八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章全等三角形13.1命題、定理與證明第一課時(shí)命題VIP

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常要對(duì)一件事情作出判斷.數(shù)學(xué)中一樣有許多問題需要我們作出判斷.1/41以下敘述事情語句中，哪些是對(duì)事情作出了判斷？議一議（1）三角形內(nèi)角和等于180°；（2）假如|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？2/41普通地，對(duì)某一件事情作出判斷語句（陳說句）叫作命題.

比如，上述語句（1），（2），（3）都是命題；語句（4），（5）沒有對(duì)事情作出判斷，就不是命題.

（1）三角形內(nèi)角和等于180°；（2）假如|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一條線段等于已知線段；（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？3/41觀察以下命題表述形式有什么共同點(diǎn)？（1）假如a=b且b=c，那么a=c；（2）假如兩個(gè)角和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

它們表述形式都是“假如……，那么……”.4/41命題通常寫成“假如……，那么……”形式，其中“假如”引出部分就是條件，“那么”引出部分就是結(jié)論.比如，對(duì)于上述命題（2），“兩個(gè)角和等于90°”就是條件，“這兩個(gè)角互為余角”就是結(jié)論.（2）假如兩個(gè)角和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.5/41有時(shí)為了敘述簡(jiǎn)便，命題也能夠省略關(guān)聯(lián)詞“假如”、“那么”.

如：“假如兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”能夠簡(jiǎn)寫成“對(duì)頂角相等”；“假如兩個(gè)角是同一個(gè)角余角，那么這兩個(gè)角相等”

能夠簡(jiǎn)寫成“同角余角相等”.6/41做一做（1）指出以下命題條件和結(jié)論，并改寫成“假如……，那么……”形式：命題條件結(jié)論①能被2整除數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點(diǎn)兩個(gè)角是對(duì)頂角.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)假如一個(gè)數(shù)能被2整除那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角假如兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)那么它們同位角相等假如兩條直線平行那么這兩條直線平行假如兩個(gè)同位角相等7/41（2）上述命題③與④條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)絡(luò)？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④條件與結(jié)論交換了位置.8/41對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題結(jié)論和條件，我們把這么兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)叫作逆命題.

比如，上述命題③與④就是互逆命題.③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.條件結(jié)論“若q，則p”9/41從上我們能夠看出，只要將一個(gè)命題條件和結(jié)論交換，就可得到它逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題.10/41練習(xí)1.以下語句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個(gè)三角形三條中線都相交于一點(diǎn)嗎？（1）假如x=3，求值；不是命題是命題不是命題是命題11/412.將以下命題改寫成“假如……，那么……”形式.（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）個(gè)位數(shù)字是5整數(shù)一定能被5整除；答：假如兩條直線相交，那么這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn).答：假如一個(gè)整數(shù)個(gè)位數(shù)字是5，那么這個(gè)數(shù)一定能被5整除.12/41（4）三角形一個(gè)外角大于它任何一個(gè)內(nèi)角.（3）互為相反數(shù)兩個(gè)數(shù)之和等于0；答：假如兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)之和等于0.答：假如某角是三角形外角，那么這個(gè)角大于它任何一個(gè)內(nèi)角.13/413.寫出以下命題逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們絕對(duì)值也相等；（2）假如m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（4）兩邊相等三角形是等腰三角形.答：絕對(duì)值相等兩個(gè)數(shù)相等答：假如m是有理數(shù)，那么它也是整數(shù)答：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行答：等腰三角形兩邊相等14/41議一議以下命題中，哪些正確，哪些錯(cuò)誤？并說一說你理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；（4）同角補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確15/41上面四個(gè)命題中，命題（4）是正確，命題（1），（2），（3）都是錯(cuò)誤.我們把正確命題稱為真命題，把錯(cuò)誤命題稱為假命題.

（1）每一個(gè)月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).（3）同位角相等；

（4）同角補(bǔ)角相等.16/41要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題條件，但不滿足命題結(jié)論，從而就可判斷這個(gè)命題為假命題.比如，要判斷命題“假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)”是一個(gè)假命題，我們舉出“0.1是有理數(shù)，不過0.1不是整數(shù)”這一例子即可判斷該命題是假命題.我們通常把這種方法稱為“舉反例”.17/41判斷以下命題為真命題依據(jù)是什么？說一說（1）假如a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）假如△ABC是等邊三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分別是依據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形定義作出判斷.18/41從上能夠看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)經(jīng)常要利用一些概念定義，不過光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單命題是否為真.實(shí)際上，對(duì)于絕大多數(shù)命題真假判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.19/41當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它逆命題不一定是真命題.

比如，“假如∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它逆命題“假如∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.20/41練習(xí)1.以下命題中，哪些是真命題，哪些是假命題？請(qǐng)說說你理由.（1）絕對(duì)值最小數(shù)是0；答：真命題（2）相等角是對(duì)頂角；（3）一個(gè)角補(bǔ)角大于這個(gè)角；（4）在同一平面內(nèi)，假如直線a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命題答：假命題答：真命題21/412.舉反例說明以下命題是假命題：（1）兩個(gè)銳角和是鈍角；（2）假如數(shù)a，b積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；（3）兩條直線被第三條直線所截同位角相等.答：直角三角形兩個(gè)銳角和不是鈍角答：-1和-3積是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).答：兩條相交直線a、b被第三條直線l所截，它們同位角不相等22/413.試寫出兩個(gè)命題，要求它們不但是互逆命題，而且都是真命題.答：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。23/41觀察、操作、試驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物主要伎倆，而且人們能夠從中猜測(cè)發(fā)覺出一些結(jié)論.24/41采取剪拼或度量方法，猜測(cè)“三角形外角和”等于多少度.做一做25/41從剪拼或度量能夠猜測(cè)三角形三個(gè)外角之和等于360°，不過剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是靠近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能靠近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得到360°.26/41另外，因?yàn)椴灰粯有螤钊切斡袥]有數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量方法來一一驗(yàn)證，所以，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形外角和都為360°.27/41此時(shí)猜測(cè)出命題僅僅是一個(gè)猜測(cè)，未必都是真命題.要確定這個(gè)命題是真命題，還需要經(jīng)過推理方法加以證實(shí).28/41數(shù)學(xué)上證實(shí)一個(gè)命題時(shí)，通常從命題條件出發(fā)，利用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證實(shí)了定理和推論，經(jīng)過一步步推理，最終證實(shí)這個(gè)命題結(jié)論成立.證實(shí)每一步都必須要有依據(jù).29/41證實(shí)命題“三角形外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋30/41在分析出這一命題條件和結(jié)論后，我們就能夠按以下步驟進(jìn)行：已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.31/41證實(shí)如圖，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式性質(zhì)).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.32/41例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例33/41證實(shí)：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）34/41例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題結(jié)論是“最少有一個(gè)”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.假如直接來證實(shí)，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個(gè)角度來證實(shí).35/41證實(shí)假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個(gè)角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.36/41像這么，當(dāng)直接證實(shí)一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們能夠先假設(shè)命題不成立，然后利用命題條件或相關(guān)結(jié)論，經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證實(shí)命題正確，這種證實(shí)方法稱為反證法.反證法是一個(gè)間接證實(shí)方法，其基本思緒可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，必定結(jié)論”.37/41練習(xí)1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證實(shí)：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°

（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)38/412.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證實(shí)：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）39/413.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證實(shí)：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對(duì)頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于