三角形的外心及應(yīng)用講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

三角形的外心及其應(yīng)用一．基本原理1．外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn).外心外心性質(zhì)：如圖，為的外心，證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明：結(jié)合三角形中線向量公式及極化恒等式即可完成證明.附：如圖，直角三角形中，.2.二次曲線背景下的外接圓問題也是很常見的圓錐曲線背景，通常情況下，我們有兩種處理方式：（1）.只告訴圓過的點(diǎn)，不知圓心.此時(shí)，就需要利用外接圓圓心是中垂線的交點(diǎn)來計(jì)算，先算邊長所在的方程，再算這條邊的中垂線所在的方程，最后求出兩條中垂線方程的公共解，即圓心坐標(biāo)，即可解決.這種情況下，需要注意特殊的中垂線（垂直或者平行與坐標(biāo)軸）.這種情況下，用兩條中垂線來同構(gòu)方程即可.（2）.不僅告訴圓所過的點(diǎn)，還告訴了圓心的位置，或者也不知圓心位置，那么就可設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓的定義來完成，由于此時(shí)所過點(diǎn)相對(duì)于圓心的地位是等價(jià)的，所以，這類計(jì)算方法意味著可以同構(gòu)運(yùn)算！二．典例分析例1．已知是半徑為2的圓的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（

）A．若角，則B．若，則C．若，則，的夾角為D．若，則為圓的一條直徑解析：對(duì)于A，作垂直于.垂足為，則,由正弦定理得，故,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，，即,則點(diǎn)為的中點(diǎn)，即為圓的直徑，故，B正確；對(duì)于C，設(shè)，的夾角為，由得，，即，解得或，由于，故，故，則，的夾角為，C正確；對(duì)于D,由得，即，則為圓的一條直徑，D錯(cuò)誤，故選:BC例2．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為是的外心，，則的面積為（

）A． B．6 C． D．【詳解】因?yàn)?，故由得，由正弦定理得，又，故，因?yàn)?，所以，故，所?因?yàn)?，所?在中余弦定理得，，所以.所以的面積為.故選：D.例3．若是的外心，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2【詳解】如圖所示：

設(shè)，，，，由，得，化簡得，由是的外心可知，是三邊中垂線交點(diǎn)，得，代入上式得，所以，根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，.所以，由柯西不等式可得：，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：C.例4．已知點(diǎn)，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，的外心在軸上的射影為，則的最小值為___________.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則）根據(jù)點(diǎn)是的外心,，而，則,所以,從而得到點(diǎn)的軌跡為，焦點(diǎn)為F1,0,由拋物線的定義可知，因?yàn)?，，即，?dāng)點(diǎn)P在線段BF上時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為3，故答案為：3例5．已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C的右支上，且點(diǎn)恰好為的外心，若，則C的離心率為________.【詳解】取的中點(diǎn)為C，連接BC、、，如圖所示：

因?yàn)?，所以，又C為的中點(diǎn)，所以為等腰三角形且，因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的外心，所以點(diǎn)在直線BC上，且，由雙曲線的定義知，則，所以為等邊三角形，則，在中，即，化簡得，同時(shí)除以可得，解得或(舍去).故答案為：例6.（2025屆高三T8聯(lián)考）已知過兩點(diǎn)的動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線始終與圓相切,該拋物線焦點(diǎn)的軌跡是某圓雉曲線的一部分.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知點(diǎn),過點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于M,N兩點(diǎn),設(shè)的外心為Q,O坐標(biāo)原點(diǎn),問:直線OQ與直線MN的斜率之積是否為定值,如果是定值,求出該定值;如果不是定值,說明理由.解析：（1）（2）★算法1.求中垂線同構(gòu)設(shè)直線,代入橢圓方程可得設(shè),則，的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的垂直平分線的斜率為∴的垂直平分線方程為.，即，由得,∴的垂直平分線方程為.同理的垂直平分線方程為.設(shè)點(diǎn),則是方程,即的兩根,∴兩式相除得.即直線與的斜率之積為.★方法2.設(shè)圓心同構(gòu)設(shè)圓心，則由，整理過程中，代入直線與橢圓方程可化簡得：，同理可得：故，另一方面，由韋達(dá)定理可得：，故而解得：，故，即直線與的斜率之積為.例7.已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，周長為，一雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)是該橢圓長軸上的頂點(diǎn).（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，的外接圓經(jīng)過原點(diǎn).求證：直線與圓相切.解析：（1）根據(jù)題意得，又，解得，，所以橢圓的方程為，將代入圓的方程，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長軸上兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意，設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程是，即.（2）證明：易知直線一定不為水平直線，設(shè)為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，由于外接圓過原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)為，將代入圓的方程得，消去得，又，，，化簡得，，，由，則原點(diǎn)到直線的距離，即直線與圓相切.三．習(xí)題演練1．已知的外心為，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．若，則（

）A． B．50 C．25 D．【詳解】由已知，令，所以是等腰三角形．由余弦定理，得．因?yàn)椋?，解得（?fù)值已舍去），所以．設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)椋?，所以．由為等腰三角形知，所以，即．所以．故選：B．2．在中，設(shè)是的外心，且，則（

）A． B． C． D．【詳解】由題意是的外心，故，又，所以，則，所以，同理可得，故，所以，由于為內(nèi)角，故，故選：B3．在中，已知A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，若O為的外心，，則實(shí)數(shù)__________．【詳解】，又，故有，化簡得，故有，由，則有，即有，有，，由，故，故.故答案為：.4.已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的左焦點(diǎn)為，若過三點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，求直線的方程.解析：（1）由題意得：，得，又當(dāng)時(shí)，，則，所以，即，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)過三點(diǎn)的圓的