2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí)：無理數(shù)和實(shí)數(shù)

第02講無理數(shù)和實(shí)數(shù)

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.無理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）組成的；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)，知道實(shí)數(shù)

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；

3.掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的

混合運(yùn)算（以三步以內(nèi)為主）；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)

算解決簡(jiǎn)單的問題,知道有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)

范圍內(nèi)仍然適用。

紛模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理----------

知識(shí)點(diǎn)1無理數(shù)

1.無理數(shù)

（1）定義無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如無等.

（2）常見的無理數(shù)

①所有開方開不盡的方根，如J7.

②化簡(jiǎn)后含有兀的數(shù)，如-4-

③無限不循環(huán)小數(shù)，如0.120030210.…

（3）無理數(shù)的小數(shù)部分的表示

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此其小數(shù)部分是不可能全部寫出來的.我們知道，V2的整數(shù)部分是1.因此，41

的小數(shù)部分就是行-1.即一個(gè)無理數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，如兀的整數(shù)部分是3.小數(shù)部分是兀-3.

注意：（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù).

（2）某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號(hào)的數(shù)卻并不都是無理數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)

2.實(shí)數(shù)的定義與分類

（1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

（2）分類

（1）按定義分類

（整數(shù)|

實(shí)J有理數(shù)（分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

I無理數(shù)——無限不循環(huán)小數(shù)

（2）按正負(fù)分類

（正有理數(shù)

正實(shí)數(shù)I正無理數(shù)

實(shí)數(shù)《0

（負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)〔負(fù)無理數(shù)

3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

任何一個(gè)有理數(shù)，在數(shù)軸上都有一個(gè)唯一確定的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).但是，數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，有理數(shù)、

無理數(shù)合在一起，才能填滿整個(gè)數(shù)軸，所以實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸

上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來.數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).

4.實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

⑴相反數(shù)：實(shí)數(shù)。的相反數(shù)是-a.具體地，若。與b互為相反數(shù)、則a+6=0;反之，若a+6=0,則。與b互

為相反數(shù)、

（2）倒數(shù)：實(shí)數(shù)。的倒數(shù)為1,若。與b互為倒數(shù)，貝Uab=l；若必=1,則。與b互為倒數(shù).

a

（3）絕對(duì)值

①一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值等于0.

②已知實(shí)數(shù)a/在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B，則有時(shí),網(wǎng)分別表示點(diǎn)Z,點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離；卜-耳表示

點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離.這正是絕對(duì)值的幾何意義.

2

（4）平方根：非負(fù)數(shù)都有平方根.

（5）立方根：任意實(shí)數(shù)都有一個(gè)立方根.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則

當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)

及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則

和運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.

（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序與有理數(shù)的混合運(yùn)算順序基本相同，先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算

按從左到右的順序進(jìn)行，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

（3）實(shí)數(shù)的近似計(jì)算

在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，當(dāng)遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí)，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限

小數(shù)去代替無理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算.

6.實(shí)數(shù)中的非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)

（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

①任何一個(gè)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即時(shí)20.

②任何一個(gè)實(shí)數(shù)。的平方是非負(fù)數(shù)。即

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即JZ（a20）.

（2）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

①在數(shù)軸上原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是非負(fù)數(shù).

②最小的非負(fù)數(shù)是0,沒有最大的非負(fù)數(shù).

③非負(fù)數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

④若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和、積、商（除數(shù)不為0）仍是非負(fù)數(shù).

⑤如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為零.即若a20）20,c?0且a+b+c=0,則必有

a=b=c=0.

a模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)01：無理數(shù)

例1.（23-24七年級(jí)下?陜西安康?期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里.

47120

—I—61,2.2,0,——■,一（一2）,—,—,0.15.

5233

（1）正整數(shù)集合：｛...｝;

（2）分?jǐn)?shù)集合：｛__________________________________

（3）無理數(shù)集合：｛...｝.

3

【變式1-1］在下列實(shí)數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）

八兀c22

A.0B.—C.y/9D.—

27

【變式1-2】下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（）

A.0B.72C.-2D.y

【變式1-3］（2023?寧夏銀川?三模）下列實(shí)數(shù)：①三，②③戈,@0,⑤T.010010001…，其中無理

數(shù)有個(gè).

考點(diǎn)02：實(shí)數(shù)的概念理解

2.判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的填寫“正確”，錯(cuò)的填寫“錯(cuò)誤”，并說明理由.

（1）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).（）

（2）無理數(shù)都是無限小數(shù).（）

（3）無限小數(shù)都是無理數(shù).（）

（4）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).（）

（5）不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù).（）

（6）帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù).（）

（7）有理數(shù)都是有限小數(shù).（

（8）實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).（）

【變式2-1］實(shí)數(shù)3的相反數(shù)是（）

A.3B.-3C.±3D.-

3

【變式2-2］（2023?廣東梅州?二模）已知實(shí)數(shù)。=卜2024|,則實(shí)數(shù)。的倒數(shù)為（）

11

A.2024C.-2024D.--------

20242024

【變式2-31下列說法正確的有.

①實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；②2也是有理數(shù)；③不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；④兀是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任

一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)；⑥-也的相反數(shù)是由.

考點(diǎn)03：實(shí)數(shù)的分類

［^2］例3.關(guān)于實(shí)數(shù)0.5和5，下列判斷中，正確的是（

)

A.都不是分?jǐn)?shù)B.都是分?jǐn)?shù)

C.0.5是分?jǐn)?shù)，且不是分?jǐn)?shù)0.5不是分?jǐn)?shù)，正是分?jǐn)?shù)

D.

33

【變式3-1］（23-24七年級(jí)下?貴州安順?期中）下列說法不正確的是（）

4

A.無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)B.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)

C.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)D.實(shí)數(shù)是由正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)組成

【變式3-2］（23-24七年級(jí)下?廣東東莞?期中）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①無限小數(shù)都是無理數(shù)；②帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)；③數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是實(shí)數(shù)；④有理數(shù)都是有限

小數(shù)；⑤實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式3-3］（23-24七年級(jí)下?上海楊浦?期中）下列說法正確的是（）

A.無理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)

B.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根不比這個(gè)數(shù)大

C.實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)

D.數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)

考點(diǎn)04：實(shí)數(shù)的性質(zhì)

例4.遙-2的相反數(shù)是,-我的絕對(duì)值是

【變式4-1】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）

A.131和|T31|B.后和_嶼C.g和己D.5?和㈠丫

【變式4-2］如果一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于它本身，那么這樣的實(shí)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【變式4-3］（23-24七年級(jí)下?四川廣元?期末）在數(shù)-0.1,0,蛇石和4-幾中，絕對(duì)值等于它本身的共有（

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)05：實(shí)數(shù)大小的比較

5.（23-24七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期末）比較河="+囪與雙="7?的大小，其結(jié)果是M

N.（填“>”，或"="）

【變式5-1】比較大?。簓/5V3（用”或“〈”表示）.

【變式5-2】比較大小：V7+3V87-3.

【變式5-3］（23-24七年級(jí)下?廣東肇慶?期中）比較大?。篤3+13.（填

考點(diǎn)06：無理數(shù)大小的估算

A.3到4之間B.4至IJ5之間C.5到6之間D.6到7之間

【變式6-1］（24-25八年級(jí)上?重慶?期中）估算6-舊的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

5

【變式6-2］（24-25七年級(jí)上?浙江溫州?期末）已知機(jī)=居-百，則實(shí)數(shù)比在（）

A.5和6之間B.4和5之間C.3和4之間D.2和3之間

【變式6-3］（24-25八年級(jí)上?海南?期中）若加=布+2,則估計(jì)的機(jī)值所在的范圍是（）

A.1<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

考點(diǎn)07：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

例7.（23-24七年級(jí)下?云南曲靖?期中）計(jì)算：（-1廣4+冷3-|2-國(guó)+/了.

【變式7-1］（24-25七年級(jí)上?浙江溫州?期中）計(jì)算：

⑴網(wǎng)-岳；

(2)(-3)4-^-x-.

八/49

【變式7-2】計(jì)算：(―1)--V—8+\/\6—|—5|.

［變式7-3】計(jì)算：石_(_2)3+返方_(_1戶24

考點(diǎn)08：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算

8.（23-24七年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖所示的是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器.

（1）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的V值為加時(shí)，輸入的x值為:

（2）若輸入有效的X值后，始終輸不出了值，所有滿足要求的X的值為.

【變式8-1］按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入X的值是64,則輸出V的值是.

-------------是無理數(shù)--------

-------------------->

輸.?取立方根是有理數(shù)j取算術(shù)平方根?是無理數(shù)廠輸出y

是有理數(shù)

【變式8-2］有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為256時(shí)，輸出的y是.

_______________________I是無理數(shù)I______

輸入x—1->開平方一*求絕對(duì)值一*取算術(shù)平方根-------?輸出y

是有理數(shù)

【變式8-3］（23-24七年級(jí)下?四川南充?期中）下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序：

/輸Ax/―->I<ZT|——>|-2|—>|~+1-1-----?/輸出/

當(dāng)輸入X的值是-125時(shí)，輸出的結(jié)果是

考點(diǎn)09：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

6

、產(chǎn)9.我們把對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為《X》，即當(dāng)〃為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若+

則《x》=〃.例如《0.67》=1,《2.49》=2,…下列結(jié)論中:①《2x》=2《x》；②當(dāng)加為非負(fù)整數(shù)時(shí),

《w+2x》="?+《2x》；③滿足《x》=1x的非負(fù)實(shí)數(shù)x只有兩個(gè).其中結(jié)論正確的是.（填序號(hào)）

【變式9-1］（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中）設(shè)。涉都是有理數(shù)，規(guī)定〃*6=底-”，糅b=a-bi,則

（一1忤（8*16）=.

【變式9-2］（24-25七年級(jí)上?江蘇無錫?期中）數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(duì)（。,為放入其中時(shí)，會(huì)

得到一個(gè)新的數(shù)：a3+2b+l.例如把（3,-2）放入其中，就會(huì)得至IJ3,+2x（-2）+1=24.現(xiàn)在將數(shù)對(duì)（-2,3）放

入其中得到數(shù)加，再將數(shù)對(duì)（嘰1）放入其中后，得到的數(shù)是.

【變式9-3］（24-25七年級(jí)上?江蘇無錫?期中）對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)°、b,我們對(duì)運(yùn)算“軟’作出如下定義：

a?b=-ab+1

⑴計(jì)算：（-3）07=；

⑵若忖-4|+(6+2『=0,求(a8b)管(-56)的值.

<?>模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（23-24七年級(jí)下?遼寧鐵嶺?期中）在-3.14,兀，一廬,一心，衿，,-0.1324242424......中,

V4327

無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?山東青島?中考真題）實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最

小的是（）

ad

114

21-2

-O

A.aB.bC.。D.d

3.（23-24七年級(jí)下?山西大同?期中）無理數(shù)而的小數(shù)部分是（)

A.V26-5B.5C.V26-6D.5-vn

4.（23-24七年級(jí)下?湖北恩施?期中）如圖所示，數(shù)軸上表示2,6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,8,點(diǎn)C是的

中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

]A1C1B1

0

A.V5-2B.4-V5C.2-V5D.V5+2

二、填空題

7

5.（23-24七年級(jí)下?湖南永州?期末）比較大?。篤10—（填""或

6.（23-24七年級(jí)下?廣東汕頭?期末）已知。是9+炳的小數(shù)部分，6是9-VH的小數(shù)部分，貝!I”+6的平方

根是—.

7.（23-24七年級(jí)下?重慶開州?期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如圖：

當(dāng)輸入x的值為81時(shí)，輸出y的值是.

三、解答題

8.（23-24七年級(jí)下?重慶九龍坡?期末）計(jì)算下列各題

（1）般—V4_3）2+11-V2

（2）^25—V-27

9.（22-23七年級(jí)下?貴州遵義?期中）數(shù)軸上點(diǎn)/表示近，點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為8,設(shè)點(diǎn)8所表示的

數(shù)為X,

BA

——1--------------1----------------i------->

0”

（1）求X的值；

⑵求［-夜）2+后的值.

10.（23-24七年級(jí)下?福建龍巖?期中）已知1+3。的平方根是±5,2a-6-5的立方根是-2,c是庖的整數(shù)

部分，求a+6+c的算術(shù)平方根.

8

第02講無理數(shù)和實(shí)數(shù)

T模塊導(dǎo)航一T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.無理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）組成的；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)，知道實(shí)數(shù)

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；

3.掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的

混合運(yùn)算（以三步以內(nèi)為主）；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)

算解決簡(jiǎn)單的問題,知道有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)

范圍內(nèi)仍然適用。

紛模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理----------

知識(shí)點(diǎn)1無理數(shù)

1.無理數(shù)

（1）定義無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如V2,V3，兀等.

（2）常見的無理數(shù)

①所有開方開不盡的方根，如J7.

②化簡(jiǎn)后含有兀的數(shù)，如4

9

③無限不循環(huán)小數(shù)，如0.120030210.…

（3）無理數(shù)的小數(shù)部分的表示

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此其小數(shù)部分是不可能全部寫出來的.我們知道，V2的整數(shù)部分是1.因此，V2

的小數(shù)部分就是后-L即一個(gè)無理數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，如兀的整數(shù)部分是3.小數(shù)部分是兀-3.

注意：（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù).

（2）某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號(hào)的數(shù)卻并不都是無理數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)

2.實(shí)數(shù)的定義與分類

（1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

（2）分類

（1）按定義分類

（整數(shù)］

實(shí)有理數(shù)八”有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

好I分刎

I無理數(shù)——無限不循環(huán)小數(shù)

（2）按正負(fù)分類

正有理數(shù)

正實(shí)數(shù)

正無理數(shù)

實(shí)數(shù)＜0

（負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)〔負(fù)無理數(shù)

3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

任何一個(gè)有理數(shù)，在數(shù)軸上都有一個(gè)唯一確定的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).但是，數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，有理數(shù)、

無理數(shù)合在一起，才能填滿整個(gè)數(shù)軸，所以實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸

上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來.數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).

4.實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

（1）相反數(shù)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a.具體地，若a與6互為相反數(shù)、則a+6=0;反之，若a+6=0則a與6互

為相反數(shù)、

（2）倒數(shù)：實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為1,若a與6互為倒數(shù)，則ab=l；若ab=l,則a與6互為倒數(shù).

a

（3）絕對(duì)值

①一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值等于0.

②已知實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Z,B，則有時(shí),網(wǎng)分別表示點(diǎn)/,點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離；卜-4表示

點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離.這正是絕對(duì)值的幾何意義.

10

（4）平方根：非負(fù)數(shù)都有平方根.

（5）立方根：任意實(shí)數(shù)都有一個(gè)立方根.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則

當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)

及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則

和運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.

（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序與有理數(shù)的混合運(yùn)算順序基本相同，先算乘方（開方），再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算

按從左到右的順序進(jìn)行，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

（3）實(shí)數(shù)的近似計(jì)算

在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，當(dāng)遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時(shí)，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限

小數(shù)去代替無理數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算.

6.實(shí)數(shù)中的非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)

（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：

①任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即時(shí)20.

②任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)。即

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即行（a20）.

（2）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

①在數(shù)軸上原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是非負(fù)數(shù).

②最小的非負(fù)數(shù)是0,沒有最大的非負(fù)數(shù).

③非負(fù)數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

④若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和、積、商（除數(shù)不為0）仍是非負(fù)數(shù).

⑤如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為零唧若。20420,。20且。+5+。=0,則必有

a=b=c=0.

◎模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)01：無理數(shù)

［例1.（23-24七年級(jí)下?陜西安康?期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里.

4兀20

一|一6|,2.2,0,--,一（一2）,--,—,0.15.

5233

（1）正整數(shù)集合：｛__________________________________

（2）分?jǐn)?shù)集合：｛...｝；

⑶無理數(shù)集合：｛__________________________________

11

【答案】（1廠上2）

420

（C2）22,>0.15

⑶4

【解析】（1）解：一卜6|=-6,-（-2）=2,-1=|

則正整數(shù)集合：「上2）……｝,

故答案為：-卜2）；

（2）解：分?jǐn)?shù)集合：｛2.2,-4-,三20,015……上

533

420

故答案為：｛2.2,--,—,0.15;

JT

（3）解：無理數(shù)集合：｛~……｝,

故答案為：-g.

2

【變式1-1］在下列實(shí)數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）

A.0B.-C.也D.—

27

【答案】B

【解析】解：0是整數(shù)，學(xué)是分?jǐn)?shù)，囪=3是整數(shù)，都屬于有理數(shù)；

三是無理數(shù)；

2

故選：B.

【變式1-2】下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的為（）

A.0B.41C.-2D.1

【答案】B

【解析】解：A、0是有理數(shù)，故不符合題意；

B、逝是無理數(shù)，故符合題意；

C、-2是有理數(shù)，故不符合題意；

D、?是有理數(shù)，故不符合題意；

故選：B.

77TT

【變式1-3］（2023?寧夏銀川?三模）下列實(shí)數(shù)：①？②：，③&，@0,⑤-1.010010001…，其中無理

12

數(shù)有個(gè).

【答案】3

【解析】解：①_與22是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù);

②;是無理數(shù)；

③布開方開不盡，是無理數(shù);

④0是整數(shù)，是有理數(shù)；

⑤-1.010010001…是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù);

綜上，無理數(shù)有3個(gè)，

故答案為：3.

考點(diǎn)02：實(shí)數(shù)的概念理解

2.判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的填寫“正確”，錯(cuò)的填寫“錯(cuò)誤”，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).()

(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).(

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

【答案】(1)錯(cuò)誤，理由見解析

(2)正確，理由見解析

(3)錯(cuò)誤，理由見解析

(4)錯(cuò)誤，理由見解析

(5)錯(cuò)誤，理由見解析

(6)錯(cuò)誤，理由見解析

(7)錯(cuò)誤，理由見解析

(8)正確，理由見解析

【解析】(1)(錯(cuò)誤)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有萬，1.020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù)；故答

案為：錯(cuò)誤；

(2)(正確)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)；故答案為：正確；

(3)(錯(cuò)誤)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)；故

答案為：錯(cuò)誤;

13

（4）（錯(cuò)誤）0是有理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤；

（5）（錯(cuò)誤）如萬，雖然不帶根號(hào)，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤；

（6）（錯(cuò)誤）如如，雖然帶根號(hào)，但a=9,這是有理數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤；

（7）（錯(cuò)誤）有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù)；故答案為：錯(cuò)誤；

（8）（正確）有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)可以用有

限小數(shù)和無限小數(shù)表示；故答案為：正確.

【變式2-1】實(shí)數(shù)3的相反數(shù)是（）

A.3B.-3C.±3D.-

3

【答案】B

【解析】解：實(shí)數(shù)3的相反數(shù)是-3.故選：B.

【變式2-2］（2023?廣東梅州?二模）已知實(shí)數(shù)。=卜2024|,則實(shí)數(shù)。的倒數(shù)為（）

11

A.2024B.------C.-2024D.---------

20242024

【答案】B

【解析】解：。=卜2024|=2024,2024的倒數(shù)為」;7,故選：B.

112024

【變式2-3］下列說法正確的有.

①實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；②2&是有理數(shù)；③不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；④兀是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任

一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)；⑥的相反數(shù)是6.

【答案】①⑥

【解析】解：實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)，描述正確，故①符合題意;

2也是無理數(shù)，故②不符合題意；

不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)，描述錯(cuò)誤，如兀，故③不符合題意；

兀是無理數(shù)；故④不符合題意；

數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，故⑤不符合題意；

-百的相反數(shù)是石，故⑥符合題意；

故答案為：①⑥.

考點(diǎn)03：實(shí)數(shù)的分類

例3.關(guān)于實(shí)數(shù)0.5和。，下列判斷中，正確的是

A.都不是分?jǐn)?shù)B.都是分?jǐn)?shù)

C.0.5是分?jǐn)?shù)，蟲不是分?jǐn)?shù)D.0.5不是分?jǐn)?shù)，也是分?jǐn)?shù)

33

【答案】C

14

【解析】0.5是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，也是無理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，故選：C.

3

【變式3-1］（23-24七年級(jí)下?貴州安順?期中）下列說法不正確的是（）

A.無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)B.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)

C.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)D.實(shí)數(shù)是由正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)組成

【答案】D

【解析】解：A.無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，說法正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，說法正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，說法正確，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.實(shí)數(shù)是由正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)組成，原說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【變式3-2］（23-24七年級(jí)下?廣東東莞?期中）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①無限小數(shù)都是無理數(shù)；②帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)；③數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是實(shí)數(shù)；④有理數(shù)都是有限

小數(shù)；⑤實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】解：①無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是實(shí)數(shù)，正確；

④有理數(shù)都是有限小數(shù)，錯(cuò)誤；

⑤實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)，正確.

故選：B.

【變式3-3］（23-24七年級(jí)下?上海楊浦?期中）下列說法正確的是（）

A.無理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)

B.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根不比這個(gè)數(shù)大

C.實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)

D.數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)

【答案】C

【解析】解：A.無理數(shù)與無理數(shù)的和不一定還是無理數(shù)，有可能是有理數(shù)，V2+（-V2）=0,0是有理數(shù),

故此選項(xiàng)不符合題意；

B.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根有可能比這個(gè)數(shù)大，例如;的算術(shù)平方根是。，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，此說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；

D.數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，故此選項(xiàng)不符合題意.

15

故選：c.

考點(diǎn)04：實(shí)數(shù)的性質(zhì)

例4.石-2的相反數(shù)是,-我的絕對(duì)值是

【答案】2-V52

【解析】解：石-2的相反數(shù)是-（若-2）=2--我的絕對(duì)值是卜五卜卜2|=2

故答案為：2-石；2.

【變式4-1】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）

A.131和卜131B.V7和—J7C.；和D.5?和（—5）2

【答案】B

【解析】解：A、131和|-131|=131不互為相反數(shù)，不符合題意；

B、4和-右互為相反數(shù)，符合題意；

C、:和、B=J不互為相反數(shù)，不符合題意；

3\93

D、52=25和（一5）2=25不互為相反數(shù)，不符合題意；

故選：B.

【變式4-2］如果一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于它本身，那么這樣的實(shí)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【答案】B

【解析】解：：（）2=0，［2=］,

...平方等于它本身，那么這樣的實(shí)數(shù)有。和1,共計(jì)2個(gè).

故選：B.

【變式4-3］（23-24七年級(jí)下?四川廣元?期末）在數(shù)-0.1,0,次區(qū)和4-兀中，絕對(duì)值等于它本身的共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】解：|-0.1|=0.1,絕對(duì)值不等于它本身

|0|=0,絕對(duì)值等于它本身

值？=-4,=絕對(duì)值不等于它本身

|4-制=4-兀，絕對(duì)值等于它本身

絕對(duì)值等于它本身的共有2個(gè);

故選：B.

考點(diǎn)05：實(shí)數(shù)大小的比較

16

、1例5.（23-24七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期末）比較/=?+囪與N=的大小，其結(jié)果是"

N.（填“＞”，或“=”）

【答案】＞

【解析】解：Af=V4+V9=2+3=5，N=A＜區(qū)=5,

：.M＞N,

故答案為：＞.

【變式5-11比較大?。合耉3（用或“〈”表示）.

【答案】＞

【解析】解：=5,（6『=3,

5＞3,

二石＞5

故答案為：＞.

【變式5-2】比較大小：77+3V87-3.

【答案】＜

【解析】解：：7＜9,

近＜3,

二行+3＜6;

,/87>81,

二炳>9,

而-3>6,

二廂-3>6>近+3,

即近+3〈廂-3,

故答案為：＜.

【變式5-3］（23-24七年級(jí)下?廣東肇慶?期中）比較大?。篤3+13.（填

【答案】＜

【解析】解：：3＜4,

二右＜2,

V3+1＜3.

故答案為：＜.

考點(diǎn)06：無理數(shù)大小的估算

例6.估計(jì)m+2的值在（）

17

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

【答案】C

【解析】解：：9<13<16,

,3〈而<4,

A5<V13+2<6.

故選：C.

【變式6-1］（24-25八年級(jí)上?重慶?期中）估算6-的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】A

【解析】解：：16<17<25,

4<V17<5,

??—5<-\/3~7<—4，

/.1<6-V17<2,

故選：A.

【變式6-2］（24-25七年級(jí)上?浙江溫州?期末）已知根=后-班，則實(shí)數(shù)加在（）

A.5和6之間B.4和5之間C.3和4之間D.2和3之間

【答案】C

【解析】解：機(jī)=后-癢36-6=26=在，

V9<12<16,

*,?3<V12<4.

故選：C.

【變式6-3］（24-25八年級(jí)上?海南?期中）若〃?=店+2,則估計(jì)的加值所在的范圍是（）

A.1<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

【答案】D

【解析】解：〈后,

A2<V5<3,

4<V5+2<5,即4<〃？<5.

故選D.

考點(diǎn)07：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

（23-24七年級(jí)下?云南曲靖?期中）計(jì)算:（T廣,+年—閻+^.

【答案】V3-1

18

【解析】(-9的+百年-閩+庖7

=l+(-3)-2+V3+3

=-\/3—1

【變式7-1](24-25七年級(jí)上?浙江溫州?期中)計(jì)算:

(1)^8-725;

(2)(-3)4^-X-.

八/49

【答案】(1)-3⑵16

【解析】(1)解：V8-V25

=2-5

=-3.

,494

(2)解：(-3)4--x-

v749

44

=81x-x-

99

=16.

【變式7-2】計(jì)算：(一1)2-舛+伍-|-5|.

【答案】2

【解析】解：(-1)21-5|

=1-(-2)+4-5

=1+2+4-5

=2?

【變式7-3】計(jì)算：A/9-(-2)3+V=27-(-1)2°24

【答案】7

【解析】解：V9-(-2)3+V-27-(-1)2024

=3-(-8)+(-3)-1

=8-1

=7.

考點(diǎn)08：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算

8.(23-24七年級(jí)上?浙江杭州?期中)如圖所示的是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器.

19

（1）當(dāng)輸入X值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的V值為■時(shí)，輸入的X值為,

（2）若輸入有效的x值后，始終輸不出了值，所有滿足要求的x的值為.

【答案】1000或1

【解析】解：（1）當(dāng)>=加時(shí)，（而）2=10,1（）2=100，則x=100；

故答案為：100；

（2）當(dāng)x=0,1時(shí)，始終輸不出》值，

I的算術(shù)平方根是0,1,一定是有理數(shù)，

所有滿足要求的x的值為0或1.

故答案為：0或1.

【變式8-1］按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入x的值是64,則輸出V的值是.

是有理數(shù)

【答案】次

【解析】解：由題可得：

64的立方根為4,4的算術(shù)平方根為2,2的立方根是蚯；

故答案為啦.

【變式8-2］有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為256時(shí)，輸出的y是.

【答案】V2

【解析】解：：土后^=±16,田6|=16,V16=4,4為有理數(shù)，

.??把4輸入，4的平方根是土"=±2，|±2|=2,2的算術(shù)平方根為&,g是無理數(shù)，

輸出的y是及.

故答案為：

【變式8-3］（23-24七年級(jí)下?四川南充?期中）下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序：

/輸心/>|y/x|—>|-2|—>|+1|-?/輸出/

當(dāng)輸入x的值是-125時(shí)，輸出的結(jié)果是一

20

3

【答案】-4

2

____0

【解析】解：由題意得，Xi而+2+1=-5+2+1=-巳，

2

3

故答案為：-耳.

考點(diǎn)09：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

例9.我們把對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)X“四舍五入”到個(gè)位的值記為《X》，即當(dāng)〃為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若+

則《x》=〃.例如《0.67》=1,《2.49》=2,…下列結(jié)論中：①《2x》=2《x》；②當(dāng)機(jī)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，

《切+2x》=加+《2x》；③滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)%只有兩個(gè).其中結(jié)論正確的是.（填序號(hào)）

【答案】②③

【解析】解：①當(dāng)％=0.67時(shí)，《2x》=《1.34》=l,

而2《x》=2xl=2,

左邊。右邊，故①不成立；

②注意到機(jī),％都是非負(fù)數(shù)，令左邊=《加+2x》=〃，

貝I」〃一;W冽+2x<〃+；,（〃2加），

（〃一冽）一；W2x<（〃一、1

冽）+/,

《2%》=n—m，

移項(xiàng)得加+《2x》=〃=左邊,

即左邊=左邊，②式成立.

（§）^n--<x<n+—,貝lj《x》=n

22

33

又因?yàn)椤秞》=—x,故〃=-x,

22

3

所以將〃代入式中，

2

辦31/31

一X----?X<—XH----,

2222

解得：-1<X<1,

3

又由于G》=—x

2

3

知《%》=2%為整數(shù)，

2

3

得/x=0或1（非負(fù)整數(shù)）,

21

3

所以《x》=；x的非負(fù)實(shí)數(shù)x只有兩個(gè).

故③式成立.

故答案為：②③.

【變式9-1](24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中)設(shè)。,6都是有理數(shù)，規(guī)定“*8=姬-/，a^b=a2-b2,則

(-1忤(8*16)=.

【答案】-3

【解析】由題意可知，8*16=^8-716=2-4=-2,

㈠)※(-2)=(_仔_(_2)2=]_4=-3,

故答案為：-3.

【變式9-2](24-25七年級(jí)上?江蘇無錫?期中)數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(duì)(。㈤放入其中時(shí)，會(huì)

得到一個(gè)新的數(shù)：力+2H1.例如把(3,-2)放入其中,就會(huì)得至1133+2x(-2)+1=24.現(xiàn)在將數(shù)對(duì)(-2,3)放

入其中得到數(shù)加，再將數(shù)對(duì)(見1)放入其中后，得到的數(shù)是.

【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，得“1=(一2)3+2x3+1=-!,

故(-17+2x1+1=2.

故答案為：2.

【變式9-3](24-25七年級(jí)上?江蘇無錫?期中)對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)°、b,我們對(duì)運(yùn)算“◎作出如下定義：

a?b=-ab+1

⑴計(jì)算：(-3)07=；

⑵若|。-4|+僅+2)2=0,求(0區(qū)6)區(qū)(-56)的值.

【答案】(1)22(2)-89

【解析】(1)解：,：a?b=-ab+],

二(-3)區(qū)7=-(-3)x7+l=22,

故答案為：22；

(2)解：V|a-4|+(Z)+2)2=0,

:?。=4,b=—2,

：.(a?b)0(-5b)

=[40(-2)]010,

=9010,

=-9x10+1,

22

=-89.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

一、單選題

1.（23-24七年級(jí)下?遼寧鐵嶺?期中）在一3.14,無，-也，駒，,-0.1324242424……中