飛行器制導控制系統(tǒng)建模與仿真（基于MWORKS）課件 第3章 基于飛行器線性模型的控制系統(tǒng)仿真分析

第3章

基于飛行器線性模型的

控制系統(tǒng)仿真分析1（一）線性系統(tǒng)分析課程目錄1、線性系統(tǒng)模型的描述方法22、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析3、線性控制系統(tǒng)時域分析4、線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析5、線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析3線性系統(tǒng)模型的描述方法線性系統(tǒng)的概念對于任意一個系統(tǒng)，如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)+=4線性系統(tǒng)模型的描述方法線性系統(tǒng)的表示微分方程描述線性系統(tǒng)的動態(tài)特性可以用線性微分方程描述。如果微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則該微分方程是線性定常微分方程，相應的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。輸出量輸入量系統(tǒng)5線性系統(tǒng)模型的描述方法線性系統(tǒng)的表示傳遞函數(shù)描述拉氏變換零初始條件傳遞函數(shù)6線性系統(tǒng)模型的描述方法線性系統(tǒng)的表示狀態(tài)空間描述系統(tǒng)對多輸入多輸出系統(tǒng)，狀態(tài)空間描述使用一組線性微分方程組建立系統(tǒng)模型：其中A(t),B(t),C(t),D(t)分別為7線性系統(tǒng)模型的描述方法線性系統(tǒng)的表示狀態(tài)空間描述如果A,B,C,D不隨時間變化，則得到線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：8線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型傳遞函數(shù)模型julia>num=[4];julia>den=[1,2,4];julia>sys=tf(num,den)

4------------s^2+2s+4連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型分子多項式系數(shù)num=[bm,bm-1,…,b0]分母多項式系數(shù)den=[an,an-1,…,a0]例：建立傳遞函數(shù)模型sys=tf(num,den)其中，調用格式：num,den=tfdata(sys)9線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型傳遞函數(shù)模型julia>s=tf('s');julia>sys=4/(s^2+2*s+4)

4------------s^2+2s+4連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型例：建立傳遞函數(shù)模型s=tf('s');聲明拉普拉斯算子作為變量可通過對拉普拉斯算子進行代數(shù)運算，得到傳遞函數(shù)模型。10線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型傳遞函數(shù)模型的連接串聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)sys=serial(G1,G2)或sys=G1*G2sys=parallel(G1,G2)或sys=G1+G211線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型傳遞函數(shù)模型的連接閉環(huán)反饋系統(tǒng)sys=feedback(G1,G2)12線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型【例3-1】設兩個子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)分別為求串聯(lián)、并聯(lián)和閉環(huán)反饋連接關系的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。創(chuàng)建子系統(tǒng)模型：串聯(lián)連接：julia>num1=[4];num2=[5];julia>den1=[124];den2=[13];julia>G1=tf(num1,den1);julia>G2=tf(num2,den2);julia>series(G1,G2)

20---------------------s^3+5s^2+10s+12連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型并聯(lián)連接：julia>parallel(G1,G2)5s^2+14s+40---------------------s^3+7s^2+14s+20連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型閉環(huán)反饋連接：julia>feedback(G1,G2)4s+20---------------------s^3+7s^2+14s+20連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型13線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型【例3-1】設兩個子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)分別為求串聯(lián)、并聯(lián)和閉環(huán)反饋連接關系的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。也可使用傳遞函數(shù)的代數(shù)運算來計算串聯(lián)或并聯(lián)串聯(lián)連接：julia>G1*G2

20---------------------s^3+5s^2+10s+12連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型并聯(lián)連接：julia>G1+G25s^2+14s+40---------------------s^3+7s^2+14s+20連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型14線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型狀態(tài)空間模型sys=ss(A,B,C,D)調用格式：A,B,C,D=ssdata(sys)用系數(shù)矩陣建立模型從模型中提取系數(shù)矩陣15線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)模型轉換分子分母多項式傳遞函數(shù)模型系數(shù)矩陣狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)狀態(tài)空間ss()tf()ss()tf()ss2tf()tf2ss()tfdata()ssdata()16線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)模型轉換【例3-2】設某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：求此系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。julia>s=tf('s');julia>G=3(s^2+3)/((s+2)*(s^2+2s+1)*(s+5));julia>num,den=tfdata(G)建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型julia>A,B,C,D=tf2ss(num[1],den[1])([-9.0-25.0-27.0-10.0;1.00.00.00.0;0.01.00.00.0;0.00.01.00.0],

[1.0;0.0;0.0;0.0;;],

[0.03.00.09.0],[0.0;;])利用tf2ss()轉換得到狀態(tài)空間方程的各個矩陣A,B,C,D17線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)模型轉換【例3-2】設某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：求此系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。julia>sys_ss=ss(G)A=0.01.00.00.00.00.02.00.00.00.00.04.0-1.25-3.375-6.25-9.0B=0.00.00.01.0C=1.1250.00.750.0D=0.0連續(xù)時間狀態(tài)空間模型利用ss()轉換由于狀態(tài)空間方程的表示不唯一，ss()和tf2ss()得到的狀態(tài)空間方程中的矩陣可能不同得到狀態(tài)空間模型sys_ss18線性系統(tǒng)模型的描述方法在MWORKS中建立系統(tǒng)數(shù)學模型狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)模型轉換【例3-3】設某系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：求此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。A=[010;001;-10-6-30];B=[0;8;-20];C=[100];D=0;sys_ss=ss(A,B,C,D);sys_tf=tf(sys_ss)利用tf()轉換取整得傳遞函數(shù)模型3.55…01e-15s^2+8.00…28s+219.99…63---------------------------------------------1.0s^3+29.99…93s^2+5.99…05s+9.99…95連續(xù)時間傳遞函數(shù)模型運行結果為課程目錄1、線性系統(tǒng)模型的描述方法19

2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析3、線性控制系統(tǒng)時域分析4、線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析5、線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析20線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是描述系統(tǒng)特性的重要指標。在經典控制理論中，被研究的對象通常是傳遞函數(shù)描述的單輸入單輸出系統(tǒng)，反映的僅是輸入和輸出的關系，并不涉及系統(tǒng)的內部狀態(tài)。因此，這里只討論系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定問題:如果系統(tǒng)在干擾消失后，在一定時間內其輸出能恢復到原來的穩(wěn)態(tài)輸出，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。輸出穩(wěn)定判別方法閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程的根傳遞函數(shù)模型狀態(tài)空間模型閉環(huán)傳遞函數(shù)極點閉環(huán)系統(tǒng)特征值等價等價poles=pole(sys)root=roots(sys)eigens=eigen(A)21線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)相關定義此閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式滿足特征方程具有負反饋的閉環(huán)系統(tǒng)22線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)相關定義線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均位于左半s平面上全部根均位于左半s平面上：閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，任何瞬態(tài)響應最終將達到平衡狀態(tài)存在位于右半s平面上的根：閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的閉環(huán)極點在虛軸上：形成振蕩過程，振蕩的幅值不隨時間變化23線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析穩(wěn)定性分析【例3-4】設某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。num_cl,den_cl=tfdata(sys_cl);A,B,C,D=tf2ss(num_cl,den_cl);獲得分子分母多項式和狀態(tài)空間模型num=[261.12];den=[140.2552.32121.12154.88-522.24];G=tf(num,den);sys_cl=feedback(G);建立閉環(huán)傳遞函數(shù)模型計算閉環(huán)系統(tǒng)極點、特征值和特征多項式的根poles=pole(sys_cl) eigens=eigen(A) spec_roots=roots(den_cl[1])24線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析穩(wěn)定性分析【例3-4】設某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。5-elementVector{ComplexF64}:-20.000000000000004+12.000000000000004im-20.000000000000004-12.000000000000004im-0.4+0.7999999999999993im-0.4-0.7999999999999993im0.5999999999999998+0.0im得到閉環(huán)系統(tǒng)極點則閉環(huán)系統(tǒng)特征值為其中，特征值r5位于右半復平面，因此該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。25線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析可控性分析對于線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程為其中，為n維狀態(tài)向量（簡稱為狀態(tài)量），為m維輸出向量（簡稱為輸出量），為r維輸入向量（或稱為控制向量，簡稱為輸入量或控制量）?？煽匦远x：若存在一個分段連續(xù)的控制量，能在有限的時間內，將系統(tǒng)從時刻的初始狀態(tài)向量，轉移到任意指定的最終狀態(tài)向量，則稱系統(tǒng)在時刻的狀態(tài)向量

x是可控的；反之，只要狀態(tài)向量中有一個變量不可控，則稱系統(tǒng)是不可控的。系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件：可控判別矩陣為滿秩矩陣26線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析可控性分析計算系統(tǒng)可控性矩陣Co=ctrb(A,B)或Co=ctrb(sys)r=rank(Co);計算矩陣的秩A,B：狀態(tài)空間方程的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣sys：系統(tǒng)模型Co：可控性矩陣27線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析可控性分析【例3-5】線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為判斷系統(tǒng)可控性。A=[5-84;010;-101];B=[6;0;-2];C=[101];建立狀態(tài)空間模型計算可控判別矩陣和矩陣的秩Co=ctrb(A,B)r=rank(Co)計算結果為3×3Matrix{Int64}:62278000-2-8-302系統(tǒng)的可控判別矩陣秩為2，即判別矩陣不滿秩，可知系統(tǒng)不完全可控。28線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析可觀性分析對于線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程為其中，為n維狀態(tài)向量（簡稱為狀態(tài)量），為m維輸出向量（簡稱為輸出量），為r維輸入向量（或稱為控制向量，簡稱為輸入量或控制量）?？捎^性定義：若對任意給定的控制量，能在有限的時間內，由系統(tǒng)輸入量和系統(tǒng)輸出量唯一地確定時刻的狀態(tài)量，則稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)可觀測的。若系統(tǒng)在所討論時間段內每個時刻都可觀測，則稱系統(tǒng)是完全可觀測的系統(tǒng)狀態(tài)可觀的充分必要條件：可觀判別矩陣為滿秩矩陣29線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析可觀性分析計算系統(tǒng)可控性矩陣Ob=obsv(A,C)或Ob=obsv(sys)r=rank(Co);計算矩陣的秩A,C：狀態(tài)空間方程的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣sys：系統(tǒng)模型課程目錄

1、線性系統(tǒng)模型的描述方法302、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析

3、線性控制系統(tǒng)時域分析4、線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析5、線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析31線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析時域分析的主要內容是分析系統(tǒng)在外部輸入信號作用下的輸出結果和時域指標。

系統(tǒng)的時間響應可以分為兩個組成部分：瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。瞬態(tài)響應是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程，也稱為動態(tài)過程或過渡過程或瞬態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)響應是指當時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。相應地，與時域分析相關聯(lián)的性能指標也可以分為兩類：瞬態(tài)響應的性能指標，和穩(wěn)態(tài)響應的性能指標。

時域分析中采用脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)等非周期信號作為輸入信號。在控制系統(tǒng)設計中，經常采用階躍函數(shù)作為系統(tǒng)的輸入信號，分析比較不同設計在同一階躍函數(shù)作用下的響應曲線。32線性控制系統(tǒng)時域分析典型輸入信號脈沖函數(shù)階躍函數(shù)斜坡函數(shù)加速度函數(shù)c為任意常數(shù)，對脈沖、階躍、斜坡函數(shù)，c=1時稱為單位脈沖/階躍/斜坡函數(shù)對加速度函數(shù)，c=2時稱為單位加速度函數(shù)33線性控制系統(tǒng)時域分析MWORKS的典型輸入信號響應函數(shù)脈沖響應階躍響應零輸入響應任意輸入響應impulse(sys); impulse(sys,t); y=impulse(sys,t;fig=false);step(sys); step(sys,t); y=step(sys,t;fig=false);initial(sys,x0);

initial(sys,x0,tFinal);initial(sys,x0,t);

y,tout,x=initial(____;fig=false)lsim(sys,u,t);lsim(sys,u,t,x0=value); y=lsim(sys,u,t);

y=lsim(sys,u,t,x0=value);

參數(shù)定義sys：系統(tǒng)模型t：響應曲線上的時間點value：初始狀態(tài)u：系統(tǒng)輸入只能對狀態(tài)空間模型指定初始狀態(tài)系統(tǒng)輸入u與時間點t一一對應34線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析的性能指標瞬態(tài)響應的性能指標延遲時間：瞬態(tài)響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間上升時間：欠阻尼二階系統(tǒng)，通常采用穩(wěn)態(tài)值的0%到100%的時間作為上升時間。對于過阻尼系統(tǒng)通常采用穩(wěn)態(tài)值的10%到90%的上升時間。峰值時間：超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所需的時間稱為峰值時間。調節(jié)時間：達到并保持在穩(wěn)態(tài)值2%或5%的誤差范圍內所需的時間超調量：最大偏離量和穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分數(shù)。如，則響應無超調。35線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析的性能指標穩(wěn)態(tài)響應的性能指標穩(wěn)態(tài)響應的性能指標主要為穩(wěn)態(tài)誤差。當時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出量不等于系統(tǒng)的輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。通常選用階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)作為輸入信號，研究不同類型系統(tǒng)對這三種輸入信號的響應穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的類型有關。對于單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)寫為對應于N=0，N=1，N=2，……的系統(tǒng)，分別稱為0型，1型，2型，……系統(tǒng)。36線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析的性能指標穩(wěn)態(tài)響應的性能指標系統(tǒng)型別階躍輸入r(t)=1(t)斜坡輸入r(t)=t加速度輸入r(t)=t2/20型系統(tǒng)1型系統(tǒng)02型系統(tǒng)0037線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析的性能指標【例3-6】求所示系統(tǒng)在單位脈沖輸入、單位階躍輸入、單位斜坡輸入作用下的響應曲線，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。sys_op=tf(1,[110]); sys_cl=feedback(sys_op); t=0:0.01:15;建立閉環(huán)系統(tǒng)模型，確定響應時間impulse(sys_cl,t); 繪制單位脈沖響應曲線38線性控制系統(tǒng)時域分析時域分析的性能指標【例3-6】求所示系統(tǒng)在單位脈沖輸入、單位階躍輸入、單位斜坡輸入作用下的響應曲線，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。figure(); step(sys_cl,t);創(chuàng)建新圖窗，繪制單位階躍響應曲線創(chuàng)建新圖窗，繪制單位斜坡響應曲線figure();t=0:0.01:10; u=t;lsim(sys_cl,u,t);穩(wěn)態(tài)誤差≈1/K=1課程目錄

1、線性系統(tǒng)模型的描述方法392、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析3、線性控制系統(tǒng)時域分析

4、線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析5、線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析40線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的輻角和幅值條件根軌跡是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部取值的關系曲線圖。系統(tǒng)某一參數(shù)通常采用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的增益（簡稱：開環(huán)增益）。如果給定系統(tǒng)的開環(huán)增益，就可以在根軌跡上確定相對應的閉環(huán)系統(tǒng)特征根。反之，對于給定的根軌跡圖上的某個點，也就是給定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，必定可以確定與其對應的開環(huán)增益。如圖所示的閉環(huán)負反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為41線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的輻角和幅值條件

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根稱為閉環(huán)極點。根據(jù)等號兩邊的輻角和幅值應分別相等的條件，可以得到輻角條件和幅值條件輻角條件：幅值條件：由此可見，滿足輻角條件和幅值條件的s值，就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根，也就是閉環(huán)極點。根軌跡為s平面上只滿足輻角條件的點所構成的圖形，對應于給定開環(huán)增益的特征方程的根可以由幅值條件確定。42線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則將閉環(huán)負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程寫成可見，該閉環(huán)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有n個開環(huán)極點、m個開環(huán)零點，開環(huán)增益K以乘法因子的形式出現(xiàn)在閉環(huán)系統(tǒng)特征方程中。43線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則1．確定根軌跡的起點、終點和分支數(shù)根軌跡各分支起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，那么，有n-m條根軌跡沿著漸近線趨于無窮遠處。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的因子形式，確定開環(huán)極點和開環(huán)零點在s平面上的位置。根軌跡對稱于s平面的實軸，根軌跡分支數(shù)與特征方程根的數(shù)目相等。2．確定實軸上的根軌跡實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點確定了實軸上的根軌跡，實軸上的每一段根軌跡都是在某一開環(huán)極點或開環(huán)零點與另一開環(huán)極點或開環(huán)零點之間。開環(huán)傳遞函數(shù)的共軛復數(shù)極點和共軛復數(shù)零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響。44線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則3．確定根軌跡漸近線根軌跡漸近線為s遠大于1時根軌跡的變化趨勢。閉環(huán)特征方程中，當s的值很大時，根軌跡必將趨近于直線，該直線稱為漸近線。漸近線的條數(shù)為極點和零點個數(shù)的差值，即有n-m條。漸近線的斜率為全部漸近線都相交于實軸，漸近線與實軸交點的坐標s的計算公式為45線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則4．確定分離點與會合點由于根軌跡相對于實軸的對稱性，分離點和會合點或處于實軸上、或位于共軛復數(shù)對上。實際上，分離點和會合點為閉環(huán)特征方程的重根。如果把閉環(huán)特征方程寫成則分離點和會合點可以由方程的根確定。需要說明的是，分離點和會合點必須是輻角方程的根，但此方程的所有根并非都是分離點和會合點。46線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則5．確定復數(shù)極點的出射角和復數(shù)零點的入射角復數(shù)極點的出射角確定了復數(shù)極點附近的根軌跡出發(fā)方向，復數(shù)零點的入射角則指示了復數(shù)零點附近的根軌跡到達方向。復數(shù)極點的出射角和復數(shù)零點的入射角計算公式為47線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則6．確定根軌跡與虛軸的交點有兩種方法可以求出根軌跡與虛軸的交點。（1）利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出，如果勞斯陣列某一行中第一列系數(shù)為零，位于零上面的系數(shù)符號與位于零下面的系數(shù)符號相同，則表明有一對虛根存在。在求解根軌跡與虛軸交點時，可以根據(jù)閉環(huán)特征方程的勞斯陣列的實際情況，利用這些勞斯穩(wěn)定判據(jù)，求出位于虛軸的根以及對應的開環(huán)增益K。（2）直接在閉環(huán)特征方程中令，再分別令實部和虛部等于零，即可求出和K值。48線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡的一般繪制法則7．確定虛軸和原點附近的根軌跡在虛軸兩側和原點附近的根軌跡需要依照幅值條件和輻角條件進行計算描繪。8．確定閉環(huán)極點及相應的K值根軌跡圖描繪的是閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨開環(huán)傳遞函數(shù)增益K值的變化曲線。如果給定開環(huán)傳遞函數(shù)增益K值，應用幅值條件就可以求出與給定增益K值相應的閉環(huán)極點在每一支根軌跡上的位置。同樣，利用幅值條件，也能夠確定根軌跡上任意指定的根所對應的開環(huán)增益K值。49線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析用MWORKS繪制根軌跡圖MWORKS中提供了根軌跡繪制函數(shù)rlocus()將閉環(huán)系統(tǒng)特征方程表示為分子分母多項式形式式中num為分子多項式，den為分母多項式，都以s的降冪形式表示利用tf()函數(shù)，建立對應的開環(huán)系統(tǒng)模型sys：sys=tf(num,den)50線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析用MWORKS繪制根軌跡圖利用rlocus()函數(shù)，就可以繪制出該系統(tǒng)開環(huán)增益K從0到無窮大變化時的根軌跡，調用格式為：rlocus(sys); rlocus(sys,value_range); root,gain=rlocus(sys;fig=false) root,gain=rlocus(sys,value_range;fig=false)value_range：開環(huán)增益取值sys：系統(tǒng)模型root：根軌跡圖中各點對應的極點gain：根軌跡圖中各點對應的開環(huán)增益51線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析用MWORKS繪制根軌跡圖【例3-8】繪制如圖所示的單位負反饋系統(tǒng)的根軌跡圖。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)K的取值范圍是什么？sys=tf([1],[15.56.52]);pole(sys)利用pole()函數(shù)求取開環(huán)系統(tǒng)極點（1）計算系統(tǒng)零極點：由系統(tǒng)框圖可知開環(huán)系統(tǒng)無零點。3-elementVector{ComplexF64}:-3.999999999999995+0.0im-0.9999999999999968+0.0im-0.5000000000000007+0.0im結果為因此，開環(huán)系統(tǒng)包含3個極點52線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析用MWORKS繪制根軌跡圖（2）繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡：rlocus(sys)（3）確定臨界增益：輸出各條根軌跡上的增益和閉環(huán)極點value_range=collect(0:0.01:100); root,gain=rlocus(sys,value_range;fig=false);利用findmin()函數(shù)查找最靠近虛軸的極點，對應增益即為臨界增益。values,indexes=findmin(abs.(real.(root)),dims=2)53線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析用MWORKS繪制根軌跡圖（3）確定臨界增益：([3.999999999999997;5.218048215738236e-14;5.218048215738236e-14;;],CartesianIndex{2}[CartesianIndex(1,1);CartesianIndex(2,3376);CartesianIndex(3,3376);;])運行結果為可知根軌跡與虛軸的交點處，交點的數(shù)組下標為3376root[2,3376]root[3,3376]輸出對應增益gain[3376]結果為33.75則虛軸的根所對應的臨界增益約為33.75。因此，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益的取值范圍為：課程目錄

1、線性系統(tǒng)模型的描述方法542、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、可觀性分析3、線性控制系統(tǒng)時域分析4、線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析

5、線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析55線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析頻率響應系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應。對線性定常系統(tǒng)，記系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)的輸入量和輸出量分別為和，對應的拉氏變換為和。如果輸入量為正弦信號，則穩(wěn)態(tài)輸出量也是一個相同頻率的正弦信號，但是可能具有不同的振幅和相角。當達到穩(wěn)定狀態(tài)時，可以用取代傳遞函數(shù)中的s來計算頻率響應，系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應滿足關系式56線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析頻率響應函數(shù)稱為正弦傳遞函數(shù)。正弦傳遞函數(shù)是頻率的復變函數(shù)，可以表示為幅值和相角兩部分?？梢杂妙l率作為參量，將幅值和相角隨頻率的變化用曲線形式進行描繪。伯德圖奈奎斯特圖尼柯爾斯圖57線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖伯德圖伯德圖由幅值圖和相角圖組成。幅值圖表示的是正弦傳遞函數(shù)幅值隨頻率的變化曲線，相角圖則表示了正弦傳遞函數(shù)相角隨頻率的變化曲線。幅值圖和相角圖的橫坐標都是頻率，采用對數(shù)刻度；縱坐標的幅值和相角都采用線性刻度。幅值圖中，幅值采用的單位是分貝（dB），即相角圖中的相角采用的單位是度（°）。58線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖當不考慮傳遞延遲等非最小相位特性，對于最小相位系統(tǒng)，正弦傳遞函數(shù)的基本組成因子有：比例因子K；積分和微分因子；一階因子；二階因子。由于幅值圖的幅值采用了“分貝”單位，正弦傳遞函數(shù)每個基本因子的幅值相乘關系在幅值圖中轉化為相加關系，所以任何一個正弦傳遞函數(shù)的伯德圖，可以由基本組成因子伯德圖疊加而成。59線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖比例因子K：幅值等于，相角等于0，幅值曲線為一條水平直線。積分因子：相角為常量，等于-90°，用分貝表示的對數(shù)幅值為幅值曲線是斜率為-20dB/十倍頻程的直線。微分因子

:相角為常量，等于90°，用分貝表示的對數(shù)幅值為60線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖一階因子

：用分貝表示的對數(shù)幅值為在低頻段，其對數(shù)幅值可以近似為在高頻段，其對數(shù)幅值可以近似為這是一條當時對數(shù)幅值等于0dB的斜率為-20dB/十倍頻程的直線。61線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖一階因子的伯德圖因此，一階因子的幅值圖可以用兩條漸進直線近似表示:當頻帶為時的0dB直線當頻帶為時的斜率為-20dB/十倍頻程的直線。兩條漸近線相交處的頻率稱為轉角頻率或交接頻率，對于一階因子，頻率1就是轉角頻率或交接頻率。一階因子相角為62線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖一階因子與因子互為倒數(shù)關系。因此，因子的幅值曲線和相角曲線與的幅值曲線和相角曲線僅僅相差一個符號63線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖二階因子式中，是阻尼比，稱為固有頻率。從式中可見，二階因子的幅值和相角除了與頻率有關，還與阻尼比有關。64線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖基本因子的伯德圖二階因子的伯德圖當頻率接近時，幅值曲線可能出現(xiàn)諧振峰，諧振峰值是否存在以及諧振峰的大小都與有關二階因子的轉角頻率為固有頻率；漸近線由兩條直線組成，一條是低頻段的0dB水平線，另一條是高頻段的斜率為-40dB/十倍頻程的直線，兩條直線相交于轉角頻率漸近線在轉角頻率附近與精確曲線相差較大二階因子的幅值和相角曲線與相差一個符號65線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖伯德圖的手工繪制對于幅值曲線，要先繪制其漸近線。幅值漸近線的繪制方法：首先把要繪制的正弦傳遞函數(shù)寫成由上述基本因子的乘積的形式；然后，從低頻到高頻列出每個基本因子的轉角頻率；最后，從低頻開始，在每個轉角頻率，疊加每個基本因子的斜率繪制出幅值漸近線。繪制好幅值漸近線后，就可以在轉角頻率以及轉角頻率附近二倍頻程的范圍內取若干個頻率點，對幅值漸近線加以修正，從而得到伯德圖的幅值曲線。疊加每個基本因子的相角曲線，就得到伯德圖的相角曲線。66線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖用MWORKS繪制伯德圖bode(sys) bode(sys,w) mag,phase,wout=bode(sys,fig=false) mag,phase,wout=bode(sys,w,fig=false)如果sys為多輸入多輸出系統(tǒng)，則bode()產生數(shù)組伯德圖，每個圖顯示一個輸入/輸出對的頻率響應。對于函數(shù)bode(sys,w)，如果w是標量，則計算0到w之間的頻率響應；如果w是頻率向量，則計算每個指定頻率處的響應。在bode()命令后執(zhí)行bodegrid(true)命令可顯示伯德圖網格。w：頻率取值sys：系統(tǒng)模型mag：伯德圖中各點對應的幅值phase：伯德圖中各點對應的相角wout：伯德圖中各點對應的頻率67線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析伯德圖或對數(shù)坐標圖用MWORKS繪制伯德圖【例3-9】給定單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)繪制此系統(tǒng)的伯德圖。創(chuàng)建系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，繪制帶有網格線的伯德圖G=tf([51],[0.10.0410]);bode(G)bodegrid(true)繪制結果68線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖極坐標圖通常稱為奈奎斯特圖，是在極坐標上表示正弦傳遞函數(shù)的幅值與相角隨由零變化到無窮大的關系圖。因此奈奎斯特圖是從零到無窮大時向量的軌跡。奈奎斯特圖中橫坐標和縱坐標分別為實軸和虛軸，實軸和虛軸構成了復平面。正相角是從正實軸開始，以逆時針旋轉定義的，負相角同樣是從正實軸開始，以順時針旋轉定義的。69線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖積分和微分因子：對于積分因子，可見，的奈奎斯特圖是負虛軸。微分因子的奈奎斯特圖是正虛軸。一階因子：一階因子70線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖一階因子：在和處，分別有趨于無窮大時，的幅值趨近于0，相角趨近于-90°。當頻率從零變化到無窮大時，一階因子的奈奎斯特圖是一個半圓，圓心位于實軸0.5處，半徑等于0.5。71線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖一階因子：一階因子的奈奎斯特圖，是復平面上通過點（1，0），并且平行于虛軸的一條射線。72線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖二階因子：對于二階因子在頻率點，有，二階因子的奈奎斯特圖與正虛軸相交，相角為-90°。當從零變化到無窮大時，二階因子的奈奎斯特圖從開始到結束。當取值很大、遠大于1時，的軌跡趨近于半圓。73線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖二階因子：當取值較小、處于欠阻尼情況時，頻率響應出現(xiàn)諧振峰。如圖3.20所示，在奈奎斯特圖上，距離原點最遠的頻率點就是諧振頻率，對應的幅值就是諧振峰值。74線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖基本因子的奈奎斯特圖二階因子：對于二階因子在頻率點，，這表明，在頻率點，二階因子的奈奎斯特圖與正虛軸相交，相角為90°。當從零變化到無窮大時，二階因子的奈奎斯特圖從開始到結束。75線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖用MWORKS繪制奈奎斯特圖nyquist(sys) nyquist(sys,w) re,ime,wout=nyquist(sys,fig=false) re,ime,wout=nyquist(sys,w,fig=false)如果sys為多輸入多輸出系統(tǒng)，則nyquist()將產生數(shù)個奈奎斯特圖，每個圖顯示一對輸入/輸出的頻率響應使用nyquist(sys,w)時，如果w是標量，則計算頻率從0到w之間的頻率響應。如果w是頻率向量，則計算每個指定頻率對應的頻率響應。w：頻率取值sys：系統(tǒng)模型re：奈奎斯特圖中各點的實部ime：奈奎斯特圖中各點的虛部wout：奈奎斯特圖中各點對應的頻率76線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖用MWORKS繪制伯德圖【例3-10】給定單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)繪制此系統(tǒng)的奈奎斯特圖。創(chuàng)建系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，繪制奈奎斯特圖G=tf([1],[1,1.4,1.4,1]);nyquist(G)繪制結果77線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是一種根據(jù)開環(huán)頻率響應和開環(huán)極點，確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。對于如圖所示的閉環(huán)反饋系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)將開環(huán)頻率響應與開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來。這樣，不需要求出閉環(huán)極點，只要知道開環(huán)頻率響應數(shù)據(jù)，繪制出開環(huán)頻率響應曲線，就可以分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。78線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)表述如下：（1）在s軸上沒有極點也沒有零點的情況。如果開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有i個極點，并且，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當從變到時，的軌跡必須逆時針包圍點i次。（2）有s軸上的極點和（或）零點的情況。如果開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有i個極點，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當變量s順時針通過變化后的奈奎斯特軌跡時，的軌跡必須逆時針包圍點i次。（這種情況下，如果有極點或零點位于原點（或者位于軸上除原點以外的其他點），則s平面上的封閉曲線形狀必須加以改變。例如，在原點附近改變封閉曲線形狀的方法通常是采用具有無限小半徑的半圓）79線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析對數(shù)幅-相圖或尼柯爾斯圖對數(shù)幅-相圖也稱為尼柯爾斯（Nichols）圖。對數(shù)幅-相圖將伯德圖的幅值和相角兩條曲線合并成一條曲線。

對數(shù)幅-相圖的橫坐標為相角，縱坐標為分貝數(shù)表示的對數(shù)幅值，描述了正弦傳遞函數(shù)的幅值和相角隨頻率的變化曲線。對數(shù)幅-相圖中，改變正弦傳遞函數(shù)的增益，將使曲線上下移動，曲線形狀不變。正弦傳遞函數(shù)和的對數(shù)幅-相圖相對原點斜對稱。二階因子的尼柯爾斯圖80線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析對數(shù)幅-相圖或尼柯爾斯圖通過nichols()函數(shù)可繪制系統(tǒng)的尼柯爾斯圖。nichols(sys) nichols(sys,w) mag,phase,wout=nichols(sys,fig=false)mag,phase,wout=nichols(sys,w;fig=false)w：頻率取值sys：系統(tǒng)模型mag：尼柯爾斯圖中各點的幅值phase：尼柯爾斯圖中各點的相角wout：尼柯爾斯圖中各點對應的頻率81線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標諧振頻率和諧振峰值對于正弦傳遞函數(shù)，如果在某一頻率上具有峰值，則該頻率稱為諧振頻率，對應的峰值稱為諧振峰值。如果正弦傳遞函數(shù)為二階因子其諧振頻率為從式中可見，諧振頻率的大小，除了與固有頻率有關外，還與阻尼比有關。當阻尼比趨近于零時，諧振頻率趨近于固有頻率；時，將不產生諧振峰值，幅值隨著頻率的增大而單調減小。82線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標諧振頻率和諧振峰值當時，對應諧振頻率點的諧振峰值為對應諧振頻率點的相角為83線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標幅值裕度和相角裕度開環(huán)傳遞函數(shù)的軌跡越靠近點，系統(tǒng)響應的振蕩越大，因此軌跡對復平面上點的靠近程度可以用來度量穩(wěn)定裕度，通常用幅值裕度和相角裕度表示這種靠近程度。在伯德圖的相角曲線上，相角為-180°對應的頻率稱為相角交界頻率，用表示。在相角交界頻率的幅值的倒數(shù)稱為幅值裕度。因此幅值裕度為如果用分貝表示，則有對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，幅值裕度表示了系統(tǒng)在變成不穩(wěn)定之前，幅值可以增加到多少。對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，幅值裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，幅值應當減小多少。84線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標幅值裕度和相角裕度在伯德圖的幅值曲線上，幅值等于1對應的頻率稱為幅值交界頻率，用表示。在幅值交界頻率點，使系統(tǒng)達到不穩(wěn)定邊緣所需要的額外相角滯后量稱為相角裕度。如果幅值交界頻率處的相角為，則相角裕度為。為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相角裕度必須為正值。穩(wěn)定系統(tǒng)具有正幅值裕度和正相角裕度。穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)85線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標截止頻率和帶寬截止頻率和帶寬的一種定義為：當閉環(huán)頻率響應的幅值下降到0dB以下3dB時，對應的頻率稱為截止頻率，頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。86線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標用MWORKS求頻率響應有關的性能指標利用getPeakGain()和bandwidth()函數(shù)可求得閉環(huán)系統(tǒng)的諧振頻率、諧振峰值和帶寬。gpeak,fpeak=getPeakGain(sys) fb=bandwidth(sys)sys：系統(tǒng)模型gpeak：系統(tǒng)諧振峰值fpeak：系統(tǒng)諧振頻率fb：系統(tǒng)帶寬87線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖用MWORKS繪制伯德圖【例3-11】考慮一閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為繪制閉環(huán)系統(tǒng)的頻率響應曲線伯德圖，求系統(tǒng)的諧振頻率、諧振峰值和帶寬。建立系統(tǒng)模型，繪制伯德圖，計算其諧振頻率、諧振峰值和帶寬。G=tf([1],[1,0.3,1]);bode(G);bodegrid(true);gpeak,fpeak=getPeakGain(G)fb=bandwidth(G)運行結果(3.37147623229962,0.9769696489931585)1×1Matrix{Float64}:1.5298268795134435諧振峰值約為3.37dB，諧振頻率0.98rad/s，帶寬1.53rad/s88線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析與頻率響應有關的性能指標用MWORKS求頻率響應有關的性能指標margin()命令可求得系統(tǒng)的幅值裕度、相角裕度、相角交界頻率和幅值交界頻率，并將它們標在伯德圖上。margin(sys) margin(sys,w) Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys,fig=false)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys,w,fig=false)sys：系統(tǒng)模型w：頻率取值Gm：系統(tǒng)幅值裕度Pm：系統(tǒng)相角裕度Wcg：幅值交界頻率Wcp：相角交界頻率89線性控制系統(tǒng)的頻率響應分析極坐標圖或奈奎斯特圖用MWORKS繪制伯德圖【例3-12】考慮單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制開環(huán)系統(tǒng)的頻率響應曲線伯德圖，求系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度，以及相角交界頻率和幅值交界頻率。G=tf([1],[1,2,1,0]);margin(G)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G,fig=false)運行結果(gm=[2.0007426761317806;;],pm=[21.366171202343253;;],wgm=[1.0001856431838019;;],wpm=[0.6825864205437403;;])幅值裕度6.02dB，相角裕度21.37°；相角交界頻率1.00rad/s，幅值交界頻率0.68rad/s創(chuàng)建系統(tǒng)模型，繪制伯德圖，計算幅值裕度和相角裕度，以及相角交界頻率和幅值交界頻率本章小結90介紹了線性定常系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)以及狀態(tài)空間的描述方法；線性定常系統(tǒng)的各種描述方法的MWORKS實現(xiàn)；基于狀態(tài)空間描述的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀測性的判定方法；Syslab中典型輸入信號作用下的時間響應和瞬態(tài)響應性能指標求取；根軌跡的一般繪制方法以及MWORKS的根軌跡繪制函數(shù)；頻率響應曲線的繪制方法以及相應的MWORKS函數(shù)；幅值裕度、諧振峰、帶寬等頻率響應性能指標的定義以及各項性能指標在MWORKS中的求取方法；第3章

基于飛行器線性模型的

控制系統(tǒng)仿真分析91（二）飛機自動飛行控制系統(tǒng)分析設計課程目錄6、飛機自動飛行控制功能928、俯仰角控制系統(tǒng)設計9、高度控制系統(tǒng)設計7、飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型93飛機自動飛行控制功能本節(jié)及隨后的三小節(jié)將以常規(guī)氣動布局的固定翼飛機為研究對象，該飛機的基本數(shù)據(jù)：機翼面積：機翼（半）展長：質量：發(fā)動機最大推力：巡航飛行高度：巡航飛行速度：94飛機自動飛行控制功能飛機的自動飛行控制系統(tǒng)（AutomaticFlightControlSystem，AFCS）的基本功能自動飛行控制功能操作和使用功能安全性功能縱向運動控制橫側向運動控制升降速度控制和保持俯仰角保持高度保持高度預選下滑道信標跟蹤控制速度預選和保持航向預選和保持伏爾/航向信標航道跟蹤控制遠程導航航跡的跟蹤控制課程目錄

6、飛機自動飛行控制功能958、俯仰角控制系統(tǒng)設計9、高度控制系統(tǒng)設計

7、飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型96飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型飛機大部分時間處于巡航飛行階段，有些飛機只允許在巡航飛行階段接通AFCS，將飛機從人工駕駛轉移到自動駕駛。

巡航飛行階段一般是最平穩(wěn)的飛行階段，該階段飛行可以近似為定常運動或勻速直線運動，飛機縱向對稱面處于鉛垂面內，運動所在平面與縱向對稱面重合，即此時的基準運動沒有傾斜和側滑。

在巡航飛行階段，飛機縱向運動特性可以分為短周期運動和長周期運動，下面分別給出對應的傳遞函數(shù)模型。97飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型飛機在巡航飛行階段的縱向短周期和長周期運動的傳遞函數(shù)短周期運動長周期運動升降舵偏角為輸入：油門位置為輸入：升降舵偏角為輸入：油門位置為輸入：為迎角增量，為沿機體側向軸轉動角速率增量為速度增量，為俯仰角增量98飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型系數(shù)定義系數(shù)定義短周期運動傳遞函數(shù)模型中的系數(shù)定義99飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型系數(shù)定義系數(shù)定義短周期運動傳遞函數(shù)模型中的系數(shù)定義由于舵面偏轉產生的升力相比機翼升力很小，可以忽略，因此可以進一步簡化模型系數(shù)，得到簡化后的系數(shù)定義。在后續(xù)的短周期傳遞函數(shù)模型分析中，都使用簡化的系數(shù)定義。100飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型系數(shù)定義系數(shù)定義系數(shù)定義長周期運動傳遞函數(shù)模型中的系數(shù)定義101飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型之前各表中有關飛機和飛行狀態(tài)的參數(shù)以及氣動力參數(shù)包括：

：飛機質量；：巡航飛行這一基準運動的速度；：繞機體系側向軸的轉動慣量；：發(fā)動機推力偏心距離；：當?shù)刂亓铀俣龋?、、：分別為升力對升降舵偏角、迎角、速度的導數(shù)；、、、、：分別為俯仰力矩對升降舵偏角、機體繞側向軸角速率（俯仰角速率）、迎角角速率、迎角、速度的導數(shù)；、：分別為發(fā)動機推力對油門桿位置、速度的導數(shù)；、：阻力對迎角、速度的導數(shù)。102飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型在巡航階段，各參數(shù)取值如下系數(shù)定義系數(shù)定義1450946.64N/rad-26.663×106(N·m)/rad23356476N/rad024206.9256N/rad9037.34N/rad-38.0354×106(N·m)/rad0-10.9133×106(N·m)/(rad/s)812682N/rad-0.0171×106(N·m)/(rad/s)551.369N/(m/s)系數(shù)定義系數(shù)定義1.3×105kg264m/s10.53×106kg·m22.65m9.78m/s2103飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型得出飛機在巡航飛行階段的縱向短周期和長周期運動的傳遞函數(shù)短周期運動長周期運動課程目錄6、飛機自動飛行控制功能104

8、俯仰角控制系統(tǒng)設計9、高度控制系統(tǒng)設計7、飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型105俯仰角控制系統(tǒng)設計短周期運動一般根據(jù)飛行動力學和飛行控制以及相關的飛行品質標準規(guī)范，確定短周期運動的性能指標要求。本文在俯仰角控制系統(tǒng)回路設計中采用的性能指標為：無阻尼自然頻率：阻尼比：幅值裕度：大于3~6dB相角裕度：大于30°~60°106俯仰角控制系統(tǒng)設計短周期運動按照性能指標要求確定俯仰控制系統(tǒng)的反饋控制回路結構。兩個反饋回路：內回路為俯仰角速率反饋，外回路為俯仰角反饋。這樣的回路結構能改善俯仰角運動（也就是短周期運動）的阻尼特性，提高無阻尼自然頻率。107俯仰角控制系統(tǒng)設計短周期運動由圖可見，俯仰角控制律為則以俯仰角控制指令為輸入，為輸出的傳遞函數(shù)為108俯仰角控制系統(tǒng)設計短周期運動式中，的值很小，這個零點主要影響飛機短周期運動中俯仰角速度響應，對俯仰角響應的調節(jié)時間影響很小，因此這里假設。

則原式簡化為二階系統(tǒng)對照俯仰控制系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率性能要求，將上式寫成二階系統(tǒng)標準形式：比較兩式得到系數(shù)109俯仰角控制系統(tǒng)設計短周期運動俯仰角控制系統(tǒng)的控制律為110俯仰角控制系統(tǒng)設計俯仰角控制系統(tǒng)仿真模型在后續(xù)的仿真分析中，舵機模型用一階慣性環(huán)節(jié)表示舵機時間常數(shù)在Sysplorer中搭建俯仰角控制系統(tǒng)模型如圖所示。from_deg模塊和to_deg模塊是角度制和弧度制的轉換模塊，位于Blocks/Math/UnitConversions模塊庫。111俯仰角控制系統(tǒng)設計伯德圖繪制與分析根據(jù)俯仰角控制系統(tǒng)模型框圖，在Syslab中計算開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)，并繪制系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)伯德圖。#=計算俯仰角控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)=#s=tf('s');num=[-3.612-2.458];den=[11.7193.237];G_q_de=tf(num,den); #=飛機短周期運動傳遞函數(shù)=#k_q=0.69;k_theta=1.60; #=控制律參數(shù)=##=內環(huán)前向傳遞函數(shù)=#GO_innerloop=G_q_de*(-1/(0.03*s+1)); #=內環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)=#GC_innerloop=feedback(GO_innerloop,k_q); #=外環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)=#GO_outerloop=k_theta*GC_innerloop*1/s;#=外環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)=# GC_outerloop=feedback(GO_outerloop);#=繪制伯德圖=# figure();bode(GO_outerloop);bodegrid(true);figure();bode(GC_outerloop);bodegrid(true);

其中，G_q_de為系統(tǒng)短周期運動環(huán)節(jié)k_q和k_theta分別為控制律參數(shù)和112俯仰角控制系統(tǒng)設計伯德圖繪制與分析所設計的俯仰角控制系統(tǒng)相角裕度約為88°，幅值裕度約為26.5dB。開環(huán)伯德圖閉環(huán)伯德圖閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬約為1.21rad/s。113俯仰角控制系統(tǒng)設計根軌跡繪制與分析固定，得到隨參數(shù)變化的特征方程為：利用Syslab繪制關于參數(shù)的根軌跡。為使作出的根軌跡圖像更為光滑，使用logspace()命令構造指數(shù)遞增的增益參數(shù)。#=根軌跡分析=#figure();gain=logspace(-4,3,1000);rlocus(GC_innerloop*1/s,gain)logspace()函數(shù)構造了取值從1e-4變化到1e3，共1000個增益參數(shù)的數(shù)組。114俯仰角控制系統(tǒng)設計根軌跡繪制與分析由圖可以看出，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，的取值范圍為。115俯仰角控制系統(tǒng)設計階躍響應的仿真與分析將模型中的階躍輸入（step）模塊的組件參數(shù)Height設置為5，并設置仿真時間為10s，開始仿真。在仿真瀏覽器中，選擇模塊to_deg的輸出變量y作為觀察變量，繪制y(t)曲線，可得俯仰角控制系統(tǒng)在

的階躍指令下的時間響應曲線。階躍俯仰角指令響應曲線無超調，表現(xiàn)出過阻尼系統(tǒng)的響應特性。系統(tǒng)的上升時間約為3.13s（從10%上升至穩(wěn)態(tài)值的90%計算），調節(jié)時間約為6.13s（以誤差范圍為5%計算）。課程目錄

6、飛機自動飛行控制功能1168、俯仰角控制系統(tǒng)設計

9、高度控制系統(tǒng)設計7、飛機縱向運動傳遞函數(shù)模型117高度控制系統(tǒng)設計控制律選取高度與俯仰角的關系式如下：因此，通過控制飛機的俯仰角可以實現(xiàn)高度控制。高度控制系統(tǒng)為雙回路結構，內回路為俯仰角控制系統(tǒng)，外回路則由高度反饋構成。118高度控制系統(tǒng)設計控制律選取為了實現(xiàn)對高度的高精度控制，控制律選為PI控制律于是，以為輸出、為輸入的傳遞函數(shù)為綜合俯仰角控制系統(tǒng)和高度控制系統(tǒng)，升降舵的操縱指令為119高度控制系統(tǒng)設計控制律選取考慮到內回路俯仰角控制系統(tǒng)響應速度快，可忽略內回路的動態(tài)響應過程，將俯仰角控制系統(tǒng)視為比例環(huán)節(jié)，用其增益表示：此時，飛機高度控制系統(tǒng)方框圖簡化如下。假設。于是，高度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)簡化為120高度控制系統(tǒng)設計控制律選取基于同樣的分析方法，將高度控制系統(tǒng)的性能用和表示，于是有當高度控制系統(tǒng)沒有跟蹤誤差時，

。對比傳遞函數(shù)得121高度控制系統(tǒng)設計根軌跡繪制與分析在根軌跡分析中，仍然假設，并將舵機視為比例環(huán)節(jié)。以為參數(shù)，繪制高度控制系統(tǒng)閉環(huán)特征根軌跡的變化曲線。當時，高度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以整理為其中。得到高度控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)122高度控制系統(tǒng)設計根軌跡繪制與分析相應開環(huán)傳遞函數(shù)為。繪制根