2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)突破：平面向量（含解析）

專題四平面向量

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典型考點(diǎn)重點(diǎn)突破

?典例分析I

考查方式

平面向量在高考中更注重基礎(chǔ)，時(shí)有創(chuàng)新.平面向量以選擇題、填空題為主，主要考查平

面向量的基本概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積，其中平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量共線、向量

垂直、向量的模及向量的夾角問(wèn)題是重點(diǎn)和熱點(diǎn)，平面向量大多單獨(dú)考查，有時(shí)也出現(xiàn)平面向

量與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，或以平面向量為載體的綜合探究題.

高考真題

1.[2022年新高考H卷]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若〈a,c〉=〈瓦c〉，則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.[2024年新課標(biāo)H卷]已知向量a,8滿足|a|=l,|a+2分|=2,且(萬(wàn)-2a)，5,則|切=()

A.-B.—C.—D.1

222

3.[2022年新高考I卷]在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，2ZM.記而=m，E=〃，則無(wú)=

()

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.[2024年新課標(biāo)I卷]已知向量a=(0,1),5=(2,x),若萬(wàn)，(〃—4a),則x=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.[2023年新課標(biāo)I卷]已知向量a=(1,1),8=(1,—1).若(a+幾㈤，(a+〃①，則()

A.X+〃=lB.2+//=—1C.X//=1D.2//=—1

6.[2023年新課標(biāo)H卷]已知向量a,〃滿足|a-。|=/，|a+6|=|2a-萬(wàn)|,則|〃|=

參考答案

1.答案：C

解析：c=(3+f,4),cos〈a,c〉=cos〈),c〉，即9+3.+16=亙2,解得/"=5,故選C.

51cl|c|

2.答案：B

解析：由S—2?)_L，,得(b-2a)b=b2-2ab=0,所以1=2?小.將|a+2)|=2的兩邊同時(shí)平

方，得/+4?小+4)2=4,即1+2/+4"=1+6防|2=4,解得|〃|2=g,所以|。|=乎，故選

B.

3.答案：B

解析：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)。在邊A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故選B.

解析：解法一：因?yàn)椋篲LS-4a),所以尻S—4a)=0,即加=4a?瓦因?yàn)閍=(0,l),b=(2,x),

所以〃=4+%2,ab=x,得4+/=4X,所以(x-21=0,解得％=2,故選D.

解法二：因?yàn)椤?(0,1),5=(2,x),所以8—4。=(2,%)—4(0,1)=(2,%)—(0,4)=(2,%—4).因?yàn)?/p>

bl(b-4a),所以—4。)=0,所以2x2+x(x—4)=0,所以(x—2了=0,解得％=2,故選

D.

5.答案：D

解析：因?yàn)閍=(1,1)>b=(1,-1)；所以a+Ab=(1+2,1-A),a+/nb=(1+//,1—//),因?yàn)?/p>

(a+Ab)±(a+jub),所以++=0,所以(l+/l)(l+〃)+(l—2)(1—4)=0,整理得

初=-1.故選D.

6.答案：V3

解析：由|a—切=百，得2a1+》2=3,即2a小="+"—3①.由卜+同=|2a—引，得

a2+2ab+b2=4a2-4ab+b2,整理得，3a2-6ab=0,結(jié)合①，得3a?—3(片+/—3)=0,

整理得，白=3,所以|。|=百.

1.在矩形ABCD中，腳=也，BC=1,則向量通+而+/的長(zhǎng)度等于()

A.4B.2月C.3D.2

2.已知向量a=(m,3),8=(1,m).若a與方反向共線，則|a-島|的值為()

A.OB.48C.44D.3V6

3.在△ABC中，點(diǎn)P在上，且詼=2定，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若兩=(4,3)，迎=(1,5)，

則成等于()

A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)

4.已知向量a,4滿足|a|=l,|a+2川=2,且(A—2a)，5,則|川=()

cdi

A4B.辛4

5.已知點(diǎn)4(2,3),5(5,4),C(7,10),若衣=分+2才6(/1wR),點(diǎn)當(dāng)尸在第一、三象限的角

平分線上時(shí)，2的值為()

A.lB.2C.-D.-

32

i+2b\=@,|a—5|=乎，則〈a,力=()

6.已知向量a,b滿足|a|=1,\a

AtB.史C-D.0

2433

7.已知A,3,C是平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn).若荏+恁=2+,4G(0,+oo),則△ABC

一定是()

A.直角(非等腰)三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.銳角(非等腰)三角形

8.若｛a,⑶是一組基底，向量＞=xa+y/(x,yeR),則稱(x,y)為向量〉在基底｛a/｝下的坐

標(biāo).現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1)，q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在另一組基底m,

〃=(1,2)下的坐標(biāo)為()

A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)

9.在△AB。中，M是BC的中點(diǎn)，A〃=1，點(diǎn)P在AM上且滿足Q=2而，則可?(而+定)

等于()

A.-lB.-lC.-D.-

9339

10.我國(guó)東漢末年數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后

人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，

如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若配=a,BA=b,BE=3EF,則麗=(

B

A.旦+4B.旦+與C.-a+-bD.-a+-b

252525255555

11.在△ABC中，ZBAC,ZABC,NACB所對(duì)的邊分別為a,4°,若8=c=4,ZBAC=120°,

且。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則(萬(wàn)5+麗)?(萬(wàn)5+配)的取值范圍是()

A.[-8,10)B.[-16,40)C.[-8,40)D.[-16,48)

12.已知△ABC中，AB=AC=2百，BQ=2QA,IAB+2BC|=3(2eR),

min

__,__,__i9__?

AP=2//AB+（1-//）AC,-<//<-,貝Ui①|(zhì)的最小值為（）

2^21J291

A.3B.5C.——D.-

33

13.（多選）設(shè)a,力是兩個(gè)非零向量.若方，（a-㈤，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ab=\b\2B.\aHa-2b\

C.a在8上的投影向量為〃D.cos〈a,力=—

㈤

14.(多選)已知AB=(2,1),AC=(-1,1),AD=(1,//),則()

A.CB+DC=(2-l,l-zz)

-?.1

B.^ABIIAD,則2=2,u=-

2

C.若點(diǎn)A是3。的中點(diǎn)，則3,C兩點(diǎn)重合

D.若點(diǎn)3,C,。共線，則〃=1

15.（多選）如圖，在△ABC中，BD=-BC,AE=-AC,AD與BE交于點(diǎn)R則下列說(shuō)法

32

正確的是（）

A.AD=-AB+-ACB.\BF\=^\BE\

33

rV-V—1-3D.AF+2BF+CF=0

16.已知m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),若加//〃，則實(shí)數(shù)2的值為.

17.設(shè)點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部，D,E分別為邊AC,3c的中點(diǎn)，且|赤+2西|=1,則

\pA+2OB+3OC|=.

18.如圖，A,B,C,。為平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，BC=AB+AD，E為線段3c的中點(diǎn)，若

DE=XDA+piDC則2+〃二

19.已知平面單位向量C],e2,滿足Re1-e21K夜.設(shè)。=?i+02，&=3^1+e2,向量a,6的夾角

為6,則cos?。的最小值是.

20.如圖，在矩形ABCD中，M,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn)，^MN=\AM+\BN,4,

%eR,則4+4的值為.

21.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),B(Z,1)(?>0),\AB\=45.

(1)求f的值；

(2)若點(diǎn)P,Q滿足而=(3,2),OQ^xOA+[^-^OP,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|麗|的最小值.

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，AP±BD,垂足為P.

(1)若Q?*=8,求AP的長(zhǎng)；

(2)設(shè)|頷|=6,|*|=8,ZSAC=1,AP=xAB+yAC,求y—x的值.

23.已知向量(2/M+n)a+(m+〃)b以｛et,e2j為基底的分解式為2e1+e2,其中a=e1+e2,

b=e1-e2.

(1)求根，n的值；

(2)若c=(2根+〃)a+(根+〃)辦，且?！?。+助)，求實(shí)數(shù)攵的值.

24.如圖，在△ABC中，AD是3c邊上的中線.

(1)取3。的中點(diǎn)“，試用通和元表示麗.

(2)若G是AD上一點(diǎn)，且恁=2超，直線ER過(guò)點(diǎn)G,交A3于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)R若荏=彳麗,

AF=/nAC(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

25.如圖，在矩形ABCD中，E是3C的中點(diǎn)，點(diǎn)R在邊CD上.

(1)若AB=5C=2,R是邊CD上靠近C的三等分點(diǎn)，求題?函的值;

⑵若AB=區(qū)BC=2,當(dāng)理?喬=0時(shí)，求CT的長(zhǎng).

答案以及解析

1.答案：A

解析：在矩形ABC。中，由網(wǎng)=百，的=1可得時(shí)|=2,又因?yàn)檐?礪=工，故

AB+AD+AC=2AC,故國(guó)+通+罔=4,故選：A.

2.答案：C

解析：由題意得M=3,解得根=+y/3，又a■與b反向共線,故加=-A/3,此時(shí)a-y/3b=(-2^/3,6),

故|a-其1=46.故選C.

3.答案：B

解析：點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，.?.迎=1■(兩+定)，.?.定=29—麗，?.?麗=(4,3)，麗=(1,5)，

/.PC=(-2,7)-BP=2PC>.-.BC=3PC=(-6,21).

4.答案：B

解析：由S—2a)_L，,^(b-2a)b=b2-2ab=0,所以1=2a6.將|a+2川=2的兩邊同時(shí)平

方，得/+4?小+4/=4,即1+2/+4笊=1+6|加2=4,解得=所以|切=乎，故選

B.

5.答案：D

解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AP=AB+2AC=[(5,4)-(2,3)]+2[(7,10)-(2,3)]=(3+52,1+7/1),

/-2=3+5X=x=5+54又點(diǎn)。在第一、三象限的角平分線上，%即5+5丸=4+72，

y-3=1+74[y=4+7/l,

解得;l=L故選：D.

2

6.答案：D

解析：由題可得|。+2〃|2=4+4。必+4/=1+4。1+4|〃|2=7①，

\a-b\^=a2-2ab+b2=l-2ab+\b\1=—@,①②兩式聯(lián)立得a?5=—二，\b\=-,

442

d.I)1271、

...cos〈a,b)=p-7|—?=——，而〈a,辦〉￡[0,兀]，(a,b)=一.故選D.

m\b\23

7.答案：B

解析：^AP=AB+AC,則根據(jù)平行四邊形法則知，點(diǎn)尸在邊上的中線所在的直線上.設(shè)

ABAC

AE=，AF=,它們都是單位向量.由平行四邊形法則，知點(diǎn)也在的平分線上,

帝PNA

所以△ABC一定是等腰三角形，不能確定是等邊三角形.故選B.

8.答案：D

解析：因?yàn)閍在基底｛p,g｝下的坐標(biāo)為(—2,2),所以a=—2p+2q=—2(1,—1)+2(2/)=(2,4).

__TL*|-----O-y---

^-a-xm+yn=(-x+y,x+2y),所以<‘解得<'所以a在基底｛S〃｝下的坐標(biāo)為

x+2y=4,[y=2,

(0,2).

9.答案：A

解析：因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以方+定=2麗，

又因?yàn)辄c(diǎn)P在4W上且滿足而=2可7，AM=1＞所以閘=g，|百囪=；，

所以可?（通+定）=2麗.麗=2|麗，麗kos7i=_2xgxg=—

故選：A.

10.答案:B

解析：因?yàn)椤摆w爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，且

BC=a,BA=b,BE=3EF,所以麗=加+甌=豆弓+―麗=屆+―（麗+麗）

44

^BC+-\--BF+BA]^BC--BF+-BA,解得麗=竺元+竺函，所以而=史.+竺瓦

4（4）16425252525

故選B.

n.答案：c

解析：以3C所在直線為x軸，3c的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

4

A

B0DC%

因?yàn)?7=C=4,NB4C=120°,

所以A(0,2),8(—2百,0),C(2A/3,0),設(shè)。(x,0),xe(—26,2石)，

則次=(—x,2),DB=(-2^-x,0),加=(26—x,0),

所以(/+加)?(市+DC)=(―2百-2x,2)?(20-2x,2)=4x2-8,

因?yàn)閤e(-20,20),所以4f_8e[-8,40),所以(方+麗)?(方+0)的取值范圍是[-8,40).

故選C.

12.答案：C

解析：設(shè)點(diǎn)。為3c上的一點(diǎn)，^BO=ABC,U\iAB+ABC=AB+W=Ad,當(dāng)時(shí)，

I近I取最小值3,此時(shí)根據(jù)勾股定理可得50=OC=6，由此可知△ABC為等邊三角形，當(dāng)

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)時(shí)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則有A(0,3),B(-AO),C(V3,0),所以通=(-6,-3),AC=(V3,-3),所以

2〃通=(-2?,-6〃)，(1-〃近=(?-)),所以

AP=2juAB+(1-/7)AC=(^-3島,-3〃-3),故P(#)-3島,-3〃).

因?yàn)轭}=29，所以Q-—,2,則而—迪,3〃+2,

、3J13?

IPQ\=卜?-畏+(3〃+2)2:(6①：］.

因?yàn)?<〃<1，所以當(dāng)〃=:時(shí)?可?取最小值，?而扁=安.故選c

13.答案：ABC

解析:因?yàn)椋核浴?("+》)=?。一"=0,所以e〃=Z>2=防|2,所以選項(xiàng)A正確；

因?yàn)槿纭?|〃『，所以/=1-4°?萬(wàn)+4",所以|”|=卜-2可，所以選項(xiàng)B正確；a在8上的投

影向量為回空也2力=R〃=人所以選項(xiàng)c正確；由向量數(shù)量積的定義可知，

所以〈〉=牌，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選

a-b=\a\\b\cos(a,b)=|b|2cosa,Z?DABC.

14.答案：ACD

解析：因?yàn)橹q=(九1),AC=(-1,1),15=(1,//),所以

CB+DC=DB=AB-AD=(2,1)-(1,//)=(2-1,1-//),A正確；

因?yàn)槎ǘ?，所以切―1=0,所以〃/=1,取2=3,貝1]〃=；,

B不正確；

因?yàn)辄c(diǎn)A是加的中點(diǎn)，所以通+亞=(41)+(1,〃)=(0,0),即2=—1,〃=—1,從而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以3,C兩點(diǎn)重合，C正確；

因?yàn)辄c(diǎn)3,C,。共線，所以存在實(shí)數(shù)/,使得

AD=(1,/z)=tAB+(1—?)AC=Z(A,1)+(1—?)(—1,1)=(^tA+Z—1,1),所以〃=1,D正確.

綜上所述，正確選項(xiàng)為ACD.

15.答案:BCD

__k,1____________k1__,__k2__.i__,

解析：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,故A錯(cuò)誤；

3333

因?yàn)?,F,E三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)2WAF=2AB+(1-2)AE=2AB+-^AC,

因?yàn)锳,E。三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)〃WAF=Z/AD=—AB+-AC,從而有＜

33fl1-A

.丁丁"

9，___,1___1_______k___?1___k

解得12即^—通+—亞，所以R為3E的中點(diǎn)，從而有|而|=—|3E|,故B正確;

3222

c_e_c=J-q_J_V=_c_J.c=1q

Q^BFD-Q^ABD°AABF_2△ABC2^ABE~AABC°AABC~^ABC

c=J_q_J_vAv__c

94NFE~2AASE_22AASC_4△ABC

所以SABFO：￡AFE=1：3，故C正確；取A3的中點(diǎn)G,3c的中點(diǎn)H,連接GH,如圖，則G,

F,H三點(diǎn)共線,

=-[(FA+FB)+(FB+FC)]=-(2FG+2FH)=-(EA+EC)=O,故D正確.故選BCD.

16.答案：-1或-1

3

解析：因?yàn)閙=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),mlIn.

所以22+l+〃3；l+2)=0,即3%+42+1=0,解得；[=_1或X=.故實(shí)數(shù)九的值為/或—1.

33

17.答案：2

解析：如圖所示，易知

\OA+2OB+3OC\=^OA+OC+2(OB+OC)\=^2OD+4O^=2\pD+2O^=2.

A

C

BE

18.答案：-/1.25

4

解析：因?yàn)樽荏+而，§PAC-AB=AB+AD＞所以2分=反-

又E為線段3C的中點(diǎn)，所以

DE^-DC+-DB^-DC+~(DA+AB]^-DC+-DA+-(-DC]=~DC+-DA,所以/,

2222、'222(2J422

//=—?則2+〃=1+2=3

4244

故答案為：-

4

19.答案：—

29

b-a

a=6+電，

解析:由題可知＜~T,

b=3?]+e23a-b

2

b-a

2

傳-a|=2,2a5+/=4,①

3a-b

從而＜=<13?—61=2,u><9a2-6a?Z>+r=4,②

2—

J3b—5a|<27225a2-30a-Z>+9Z?2<8,(1)

<A/2

a-b=2a2,@

由①②可得＜

r=4+3。2,⑤

代入③可得

2

所以COS282上,故cos?。的最小值為二.

2929

20.答案：j

解析：因?yàn)镸,N分別為線段BC,的中點(diǎn),

所以加=工加=工（M—荏）=!擊—工通，

22、'22

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

1￡

所以胸=4畫？+4麗=4+—+4

22

=r4+h4+

,1,1

4---42=---

所以2_2,解得.一1

—4+尢=—

〔2(*2

132

所以4+丸2————

所以4+4的值為

故答案為：

21.答案：(1)t=2

G5而

\Z7-----

26

解析：(1)由題意得通=9—1),則|甌="+(_1)2=也,

解得，=±2.因?yàn)?>0,所以，=2.

(2)由題意得而;而—礪，則赤=赤+礪=(3,2)+(2,1)=(5,3),

所以詼:疝十OP=(0,2x)+f|-5x,|-3xg—5x[—x

2

|=26f—28x+-=261x

則I而|2=《—5xI+j-x1+ti-ii,

所以I詼住坐1,

26

即。。的最小值為呼.

22.答案:(1)2

⑵-

7

解析：(1)?.?在平行四邊形ABCD中，AP±BD,垂足為P,

:.APAC=AP-2Ad=2AP(<AP+PO^=2APAP+0=8,

.-.(AP)2=|AP|2=4,

解得|Q|=2,故AP長(zhǎng)為2.

(2)-.■AP=xAB+yAC=xAB+2yAd,且3,P,。三點(diǎn)共線，

x+2y=1①，

又?.?網(wǎng)=6,時(shí),8,ZBAC=|,

則荏.而=—|zdcosZJBAC=12,

由AP,BD可知Q.麗=卜通+—豆)=0,

22

展開2y而-xAB+(x-2y)AB-AO=0,化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=3%②，

聯(lián)立①②解得X=Ly,故y-%=2.

777

m=1,

23.答案：(1)1

n=——

[2

⑵k=-

3

解析：(1)由題得(2r+〃)。+伽1+〃?=(2加+〃)3+4)+(加+〃)("一電)

=(3m+2〃)C]+me2=2e1+e2,

m=

nlf3m+2n=2,_ZB\^

則I斛得(1

II2

3i

(2)由(1)=(2m+n)a+(m+n)b=—a+—b.

22

由c11(a+kb),設(shè)。=2(a+GR),

31