七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)講義：第5章-相交線與平行線

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識(shí)講練

第5章相交線與平行線

(思維導(dǎo)圖+知識(shí)梳理+十四大重點(diǎn)考向舉一反三講練)

「年節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.熟練掌握對(duì)頂角,鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的就念;

2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用;

3.了解命題的概念及構(gòu)成,并能通過(guò)證明或舉反例判定命題的真假;

4.了解平移的概念及性質(zhì).

邊備編導(dǎo)圖指引

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031-----------------

知識(shí)梳理精講

知識(shí)點(diǎn)01：相交線

【高頻考點(diǎn)精講】

1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系,它們的概念及性質(zhì)如下表:

圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系

Z1的兩邊與

對(duì)頂角相等

對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)Z2的兩邊互為

即N1=N2

Z1與N2反向延長(zhǎng)線

Z3與N4有一

條邊公共，另一鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即

鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)

邊互為反向延Z3+Z4=180°

長(zhǎng)線.

【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】

⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的,對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征：有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為

反向延長(zhǎng)線.

⑵如果Na與NB是對(duì)頂角,那么一定有/a=NB;反之如果N那么Na與NB不一定是對(duì)頂角.

⑶如果Na與NB互為鄰補(bǔ)角，則一定有Na+N8=180°;反之如果Na+NB=180°,則Na與NB不一

定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征：有公共頂點(diǎn),有一條公共邊,另一邊互為反向延長(zhǎng)線.

⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè),而對(duì)頂角只有一個(gè).

2.垂線及性質(zhì)、距離

(1)垂線的定義：

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí),就說(shuō)這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做

另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示,符號(hào)語(yǔ)言記作：AB1CD,垂足為0.

A0B

D

圖1

【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】

要判斷兩條直線是否垂直,只需看它們相交所成的四個(gè)角中,是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直,是指

這兩條線段所在的直線垂直.

(2)垂線的性質(zhì)：

垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).

垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線段最短.

(3)點(diǎn)到直線的距離：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離,如圖2：PO±AB,點(diǎn)P到直線AB的距離

是垂線段P0的長(zhǎng).

【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】

垂線段P0是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.

知識(shí)點(diǎn)02：平行線

【高頻考點(diǎn)精講】

1.平行線判定

判定方法1：同位角相等,兩直線平行.

判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.

判定方法3：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的判定方法還有:

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鶕?jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的性質(zhì)還有：

(1)若兩條直線平行,則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

3.兩條平行線間的距離

如圖3,直線AB/7CD,EF1AB于E,EF1CD于F,則稱(chēng)線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.

【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】

(1)兩條平行線之間的距離處處相等.

(2)初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離，分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同

點(diǎn)在于都是線段的長(zhǎng)度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，點(diǎn)到直線距離是直線外一

點(diǎn)引已知直線的垂線段的長(zhǎng)度，平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.

(3)如何埋解“垂線段〃與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量，它們之間不

能等同.

知識(shí)點(diǎn)03：命題及平移

【高頻考點(diǎn)精講】

L命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成,題設(shè)是已知事項(xiàng);結(jié)論是

由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

2.平移：在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)浩揭频男再|(zhì)：

(1)平移后,對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等；

(2)平移后，對(duì)應(yīng)角相等；

(3)平移后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行(或共線)且相等；

(4)平移后,新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.

點(diǎn)考向目錄

重點(diǎn)考向01：相交線

重點(diǎn)考向02：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

重點(diǎn)考向03：垂線

重點(diǎn)考向04：垂線段最短

重點(diǎn)考向05：點(diǎn)到直線的距離

重點(diǎn)考向06：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

重點(diǎn)考向07：平行線

重點(diǎn)考向08：平行公理及推論

重點(diǎn)考向09：平行線的判定

重點(diǎn)考向10：平行線的性質(zhì)

重點(diǎn)考向11：平行線的判定與性質(zhì)

重點(diǎn)考向12：生活中的平移現(xiàn)象

重點(diǎn)考向13：平移的性質(zhì)

重點(diǎn)考向14：作圖-平移變換

曾^廣空向精講精練

重點(diǎn)考向01：相交線

【典例精講】(2023春?攸縣期末)同一-平面內(nèi)不重合的三條直線，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為()

A.0個(gè)或1個(gè)B.1個(gè)或2個(gè)

C.2個(gè)或3個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

【思路點(diǎn)撥】分三條直線互相平行、有兩條平行和三條直線都不平行三種情況討論.

【規(guī)范解答】解：因?yàn)槿龡l直線位置不明確，所以分情況討論：

①三條直線互相平行,有0個(gè)交點(diǎn)；

②一條直線與兩平行線相交,有2個(gè)交點(diǎn)；

③三條直線都不平行,有I個(gè)或3個(gè)交點(diǎn)；

所以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè).

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】考查了相交線,本題要注意列舉出所有可能的情況.

【變式訓(xùn)練（2021春?淮南月考）平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，如果最多有〃，個(gè)交點(diǎn),最少有〃個(gè)交

點(diǎn)，那么m-/7=5.

【思路點(diǎn)撥】可根據(jù)題意，畫(huà)出圖形,找出交點(diǎn)最多和最少的個(gè)數(shù),求為-

4條直線兩兩相交,有3種情況：4條直線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),有一個(gè)交點(diǎn);3條直線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),被第4條直線

所截,有4個(gè)交點(diǎn);4條直線不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),有6個(gè)交點(diǎn).

故平面內(nèi)兩兩相交的4條直線，最多有6個(gè)交點(diǎn),最少有1個(gè)交點(diǎn)；即勿=6,n=l,則勿?〃=￡..

故答案為：5.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相交線，掌握n條直線相交,最多有1+2+3+…+（〃-D=?1n（n-1）個(gè)交點(diǎn)，最

少即交點(diǎn)為1個(gè)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練「2】（2021春?自貢期末）同一平面內(nèi)I條直線把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域）；2條直線最多可

將平面分成幾個(gè)部分?3條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分?4條直線最多可將平面分成兒個(gè)部分?請(qǐng)分別

畫(huà)出圖來(lái).由此可知〃條直線最多可將平面分成幾個(gè)部分？

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線兩兩相交,每三條不交于同一點(diǎn)，可把平面分成最多部分，根據(jù)兩條直線最多分成

的部分比?條直線分成部分增加2,三條直線最多分成部分比兩條直線最多分成部分增加三，以此類(lèi)推,

可得答案.

【規(guī)范解答】解：2條直線最多可將平面分成4個(gè)部分，如圖:

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相交線，由圖形得出規(guī)律是解題關(guān)鍵，規(guī)律1條直線分成兩部分，兩條直線增加

2,三條直線再增加三，四條直線再增加四….

重點(diǎn)考向02：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

【典例精講】（2023秋?關(guān)嶺縣期末）如圖，下面的說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)尸在直線加上

3.直線川和〃相交于點(diǎn)0

C.N1可以表示成N/1仍或N0

3.射線〃4和射線力。表示同?條射線

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)和線的位置關(guān)系以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言判斷即可.

【規(guī)范解答】解：力.點(diǎn)尸在直線勿外,該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

員直線加和〃相交于點(diǎn)0,該選項(xiàng)正確；

C.N1可以表示成N/心用該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.射線0A和射線/I。表示不同射線，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查點(diǎn)和線的位置關(guān)系，角的表示以及相關(guān)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解

題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2-1】(2023春?石景山區(qū)期末)為了測(cè)曷一庫(kù)古塔外墻底部的底角N/1g的度數(shù)，李瀟同學(xué)設(shè)計(jì)

了如下測(cè)量方案：作9的延長(zhǎng)線放陽(yáng)量出/6W的度數(shù)，從而得到/力防的度數(shù).這個(gè)測(cè)量方案

的依據(jù)是一對(duì)頂角相等.

【思路點(diǎn)撥】由對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：這個(gè)測(cè)量方案的依據(jù)是：對(duì)頂角相等；

故答案為：對(duì)頂角相等.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是對(duì)頂角相等的性質(zhì)和作圖；根據(jù)題意正確作出圖形、設(shè)計(jì)出測(cè)量方案是解題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2-2】(2023春?嶗山區(qū)期末)如圖，已知點(diǎn)昆廠在直線相上，點(diǎn)G在線段⑶上，口與M交于點(diǎn)

H,4C=4EFG,/CED=4GHD.

(1)試判斷乙傷9與N〃之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若/網(wǎng)'=85°,//?=25°,求的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】⑴先判定CE//FG,再證明月8〃切即可得證.

(2)利用平行線的性質(zhì)計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：(1)乙傷9與N〃之間的數(shù)量關(guān)系是/力協(xié)'/gig。。.

理由：?：4CED=/GHD,

：,CE//GFy

:,乙C=^FGD、

又?：4C=4EFG,

：.4EFG=4FGD,

:、ABHCD、

工/*研Nff=l80°.

(2)由(1)知CE//GF,

:"CED=/EHF=8T,

由(])知月8〃皿

:./BED=/D=23：

:/BEC=///CED=\,

:./AEM=/BEC=iW.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

重點(diǎn)考向03:垂線

【典例精講】(2022秋?北林區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知力從功相交于仁L⑺于”/4%=40°,則//川〃的

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義解決此題.

【規(guī)范解答】解：???OEVCD千0,

???NC龐'=90°.

???/〃。'=180°-(N/h%>NCa；)=180°-(40°+90°)=50°.

故答案為：50.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查垂線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角，熟練掌握衽線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練3-1】(2023秋?淮安期末)如圖，直線力反⑦相交于點(diǎn)在工⑦,垂足為點(diǎn)。

(1)若Nl=55°,則N加￡=3°;

(2)若/I與/2的度數(shù)比為3：2,求/畋的度數(shù).

E

C—D

、B

【思路點(diǎn)撥】(1)利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)根據(jù)乖宜定義可得NC￡=90°,從而可得Nl+N2=90°,進(jìn)而可得N2=36°.然后利月平角定義進(jìn)

行計(jì)算,即可解答.

【規(guī)范解答】解：⑴???/1=55。，

工/8施=180°-Zl=125°.

故答案為：125;

(2)'：OELCD.

???/(%小一90°,

???N1+N2=9O°,

???N1與N2的度數(shù)比為3：2,

???/2=90°X-^-=36°,

2+3

???/8";=1800-Z2=144°,

???/戚的度數(shù)為144°.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了垂線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練3-2].(2023秋?梁溪區(qū)期末)如圖，點(diǎn)。在直線所上，點(diǎn)力、月與點(diǎn)。、〃分別在直線即兩側(cè),

且N/1勿=120°,NC勿=70°.

(1)如圖1,若3平分求//勿的度數(shù)；

⑵如圖2,在(1)的條件下，就平分/力勿,過(guò)點(diǎn)。作射線OGA_()B,求/EOG的慣數(shù)；

⑶如圖3,若在N83內(nèi)部作一條射線0H,若/COH：4B0H=2：3,龐1=5//例試判斷//施'與/

〃您'的數(shù)量關(guān)系.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是360°可得/火4的度數(shù)；

⑵分兩種情況：當(dāng)伙在〃下方時(shí)；當(dāng)面'在/：尸上方時(shí),計(jì)算即可；

（3）由NC〃〃：4BOk2：3,N〃3*=5N&?〃設(shè)N〃/=5a,則/凡V/=a,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用a

表達(dá)出NCOHNBOC的度數(shù)，求出N力應(yīng)'與NDOE的度數(shù).

【規(guī)范解答】解：（I）：*平分Na以

???NMH2NC勿=2X70°=140°,

?：ZAOB=120°,

.??//1浙360°?/AOB-/BOD=360°-120°-140°=100°.

:施平分/力N/1勿=100°,

?，?ZAOE=yZAOD=50°，

乙

?：OGIOB,

???/〃％=90°,

：,^A(X；=^A()B-ZW=120°-90°=30°,

，/EOG=NAgNAOE=8Q；

@2

???施平分/力切,N/kM=100°,

?'?ZAOE=-^ZAOD=50°，

乙

?：OGiOB,

；?/80G=90：

'：/AOE+/AOB+4130(^/EOG=36N,N408=120°,

???N航=360°-50°-120°-90°=100°;

(3)設(shè)/〃比=5a,則N內(nèi)W=a,

圖3

:./C0//=180°-/DOE-/COD-4FO仁］AG0-6a,

???N8%=275°-15a,

???N/k29=360°-/COD-/BOON力g=360°-70°-（2750-15a）-1200=15a-105°,

：?NAOE=10a-105°,

：.ZAOE=2ZDOE-105°.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)

系是解題關(guān)鍵.

重點(diǎn)考向04：垂線段最短

【典例精講】（2023春?文山州期末）如圖，從4到4有4條路徑，最短的路徑是③，理由是（）

①

A.直線最短B.兩點(diǎn)之間線段最短

C.垂線段最短D.兩點(diǎn)確定一條直線

【思路點(diǎn)撥】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短.根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案.

【規(guī)范解答】解：從/I到《有4條路徑，最短的路徑是③，理由是兩點(diǎn)之間，線段最短.

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等,

這些所有的線中，線段最短.

【變式訓(xùn)練4-1】(2023秋?九臺(tái)區(qū)期末)如圖，運(yùn)動(dòng)會(huì)上，小明自踏板也處跳到沙坑，處，甲、乙、丙三名同

學(xué)分別測(cè)得*3.25米，15米，所=3.21米,則小明的成績(jī)?yōu)?.15米.(填具體數(shù)值)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短即可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：???小明的成績(jī)是點(diǎn)一到直線的距離，即AM

???小明的成績(jī)?yōu)?.15米.

故答案為：3.15.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是垂線段最短,熟知”垂線段最短”是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練4-2】(2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末)如圖，在直線極V.的異側(cè)有力、笈兩點(diǎn)，按要求畫(huà)圖取點(diǎn)，并注明

畫(huà)圖取點(diǎn)的依據(jù).

(1)在直線，腑上取一點(diǎn)&使線段〃'最短.依據(jù)是垂線段最短.

(2)在直線期V上取一點(diǎn)〃，使線段月仍7步最短.依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短.

A

-V/-------------------------------------N

R

【思路點(diǎn)撥J(1)過(guò)力作力力。最短;

(2)連接/步交，斷于D,這時(shí)線段/ImBD最短.

【規(guī)范解答】解：(1)過(guò)力作月CL楙;根據(jù)：垂線段最短.

⑵連接AB交協(xié),于D,根據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主?？艰昧舜咕€段的件質(zhì)和線段的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握垂線段最短：兩點(diǎn)方間線段最

短.

重點(diǎn)考向05：點(diǎn)到直線的距離

【典例精講】（2023春?唐縣期末］如圖,筆直小路DE的一側(cè)栽種有兩棵小樹(shù)BM,G；小明測(cè)得AB=3叫AC=

5勿,則點(diǎn)A到小的距離可能為1）

【思路點(diǎn)撥】先指出點(diǎn)力到龐的斜線段和垂線段，根據(jù)垂線的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答即可.

【規(guī)范解答】解：???仍"是點(diǎn)力到"的斜線段，表示點(diǎn)力到龐的距離的線段是垂線段，

根據(jù)垂線性質(zhì)：垂線段最短，

到，'的距離小于AB,

???/1至I」?；氐聂蘧揠x可能為2,

故選：1）.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂線的性質(zhì).

【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板4勿的直角頂點(diǎn)。放在直線四上.

⑴若線段3的長(zhǎng)是點(diǎn)。到直線四的距離，則點(diǎn)〃在直線他上（填“上”或“外”）.

（2）比較CD與切的大小，并說(shuō)明理由.

一

QD

D

【思路點(diǎn)撥】(1)由線段3的長(zhǎng)是點(diǎn)。到直線/歷的距離，可得OCLOB,結(jié)合COLOD,從而可得答案;

(2)由垂線段最短可得答案.

【規(guī)范解答】解：(1)???線段/的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線4?的距離，

，0C1()8,

??,C0101),

：.0B,山重合，

???則點(diǎn)〃在直線如上.

(2)心做理由如下：

?：0D10C,

???〃與。。上各點(diǎn)的連線段中，垂線段0〃最短.

:.DODO.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，熟記點(diǎn)到直線的距離的含義是解本題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練5-2](2022春?平橋區(qū)校級(jí)月考)如圖，在宜角三角形ABC中，NC=90°,BC=4MAC=3的AB

=5cm.

(1)點(diǎn)8到力。的距離是4c0;點(diǎn)力到8。的距是3。勿.

(2)畫(huà)出表示點(diǎn)C到的距離的線段，并求這個(gè)距離.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求.

(2)先畫(huà)垂線段，再計(jì)算距離.

【規(guī)范解答】解：⑴???NC=30°,8c=4。加JC=3c/〃，

???點(diǎn)6至IJ力C的距離是線段a'的長(zhǎng)度，點(diǎn)力到a'的距是線段〃'的長(zhǎng)度.

作⑦_(dá)L/仍于點(diǎn)〃,則線段⑦的長(zhǎng)度就是點(diǎn)。到腦的距離.

,:以物=工BOAC=—AB-CD.

22

...昨典竺=9(c而.

AB5

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考看點(diǎn)到直線的距離,找到點(diǎn)到直線的距離是求解本題的關(guān)鍵.

重點(diǎn)考向06：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

【典例精講】(2023春?惠城區(qū)校級(jí)期中)以下說(shuō)法中：

(1)同角或等角的余角相等；

(2)兩條直線被第三條直線所截,截得的同位角相等；

(3)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短：

(4)從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段,叫做點(diǎn)到直?線的距離.

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)余角的性質(zhì)判斷(1)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷(2);根據(jù)垂線的性質(zhì)判斷(3);根據(jù)點(diǎn)

到這條直線的距離判斷(4).

【規(guī)范解答】解：同角或等角的余角相等，則(1)正確；

兩條平行的直線被第三條直線所截,截得的同位角相等,則(2：錯(cuò)誤；

直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，故⑶正確；

從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，故(4)錯(cuò)誤；

正確的有2個(gè).

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離、余角的性質(zhì)、垂線段最短、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌

握從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練6-1】(2023春?安鄉(xiāng)縣期中)如圖，卜列結(jié)論正確的序號(hào)是②④⑤.

①/月仇?與NC是同位角；

②與N4r是同旁?xún)?nèi)角；

③/敗與/〃歐是內(nèi)錯(cuò)角；

④/ABD的內(nèi)錯(cuò)角是N初C;

⑤N4與/月初是由直線AI),初被直線力〃所截得到的同旁?xún)?nèi)角.

【思路點(diǎn)撥】同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第

三條育線（截線）的同旁，則議樣一對(duì)角叫做同位角.

內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條宜線（截線）

的兩旁,則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.

同旁?xún)?nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角.依此即可作出判斷.

【規(guī)范解答】解：①乙仍C與/C是同旁?xún)?nèi)角，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò):吳；

②/。與/月優(yōu)'是同旁?xún)?nèi)角，該選項(xiàng)說(shuō)法正確；

③Z女心與/〃比,是同旁?xún)?nèi)角，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

④N/1劭的內(nèi)錯(cuò)角是N龍匕該選項(xiàng)說(shuō)法正確；

⑤/月與N力而是由直線AD,助被直線"所截得到的同旁?xún)?nèi)角，該選項(xiàng)說(shuō)法正確.

故答案為：②④⑤.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或

同旁?xún)?nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定，在復(fù)雜的圖形中判別三類(lèi)角時(shí),應(yīng)從角的兩邊入手,

具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的

電線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成尸形,內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成Z形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成〃形.

【變式訓(xùn)練6-21（2023春?貴州期中）如圖所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它

真的彎了嗎?其實(shí)沒(méi)有,這是光的折射現(xiàn)象,光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變.

（1）請(qǐng)指出與N1是同旁?xún)?nèi)角的有哪些角？請(qǐng)指出與N2是內(nèi)錯(cuò)角的有哪些角？

（2）若Nl=115。，測(cè)得/8〃獷=145。，從水面上看斜插入水口的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)同旁?xún)?nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義（兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在

兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角；處于兩條直線之間，處于

第三條直線兩側(cè)的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角）逐個(gè)判斷即可.

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【規(guī)范解答】解：（1）與N1是同旁?xún)?nèi)角的有/力龐;/以后4ADE;

與N2是內(nèi)錯(cuò)角的有/桃乃：4A0E:

（2）-：AB//CD,

；?N8OE=N1=115°,

?NS。仁145°,

AMOE=ABOM-ABOE=145°-115°=30°,

???往上彎了30°.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了對(duì)同旁?xún)?nèi)角定義，內(nèi)錯(cuò)角定義的應(yīng)月，主要考查學(xué)生的理解能力，題日是一道比

較好的題目，難度適中.

重點(diǎn)考向07：平行線

【典例精講】（多選）（2023春?濰城區(qū)期末）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)，圖1是某品

牌共享單車(chē)放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖,其中AB、⑦都與直線1平行,AM//CB,CFA.1,ZBCD=

60°,N班占46°,/儂=50°,6F=24寸，下列說(shuō)法正確的是（）

圖1圖2

A./場(chǎng)。=72°B.N99=130°

C.5的長(zhǎng)為24寸D.車(chē)輪周長(zhǎng)為48n寸

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理以及圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式解答即可.

【規(guī)范解答】解YAB//CD,

:?/BCD=/CBA=60：

?；/8/1C=46°,

???/〃片180°-NC出1-N倒。=180°-60°-46°=74°,故月選項(xiàng)不符合題意;

/EBD=180°-/曲=180°-50°=130°,故4選項(xiàng)符合題意；

⑺的長(zhǎng)度無(wú)法計(jì)算,故。選項(xiàng)不符合題意；

;車(chē)輪的圓的半徑為6F的長(zhǎng)度，即24寸，

，車(chē)輪的周長(zhǎng)為：2“X24=48n(寸)，故〃選項(xiàng)符合題意，

故選：HI).

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考杳了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練7-1】(2021秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末)如圖所示,在/力仍?xún)?nèi)有一點(diǎn)尺

(1)過(guò)尸畫(huà)1J/OA\

(2)過(guò)〃畫(huà)

(3)用量角器量一量4與乙相交的角與N。的大小有怎樣關(guān)系？

【思路點(diǎn)撥】用兩個(gè)三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來(lái)畫(huà)平行線,然后用量角器量一星4與4相交

的角與N。的關(guān)系為：相等或互補(bǔ).

【規(guī)范解答】解：(1)(2)如圖所示,

(3)1與4夾角有兩個(gè)：Nl,N2;/1=NQ/2+/妙180°,所以1和心的夾角與相等或互補(bǔ).

【考點(diǎn)評(píng)析】注意N2與/〃是互補(bǔ)關(guān)系，容易漏掉.

【變式訓(xùn)練7-2](2022春?田東縣期末)一副透明的直角三角尺，按如圖所示的位置擺放.如果把三角尺的

每條邊看成線段，請(qǐng)根據(jù)圖形解答卜列問(wèn)題：

(1)找出圖中?對(duì)互相平行的線段,并用符號(hào)表示出來(lái)；

(2)找出圖中一對(duì)互相垂直的線段,并用符號(hào)表示出來(lái)；

(3)找出圖中的一個(gè)鈍角、一個(gè)直角和一個(gè)銳角，用符號(hào)把它們表示出來(lái)，并求出它們的度數(shù).(不包括

直角尺自身所成的角)

【思路點(diǎn)撥】(1)直線〃加8c故直線施上的線段都與比平行.

(2)根據(jù)NQ厲和都是直角，即可找出互相垂直的線段.

(3)根據(jù)角的概念進(jìn)行解答.

【規(guī)范解答】解：此題答案不唯一，只要答案正確即可得分.

(1)如：DE//CB,DF//CB,FE//CB.

(2)如：EDLAC,FDLAC,FDVAD.

(3)如：鈍角：NG/7H135。，4CGIA4FGE=\05°.

直角有：NME=90°.

如：銳角NS7=30°,/47=45°,NCG"=75°.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查平行線，垂線以及角的概念，難度不大.

重點(diǎn)考向08：平行公理及推論

【典例精講】(2018春?莫旗期末)下列四種說(shuō)法：

①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線段；

③相等的角是對(duì)頂角；

④在同一平面內(nèi)，若直線AH//CD,直線A8與/薩相交,則⑶與俄相交.

其中,錯(cuò)誤的是①?③(填序號(hào)).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行公理、對(duì)頂角定義、平行線逐個(gè)判斷即可.

【規(guī)范解答】解：???過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，，①錯(cuò)誤；

???在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段可能在一條直線上，說(shuō)兩線段是平行線段不對(duì)，，②錯(cuò)誤;

???相等的角不一定是對(duì)頂角，，③錯(cuò)誤；

???在同一平面內(nèi)，若直線AB//CD,直線AB與環(huán)'相交，則CD與環(huán)相交，正確，，④正確；

故答案為：①②③.

【考點(diǎn)評(píng)折】本題考查了平行公理、對(duì)頂角定義、平行線等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行公理、對(duì)頂角定義、平

行線的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練8-1](2022秋?明水縣校級(jí)期中)如圖，蛇〃仍AC〃陽(yáng)則點(diǎn)MC*在同一條直線上，理由是

經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條索線平行.

【思路點(diǎn)撥】直接利用平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行，得出即可.

【規(guī)范解答】解：；必〃月氏八加力氏???點(diǎn)M,B川在同一條直線上，

理由是：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有-■條直線與這條直線平行.

故答案為：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了平行公理，熟練掌握平行公理是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練8-2](2023春?東莞市月考)如圖1,已知AC"BD、點(diǎn)、P是直線/億;功間的一點(diǎn)，連接AB"P,BP,

過(guò)點(diǎn)夕作直線MN//AC.

(1)拗’與朋的位置關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)試說(shuō)明AAPB=NPBANPAG,

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在直線力。上方時(shí)，(2)中的三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?如果成立,試說(shuō)明理由；如

果不成立,試探索它們存在的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】⑴根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得拗〃做

⑵首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/加=Zl,ZPAC=Z2,進(jìn)而得到N力陽(yáng)=Zl+Z2=ZPB^ZPAC-,

(3)不成立.過(guò)點(diǎn)尸作PQ//AC根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/應(yīng)UN/伊Q/PBD=4BPQ,進(jìn)而得到/加沙=/

BPQ-AAPQ=APBD-/PAC.

【規(guī)范解答】解：(1)平行;理由如下：

'：AC//HUMN//AC,

②?：AC"BD,M