P,PQ的中點(diǎn).BC=12,DQ=5,在點(diǎn)P從B移動(dòng)到C(點(diǎn)Q不動(dòng))的過程中，則線段EF=.

【答案】6.5

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理.因?yàn)镼點(diǎn)不動(dòng)，所以4Q不變，根據(jù)中位線定理,

可得EF的長(zhǎng).

【詳解】解：連接力Q

EF為△4PQ的中位線，

???HBCD是矩形

?-?力D=BC=12,Z.ADC=90°

EF=^AQ=[xy/AD2+DQ2=|xV122+52=6.5,

故答案為：6.5.

【變式2-3]（23-24八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，點(diǎn)。是矩形4BCD的對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是8c的

中點(diǎn)，0E=3,4D=8,則。4的長(zhǎng)為.

【答案】5

17

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由

三角形中位線定理求出。E=3,由勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：:。為BD的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，

1

OE=-DC,

2

???0E=3,

DC=6,

???四邊形4BCD是矩形，

AB=CD=6,ABAD=90°,

vAD=8,

???BD=y/AD2+AB2=V82+62=10,

1

AO=-BD=5

2

故答案為：5.

考點(diǎn)三：根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積

、］例3.（23-24八年級(jí)下?山東濱州?階段練習(xí)）如圖，EF過矩形A8CD對(duì)角線的交點(diǎn)O,且分別交

AB,CD于E、F,那么陰影部分的面積是矩形力BCD的面積的（）

【答案】B

【分析】本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)，得△EB。三△FD。，再由△力08與△OBC同底等高，AAOB^AABC

同底且aaoB的高是△力BC高的（得出結(jié)論.本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有

自己的特性，要注意運(yùn)用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì).

【詳解】解：,??四邊形為矩形，

???OB=OD=OA=OC,AB||CD

."EBO=4FD0

在△EBO與NDO中,

/-EOB=乙DOF

OB=OD,

乙EBO=Z.FDO

??.△EBO=△FDO(ASA),

???陰影部分的面積=SA4E0+S4EBO=SAAOB，

18

△AOB^AABC同底且△4。3的高是△高的白

，SMOB=S^OBC=］S矩形ABCZT

故選：B.

【變式3-1］（23-24八年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）矩形的兩條對(duì)角線之和為20,其中一條邊長(zhǎng)為6,則

該矩形的面積為（）

A.60B.48C.40D.24

【答案】B

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出矩形

的另一邊長(zhǎng)，即可求出矩形的性質(zhì).利用勾股定理求出矩形的另一邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???矩形的兩條對(duì)角線之和為20,

矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為：20+2=10,

:矩形的一邊長(zhǎng)為6,

又?..矩形的相鄰兩邊與一條對(duì)角線構(gòu)成直角三角形，

與矩形邊長(zhǎng)為6相鄰的另一邊長(zhǎng)為：-102-62=8,

矩形的面積為：6x8=48.

故選：B.

【變式3-2］（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，點(diǎn)P是矩形力BCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E/〃BC,

分別交力B,CD于點(diǎn)E,F,連接P4PC.若BE=H,PF=3?則圖中陰影部分的面積

為

【答案】9

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí).先作輔助線，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得到兩

個(gè)矩形面積相等.

【詳解】解：作PML力。于點(diǎn)河,

貝U四邊形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,

CF=BE=V3,S^ABD-S^BCD，S&BPE-S^BPN，^APDM=^APDF?^^AEP-S&，S^CFP-S^CNP，

?'S矩形4EPM=S^ABD-(S&BPE+^APDM)),矩形0尸「可=^ABCD-(S4BPN+^APDFJ'

'",矩形4EPM=$矩形CFPN'

19

?'?^AAEP=SACFP=|xPFxCF=1x3V3xV3=I，

???圖中陰影部分的面積為S陰=1+1=9,

故答案為：9.

【變式3-3］(23-24八年級(jí)下?重慶大足?期末)如圖，點(diǎn)E是矩形4BCD內(nèi)任一點(diǎn)，若AB=6,BC=8.則

圖中陰影部分的面積為.

【答案】24

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算.根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積

等于矩形面積的一半；即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形,

：.AB=DC=6,

設(shè)兩個(gè)陰影部分三角形的底為4B,CD,高分別為后，h2,則比+%2=BC=8,

11111

S

?''/\ABE+S&DCE=5ABxhl+-CDxh2=-AB(hx+/i2)=~BCx/IF=-x6x8=24,

...圖中陰影部分的面積為24；

故答案為：24.

考點(diǎn)四：利用矩形的性質(zhì)證明

［、］例4.(23-24八年級(jí)下?全國(guó)?期末)如圖，在矩形力BCD中，對(duì)角線力C的垂直平分線分別與邊4B和邊

CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,與邊力。交于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。.

(1)求證：△力。M三△CON

(2)若48=3,4。=6,請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)為

【答案】(1)見解析

若

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證明三角形全等即可.

(2)連接CE,根據(jù)垂直平分線得出CE=4E,設(shè)AE=CE=久，則DE=6-久，在Rt^CDE中，根據(jù)

20

勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：:MN是ZC的垂直平分線,

：.A0=CO,乙40M="ON=90。.

???四邊形ABCD是矩形，

:?AB〃CD,

?"M=乙N.

在△40M和△CON中，

(乙M=乙N

卜ZOM=乙CON，

(AO=CO

：.△AOMCON(AAS).

(2)解：如圖所示，連接CE,

：MN是AC的垂直平分線，

CE=AE,

設(shè)4E=CE=x,則DE=6—x,

???四邊形A8CD是矩形，

/.Z.CDE=90°,CD=AB=3,

???Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2,

即32+（6—x）2=x2,

解得：x=￥，即ZE的長(zhǎng)為手，

44

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，

解答關(guān)鍵是證明三角形全等.

【變式4-1]（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，四邊形2BCD是矩形，點(diǎn)￡在4D邊上，點(diǎn)尸在AD的

延長(zhǎng)線上，且BE=CF.

求證：四邊形EBCF是平行四邊形.

21

【答案】見解析

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定.由Rt△BAEmRt△(?￡>?,推出N1=NF,推出BE||

CF,又BE=CF,即可證明四邊形EBCF是平行四邊形.

【詳解】證明：???四邊形2BCD是矩形，

：.Z.A=乙CDF=Z.ABC=90°,AB=DC,AD=BC,

在Rt△BAE和Rt△CDF中，

(AB=DC

iBF=CF'

：.Rt△BAE=RtACDF,

=乙F,

：.BE||CF,

又'：BE=CF,

四邊形EBCF是平行四邊形.

【變式4-2](23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期中)如圖所示，矩形ABCD中，HC與BD交于。點(diǎn)，BE1AC

于E,CF工BD于F,求證：BE=CF.

【答案】見解析

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明aBOE三△COF(AAS),即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：：矩形4BCD,

AOA=OB=OC=OD,

,：BE1AC^-E,CFLBD于F,

:.4BEO=乙CFO=90°,

在△8。5和4C。尸中

22

Z.BEO=7.CFO

斗EOB=Z.FOC

BO=CO

：.ABOE=△COF(AAS),

：.BE=CF.

【變式4-3](23-24八年級(jí)下?山東泰安?期中)如圖，在矩形A8CD中，E是邊上的點(diǎn)，AE=BC,DF1AE,

垂足為F,連接DE.

(1)求證：AB=DF；

(2)若CE=2,AF=6,求DF的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)277

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；

(1)根據(jù)矩形是性質(zhì)可以證明aABE三△￡)"!,即可得4B=DF；

(2)結(jié)合(1)證明Rt^DFEmRtaDCE(HL),再根據(jù)勾股定理即可求出DF的長(zhǎng).

【詳解】(1)???四邊形A8CD是矩形，

???BC^AD,AD//BC,N8="=90。，

???Z.DAF=乙AEB,

vDFLAE,AE=BC,

AAFD=90°,AE=AD,

ABE=△DF^(AAS),

??.AB=DF；

(2),：AABE=△DFA,

.?.AF=BE=6,DF=AB=CD,

???乙DFE=乙DCE=90°,DE=DE,

RtADFE=RtADCE(HL),

.?.CE=EF=2,

AE=6+2=8,

在RtZiABE中，根據(jù)勾股定理，得AB=,82一a=2巾.

DF=AB=2V7.

23

考點(diǎn)五：求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

5.（22-23九年級(jí)下?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形力BCD如圖所示，4（-

(-3,-6)

【答案】C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)求出點(diǎn)。的橫、縱坐標(biāo)即可獲得答案.

【詳解】解：???四邊形4BCD為長(zhǎng)方形，

：.AB//CD,AD//BC,

：A（-6,2）,B（2,2）,C（2,—3）,

.?.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)力相同，為一6,

點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C相同，為-3,

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為（—6,—3）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用矩形“對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)解決問題.

【變式5-1］（23-24八年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)均已

標(biāo)出，那么a—b的值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】D

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及矩形性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，熟練掌握矩形性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公

式是解決問題的關(guān)鍵.由矩形的對(duì)角線交于一點(diǎn)，且對(duì)角線相互平分，從而由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對(duì)角線

交點(diǎn)。的坐標(biāo)，列方程求解即可得到a,b的值，代入代數(shù)式求解即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

24

（5,5）/9,2）

O

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知AC中點(diǎn)0的坐標(biāo)為（一,詈），即0（等,葭）;

BD中點(diǎn)。的坐標(biāo)為（等,等），即。得,同；

fa+9=20

8+b=15'

解得k/,

a—b=11-10=1,

故選：D.

【變式5-2］（22-23八年級(jí)下?重慶江津?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形。ABC的頂點(diǎn)4（-2,1）,

C（2,4）,點(diǎn)B在y軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

【答案】（0,5）

【分析】由兩點(diǎn)距離公式可求AC的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)可求。8=4C,即可求解.

【詳解】解：連接4C,

???四邊形力BCO是矩形,

???OB=AC=5,

25

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,5),

故答案為：(0,5).

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握矩形的對(duì)角線相等是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](23-24八年級(jí)下?云南昆明?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O4BC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)

分別為(10,0),(。,4),點(diǎn)。是。力的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP=PD時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

【答案】A

【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由點(diǎn)。是。力的中點(diǎn)，可得

出點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)。P=PD,由等腰三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)

【詳解】解：過點(diǎn)P作PM1。。于點(diǎn)M,

■.■矩形6MBe的頂點(diǎn)4c的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,4),點(diǎn)。是04的中點(diǎn),

???點(diǎn)。(5,0)

vOP=PD,PM1OD,

OM=DM,

即點(diǎn)M(2.5,0)

???點(diǎn)P(2.5,4),

故選：A

考點(diǎn)六：矩形與折疊問題

例6.(23-24八年級(jí)下?全國(guó)?開學(xué)考試)已知：將長(zhǎng)方形4BC0沿直線AC對(duì)折，將點(diǎn)B折到點(diǎn)E處，AE

交CD于點(diǎn)F,

(1)求證：△4CF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm,AD=8cm,求△4CF的面積.

【答案】(1)見解析

⑵44CF的面積為40cm2

【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相

關(guān)的知識(shí).

26

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得4B||CD,得到乙4CF=ABAC,結(jié)合折疊的性質(zhì)可得々CF=^FAC,即可證

明；

（2）設(shè)4F=CF=x,則￡>F=16-x,在RtAADF中，由勾股定理求出久，最后根據(jù)S》CF=初廣力。，

即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形4BCD是矩形，

AB||CD,Z.D=90°,

Z.ACF=Z-BAC,

由折疊可得：N凡4c=/-BAC,

Z.ACF=Z.FAC,

AF=CF,

???△4CF是等腰三角形；

（2）解：設(shè)4F=CF=x,則DF=CD—CF=16一居

在Rt^ADF中，由勾股定理可得：AF2-DF2^AD2,即/一（16—x）2=82,

解得：x=10,

CF=10cm,

11o

SAACF=2CF-AD=-X10x8=40cm2.

【變式6-1］（23-24八年級(jí)下?云南昆明?期中）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)

稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng).

圖1圖2

【操作】如圖1，在矩形4BCD中，點(diǎn)M在邊ZD上，將矩形紙片力BCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)。落

在點(diǎn)D'處，MD'與BC交于點(diǎn)N.

【猜想】（1）請(qǐng)猜想線段MN、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【應(yīng)用】（2）如圖2,繼續(xù)將矩形紙片4BCD折疊，使4M恰好落在直線MD'上，點(diǎn)月落在點(diǎn)4處，點(diǎn)B

落在點(diǎn)B’處，折痕為ME.若CD=4,MD=8,求EC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）10

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟

練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）由折疊的性質(zhì)可得NCMD=NCM。'，再證明NCMD=NMCN,易得NCM。'=NMCN,即可證明

MN=CN；

（2）由折疊的性質(zhì)可得乙D=Z.D=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,設(shè)MN=NC=x,易得ND,=

27

8-x,在RtaND'C中，由勾股定理解得x的值，易知MN=NC=5,同理可證明EN=MN=5,然后

計(jì)算EC的長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）解：MN=CN,理由如下：

:矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，

:.乙CMD=4CMD',

..?四邊形4BCC是矩形，

J.AD//BC,

：.ACMD=乙MCN,

：.^CMD'=乙MCN,

：.MN=CN；

（2）:矩形48CD沿MC所在直線折疊，

：2D=Z￡>'=90°,DC=DC=4,MD=MD'=8,

設(shè)MN=NC=x,

:.ND'MD'-MN=8-x,

在RtZkND'C中,AD'=90°,

；.ND'2+D'C2=NC2,

.,.（8-x）2+42=%2,解得x=5,

：.MN=5,

：.MN=CN=5,

同理可證明EN=MN=5,

：.EC=EN+CN=10.

【變式6-2］（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）把一張矩形ZBCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)/與點(diǎn)E重合,

點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合（E、尸兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH,DG.

⑴求證：四邊形8GDH為平行四邊形；

（2）若AB=6,BC=8,求線段FG的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】本題主要考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，平行四邊形的證明及勾股定理，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明即可；

28

(2)由折疊可得FG=CG,DF=DC=6,/DFG=NC=90。，在根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD為矩形，

??.AB//C