2024-2025學(xué)年河南省洛陽(yáng)市強(qiáng)基聯(lián)盟高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽(yáng)市強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以．故選：A．2.雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，其漸近線的方程為，即.故選：B.3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意設(shè)拋物線方程為，將代入得，所以所求拋物線方程為.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為4.故選：B.5.已知數(shù)列中，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，…，所以?shù)列是周期為4的周期數(shù)列，且，所以.故選：C.6.若橢圓E：的周長(zhǎng)為C，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】把化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，以長(zhǎng)軸為直徑的圓周長(zhǎng)為，邊平行于E的對(duì)稱軸的外切矩形的周長(zhǎng)為，所以，，所以A，C錯(cuò)誤；以短軸為直徑的圓周長(zhǎng)為，以長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的菱形的周長(zhǎng)為，所以，，所以B錯(cuò)誤，D正確.故選：D7.已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，且直線l：，可得，，，代入可得有，即，∴，，故雙曲線C的離心率為，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.8.已知拋物線：的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線：的準(zhǔn)線為，所以，因?yàn)橹本€交于兩點(diǎn)，所以直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為，Ax1,y由，消去y得，所以，即，，，因?yàn)?，所以，得，所以或，所以，滿足.故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A.，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，，所以不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.10.已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不與的頂點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為原點(diǎn)，則（）A.的離心率為B.的值可以為3C.D.若的面積為，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，橢圓中，，離心率為，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，且，則，故，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可得，所以，C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)在第一象限，Ax0,y0，則則，則，故，故D正確.故選：ACD.11.已知P為圓：上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線H，設(shè)，在曲線H上，且，，，則（）A.曲線H的方程為B.曲線H的離心率為C.經(jīng)過(guò)且與曲線H只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8【答案】AC【解析】對(duì)于A，圓：的圓心為，半徑，因?yàn)榫€段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，所以，所以曲線H的方程為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)且與曲線H相切的直線是，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，經(jīng)過(guò)的直線與曲線H的漸近線平行時(shí)，也滿足條件，所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，則A，B分別在兩支上，且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設(shè)都在x軸上方，又，則A在第二象限，B在第一象限，如圖所示，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)N，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)Q，由對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題設(shè)，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立消去x并整理得，易得，因，所以，所以，兩條直線AN與BQ間的距離，所以，令，，所以，因在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，取得最小值為12，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的焦距為2，則______．【答案】5或7.【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.故答案為：5或7.13.若數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)和，則最小值為_(kāi)_______.【答案】10【解析】由，解得，所以數(shù)列中，只有，為負(fù)數(shù)，所以的最小值可能為或或，又，，所以的最小值為10.故答案為：1014.已知拋物線,為拋物線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心為，半徑為，設(shè)，，所以，（由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得其單調(diào)性）.所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，是等差數(shù)列，.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則由，得，所以，即，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以；?）由（1）知，所以時(shí)，，上面這個(gè)式子對(duì)也適合，所以時(shí)，.16.已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影是H，.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線l：與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，所以，，，因?yàn)?，所以，即軌跡C的方程為.（2）聯(lián)立方程，消去y并整理得，所以，且，所以且，設(shè)，，則，.若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，所以，即，所以，所以，化簡(jiǎn)，得，解得，滿足，所以.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若是遞增數(shù)列,,求證：.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，因?yàn)?，即，因?yàn)?，所以，所以，所以得證.18.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，，，為C上三個(gè)不同的點(diǎn)，且，.（1）求C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l交C于P，Q兩點(diǎn).①若直線l交圓于M，N兩點(diǎn)，其中P，M位于第一象限，求的最小值；②過(guò)點(diǎn)F作l的垂線m，直線m交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段PQ，AB的中點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過(guò)定點(diǎn).解：（1）由題意得焦點(diǎn)，設(shè)，，，因?yàn)椋裕?，所以|解得，所以C的方程為.（2）①圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，其圓心恰為F，半徑為1，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為，Px1,y由得，，，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，，，，所以的最小值為4.②證明：由題知直線l的斜率k存在且不為0，由①得，，則.用替換k得點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，直線DE的斜率，所以直線DE的方程為，整理得，所以直線DE恒過(guò)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線DE的方程為，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線DE恒過(guò)點(diǎn).19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，P為橢圓的上頂點(diǎn)，以P為圓心且過(guò)，的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn).若直線l的斜率等于1，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，所以，又且以為圓心的圓與直線相切，所以，又圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，故橢圓方程為；（2）如圖所示，不妨令直線，，聯(lián)立，得，所以，解得，又，且點(diǎn)到直線的距離為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，此時(shí)滿足，所以.河南省洛陽(yáng)市強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以．故選：A．2.雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，其漸近線的方程為，即.故選：B.3.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意設(shè)拋物線方程為，將代入得，所以所求拋物線方程為.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為4.故選：B.5.已知數(shù)列中，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為（）A.0 B.1012 C.2024 D.4048【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，，，，…，所以?shù)列是周期為4的周期數(shù)列，且，所以.故選：C.6.若橢圓E：的周長(zhǎng)為C，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】把化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，以長(zhǎng)軸為直徑的圓周長(zhǎng)為，邊平行于E的對(duì)稱軸的外切矩形的周長(zhǎng)為，所以，，所以A，C錯(cuò)誤；以短軸為直徑的圓周長(zhǎng)為，以長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的菱形的周長(zhǎng)為，所以，，所以B錯(cuò)誤，D正確.故選：D7.已知直線l：與雙曲線C：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，且直線l：，可得，，，代入可得有，即，∴，，故雙曲線C的離心率為，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.8.已知拋物線：的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線：的準(zhǔn)線為，所以，因?yàn)橹本€交于兩點(diǎn)，所以直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為，Ax1,y由，消去y得，所以，即，，，因?yàn)?，所以，得，所以或，所以，滿足.故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A.，所以，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，，所以不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.10.已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不與的頂點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為原點(diǎn)，則（）A.的離心率為B.的值可以為3C.D.若的面積為，則【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，橢圓中，，離心率為，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，且，則，故，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可得，所以，C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)在第一象限，Ax0,y0，則則，則，故，故D正確.故選：ACD.11.已知P為圓：上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線H，設(shè)，在曲線H上，且，，，則（）A.曲線H的方程為B.曲線H的離心率為C.經(jīng)過(guò)且與曲線H只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有兩條D.四邊形面積的最小值為8【答案】AC【解析】對(duì)于A，圓：的圓心為，半徑，因?yàn)榫€段的垂直平分線交直線于點(diǎn)M，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，所以，所以曲線H的方程為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)且與曲線H相切的直線是，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，經(jīng)過(guò)的直線與曲線H的漸近線平行時(shí)，也滿足條件，所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，則A，B分別在兩支上，且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設(shè)都在x軸上方，又，則A在第二象限，B在第一象限，如圖所示，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)N，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)Q，由對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題設(shè)，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立消去x并整理得，易得，因，所以，所以，兩條直線AN與BQ間的距離，所以，令，，所以，因在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，取得最小值為12，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的焦距為2，則______．【答案】5或7.【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，由焦距為得，，故，解得.故答案為：5或7.13.若數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)和，則最小值為_(kāi)_______.【答案】10【解析】由，解得，所以數(shù)列中，只有，為負(fù)數(shù)，所以的最小值可能為或或，又，，所以的最小值為10.故答案為：1014.已知拋物線,為拋物線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心為，半徑為，設(shè)，，所以，（由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得其單調(diào)性）.所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，是等差數(shù)列，.（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則由，得，所以，即，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以；?）由（1）知，所以時(shí)，，上面這個(gè)式子對(duì)也適合，所以時(shí)，.16.已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影是H，.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線l：與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，所以，，，因?yàn)?，所以，即軌跡C的方程為.（2）聯(lián)立方程，消去y并整理得，所以，且，所以且，設(shè)，，則，.若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，所以，即，所以，所以，化簡(jiǎn)，得，解得，滿足，所以.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若是遞增數(shù)列,,求證：.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，