2025年中考數(shù)學總復習15 二次函數(shù)綜合題

微專題15二次函數(shù)綜合題

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

方法解讀

1.求線段長

(1)與x軸垂直的線段的長：縱坐標相減(上減下)；

(2)與y軸垂直的線段的長：橫坐標相減(右減左).

2.線段數(shù)量關(guān)系問題

若兩條線段的長均可計算或表示出來，直接根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，

若兩條線段的長無法直接計算或表示出來，可通過x軸或y軸的平行線構(gòu)造相似

三角形，將線段進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解.

3.利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值

(1)求豎直線段的最值

第一步：設(shè)M(t，at2＋bt＋c)，則N(t，mt＋n)；

第二步：表示線段MN的長，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；

第三步：化簡MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函數(shù)性質(zhì)

求最值；

(2)求斜線段的最值

利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根據(jù)(1)的步驟解題即可.

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4.利用對稱性質(zhì)求線段和最值及點坐標，即“將軍飲馬”問題(求PA＋PB的最小

值及點P的坐標)；

(1)求點B關(guān)于對稱軸l對稱的點C的坐標；

(2)連接AC交直線l于點P，此時點P滿足要求，從而可求出PA＋PB的最小值；

(3)用待定系數(shù)法求直線AC的函數(shù)表達式；

(4)將l對應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達式可得點P的坐標.

例1如圖①，已知二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3的圖象與x軸相交于A，B兩點(A

點在B點左側(cè))，與y軸相交于點C.點P是直線AC上方的拋物線上的一個動

點，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D，交直線AC于點Q.設(shè)點P的橫坐標為m.

例1題圖①

一、表示點坐標

(1)點P的坐標為，點D的坐標為，點Q的坐標為；

二、表示線段長

(2)PD的長為，QD的長為，PQ的長為；

(3)點P到對稱軸的距離為，CQ的長為；

三、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計算

(4)如圖②，若PQ＝DQ，求點P的坐標；

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例1題圖②

(5)如圖③，若AQ＝2CQ，求點P的坐標；[2020廣東25(2)題考查]

例1題圖③

四、線段最值

(6)如圖④，過點P作x軸的平行線，交直線AC于M點，求MQ的最大值；

例1題圖④

(7)如圖⑤，點G是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當△GBC的周長最小時，

求的值.

??

??

例1題圖⑤

二階綜合訓練

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1.(2024佛山二模)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于點A(0，

－4)，B(5，6)，直線AB與x軸相交于點C.

(1)求拋物線與直線AB的表達式；

(2)點D是拋物線在直線AB下方部分上的一個動點，過點D作DE∥x軸交AB

于點E，過點D作DF∥y軸交AB于點F，求DF－DE的最大值.

第1題圖

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

方法解讀

求幾何圖形面積

方法一：直接公式法

一邊在坐標軸上(或平行于坐標軸)，S△ABC＝AB·h.

1

2

方法二：分割法

三邊都不在坐標軸上(或都不平行于坐標軸).

S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(yC－yA).

11

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方法三：補全法

三邊都不在坐標軸上(或都不平行于坐標軸).

S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCC.

注：對于四邊形面積計算，可連接一條對角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之

和求解.

例2如圖，拋物線y＝－x2＋3x＋4與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，

與y軸交于點C，點D是第一象限拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標為t.

一、求三角形、四邊形面積

(1)如圖①，當點D位于拋物線的頂點處時，連接OD，CD，求△OCD的面積；

例2題圖①

(2)如圖②，若t＝2，連接AC，CD，BD，求四邊形ABDC的面積；

例2題圖②

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二、面積定值及最值

(3)如圖③，連接AD，BD，若△ABD的面積為15，求點D的坐標；

例2題圖③

方法解讀

利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動點的坐標，進而表示出所

求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.

(4)核心設(shè)問如圖④，連接BD，過點C作CP∥BD交x軸于點P，連接PD，求

△BPD面積的最大值及此時點D的坐標；[2022廣東23(2)題考查]

例2題圖④

三、面積等值、倍分關(guān)系

(5)如圖⑤，連接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求點D的坐標.

例2題圖⑤

二階綜合訓練

1.(2024福建)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，

與y軸交于點C，其中A(－2，0)，C(0，－2).

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(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，

△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點P的坐標.

第1題圖

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類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題

一階設(shè)問突破

例1解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；【解法提示】令y＝0，

2

得－x－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點A(－3，0)，點B(1，0)；令x＝0，

得y＝3，∴點C(0，3)；設(shè)直線AC的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，將點A(－3，0)，

－＋

點C(0，3)代入y＝kx＋b中，得，解得，∴直線AC的表達

3??=0?=1

式為＝＋∵點的橫坐標為，∴點縱坐標為－2－＋，∵⊥軸，

yx3.Pm?=3P?m=32m3PQx

∴點Q橫坐標為m，則縱坐標為m＋3，∵PD⊥x軸，∴點D橫坐標為m，縱坐

標為0.

(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；

(3)｜m＋1｜，－m；

(4)由(2)可知QD的2長為m＋3，PQ的長為－m2－3m，

∵PQ＝DQ，

∴－m2－3m＝m＋3，

解得m＝－1或m＝－3，

∵點P不與點A重合，

∴m的值為－1，

∴P(－1，4)；

(5)∵PD∥y軸，

∴＝，

????

∵A??Q＝?2?CQ，

∴＝，

??2

∴??＝3，

??2

∵A??(－3，0)，

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∴AO＝3，

∴AD＝2，OD＝1，

∴m＝－1，此時－m2－2m＋3＝4，

∴P(－1，4)，

(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x軸，

∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，

∵PD⊥x軸，

∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，

∴△PMQ為等腰直角三角形，

∴MQ＝PQ，

∵PQ＝－2m2－3m＝－(m＋)2＋，－1＜0，－3＜m＜0，

39

∴PQ的最大值為.24

9

∴MQ的最大值為4.

92

－

∵＝－2－＋4，∴拋物線對稱軸為直線＝－＝－

(7)yx2x3x－1.

2

如解圖，連接AC，交拋物線對稱軸l于點G，由拋物2線的對稱性得GA＝GB，

∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即當A，G，C三點共線時，GB＋GC取得最小值，

此時△GBC周長最小.

由(1)得直線AC的表達式為y＝x＋3，

當x＝－1時，y＝2，

∴G(－1，2).

∵B(1，0)，C(0，3)，

＋

∴＝22＝.

??1＋11

??222

22

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例1題解圖

二階綜合訓練

1.解：(1)由題意，將點A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，

＝－＝－

得，解得，

＋＝－

?4?3

∴拋2物5+線5的?表?達=式6為y＝x2－?3x－44.

將點A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，

＝－

得，解得＝－，

＋＝

?4?4

∴直5線?A?B的6表達式為?y=＝22x－4；

(2)由題意，設(shè)D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，

令2x－4＝a2－3a－4，得x＝(a2－3a)，

1

∴E(a2－a，a2－3a－4).2

13

令x＝2a，2則y＝2a－4，

∴F(a，2a－4).

∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(a2－a)]

13

＝－a2＋a22

15

＝－2(a－2)2＋.

1525

∵－2＜0，20＜a8＜5，

1

∴當2a＝時，DF－DE取得最大值，最大值為.

525

類型二2二次函數(shù)與面積有關(guān)問題8

一階設(shè)問突破

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例2解：(1)令x＝0，得y＝4，

∴C(0，4)，

∴OC＝4，

∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，

325

∴D(，)，24

325

24

∴S△OCD＝OC·｜xD｜＝×4×＝3；

113

(2)如解圖①2，連接BC，2過點2D作DE⊥x軸交BC于點E，

令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，

∴A(－1，0)，B(4，0)，

由(1)可知，C(0，4)，

∴AB＝5，OB＝OC＝4，

設(shè)BC所在直線的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，

將B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，

得＋，解得＝－，

4??=0?1

∴所在直線的表達式為＝－＋，

B?C=4?=4yx4

∴當t＝2時，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，

∴D(2，6)，E(2，2)，

∴DE＝4，

∴S四邊形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×5×4＋×4×4＝18；

11

22

例2題解圖①

(3)由(2)可知，AB＝5，

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2

∴S△ABD＝AB·yD＝×5×(－t＋3t＋4)＝15，

11

解得t＝12或t＝2.2

當t＝1時，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；

當t＝2時，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，

綜上所述，點D的坐標為(1，6)或(2，6)；

(4)如解圖②，連接BC，CD，過點D作DQ⊥x軸交BC于點Q，

∵CP∥BD，

∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝DQ·OB，

1

由(2)可知，BC所在直線的解析式2為y＝－x＋4，

∴Q(t，－t＋4)，

∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，

22

∴S△BPD＝(－t＋4t)×4＝－2(t－2)＋8，

1

∵－2＜0，20＜t＜4，

∴當t＝2時，S△BPD有最大值，最大值為8，

此時－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，

∴點D的坐標為(2，6)；

例2題解圖②

(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，