重難點專題05三角形中的范圍與最值問題（9大題型）

重難點專題05三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：周長問題題型二：面積問題題型三：長度問題題型四：轉化為角范圍問題題型五：倍角問題題型六：與正切有關的最值問題題型七：最大角問題題型八：三角形中的平方問題題型九：等面積法、張角定理【方法技巧與總結】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結果的范圍過大.2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.

【典例例題】題型一：周長問題【例1】在銳角三角形中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，求的周長l的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，解得或（舍去），又，所以.（2）由正弦定理得，所以，因為，所以，所以的周長，即，又，所以，解得，所以，所以，所以，即的周長l的取值范圍為.【變式11】在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的周長l的取值范圍．【解析】（1）由正弦定理，得，∵，，∴，即，又∵，則，，則；（2）由（1）及正弦定理可知，，，，∴，又，，∴，∴，∴，即，∴的周長l的取值范圍為．【變式12】在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)已知，（?。┤舻拿娣e為，求的周長；（ⅱ）求周長的取值范圍．【解析】（1）由題意及正弦定理可得，整理可得：，即，在三角形中，可得，即，解得.（2）（ⅰ），可得，由余弦定理可得，又，則，解得，所以三角形的周長為.（ⅱ）,又，則，當且僅當時取等號，解得，而，所以，所以三角形的周長為.題型二：面積問題【例2】在銳角中，角的對邊分別為，已知(1)求角；(2)若，求面積的取值范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，即，，，，又；（2）由正弦定理得：,,，在銳角中：，解得：，，,，則.【變式21】如圖，正方形的邊長為1，，分別為邊，上的點（，不與點重合），已知．(1)求證：的周長為定值，并求出該定值；(2)求面積的最小值．【解析】（1）法一：設，，，，則，，因為，所以，變形得①，的周長為②，將①變形得代入②，所以，又，所以，所以的周長為定值2；法二：延長至點，使，連接，易得，則，，，所以，則，的周長為.（2）法一：，由①得，當且僅當時取等號③，將③變形得，，所以或（舍去），所以，所以面積的最小值為，法二：設，，則，，由第一問知，，所以，因為，所以，展開得，由基本不等式變形可得，解得，所以，所以面積的最小值為.【變式22】在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足，．(1)求周長的取值范圍；(2)求面積的最大值．【解析】（1）由余弦定理得，即．又，所以，當且僅當時，等號成立，所以，所以．即．所以，當且僅當時，等號成立．即周長的取值范圍為．（2）由余弦定理，得，又，所以，即，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為．【變式23】如圖，在平面內，四邊形的對角線交點位于四邊形內部，，，為正三角形，設.

(1)求的取值范圍；(2)當變化時，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）因為四邊形的對角線交點位于四邊形內部，所以，又因為為正三角形，，所以.在中，由余弦定理得，又因，將，代入并整理得且，解得，所以的取值范圍是；（2）在中，由余弦定理可得，，由（1）知，所以，又因為為正三角形，所以，又，所以，所以當，即時，且成立，四邊形的面積取得最大值，最大值為.題型三：長度問題【例3】記的內角、、的對邊分別為、、，已知，且.(1)若，求的面積；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）因為，可得，所以，，因為、，且余弦函數(shù)在上單調遞減，則，當時，則，由正弦定理可得，則，因此，的面積為.（2）由（1）可得，則，由正弦定理可得，則，因為，則，可得，所以，，即的取值范圍是.【變式31】如圖，內角的對邊分別為，為邊上一點，且，.

(1)已知.（?。┣蟮闹?；（ⅱ）若，求的面積；(2)求的最小值.【解析】（1）（?。┯深}意得，，因為，，所以，，所以，所以；（ⅱ）由（?。┑?，在中，，所以，又，所以，所以；（2）由正弦定理得，由（1）得，故，令，因為，所以，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.【變式32】在中，(1)若，求的面積；(2)求邊上的中線的取值范圍．【解析】（1）因為，若，則，又，所以，所以；（2）因為，由正弦定理得，所以，所以，又，所以，所以，由余弦定理得，因為，則，因為，所以，因為，所以，則，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為．【變式33】如圖，在平面四邊形中，，，，.(1)證明：；(2)求面積的最大值；(3)設為線段的中點，求的最大值.【解析】（1）由題知，在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，所以.（2）在中，，由余弦定理知：，所以，所以，解得，等號當僅當時取等號，所以，.（3）在中，設，則，則，由正弦定理知：，所以，，在中，由余弦定理知，所以，所以，等號當僅當時，即當時取等號，所以的最大值等于.題型四：轉化為角范圍問題【例4】在銳角三角形中，分別為角所對的邊，.(1)證明：.(2)求的范圍.【解析】（1）因為在銳角中，，由正弦定理得，則，所以，則，所以或（舍去），所以.（2）因為是銳角三角形，又，所以，所以的范圍為，則，又則，設，令，則，，所以，在上單調遞增，所以，即，則，即，所以的取值范圍是.【變式41】記△的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的范圍.【解析】（1）由正弦定理得，，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以.（2）因為，則，因為,所以.所以.因為.所以.所以，所以.【變式42】在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求a邊的范圍；(3)求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，由正弦定理可得，又因為，代入可得，即，因為，，則，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，則，則，又，故，因為，，則，故，所以或，即或（舍去），（2）因為為銳角三角形，，所以，由，解得，又故．（3）由（2）知．由，，令，則在上單調遞增，所以，所以的取值范圍為．題型五：倍角問題【例5】在中，角所對的邊分別為，且，則下列結論錯誤的是（

）A．B．若，則為直角三角形C．若為銳角三角形，則的取值范圍為D．若為銳角三角形，的最小值為1【答案】D【解析】∵，由正弦定理可得，在中，，可得，而與不可能互補，∴，即，∴A選項正確；選項B中，，可得，由A選項可得，則，在中，，可得，則，∴，即為直角三角形，∴B選項正確；選項C中，為銳角三角形中，．設，∵為銳角三角形，∴，可得，∴，即，令，則函數(shù)單調遞增，，而，即．∴，∴，∴C正確；選項D中，∵為銳角三角形，由A選項可得，∴，可得，∴，∴．設．設在單調遞減，∴，∴D選項不正確：故選：D．【變式51】在銳角中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在銳角中，，因為，，，所以，，解得，所以，，而，所以可得，所以由正弦定理可知：，因為，所以，所以，即.故選：A.【變式52】已知中，角所對的邊分別為，若，且角為鈍角，則，的取值范圍是.【答案】【解析】因為，由余弦定理知，，所以，即，則由正弦定理得，則，得，即，又中，角為鈍角，則，所以，即；由正弦定理，，由角為鈍角，所以，又，所以，即，所以.故答案為：；.【變式53】在銳角中，角所對的邊分別為，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理可得：，，即，即，即，即，所以或（舍去），所以，則，因為為銳角三角形，所以，即，解得：，因為在上單調遞增，由，可得，所以.故選：A.題型六：與正切有關的最值問題【例6】的內角的對邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的面積；(3)若角為鈍角，直接寫出的取值范圍.【解析】（1）由和正弦定理得，，因，則有，因，則，又，故.（2）由余弦定理，，代入得，，因，則有，即得，故的面積.（3）由正弦定理，可得，因，代入化簡得：因為鈍角，故由可得，則，，即，故的取值范圍是.【變式61】在中，角，，所對的邊分別是，，，，則的最大值是．【答案】/【解析】在中，由及正弦定理得，則，即，于是，即，而，因此，當且僅當時取等號，則，，所以的最大值是.故答案為：【變式62】已知在中，滿足（其中分別是角的對邊）.(1)求角的大?。?2)若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；(3)若為銳角三角形，，求的取值范圍.【解析】（1）因為，由正弦定理得，所以，又，即，且，即.（2）由等面積法：，即，即，由余弦定理得，，則，設外接圓半徑為，則，，則外接圓的面積為.（3）由為銳角三角形可得，得，則，由，得，又，所以，則.題型七：最大角問題【例7】在中，，則的最大值為.【答案】/【解析】因為，可得，所以，可得，由正弦定理得，又因為，所以，所以，則，因為為三角形的內角，所以，由，又因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以.故答案為：.【變式71】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則當取得最大值時，等于（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，由余弦定理，得，化簡得，所以由正弦定理可得又，，所以，則都是銳角，，，當且僅當即時取等號，此時.故選：C【變式72】最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.【答案】【解析】過C作，交AB于D，如圖所示：則，設，在中，，在中，，所以，當且僅當，即時取等號，所以取最大值時，最大，所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.故答案為：【變式73】1471年米勒提出了一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人稱其為“米勒問題”.我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為直線l上兩點A，，則上述問題可以轉化為如下模型：如圖1，直線l垂直于平面，l上的兩點A，B位于平面同側，求平面上一點C，使得最大.建立圖2所示的平面直角坐標系.設，當最大時，（

）A．2ab B． C． D．ab【答案】B【解析】有題意可知，是銳角且，因為，所以，且，當且僅當，即時，等號成立，故當，，此時最大.故選:B題型八：三角形中的平方問題【例8】已知實數(shù)，，滿足，則的最小值是()A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根據(jù)題意利用與的基本不等式,再轉換為含的二次不等式求解即可.若取最小值,顯然異號且.故,即,故,當且僅當分別取時等號成立.故選：B【變式81】在中，，，所對的邊長為，，，的面積為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，因為，所以當時，取得最大值，故選：C【變式82】設為的三邊，為的面積，若，則的最大值為．【答案】【解析】解法一：直接套用（12）式：，有，，當且僅當，即時，取最大值．解法二：解法三：消元：基本不等式放縮：，移項配湊目標：，萬能代換：令，則，當且僅當，即，時，取最大值．【變式83】在中，a，b，c為三邊，若，則面積的最大值為.【答案】【解析】由三角形面積公式可得，可得，∵，∴，∴，當且僅當時等號成立，結合二次函數(shù)的性質可知：當時，取得最大值，所以S的最大值為.故答案為：【變式84】在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為．【答案】【解析】由題知，則，當且僅當時取等號.，而，.故答案為：題型九：等面積法、張角定理【例9】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的平分線交邊BC于點D．（1）若，，則；（2）若，則的最小值為.【答案】19【解析】對于（1），由余弦定理可得，故，故；對于（2），因，則，故即，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故答案為：1,9.【變式91】在中，角A的平分線AD與BC邊相交于點D，若，則的最小值為．【答案】/【解析】依題意，，設，依題意是角A的角平分線，，所以，，由三角形的面積公式得，整理得，則，所以.當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.【變式92】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示，則的面積為，則，所以，顯然，故，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故答案為：.【變式93】在中，為的平分線，，，則的最大值為.【答案】【解析】在中，記內角、、的對邊分別為、、，由平面向量數(shù)量積的定義可得，可得，因為，即，可得，可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故長的最大值為.故答案為：.

【強化訓練】1．銳角中，邊上的高為4，則面積的取值范圍為．【答案】【解析】由題意可知，因為為銳角三角形，且，邊上的高為4，如圖①所示，，，，解得.在中由正弦定理得，所以，在中，，即，所以，所以的面積為：，，令，所以，在單調遞減，所以，所以.故答案為：.圖①2．已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由正弦定理得：，又，即，可得，又是銳角三角形，可得，即，解得，令，則，則，開口向上，對稱軸，即在上單調遞增，所以，即即的取值范圍是故答案為：3．的內角的對邊分別為，已知，則的最大值為．【答案】/【解析】由余弦定理得①，②由①②得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：.4．已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.(1)求m的值；(2)銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，求的周長l的取值范圍.【解析】（1），，，當時，即時，函數(shù)取得最大值，則．（2），，由于為銳角，所以，則，由，得，，，，，則，的周長的取值范圍是．5．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的大?。?2)設，的面積為S，周長為L，求的最大值．【解析】（1）因為，所以，又因為，所以，所以，所以，又因為，所以.（2）因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，當且僅當，即時有最大值為，綜上所述，的最大值為.6．如圖，在中，，D為AC邊上一點且．(1)若，求的面積；(2)求的取值范圍．【解析】（1），，，在中，，解得：，易知C為銳角，，；（2）在中，，得：，在中，，得：，，，，，，，，故的取值范圍為．7．在銳角中，角A，，的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且.(1)求的值；(2)已知，求的面積的最大值.【解析】（1）因為，且，可得，即，所以.（2）因為，又因為，即，整理可得，解得或，又因為，則，，由余弦定理可得：，即，整理可得，又因為，即，當且僅當時，等號成立，且此時為為銳角三角形，符合題意，所以的面積的最大值為.8．已知向量，，設函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)已知在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值．【解析】（1），，又，則，故，因此可得，即函數(shù)的值域為．（2）由（1）可知，又，所以，因為，所以，故，因為，由可知，，由基本不等式得，解得，當且僅當時，等號成立，故三角形面積，即面積最大值為1．9．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，又，所以；（2）由（1）可知，所以，由正弦定理，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，即，又，所以，所以面積的取值范圍為.10．在中，角所對的邊為且滿足.(1)求；(2)當時，求邊上中線的范圍.【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，于是，而，，則，所以.（2）由（1）及余弦定理，得，當且僅當時取等號，因此，由為邊上中線，得，則，所以邊上中線的范圍是.11．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．(1)求角A；(2)若，周長為6，求的面積；(3)若為銳角三角形，求的范圍．【解析】（1）由正弦定理，得，即，即，又，所以，所以，因為,故．（2）在中，由余弦定理可得，所以，又因為周長為6，所以，所以，所以的面積.（3）因為為銳角三角形，則，則可得，所以,所以，，所以，所以，由正弦定理可得，，所以．12．在中，角所對的邊分別為，.(1)求角；(2)若，求的范圍.【解析】（1）因為，由正弦定理得，，即，則，所以，即，因為，所以，可得，因為，所以.（2）因為，，則，所以，，由正弦定理可得，，所以，因為，所以，則，所以，當且僅當，即，取得最大值是，所以的范圍為.13．在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【解析】（1）因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以；（2）將代入正弦定理，得，所以，因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，所以，即，又，所以，解得.所以的范圍為.14．的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，若，，當僅有一解時，寫出x的范圍，并求的取值范圍.【解析】由正弦定理可得，，則，且，則，做出正弦曲線如圖所示，則當或，即或時，僅有一解，當時，；時，.所以，所以，.即15．已知在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿足．(1)判斷角B與角C的關系，并說明理由；(2)若，求的范圍．【解析】（1）∵，，∴或，∴，∴，∴.∵，，∴.∵，∴或，∵，∴.（2）由（1）知：，∴，∴∵，，∴，∴16．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.問題：在中，角所對的邊分別為，且__________.(1)求角的大?。?2)已知，且角有兩解，求的范圍.【解析】（1）若選①：整理得，因為，所以，因為，所以；若選②：因為，由正弦定理得，所以，所以，因為，