2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)：概率統(tǒng)計(jì)（30題）（解析版）

大題04概率統(tǒng)計(jì)（精選30題）

1.（2024?浙江紹興?二模）盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2的小球各2個.

（1）若有放回地隨機(jī)取出2個小球，求取出的2個小球上的數(shù)字不同的概率；

⑵若不放回地依次隨機(jī)取出4個小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對數(shù)為X（如1122,則X=2）,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

【答案】⑴

（2）分布列見解析，1.

【分析】（1）根據(jù)組合知識求得取球的方法數(shù)，然后由概率公式計(jì)算概率；

（2）確定X的所有可能取值為0,1,2,然后分別計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望.

【詳解】（1）設(shè)事件A="取出的2個小球上的數(shù)字不同”，

則尸⑷=cC+c；c；

（2）X的所有可能取值為0,1,2.

①當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字都不同時，如1212,有2xA；xA；種，

則P（X=0）=2x『=；

②當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字只有1對相同時，如1221,有2xA；xA；種，

則P（X=1）=藍(lán)遇=g.

A4,

③當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字有2對相同時，如1122,有2xA；xA；種，

則P（X=2）=2X\；A；J.

所以X的分布列為

X012

11J.

P

333

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0xg+lx；+2x；=l.

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）甲、乙兩人進(jìn)行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負(fù)

方得o分；若平局則各得1分.已知甲在每局中獲勝、平局、負(fù)的概率均為;，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴若比賽共進(jìn)行了三局，求甲共得3分的概率；

（2）規(guī)定比賽最多進(jìn)行五局，若一方比另一方多得4分，則停止比賽，求比賽局?jǐn)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

、7

【答案】⑴句；

317

（2）分布列見解析，—.

【分析】（1）寫出所有可能情形，利用互斥事件的概率和公式即可求出；

（2）算出X為不同值時對應(yīng)的概率并填寫分布列，之后求出數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】（1）設(shè)“三局比賽后，甲得3分”為事件A,

甲得3分包含以下情形：三局均為平局，三局中甲一勝一平一負(fù)，

所以「⑷

7

故三局比賽甲得3分的概率為下.

（2）依題意知X的可能取值為2,3,4,5,

P（X=2）=2xI

P（X=3）=2xC；

P（X=5）=1—尸（X=2）-尸（X=3）一尸（乂=4）=1一|一：一《=1，

故其分布列為：

X2345

241041

P

9278181

741041317

期望E（X）=2x4+3x上+4x"+5x2=W

v7927818181

3.（2024?江蘇南通?二模）某班組建了一支8人的籃球隊(duì)，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老

師擔(dān)任教練.

⑴從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊(duì)長和副隊(duì)長，甲不擔(dān)任隊(duì)長，共有多少種選法？

⑵某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進(jìn)行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每

位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為;.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前三次傳

球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？

【答案】⑴9種

【分析】（1）法一，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理集合組合數(shù)的計(jì)算，即可求得答案；法二，利用間接法，即用

不考慮隊(duì)長人選對甲的限制的所有選法，減去甲擔(dān)任隊(duì)長的選法，即可得答案；

（2）考慮第一次傳球，老師傳給了甲還是傳給乙、丙、丁中的任一位，繼而確定第二次以及第三次傳球后

球回到老師手中的情況，結(jié)合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.

【詳解】（1）法一，先選出隊(duì)長，由于甲不擔(dān)任隊(duì)長，方法數(shù)為C；；

再選出副隊(duì)長，方法數(shù)也是C；,故共有方法數(shù)為C；xC；=9（種）.

方法二先不考慮隊(duì)長人選對甲的限制，共有方法數(shù)為A：=4x3=12（種）；

若甲任隊(duì)長，方法數(shù)為C；,故甲不擔(dān)任隊(duì)長的選法種數(shù)為12-3=9（種）

答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔(dān)任隊(duì)長和副隊(duì)長，甲不擔(dān)任隊(duì)長的選法共有9種.

（2）①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為J；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學(xué),

其概率為5；

第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為9,

故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：=

47798

3

②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為“

第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為，，

第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為:，

這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為白一白白，

47798

所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：W3+白3=三3.

989849

3

答：前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是京.

49

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）中國在第75屆聯(lián)合國大會上承諾，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳

目標(biāo)”）.新能源電動汽車作為戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.賽力斯汽車有限公司為

了調(diào)查客戶對旗下AITO問界M7的滿意程度，對所有的意向客戶發(fā)起了滿意度問卷調(diào)查，將打分在80分

以上的客戶稱為“問界粉”.現(xiàn)將參與調(diào)查的客戶打分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖：

頻率

（1）估計(jì)本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）按是否為“問界粉”比例采用分層抽樣的方法抽取10名客戶前往重慶賽力斯兩江智慧工廠參觀，在10名

參觀的客戶中隨機(jī)抽取2名客戶贈送價值2萬元的購車抵用券.記獲贈購車券的“問界粉”人數(shù)為九求4的

分布列和數(shù)學(xué)期望后傳）.

【答案】⑴73.3分

3

（2）分布列見解析；期望為《

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求解中位數(shù)的方法可得答案；

（2）確定抽取的“問界粉”人數(shù)，再確定4的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：

打分低于70分的客戶所占比例為40%,打分低于80分的客戶的所占比例為70%,

所以本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)在［70,80）內(nèi)，由70+10x鬻U學(xué)=2|（）。73.3,

0.70—0.4。3

所以本次調(diào)查客戶打分的中位數(shù)約為73.3分;

(2)根據(jù)按比例的分層抽樣：抽取的“問界粉”客戶3人，“非問界粉”客戶7人,

則4的所有可能取值分別為0,1，2,

其中：^=0)=-^=-,外4=1)="=^=2)=-^=-,

所以。的分布列為:

012

771

P

151515

7713

所以數(shù)學(xué)期望~自)=0*m+k百+2><石=]

5.(2024?福建三明?三模)某校開設(shè)勞動教育課程，為了有效推動課程實(shí)施，學(xué)校開展勞動課程知識問答競

賽，現(xiàn)有家政、園藝、民族工藝三類問題海量題庫，其中家政類占園藝類占民族工藝類占;根據(jù)

442

以往答題經(jīng)驗(yàn)，選手甲答對家政類、園藝類、民族工藝類題目的概率分別為:2，(2《4，選手乙答對這三類題

目的概率均為;.

(1)求隨機(jī)任選1題，甲答對的概率;

(2)現(xiàn)進(jìn)行甲、乙雙人對抗賽，規(guī)則如下：兩位選手進(jìn)行三輪答題比賽，每輪只出1道題目，比賽時兩位選

手同時回答這道題，若一人答對且另一人答錯，則答對者得1分，答錯者得-1分，若兩人都答對或都答錯，

則兩人均得0分，累計(jì)得分為正者將獲得獎品，且兩位選手答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影

響，求甲獲得獎品的概率.

【答案】⑴]3

⑵蒜

【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；

(2)求出乙答對的概率，設(shè)每一輪比賽中甲得分為X,求出X的每個值對應(yīng)的概率，即可求得三輪比賽后,

甲總得分為y的每個值相應(yīng)的概率，即可得答案.

【詳解】(1)記隨機(jī)任選1題為家政、園藝、民族工藝試題分別為事件41=1,2,3),

記隨機(jī)任選1題，甲答對為事件8,

111224

則尸(4)=z，尸(4)=Z，P(A)=E，尸(814)=丁尸(24)=MP(314)=丁

則尸仍）=尸（A）尸（為4）+尸（4）尸（切4）+尸（A）尸（為4）

1212143

=—x—+—x—+—x—=

4545255

(2)設(shè)乙答對記為事件c,則P(C)=P(A)P(CIA)+P(4)P(CI4)+P(4)P(CI4)

111111

—X——I——X——I——X—

4242222

設(shè)每一輪比賽中甲得分為X,

則尸（x=i）=尸阿卜尸⑻尸?=|x〔m，

p（X=O）=P（BCuBC）=P（BC）+P（CB）=|xl+^l-|^l

P（X=-l）=P（BC）=[l-|^xl=1,

三輪比賽后，設(shè)甲總得分為匕

32127

則p(y=3)=p(y=2)=c；x—=---,

41磊102200

P『l）=C；x浦口+?塔

所以甲最終獲得獎品的概率為尸=尸位=3）+尸（卜=2）+尸”=1）=—+而+臉=而而.

（2）利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時的銷售額.

￡七%一而廠

附：線性回歸方程夕=標(biāo)+G中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=R---------,a=y-bx.

.片-rix2

i=i

9

【答案】（l）x的分布列見解析，期望E（X）=g

⑵5=7X+17；預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時的銷售額為87萬元.

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望,

(2)利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.

【詳解】(1)從A,B,C,D,E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C,D,E

這3家超市,

則隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3

黑H，"爸=|,P(x=3)=g=l

.?.X的分布列為:

X123

331

P

10510

3319

數(shù)學(xué)期望E(X)=lx元+2xg+3xm=M.

-2+4+5+6+8匚-30+40+60+60+70門

(2)x=--------------------=5,y=----------------------------=52,

^x^-ivcy

60+160+300+360+560-5x5x52

3=q-------------

4+16+25+36+64—5x5?

;=1

a=52-7x5=17.

，V關(guān)于x的線性回歸方程為￡=7尤+17；

在￡=7x+17中，取x=10,得夕=7x10+17=87.

???預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時的銷售額為87萬元.

7.(2024?重慶?三模)甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，

負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為g，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁

[，第，局乙當(dāng)裁判,、，、

判.記隨機(jī)變量X,==(i=l,2,…,〃)，B=P(Xj=l),X表示前〃局中乙當(dāng)裁判的次數(shù).

[U,弟z同中取內(nèi)3藪利

(1)求事件““=3且X=1”的概率；

(2)求R；

(3)求E(X),并根據(jù)你的理解，說明當(dāng)〃充分大時E(X)的實(shí)際含義.

附：設(shè)X,y都是離散型隨機(jī)變量，則E(x+y)=E(x)+E(y).

【答案】⑴工3

4

111

;

(2)/?;=(--)x(--)+-；

(3)P,,答案見解析。

【分析】(1)把事件“〃=3且X=l”分拆成兩個互斥事件的和，再分別計(jì)算各事件的概率即可.

(2)把事件X,=l分拆成互斥事件X-=1,X,=1與X-=O,X,=1的和，列出化與P-的關(guān)系式，利用構(gòu)造

法求出數(shù)列通項(xiàng)即得.

(3)求出E(XJ,再利用期望的性質(zhì)求出磯X),

【詳解】(1)當(dāng)〃=3時，尸(〃=3,X=1)=尸(X2=1,X3=O)+P(X2=O,X3=1)

1113

=P(X2=1)P(X3=O|X2=1)+P(X2=O)P(X3=l|X2=O)=(l--)xl+-x(l--)=-.

(2)當(dāng)iN2時，尸(X,=l)=尸(XT=l,Xj=l)+P(X,T=O,Xj=l)

=p(x-=l)P(X,=11Xi=1)+尸(x-=0)p(x,=1|Xj=0)=尸(x-=1)x0+尸(x-=o)x1,

即Pi=，即，

乙乙乙DNJ

又Pi=0,因此｛。,-3是首項(xiàng)為-g,公比為的等比數(shù)列，

所以。產(chǎn)+；.

(3)因?yàn)榭?尸(X,=1)=(-；)x(一卜―+g,則E(XJ=1xP(X,=1)+0xP(X。=1)=口.

且X=,則E(X)=E(2X,)=￡E(X,)=￡p,

z=li=li=li=l

1

=y[(--)x(-1)-+1]

9323392

當(dāng)〃充分大時，E(X)穩(wěn)定在即前〃局中乙當(dāng)裁判的平均次數(shù)穩(wěn)定在這是因?yàn)楦骶种须p方獲勝的概

率均為1，

所以經(jīng)過足夠多局之后，某局中甲、乙、丙當(dāng)裁判得概率比值穩(wěn)定在

或由(2)問結(jié)果得P,穩(wěn)定在1;附近，則乙當(dāng)截判的平均次數(shù)穩(wěn)定在。n.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?安徽池州?二模）學(xué)校組織某項(xiàng)勞動技能測試，每位學(xué)生最多有3次測試機(jī)會.一旦某次測試通過,

便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機(jī)會.如果每位學(xué)生在3次測試

中通過的概率依次為050.6,0.8,且每次測試是否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測試，回答下列

問題：

（1）求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過（包含2次）獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3

位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得「以=左）取最大值時的整數(shù)k.

【答案】⑴分布列見解析，E（X）=1.7

⑵3

【分析】（1）確定X的可能值，利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望;

（2）確定y所有可能取的值為0,1,2,3,得出y,利用二項(xiàng)公布的概率公式計(jì)算出各概率后可得,

也可以解不等式帚P（Y匚=合k}＞1得出結(jié)論.

【詳解】（1）由題意知，X所有可能取的值為1,2,3,

p(X=1)=0.5,X=2)=(1—0.5)X0.6=0.3,P(X=3)=(1-0.5)x(1—0.6)=0.2,

的分布列如下:

X123

P0.50.30.2

.-.E(X)=lx0.5+2x0.3+3x0.2=1.7；

4

（2）由題意知，每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書的概率尸=P（X=l）+P（X=2）=0.5+0.3=0.8=y,

方法一:

y所有可能取的值為0,1,2,3,且y

0

4

.-,p(y=o)=c°x

5,T

p(y=i)=c；

p(y=3)=C；

.-.p(y=o)<p(y=i)<p(y=2)<p(y=3),

所以使得p(y=左)取得最大值時，整數(shù)上的值為3.

方法二：

由工?3，￡|得P(Y=Q=C：x[gjxW次=0,1,2,3,

叩=左)=4加"加十LX,2,3,

所以

p(u)

所以=3)>p(r=2)>P(Y=i)>p(r=i),

所以使得尸(y=%)取得最大值時，整數(shù)上的值為3.

9.(2024?遼寧?二模)一枚棋子在數(shù)軸上可以左右移動，移動的方式以投擲一個均勻的骰子來決定，規(guī)則如

下：當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)時，棋子不動；當(dāng)所擲點(diǎn)數(shù)為3或5時，棋子在數(shù)軸上向左(數(shù)軸的負(fù)方向)移動“該

點(diǎn)數(shù)減1”個單位；當(dāng)所擲的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時，棋子在數(shù)軸上向右(數(shù)軸的正方向)移動“該點(diǎn)數(shù)的一半''個單位;

第一次投骰子時，棋子以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點(diǎn).

(1)投擲骰子一次，求棋子的坐標(biāo)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)投擲骰子兩次，求棋子的坐標(biāo)為-2的概率；

(3)投擲股子兩次，在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，求棋子的坐標(biāo)為正的概率.

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=0

【分析】（1）由題目分析即可得出分布列，再用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可；

（2）分析出所有滿足投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的所有情況，即可求出概率；

（3）先求出投擲股子兩次，所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)且棋子的坐標(biāo)為正的概率及擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率,

根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)X為投擲骰子一次棋子的坐標(biāo)，由題可知X=-4,-2,0,1,2,3,且概率都相同為3，

6

分布列如下：

X-4-20123

1111J_

P

666666

E（X）」X（T-2+1+2+3）=0.

6

（2）投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的情況有：

①第一次坐標(biāo)為-4（點(diǎn)數(shù)為5）,第二次向右2個單位（點(diǎn)數(shù)為4）；

②第一次坐標(biāo)為-2（點(diǎn)數(shù)為3）,第二次不動（點(diǎn)數(shù)為1）；

③第一次坐標(biāo)為。（點(diǎn)數(shù)為1）,第二次向左2個單位（點(diǎn)數(shù)為3）；

④第一次坐標(biāo)為2（點(diǎn)數(shù)為4）,第二次向左4個單位（點(diǎn)數(shù)為5）；

故投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的概率為P=[x4=:.

（3）設(shè)事件A="擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)”，8="投擲股子兩次棋子的坐標(biāo)為正”，

由題可知，尸（A）=絲G=1,

362

投擲股子兩次，所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，且棋子的坐標(biāo)為正的點(diǎn)數(shù)情況有：

1?

6和1,6和3,4和1,1和2,共8種情況，P{AB）=—x8=—,

369

2

則在所擲兩次點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的條件下，棋子的坐標(biāo)為正的概率P（B|A）=萼察=?=：.

P（A）9

2

10.（2024?廣東湛江?一模）甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開始在第

1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球（5個球除顏色外其他都相同）.每次甲在盒中

隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2

格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結(jié)束.記棋子跳到第〃格的概率為月（〃=1,2,3,…,25）.

（1）甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望;

⑵證明：數(shù)列｛Pn-｝5=2,3,…,24）為等比數(shù)列.

【答案】⑴分布列見解析；期望E（X）g

（2）證明見解析；

【分析】（1）寫出X的所有可能取值并求出對應(yīng)的概率，即可列出分布列，計(jì)算求出期望值;

32

（2）依題意根據(jù)跳格規(guī)則可得即可得出證明；

【詳解】（1）根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0,1,2；

則尸、。）爺$，尸（X=l）=詈=>|，叱=2）爺=奈

可得X的分布列如下:

X012

133

P

105W

期望值為E（X）=0xA+lxg+2x[=g

（2）依題意，當(dāng)34月423時，棋子跳到第"格有兩種可能:

第一種，棋子先跳到第"-2格，再摸出兩球顏色不同;

第二種，棋子先跳到第n-1格，再摸出兩球顏色相同;

C?_3

又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為黃=g,

'5

C2+C22

摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為胃L=三；

32

因此可得[=）七2+1附；

323

所以匕-與T=M7t2+gCl-與T=一g（Cl一￡-2），

p-P3

因此可得-Jr=-￡,

4一1一k）

即數(shù)歹U花—月T｝（〃=2,3,…,24）是公比為-1的等比數(shù)歹（

11.（2024?廣東韶關(guān)?二模）小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是:,

擊中區(qū)域乙的概率是0,擊中區(qū)域丙的概率是:，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分.這次射擊比賽獲獎

規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機(jī)會獲得二等獎，有一半的機(jī)會獲得三等獎；

若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評

為“優(yōu)秀射擊手”稱號.

（1）求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；

（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X,求X分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴*

（2）分布列見解析;E（X）=1

【分析】（1）根據(jù)概率已知條件記“射擊一次獲得'優(yōu)秀射擊手'稱號”為事件A；射擊一次獲得一等獎為事件

3；射擊一次獲得一等獎為事件C,分析可知A=3C,利用互斥事件的概率加法計(jì)算公式所以求尸（3uC）

即可.

（2）根據(jù)題意判斷X~B[4,；],根據(jù)二項(xiàng)分布求概率、期望公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）記“射擊一次獲得'優(yōu)秀射擊手'稱號”為事件A；射擊一次獲得一等獎為事件2；

射擊一次獲得一等獎為事件C,所以有4=3C,所以P（B）=g,

尸（C）WH，所以P（A）=尸（BuC）=P（8）+P（C）=；+:=（?

（2）獲得三等獎的次數(shù)為X,X的可能取值為0,1,2,3,4；

記“獲得三等獎“為事件所以「⑷

所以”=。）同j百4椽‘「（x=】）=叱L，

P（X=2）=C；Ml羨

顯然X~?4,j,E(X)=4x1=l.

12.(2024?河北邢臺?一模)小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類

題正確的概率為0.9,小張回答8類題正確的概率為0.45.已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍.

(1)求小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率；

(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張?jiān)谶@10個題

目中恰好回答正確上個(Z=0,1,2,L,10)的概率為鼻，則當(dāng)無為何值時，鼻最大?

【答案】⑴0.6

⑵6

【分析】(1)由獨(dú)立事件的乘法概率求出即可;

(2)由二項(xiàng)分布中最大值的計(jì)算求出即可，可設(shè),利用組合數(shù)的性質(zhì)求出左即可.

Pk5\

【詳解】(1)設(shè)小張回答4類題正確的概率為尸(A),小張回答8類題正確的概率為P⑻，小張?jiān)陬}庫中

任選一題，回答正確的概率為P,

由題意可得P(A)=。9,P(0=0.45,

1212

所以尸=32(4)+]尸(8)=]?0.9-?0.450.6,

所以小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率為06

(2)由⑴可得我=C：°(O.6??？(0.4)皿,

設(shè)

|小(0.6)7(0.4嚴(yán)2C柒(0.6廣1X(0.4片

[cfo(O.6)'x(O.4)10^>C/(O.6)ix(0.4廣一

10!「10!

2x-7----C-^3x

左!（10-左）?。ㄗ?1）!（9—左）!

所以v

10!10!

3x-7----

口（10-%）!

2（左+1）23（10-%）

即《

解得停業(yè)咤,

又keZ,所以左=6時，［最大.

13.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）某電競平臺開發(fā)了42兩款訓(xùn)練手腦協(xié)同能力的游戲，A款游戲規(guī)則是：

五關(guān)競擊有獎闖關(guān)，每位玩家上一關(guān)通過才能進(jìn)入下一關(guān)，上一關(guān)沒有通過則不能進(jìn)入下一關(guān)，且每關(guān)第

一次沒有通過都有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，各關(guān)和同一關(guān)的兩次挑戰(zhàn)能否通過相

互獨(dú)立，競擊的五關(guān)分別依據(jù)其難度賦分.8款游戲規(guī)則是：共設(shè)計(jì)了"（"eN*且〃》2）關(guān)，每位玩家都有

"次闖關(guān)機(jī)會，每關(guān)闖關(guān)成功的概率為不成功的概率為:，每關(guān)闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立；第1次闖關(guān)時，

若闖關(guān)成功則得10分，否則得5分.從第2次闖關(guān)開始，若闖關(guān)成功則獲得上一次闖關(guān)得分的兩倍，否則得

5分.電競游戲玩家甲先后玩AI兩款游戲.

（1）電競游戲玩家甲玩A款游戲，若第一關(guān)通過的概率為第二關(guān)通過的概率為：，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)

43

的概率；

⑵電競游戲玩家甲玩B款游戲，記玩家甲第i次闖關(guān)獲得的分?jǐn)?shù)為X,（i=l,2,,〃），求E（X,）關(guān)于i的解析

式，并求E（Xg）的值.（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：?0.059.）

【答案】⑴。

6

⑵依）=一"'+10,9.80

【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可；

（2）由期望關(guān)系可得+列出分布列，構(gòu)造等比數(shù)列{E（X,）-10},求

出E（Xg）即可.

【詳解】（1）記事件4表示第i次通過第一關(guān)，事件及表示第i次通過第二關(guān),

設(shè)甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為尸，

由題意知尸=尸（44）+尸（444）+尸（4瓦區(qū)）+尸（44瓦打）

=尸（4）尸（4）+尸（可尸（4）尸（4）+尸（4）尸（瓦）尸（鳥）+尸（A）尸（4）尸（瓦）尸㈤）

3225

=-x—+

4336

i9210

(2)依題意得Xm=2X,x§+§x5=§Xj+1,

所以片區(qū)+I)=">,+口=夫區(qū))+5,

9

又隨機(jī)變量X1的可能取值為10,5,其分布列為

R0E

E0

所以E（Xj=g,得E（xJ_10=_g,

所以但（XJ-10｝為等比數(shù)列淇中首項(xiàng)為一?，公比為［.

所以以XM10=T1|j,MN*,即心)=_爭停)+10.

所以E(X8)=-1X]]

+10~9.8.

14.（2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測）2023年8月3日，公安部召開的新聞發(fā)布會公布了“提高道路資源利用率”

和“便利交通物流貨運(yùn)車輛通行”優(yōu)化措施，其中第二條提出推動緩解停車難問題.在持續(xù)推進(jìn)緩解城鎮(zhèn)老

舊小區(qū)居民停車難改革措施的基礎(chǔ)上，因地制宜在學(xué)校、醫(yī)院門口設(shè)置限時停車位，支持鼓勵住宅小區(qū)和

機(jī)構(gòu)停車位錯時共享.某醫(yī)院門口設(shè)置了限時停車場（停車時間不超過60分鐘），制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：停

車時間不超過15分鐘的免費(fèi)，超過15分鐘但不超過30分鐘收費(fèi)3元，超過30分鐘但不超過45分鐘收費(fèi)

9元，超過45分鐘但不超過60分鐘收費(fèi)18元，超過60分鐘必須立刻離開停車場.甲、乙兩人相互獨(dú)立地

來該停車場停車，且甲、乙的停車時間的概率如下表所示：

停車時間/分鐘(0,15](15,30](30,45](45,60]

￡￡

甲3aa

44

￡J_

乙2bb

63

設(shè)此次停車中，甲所付停車費(fèi)用為X,乙所付停車費(fèi)用為F.

（1）在x+y=i8的條件下，求的概率;

（2）若j=|x-y],求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴：

59

⑵分布列見解析，E（J）=?

O

【分析】（1）根據(jù)概率的性質(zhì)求出a,乞求出x+y=i8的概率及X2F的概率可得答案;

（2）根據(jù)X、Y的值可得4的取值，再求取值對應(yīng)的概率可得分布列、期望.

【詳解】（1）根據(jù)題意可得J+3a+J+a=l,解得。=:，

448

1+26+：+b=l,解得

636

甲所付停車費(fèi)用為18元，乙所付停車費(fèi)用為0元可得X+y=18,

其概率為=

oO4o

甲所付停車費(fèi)用為。元，乙所付停車費(fèi)用為18元可得X+y=18,

其概率為上=Jx：=L；

4624

甲所付停車費(fèi)用為9元，乙所付停車費(fèi)用為9元可得X+y=18,

其概率為4=%;=*；

1117

所以X+y=18的概率尸=￡+舄+A=藪+豆+不=獲，

45Z41Z4o

可得在x+y=i8的條件下，

11

XN1的概率為=與12=[

片+鳥+42_7

48

（2）4的取值為0,3,6,9,15,18,

13

48

%=3）=3m=麗7,

5

P（占=6）=—X—+—X—=

17438324，

111115

P（4=9）=—X—+—x-+—X—+-x-=—,

',4643468324

p(^=15)=-xl+lxl=—,

17863848

p(^=18)=-xl+-xl=—,

'7864648

隨機(jī)變量4的分布列為

03691518

1375553

p

484824244848

所以隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望

1Q7S55359

磯J)=0x——+3x——+6x——+9x——+15x——+18x——=」

v74848242448248

15.(2024?湖北?一模)2023年12月30號，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛,

隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長征系列運(yùn)載火

箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官.某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事

業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個容量為”的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:

關(guān)注度

學(xué)生群體合計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

17

大學(xué)生—n——n

210

高中生

3

合計(jì)—n

5

附:

a0.10.050.00250.010.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2廿上,

Z27......-------------——,其中孔=a+Z7?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值々=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，求樣本

容量n的最小值;

(2)該市為了提高本市學(xué)生對航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識闖關(guān)比賽，包含三個問題，有兩種答題

方案選擇：

方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；

方案二：在三個問題中，隨機(jī)選擇兩個問題，都答對可以晉級.

已知小華同學(xué)答出三個問題的概率分別是小華回答三個問題正確與否相互獨(dú)立，則小華應(yīng)該

選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）

【答案】⑴/"40

（2）選擇方案一，理由見解析

【分析】（1）先補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，求得/關(guān)于〃的表達(dá)式，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)得到關(guān)于〃的不等式，解之

即可得解；

（2）利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得方案一與方案二中小化晉級的概率，再比較即可得解.

【詳解】（1）

關(guān)注度

學(xué)生群體合計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

117

大學(xué)生—n—n一n

2510

113

高中生——n—n一n

10510

32

合計(jì)-n—nn

55

零假設(shè)為“。：關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體無關(guān),

（nnnn）

n,一,-------

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=12551OJ=/，

7幾3n3n2rl63

10loTT

因?yàn)橐罁?jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān),

所以％2=包>3.841=>?>30.25,

63

由題可知,上是10的倍數(shù)，“向n=40

（2）記小華同學(xué)答出三個問題的事件分別A,B,C,

391

則尸（A）="尸（B）=；P（C）=5,

記選擇方案一通過的概率為片，

則片=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

_32j_3j_j_j_2￡32j__17

"4'32432432了35一五；

記選擇方案二通過的概率為￡,

則^=1P（AB）+1P（BC）+1P（AC）

11322131129

=-?—?—?—?—?—?—=—.

3（433242）72'

＞鳥，.?.小華應(yīng)該選擇方案一.

16.（2024?湖北?二模）吸煙有害健康，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)4名吸煙者的吸煙量x與損傷度y,數(shù)據(jù)如下表:

吸煙量X1456

損傷度y3867

⑴從這4名吸煙者中任取2名，其中有1名吸煙者的損傷度為8,求另1吸煙者的吸煙量為6的概率；

（2）在實(shí)際應(yīng)用中，通常用各散點(diǎn)（r,y）至1J直線V=版+。的距離的平方和S=f（姐+。-％）2來刻畫“整體接近

i=l

程度”S越小,表示擬合效果越好.試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程y=派+。.并根據(jù)所求經(jīng)驗(yàn)回歸

直線估計(jì)損傷度為10時的吸煙量.

,￡（蒼-?。?-歹）

s!

附：b=-—；--------------,a=y-bx.

大i斗-方

Z=1

【答案】⑴，

e11「°100

（2）＞=五"不，TT

【分析】（1）列舉出試驗(yàn)的全體基本事件，利用古典概率及條件概率公式計(jì)算得解.

（2）利用表格中數(shù)據(jù)求出最小二乘法公式中的相關(guān)量，求出回歸直線方程，再利用方程求出估計(jì)值.

【詳解】（1）這4名吸煙者中，損傷度為8的吸煙者的吸煙量為4,

從4名吸煙者中任取2名,全部基本事件有（1,4）,（1,5）,（1,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）,

其中有1名吸煙者的吸煙量為4的共有3種情形，

記事件4有1名吸煙者的吸煙量為4,事件8：有1名吸煙者的吸煙量為6,

Q11P（AB}1

貝l」P（A）==P（AB）=所以另1吸煙者的吸煙量為6的概率為尸（8|4）=喂—=不

626J

_1+4+5+6_3+8+6+7,

(2)x=------=4,y=---=6,

4

44

-￡)(y-5)=(-3)X(-3)+0x2+1x0+2x1=11,^(X,.-x)2=(-3)2+02+12+22=14,

i=lt=l

4

.Za-秋％-/n...?0

因止匕----------=--■,a=y-bx=6---x4=-

2＞廠可14147

i=l

所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為y=，x+T，當(dāng)y=i°時，x=—,

所以損傷度為10時，估計(jì)吸煙量為五.

17.（2024?山東棗莊?一模）有甲、乙兩個不透明的罐子，甲罐有3個紅球，2個黑球，球除顏色外大小完全

相同.某人做摸球答題游戲.規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內(nèi)隨機(jī)摸出一球，然后答題.若答題正確,

則將該球放入乙罐；若答題錯誤，則將該球放回甲罐.此人答對每一道題目的概率均為g.當(dāng)甲罐內(nèi)無球

時，游戲停止.假設(shè)開始時乙罐無球.

（1）求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個的概率;

（2）設(shè)第小eN*,〃25）次答題后游戲停止的概率為凡.

①求知;

②。，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由.

9

【答案】⑴而

⑵①,②存在，最大值。8="9=皂

I2J256

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解,

（2）根據(jù)題意可得a"=C"1）,即可利用作商求解單調(diào)性，即可求解最值.

【詳解】（1）記”="此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅、黑各一個球”,

A="第i次摸出紅球，并且答題正確”，，=1,2,3；

與="第/次摸出黑球，并且答題正確”，；=1,2,3；

5=”第％次摸出紅球或黑球，并且答題錯誤"，