新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納+重點(diǎn)

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新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第十一章三角形

一、知識(shí)框架:

」三角形的外角畫(huà)------------多邊形的內(nèi)角和

—形的內(nèi)角和卜I多邊形的.角和

二、知識(shí)概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的

高.

4.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

5.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的

線段叫做三角形的角平分線.

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平

面，

13.公式與性質(zhì)：

⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°

⑵三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

⑶多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）?180°

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

⑸多邊形對(duì)角線的條數(shù)：從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（〃-3）條對(duì)角線,

第十二章全等三角形

第一節(jié)：全等三角形

形狀大小放在一起完全重合的圖形，叫做全等形。換句話說(shuō)，全等形就是能夠完全重合

的圖形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

兩個(gè)全等的三角形重合放在一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重

合的角叫做對(duì)應(yīng)角。兩個(gè)三角形全等用符號(hào)“且”表示。如A4BC絲AA5C。其中對(duì)應(yīng)的邊

是與4B，、4c與AC，、BC與B'C'。如若前一個(gè)三角形的邊的表示字母變換位置，那么

后一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)字母也要變換位置，如CB與C?為對(duì)應(yīng)邊。

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

第二節(jié)：三角形全等的判定

上節(jié)中知道全等三角形的三條對(duì)應(yīng)邊，三個(gè)對(duì)應(yīng)角均分別相等。那么是否可以從逆推得

三角形全等呢？

由于三角形具有穩(wěn)定性，那么畫(huà)圖得兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊分別相等的三角形，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)?，?duì)

應(yīng)角也相等。

再次，畫(huà)圖得兩個(gè)對(duì)應(yīng)角分別相等的三角形，發(fā)現(xiàn)，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，但是不一定

相等，例如，兩個(gè)等邊三角形，角都相等，但是邊長(zhǎng)不一定相等。

所以有判定一：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（邊邊邊或SSSZ

畫(huà)圖得兩個(gè)角度相等，邊分別相等的兩個(gè)角，依次分別連接角的邊的端點(diǎn)，得兩個(gè)全等

的三角形（兩邊與夾角確定第三邊）.

有判定二：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（邊角邊或SAS）。

畫(huà)圖得兩條長(zhǎng)度相等的線段，分別以線段兩端點(diǎn)為起點(diǎn)做射線，射線與線段的夾角對(duì)應(yīng)

相等，兩條射線相交與一點(diǎn)，形成兩個(gè)三角形。這兩個(gè)三角形全等。

有判定三：兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（角邊角或ASA）。

畫(huà)圖得兩個(gè)角度和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)角，分別從該邊向另一邊引一條射線，射線與另

一邊的夾角對(duì)應(yīng)相等。形成的兩個(gè)三角形全等。

有判定四：兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（角角邊或4AS）。

畫(huà)圖得兩個(gè)直角三角形，它們的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等。

有判定五：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（斜邊、直角邊或

第三節(jié)：角的平分線的性質(zhì)

作圖：已知NA08,求作NAQB的平分線

做法：1、以。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于交0B于N；2、分別以M、

N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAQB的內(nèi)部交于點(diǎn)C；3、畫(huà)射線0C。

2

射線0C即為所求。

從射線OC上任選一點(diǎn)，分別作OA、0B的垂線段，沿著0C折疊，會(huì)發(fā)現(xiàn)OA、0B的垂

線段完全重合。

故，有角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

同理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

①確定己知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、

等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；

②回顧三角形判定，搞清我們還需要什么；

③正確地書(shū)寫(xiě)證明格式（順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問(wèn)題）。

可以逆推，由需要證明的結(jié)論一步步推導(dǎo)出已知條件。

第十三章軸對(duì)稱(chēng)

第一節(jié)軸對(duì)稱(chēng)

如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)

稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸?？梢哉f(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱(chēng)。

把一個(gè)圖形沿著以一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形

關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)

稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱(chēng)。

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

第二節(jié)：畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形

畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形的步驟：1、選擇已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；2、依次過(guò)它們做垂直于已知直線的

垂線，截取直線兩邊的線段長(zhǎng)度相等，則新點(diǎn)即是已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)；3、

依次連接各個(gè)點(diǎn)。所得圖形即為已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形。

軸對(duì)稱(chēng)圖形可以經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得出。

用坐標(biāo)軸表示軸對(duì)稱(chēng)：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)（x,y）與（x,-y）；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（x,y）與（-x,

y）。

第三節(jié)等腰三角形

有兩個(gè)邊相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。簡(jiǎn)言之：等邊對(duì)等角。

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。簡(jiǎn)

言之：等角對(duì)等邊。

一種特殊的等腰三角形一一等邊三角形，三條邊相等，三個(gè)角相等并且都為60。。

反推，三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角

形。

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

第十四章整式的乘法與因式分解

第一節(jié)：整式的乘法

1.同底數(shù)幕的乘法

一般地，對(duì)于任意底數(shù)。與任意正整數(shù)小，有o'"'（機(jī)、〃都是正整數(shù)）。即同底

數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。該乘法法則是累的運(yùn)算中最基本的法則.

在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件是：嘉的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)

字式字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式；

②指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒(méi)有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)基的乘法與整式的加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相

加；而對(duì)于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加：

④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)塞相乘時(shí)，法則可推廣為4?"'?一'=a"""+「（其中加、

〃、p均為正整數(shù)）；

⑤公式還可以逆用：/'+"=，"?〃"（〃?、〃均為正整數(shù)）。

2.哥的乘方

一般地，對(duì)任意底數(shù)。與任意正整數(shù)〃?、〃，有（〃八〃都是正整數(shù)）。即幕的

乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。該法則是基的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的，但兩者不能混淆。

另有：（廢尸（n〃都是正整數(shù)）。

當(dāng)?shù)讛?shù)有負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)算時(shí)要注意,底數(shù)是。與G。）時(shí)不是同底,但可以利用乘方法則化成同

底,

如將（-4化成

優(yōu)（當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)），

一般地（一0）”=<

-優(yōu)（當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)）.

底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。

要注意區(qū)別（必尸與3+5）"意義是不同的，不要誤以為（。+6尸=/+父（a、b均不為零）。

3.積的乘方法則

一般地，對(duì)于任意底數(shù)。、〃與任意正整數(shù)人有（。與"=優(yōu)力"（〃為正整數(shù)）。即積的

乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

塞的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。

4.整式的乘法

1）單項(xiàng)式乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單

項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的

是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆：

②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；

④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。

2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；

②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序。

3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再

把所得的積相加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)

數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；

②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類(lèi)項(xiàng)；

③對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘

（x+a）（x+Z?）=x2+（a+h）x+ah,

其二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的

積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式（3+〃）和（nx+b）相乘可以得

(iwc+a)(nx+b)-mnx1+(mb+nd)+ah?

第二節(jié)：乘法公式

1.平方差公式

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，即（。+與（。-。

其結(jié)構(gòu)特征是：

①公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)；

②公式右邊是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。

2.完全平方公式

兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即

（a+b）2=a~+2ab+b2?

口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央。

結(jié)構(gòu)特征：

①公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方；

②公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。

在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào)，以及避免出現(xiàn)

（a±b）2=a2±b2這樣的錯(cuò)誤。

添括號(hào)法則：添括號(hào)是，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；

如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。即添正不變號(hào)，添負(fù)各項(xiàng)變號(hào)。

去括號(hào)法則同樣。

第三節(jié)：整式的除法

1.同底數(shù)暴的除法法則：一般地，有詭"（存0,小〃都是正整數(shù)，且加>〃），

即同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

①法則使用的編提條件:“同底數(shù)塞相除”而且。不能做除數(shù)，所以法則中存0。

②任何不等于0的數(shù)的0次幕等于1,即?！?1（。工0）,如10°=1,（-2.5）°=1,則0°無(wú)意

義。

③任何不等于0的數(shù)的-P次基S是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的p的次基的倒數(shù)，即

二（四0,P是正整數(shù)），而0L0-3都是無(wú)意義的；當(dāng)〃>0時(shí)，力的值一定是正的；當(dāng)

ap

a

時(shí)，V的值可能是正也可能是負(fù)的，如

（一2）-2=—=工，（_2）-3=_L^=_JL；

（-2）24（-2）38

④運(yùn)算要注意運(yùn)算順序。

2.整式的除法

1）單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)基分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式；

2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

特點(diǎn)：把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)

數(shù)相同，另外還要特別注意符號(hào)。

第四節(jié)：因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化成兒個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做

把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系。

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；

（2）因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘。

分解因式的一般方法：

1.提公共因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化

成兩個(gè)因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

如：ab+ac-a(b+c)?

概念內(nèi)涵：

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；

(2)公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律，即：

ma+mh—mc-m(a+h—c)

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與幕指數(shù)是否搞錯(cuò)；

(2)公因式是否提“干凈”；

(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式，提出后，括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉。

2.運(yùn)用公式法

如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。這種分解因式的方法叫做

運(yùn)用公式法。

主要公式：

(1)平方差公式：a2-b2-(a+h)(a-b)

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2-(a-b)2

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

因式分解要分解到底。如-)/=(x2+y2)(x2-/)就沒(méi)有分解到底。

運(yùn)用公式法：

(1)平方差公式：

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；

③二項(xiàng)是異號(hào)。

(2)完全平方公式：

①應(yīng)是三項(xiàng)式；

②其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；

③還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)塞的底數(shù)乘積的2倍。

因式分解的思路與解題步驟：

(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的。

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

第五節(jié)：補(bǔ)充

1.分組分解法：

利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法。

如：am+an+bm+bn-a(m+n)+b(m+n)-(a+/?)(〃?+〃)

概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組，要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分

解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式。

注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化。

2.十字相乘法：

對(duì)于二次三項(xiàng)式以2+bx+c,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積，

ay

a-ax-a2,c-c{-c2,且滿足》+。2。1，往往寫(xiě)成加的形式，將二次三項(xiàng)

式進(jìn)行分解。

2

如：ax+bx+c=(a]x+cl)(a2x+c2)

二次三項(xiàng)式/+川+^的分解：

p=a+bq=ab

1va

1入b

/++夕=(x+a)(x+b)

規(guī)律內(nèi)涵：

把f+px+q分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)g是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它

們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)P的符號(hào)相同。

如果常數(shù)項(xiàng)g是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次

項(xiàng)系數(shù)P的符號(hào)相同，對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p。

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；

(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正

確。

第十五章分式

知識(shí)點(diǎn)一：分式的定義

A

一般地，如果A,B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式，A為

B

分子，B為分母。

知識(shí)點(diǎn)二：與分式有關(guān)的條件

①分式有意義：分母不為O(BwO)

②分式無(wú)意義：分母為0(B=0)

A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0（《)

">°或.A<0

④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（!)

S>0B<0

A>0A<0

⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或,)

B<0B〉0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為T(mén)：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=O）

經(jīng)典例題

1、代數(shù)式4一,是（）

X

A.單項(xiàng)式B.多項(xiàng)式C.分式D.整式

.21、71工工中，分式的個(gè)數(shù)為（）

2、在一,—(z尤+y)，-----，一

x3)一3a4

A.1B.2C.3D.4

3、當(dāng)。是任何有理數(shù)時(shí)，下列式子中一定有意義的是（）

Q+1Q+1a+1。+1

A.----B.C.-3—D.

aa~Q-+1a2-l

八?^冗+1z-xX—1oX—11

4、當(dāng)x=l時(shí),分式①——，——,④中，有意義的是（)

x—12x—2X—1丁+1

A.①③④B.③④C.②④D.@

QI4

5、使分式r絲的值為0,則X等于（）

8x—3

6、若分式一x----1---的值為0,則X的值是（）

x+x—2

A.1或一1B.1C.-1D.-2

_r4-1

7、當(dāng)x_________時(shí)，分式上」的值為正數(shù).

X-1

8、當(dāng)x_________時(shí)，分式上r4」-1的值為負(fù)數(shù).

x-\

9、當(dāng)％=__________時(shí)，分式—Y-4-1的值為L(zhǎng)

3x—2

知識(shí)點(diǎn)三：分式的基本性質(zhì)

1.分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

上一AA*CAA

字母表不：一=-----,?=其中A、B、C是整式，CHO。

BB?CBB+C

拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的

值不變，即

A__A__4_A

--W~~^B

注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意CHO這個(gè)限制條件和隱含條件BHO。

經(jīng)典例題

1、把分式‘一的分子、分母都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（）

a+b

A.不變B.擴(kuò)大2倍C.縮小2倍D.擴(kuò)大4倍

2、下列各式正確的是（）

a+x_a+\y_y2

_nnaz八、nn-a

A.—D.—7C.—=-----,(QW0)D.—=

b+xb+\xx~mmamm-a

3、下列各式的變式不正確的是（）

-22-yy_3x3xr-8尤8x

A.—=------B.—:-=——C.------=-------D.--------=

3y3y-6x6x-今4y3y—3y

知識(shí)點(diǎn)四：分式的約分

定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因式。

注意：①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然

后約去分子分母相同因式的最低次幕。

②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。

知識(shí)點(diǎn)四：最簡(jiǎn)分式的定義

一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。

經(jīng)典例題

,,..?2ab,%2—9

1、約分：①———；---------

2Qa2bx~-6x+9

2、化簡(jiǎn)修的結(jié)果是（）

m

D、

m+3m+3加一33-/77

知識(shí)點(diǎn)五：分式的通分

第四節(jié)分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等

的同分母分式，叫做分式的通分。

第五節(jié)分式的通分最主要的步驟是最簡(jiǎn)公分母的確定。

最簡(jiǎn)公分母的定義：取各分母所有因式的最高次嘉的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡(jiǎn)公分母。

確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟：

I取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

II單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的哥的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式;

III相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指數(shù)最大的。

IV保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的事的因式都要取。

注意：分式的分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。

經(jīng)典例題

1、分式42c，—aV，5上b二的最簡(jiǎn)公分母是（）

3crb-4b4clac2

A.12abcB.—\2abcC.24a2b4c2D.\2a~b4c2

2、通分：而‘赤'與痂

知識(shí)點(diǎn)六:分式的四則運(yùn)算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

ac_a*c

式子表示為:bed-bTd

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

adaed

式子表示為：3十￡——?—=-------

bdbcb-c

②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子（二］=—

IbJb"

③分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

aba+b

-i-=-------

CCC

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為

a+cad±he

bdbd

整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號(hào)，要加括號(hào)，看作是分

母為1的分式，再通分。

④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰(shuí)在前先算誰(shuí)，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，也

要注意靈活，提高解題質(zhì)量.

注意：在運(yùn)算過(guò)程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便

跳步，以便查對(duì)有無(wú)錯(cuò)誤或分析出錯(cuò)的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式

（或整式）。

經(jīng)典例題

1、下列運(yùn)算正確的是（）

6

%x+y八-x+V?a+x_a

A.——=xB.——-=0C.--------=-1D.

Xx+yx-yb+xb

2、計(jì)算：①（一處）3=②(―與一(士)3、4)2

3cacb

知識(shí)點(diǎn)七:整數(shù)指數(shù)累

①引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)暴后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正整數(shù)幕的法則

對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)事一樣適用。即

★a"'d=a"'+"★（aw）Z，=amn★（ab）"=a?"V"=產(chǎn)"（aW0）

★f-1=—★<?-"=，（a/0）

IbJb'1an

★。。=1（。/0）（任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

科學(xué)記數(shù)法

若一個(gè)數(shù)x是0<x<l的數(shù)，則可以表示為axlO"（1<同<10,即a的整數(shù)部分只有一

位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=從左邊第一個(gè)0起到第一個(gè)不為0的數(shù)為止所有的。的

個(gè)數(shù)的相反數(shù)。0.0000125-1.25xlO-7

7個(gè)0

若一個(gè)數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為axl（r（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一位，n

為整數(shù)）的形式，n的確定n二比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少1。如12QOOOOQO=1.2x108

9個(gè)數(shù)字一

YIc21

1,計(jì)算：①———-;②法+標(biāo)

X-11-X

2x工的結(jié)果是（

2、化簡(jiǎn))

X2-4x-2

113x—23x+2

A.B.-------C.——DF

x+2x—2X2-4

9—的結(jié)果是（

3、化簡(jiǎn)，

a-ha(a-b)

a+ba-bb-a

A.B.-------C.----D.Q+b

aaa

x-3x+31221111

4.計(jì)算：①②-9---------—5-------1-----------1---------

x+3x-3ci—19。+33—ax—1x+1X—1

知識(shí)點(diǎn)八：解分式方程的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母。（產(chǎn)生增根的過(guò)程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母中:

如果最簡(jiǎn)公分母為0,則原方程無(wú)解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡(jiǎn)公分母不

為0,則是原方程的解。

產(chǎn)生增根的條件是：①得到的整式方程的解；②代入最簡(jiǎn)公分母后值為0。

知識(shí)點(diǎn)九:列分式方程

基本步驟

①審一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。

②設(shè)一合理設(shè)未知數(shù)。

③列一根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。

④解一解出方程（組）。注意檢驗(yàn)

⑤答一答題。

經(jīng)典例題

2+xxiII4

1、已知方程①二一1=e；?-+—=0；5；④—I----4,其

353x-3x-3x+2兀2萬(wàn)

中是分式方程的有（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

2x

2、分式方程+一一=1,去分母時(shí)兩邊同乘以，可化整式方程

X2-}x-\

3、若關(guān)于x的方程竺擔(dān)+1=0有增根，則a的值為_(kāi)________

x-1

4、如果分式方程「一='上無(wú)解，則m的值為_(kāi)________

X+lX+1

新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

第十一章三角形

3）全等三角形

4）軸對(duì)稱(chēng)

5）整式乘法和因式分解

6）分式

第十一章三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的

線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三

角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫

做三角形的角平分線。

(2)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線

(簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高)。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)

在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個(gè)特性：

(1)三角形有三條線段]

(2)三條線段不在同一直線上J三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接

三角形用符號(hào)表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形

ABC”。

5、三角形的分類(lèi)

三角形按邊的關(guān)系分類(lèi)如下：

不等邊三角形

三角形1r底和腰不相等的等腰三角形

Y

、等腰三角形I

等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類(lèi)如下：

直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)

三角形J銳角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)

斜三角形一

鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角

邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。

③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。8、三

角形的面積='X底X高

2

多邊形知識(shí)要點(diǎn)梳理

(

定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

r凸多邊形

分類(lèi)1：i

<凹多邊形

—

J正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

分類(lèi)2：L

多邊形非正多邊形:

J1、n邊形的內(nèi)角和等于180。(n-2)。

多邊形的定理I2、任意凸形多邊形的外角和等于360。。

3、n邊形的對(duì)角線條數(shù)等于l/2.n(n-3)

只用一種正多邊形：3、4、6/。

、>

鑲嵌IJ拼成360度的角

只用一種非正多邊形(全等)：3、4。

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念國(guó)

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(1)多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

(2)在定義中應(yīng)注意：

①一些線段(多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù))；

②首尾順次相連，二者缺一不可；

③理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件，其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面

的情況，即空間

多邊形.

2、多邊形的分類(lèi)：

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫(huà)出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整

個(gè)多邊形都在這

條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形(見(jiàn)圖1).本章所講的

多邊形都是指凸

多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有〃條邊就叫做〃邊形.三角形、四邊形都屬于

多邊形，其中三角

形是邊數(shù)最少的多邊形.

知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形面

正三角形正方形正五邊形正六邊形

正十二邊形

要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵?/p>

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊

形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)

角也都相等的四邊形才是正方形

知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線底1

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.如圖2,

BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。

要點(diǎn)詮釋?zhuān)簢?guó)

(1)從n邊形一關(guān)力啰以引(n—3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n—2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有2條對(duì)角線。

證明：過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有n-3條對(duì)角線(n23的正整數(shù))，又二?共有n個(gè)頂聲，.?.共有n(n-3)

—?(?—3)

條對(duì)角線，但過(guò)兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，.?.凸n邊形，共有2條對(duì)角

線。

知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式闔

1.公式：閥邊形的內(nèi)角和為5-2)180-伽23)

2.公式的證明：

證法1：在花邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)，共構(gòu)成％個(gè)三角形，這

萬(wàn)個(gè)三角形的內(nèi)角和為北180,再減去一個(gè)周角，即得到北邊形的內(nèi)角和為伽一2)?180"

證法2：從抬邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作仍一為條對(duì)角線，并且力邊形被分成

伽-2)個(gè)三角形，這伽-2)個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是“邊形的內(nèi)角和，等于8-2)1即°

證法3：在閥邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得伽一1)個(gè)三角形，花邊形內(nèi)角和

等于這(％-1)個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，

即(?-1)180,-180°=(?-2)180,

要點(diǎn)詮釋?zhuān)簢?guó)

(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決的基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和：

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式施

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以北

邊形的內(nèi)角和加外角和為止180-,外角和等于“1即--5-2)-181=360°注意：n邊形

的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)。

要點(diǎn)詮釋?zhuān)菏?/p>

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n—2)780°(n23,n是正整數(shù))，可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)

n有關(guān)，每增加

1條邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360。，與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征詞

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類(lèi)問(wèn)題叫做

用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公

共邊。

3、常見(jiàn)的一些正多邊形的鑲嵌問(wèn)題：

(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)

角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決

問(wèn)題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起

恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能孵一球懶圖形。

事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為左色一5[go。要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè).角拼于一

點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360°=?，由此導(dǎo)出k=〃一2=2+2,而k

是正整數(shù)，所以n只能取3,4,6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正

方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的

四邊形地磚也可以鋪成無(wú)空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處

各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問(wèn)題。例如，用

正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三

角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以

作平面鑲嵌，見(jiàn)下圖：

又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)

(4)(5)(6)

正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角

360°。

規(guī)律方法指導(dǎo)國(guó)

1.內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一

條邊，內(nèi)角的和

就增加180°（反過(guò)來(lái)也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.

2.多邊形外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

3.多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三

個(gè)鈍角，最少

沒(méi)有鈍角.

4.在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程

思想是解決本節(jié)

問(wèn)題的常用方法.

5.在解決多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來(lái)解決.三角形是一

種基本圖形，是

研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

經(jīng)典例題透析底1

螺-：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用向

IFi.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)

%,根據(jù)條件列出關(guān)于閥的方程，求出然的值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

[

【變式2】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角

和是多少？

【答案】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為力,這個(gè)內(nèi)角為/，

【變式3】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°,求這個(gè)多邊形的邊

數(shù)。

類(lèi)型二：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用面

【變式1】一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是().

A.6B.7C.8D.9

【變式2】一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線。

?(?-3)

總結(jié)升華：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律一~條,牢記這

個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解

的基礎(chǔ)之上才能記得牢。

類(lèi)型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問(wèn)題贏

【變式1】如圖所示，Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

2

【變式2】如圖所示，求NA+/B+/C+/D+/E+/F的度數(shù)。

類(lèi)型呸實(shí)際應(yīng)用題誦

4.如圖，一輛小汽車(chē)從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回

P市，這輛小汽車(chē)共轉(zhuǎn)了多少度角？產(chǎn)」

思路點(diǎn)撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10m,又向右

轉(zhuǎn)15°,…，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了m.

【變式2】小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°,然后繼續(xù)向前走10米,

再向右轉(zhuǎn)36°,他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回

點(diǎn)A時(shí)共走了多少米？若不能，寫(xiě)出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，己知該模板的邊AB〃CF,

CD〃AE.按規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)

量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長(zhǎng)線的夾角是否合乎

規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥：本題中將AB、CD延長(zhǎng)后會(huì)得到一個(gè)五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540。，

又由AB〃CF,CD〃AE,可知/BAE+/AEF+NEFC=360°,從540°中減去80°再減去

360°,剩下NC的度數(shù)為100°,所以只需測(cè)NC的度數(shù)即可，同理還可直接測(cè)NA的度

數(shù).

總結(jié)升華：本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線.

類(lèi)型%鑲嵌問(wèn)題國(guó)

IF5.分別畫(huà)出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。“封

(1)正方形和正八邊形；

(2)正三角形和正十二邊形；

(3)正三角形、正方形和正六邊形。

思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作

平面鑲嵌。

解析：正三角形、正方形、正六邊

形、正八邊形、正十二邊形的每一個(gè)內(nèi))

角分別是60°、90°、120°、135°、

(1)因?yàn)?0+2X135=360,所以一⑴⑵

個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正方形、2個(gè)正八邊形，

如圖⑴所示。

(2)因?yàn)?0+2X150=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三角形、2個(gè)正十二邊形，如圖(2)

所示。

(3)因?yàn)?0+2X90+120=360,所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1個(gè)正三