復(fù)習(xí)下6(無窮級數(shù))市公開課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

復(fù)習(xí)–6無窮級數(shù)主要考點(diǎn):數(shù)項(xiàng)級數(shù)判斂冪級數(shù)求收斂域、和函數(shù)及函數(shù)冪級數(shù)展開傅氏級數(shù)展開及收斂問題第1頁1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法(1)利用部分和數(shù)列極限判別級數(shù)斂散性(2)正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限第2頁(3)任意項(xiàng)級數(shù)審斂法Leibniz判別法:且則交織級數(shù)收斂,—絕對收斂與條件收斂且余項(xiàng)絕對收斂判別—利用正項(xiàng)級數(shù)判別法2.求冪級數(shù)收斂域方法?標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)經(jīng)過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處斂散性.若第3頁3.函數(shù)展開成冪級數(shù)?直接展開法?間接展開法—利用已知展式函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì)—利用泰勒公式慣用公式:求導(dǎo)展式第4頁?求部分和式極限4.冪級數(shù)和函數(shù)求法求和?映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）?數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和第5頁5.傅里葉級數(shù)(1)周期為2

函數(shù)傅里葉展開其中注意:若為間斷點(diǎn),則級數(shù)收斂于(2)在[0,

]上函數(shù)傅里葉展開法作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)第6頁(3)周期為2l函數(shù)傅里葉級數(shù)展開公式注意:(x

間斷點(diǎn))其中為正弦級數(shù).2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),為間斷點(diǎn),級數(shù)收斂于1)若為余弦級數(shù).當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí),第7頁實(shí)例分析

級數(shù)收斂,當(dāng)

時(shí)級數(shù)發(fā)散.當(dāng)

時(shí)提醒:故

a<1時(shí)原級數(shù)收斂;a>1時(shí)原級數(shù)發(fā)散;a=1時(shí),故原級數(shù)也發(fā)散1.給定級數(shù)填空題

(題1-5)第8頁2.

冪級數(shù)收斂域?yàn)樘嵝?令當(dāng)時(shí),級數(shù)為,發(fā)散則化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)其收斂半徑為故原級數(shù)級數(shù)收斂域?yàn)榧垂试墧?shù)收斂域?yàn)榈?頁4.設(shè),又設(shè)S(x)是f(x)以2

為周期余弦級數(shù)展開式和函數(shù),則提醒:3.級數(shù)收斂半徑R=

.提醒:(03屆考題)第10頁5.設(shè)傅立葉級數(shù)為則系數(shù),級數(shù)在處收斂于提醒:第11頁選擇題

(題6-10)(常數(shù)a>0)(

)6.級數(shù)(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)收斂性與a

相關(guān).

(L.P504題29)提醒:故原級數(shù)絕對收斂.C～第12頁必定收斂是（)7.設(shè)則以下級數(shù)中提醒:D收斂絕對收斂第13頁收斂半徑為R1,則必有()8.設(shè)級數(shù)提醒:參看P196性質(zhì)1及P198注.C收斂半徑為R,級數(shù)比如,時(shí),收斂半徑R=1,(02屆考題)第14頁9.已知在收斂,則此級數(shù)在處()(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定提醒:令由阿貝爾定理知B所以時(shí)絕對收斂,即處絕對收斂.原級數(shù)在第15頁10.設(shè)函數(shù)而其傅立葉級數(shù)為其中則提醒:S(x)是對f(x)在(–1,0)上作奇延拓后展開B

傅立葉級數(shù)第16頁11.

證實(shí):若12.

判別級數(shù)斂散性.則級數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)榻?該級數(shù)為交織級數(shù),且,故級數(shù)收斂.(03屆考題)(03屆考題)第17頁13.討論

a

為何值時(shí)級數(shù)收斂,取何值時(shí)發(fā)散.解:當(dāng)a>e時(shí),原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)0<

a<e時(shí),原級數(shù)收斂.第18頁14.設(shè)是收斂正項(xiàng)級數(shù),證實(shí)收斂證:因?yàn)閺?qiáng)級數(shù)收斂,故原級數(shù)收斂.思索.設(shè)常數(shù)(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對收斂;(D)收斂性與

相關(guān).收斂,則級數(shù)且級數(shù)C(LP504題30)第19頁15.若級數(shù)及都收斂,且證實(shí)級數(shù)收斂.證實(shí):因?yàn)槎諗?收斂.又由及收斂,知收斂.所以第20頁16.

試求冪級數(shù)收斂域及和函數(shù).提醒:級數(shù)收斂半徑R=1,收斂域?yàn)?1,3).(03屆考題)練習(xí)題:試求冪級數(shù)收斂域及和函數(shù).(04屆考題)第21頁17.將函數(shù)展成x

冪級數(shù).解:第22頁18.

將函數(shù)展為x冪級數(shù),并指出其收斂域.

解:收斂區(qū)間為(03屆考題)第23頁19.將展成x冪級數(shù).解:第24頁20.將函數(shù)展成余弦級數(shù).解:將f(x)進(jìn)行偶延拓和周期延拓,則第25頁練習(xí).將展開成正弦級數(shù).(02屆考題)答案.第26頁備用題:1.判別級數(shù)絕對收斂還是條件收斂,并求其和.解:因?yàn)樗约墧?shù)不絕對收斂,又顯然級數(shù)滿足萊布尼茲條件,故原級數(shù)條件收斂,其和為第27頁第28頁2.求級數(shù)收斂域與和函數(shù).解:令則當(dāng)時(shí),發(fā)散;故級數(shù)收斂域?yàn)樵谄渖虾秃瘮?shù)為第29頁3.求冪級數(shù)收斂域與和函數(shù),并由此導(dǎo)出解:當(dāng)x=2時(shí),發(fā)散;當(dāng)