【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)09 平面向量?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類（新高考專用）（原卷版）

重難點(diǎn)09平面向量?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量共線定理及其應(yīng)用】 3【題型2平面向量基本定理及其應(yīng)用】 4【題型3平面向量的數(shù)量積】 5【題型4平面向量的模的問題】 6【題型5平面向量夾角與垂直問題】 6【題型6極化恒等式】 7【題型7向量與解三角形綜合】 7【題型8向量與幾何最值、范圍問題】 8【題型9向量在幾何中的其他應(yīng)用】 9平面向量是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來分析，平面向量的數(shù)量積、模、夾角是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，常常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、模、夾角與垂直的條件等問題，也時(shí)也會(huì)與平面解析幾何、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)，試題難度中等.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)平面向量的數(shù)量積、模、夾角等知識(shí)的掌握，能靈活運(yùn)用向量知識(shí)解決有關(guān)問題.【知識(shí)點(diǎn)1平面向量線性運(yùn)算問題的解題策略】1.平面向量線性運(yùn)算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.向量線性運(yùn)算的含參問題的解題策略：與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3.利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.【知識(shí)點(diǎn)2平面向量基本定理的解題策略】1.應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.【知識(shí)點(diǎn)3平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧】1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.【知識(shí)點(diǎn)4平面向量數(shù)量積問題的解題方法】1.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.2.夾角與垂直問題根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.3.向量的模的求解思路：(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識(shí)點(diǎn)5極化恒等式】1.極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．【知識(shí)點(diǎn)6平面向量的應(yīng)用的方法技巧】1.平面向量的應(yīng)用的解題方法；平面向量的應(yīng)用方向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模的問題，主要解題方法有：(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.2.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；(2)“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．【題型1平面向量共線定理及其應(yīng)用】【例1】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AD=2DB，點(diǎn)P在CD上，且AP=mAC+13AB(m∈R)，則A．15 B．14 C．13【變式1-1】（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3A．－8 B．8 C．6 D．－6【變式1-2】（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，2OA+3OB+mOC=0，若△A．-103 B．103 C．-【變式1-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△OAB中，OA=3OC，OB=2OD，AD，BC的交點(diǎn)為M，過M作動(dòng)直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若OE=λOA，OFA．3+35 B．2+237 C．【題型2平面向量基本定理及其應(yīng)用】【例2】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)D、E分別AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，則A．12a+12b B．-【變式2-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BCA．0 B．14 C．12 D【變式2-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5-12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BF⊥AC,DH⊥AC

A．3-52BAC．5-12【變式2-3】（2023·重慶江北·校考一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且BD=2AD，E是邊BC的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)F，若BF是∠ABC的平分線，則A．4 B．3 C．2 D．1【題型3平面向量的數(shù)量積】【例3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量a=1,2，b=3,4，c=5,mA．5 B．-5 C．5m D【變式3-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a，b滿足a=λbλ>0，b=2，A．3 B．15 C．-3或15 D．3或15【變式3-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）設(shè)四邊形ABCD為矩形，AB=6，AD=4，若點(diǎn)M，N滿足BM=13MC，A．28 B．32 C．36 D．40【變式3-3】（2023·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┤鐖D，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=4EB，動(dòng)點(diǎn)A．3-21 B．23-6 C【題型4平面向量的模的問題】【例4】（2023·四川成都·成都七中校考一模）若向量a、b滿足：a=1，a+b⊥a，2A．2 B．2 C．10 D．10【變式4-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,yA．2 B．3 C．5 D．6【變式4-2】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a與bA．5 B．4 C．2 D．0【變式4-3】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6,AD=4，點(diǎn)P滿足DP=λDC，其中A．4,5B．8,10C．4,D．2【題型5平面向量夾角與垂直問題】【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）向量a，b滿足a=4，b=1，2a-3b?A．23 B．34 C．-3【變式5-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=-1,-2，b=4,-2A．4λμ=1 BC．4λ+μ【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量a=2,0，b=1,3，則向量aA．π6 B．π3 C．2π【變式5-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BCA．23,56 B．15,【題型6極化恒等式】【例6】（2023·福建寧德·?？级＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，已知DE=12EC，BF=12FC【變式6-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為22，MN是正方形ABCD的外接圓的一條動(dòng)弦，MN=2，P為正方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則MP?【變式6-2】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)三角形ABC，P0是邊AB上的一定點(diǎn)，滿足P0B=14AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有PB?PC≥P【變式6-3】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·湖北省仙桃中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長(zhǎng)為6的可移動(dòng)的線段，AD=4，AB=83，BC=12，則BE【題型7向量與解三角形綜合】【例7】（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且AO?AB+BOA．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【變式7-1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在△ABC中，若AB+AC=2,BCA．38 B．34 C．1 D【變式7-2】（2023·福建廈門·廈門一中校考二模）在△AOB中，已知OB=2，AB=1，∠AOB=45°，若OP=λOA+μOB，且λ+2μ=2，μA．-22,1 B．22,1 C【變式7-3】（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=23

A．1 B．1516 C．3132 D【題型8向量與幾何最值、范圍問題】【例8】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O中，AB=AC=2，且M為圓O上一點(diǎn)，則MOA．2 B．5 C．14 D．16【變式8-1】（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點(diǎn)，則PA?PB的最大值為（A．13 B．12 C．8 D．2【變式8-2】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過C，D，到達(dá)A，AE=λAB+μA．-1,1 B．0,1 C．-1,2 D【變式8-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λA．423,C．173,41【題型9向量在幾何中的其他應(yīng)用】【例9】（2023·甘肅天水·統(tǒng)考二模）已知非零向量AB與AC滿足AB·BC|AB|=CAA．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【變式9-1】（2023·江西撫州·?？寄M預(yù)測(cè)）△ABC是等腰直角三角形，C=90°，AB=2，D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊AC上，線段CD與BE交于點(diǎn)P，設(shè)t=BP?BA，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)EA．t一直增大 B．t一直減小C．t先增大后減小 D．t為定值【變式9-2】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知A?B為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=2，該平面上的動(dòng)線段PQ的端點(diǎn)P?Q，滿足|AP|≤5，AP?AB=6A．36 B．60 C．72 D．108【變式9-3】（2023·浙江·校聯(lián)考二模）如圖，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，P是圓O的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述不正確的是（

）A．PA?B．PA?C．PA+D．PA21．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量a，b滿足a+b=(2,3),A．-2 B．-1 C．0 D2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．553．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．-45 B．-25 C．4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2A．1+22 BC．1+2 D．5．（2023·