量綱分析課件

量綱分析

天津理工大學(xué)

環(huán)境科學(xué)與安全工程學(xué)院

2006.8量綱分析在日常生活中，各種不同的物理量有其不同的衡量制度和單位，如物體的重量(g、kg、t)；長度(cm、m、km)；容積(ml、l)。所有這些單位都是物理量的衡量單位，即量綱。量綱分析量綱特點(diǎn)：不同量綱不可比；物理學(xué)中定義了一些基本量綱；

一般質(zhì)量[M]、長度[L]和時(shí)間[T]為基本量綱；其他量綱可以通過基本量綱表達(dá)；

速度[LT-1]、加速度[LT-2]、力[MLT-2]借助基本定理/原理，通過基本量綱刻畫；量綱分析在科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)根據(jù)分析判斷可以定性地知道若干個(gè)物理量之間存在著關(guān)系，或物理量N受其他物理量ni（i=1,2,…,k）的影響，卻不能定量地用準(zhǔn)確的方程式描述。這時(shí)可以采用大量實(shí)驗(yàn)將各種影響因素全部進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的辦法，也可以采用量綱分析的辦法。量綱分析一.什么是量綱分析（dimensionalanalysis)——通過對描述某一過程或現(xiàn)象的物理量進(jìn)行量綱計(jì)算，將物理量組合為無量綱變量（準(zhǔn)數(shù)），然后借助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立這些無量綱變量間的關(guān)系式的一種方法。量綱分析

基本量綱：質(zhì)量M、長度L、時(shí)間T，

有時(shí)增加溫度t、熱量θ或電荷Q

量綱分析量綱分析就是通過對有關(guān)物理量與基本物理量（如長度、質(zhì)量、時(shí)間等）之間關(guān)系的分析來探求物理現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種研究方法。量綱分析又稱因次分析、尺度分析。

——中國水利百科全書——借助因次分析還可校核物理方程的正確性，簡化理論方程的建立和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，也可推求模型試驗(yàn)所必須遵循的相似準(zhǔn)則?！袊倏迫珪烤V分析在19世紀(jì)初葉，法國熱力學(xué)家傅里葉提出了因次的概念和熱方程中量綱一致的原則。以后麥克斯韋爾又提出因次式的表達(dá)形式。

19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，許多物理學(xué)家如瑞利、E.白金漢等研究發(fā)展了因次分析，使之成為一種常用的數(shù)學(xué)物理方法。

1922年開始有論述因次分析的專著問世。量綱分析法的基礎(chǔ)

——量綱一致性的原則：每一個(gè)物理方程式的兩邊不僅數(shù)值相等，而且量綱也必須相同。（物理上方程的量綱/因次均衡性/一致性和數(shù)學(xué)上函數(shù)的齊次性是一致的。）量綱分析的基本定理

——π定理：二．白金漢π定理(Buckingham’spitheorem)π定理：一個(gè)量綱一致性的方程式可改寫成包含若干個(gè)無量綱項(xiàng)的方程式。如，一多項(xiàng)式的各項(xiàng)都除以其中的任一項(xiàng)，則該項(xiàng)將變?yōu)?，而其他諸項(xiàng)就變?yōu)闊o量綱(=零)的量。

π定理：

設(shè)用函數(shù)N=f(n1,n2,…,ni,…,nk)表示需要確定的物理規(guī)律π定理選擇基本單位，基本單位必須滿足以下兩點(diǎn)要求：①基本單位應(yīng)該各自獨(dú)立；②利用基本單位可以描述其他需要描述的物理量的單位。若選擇n1、n2、n3基本單位，物理量N可以描述成為式中，無量綱數(shù)π和πi就是物理量N在基本單位制下的數(shù)值。π定理因而在n1、n2、n3基本單位下的物理規(guī)律（物理規(guī)律不變，各物理量的數(shù)值有所變化）可以寫作：π定理從右端前三項(xiàng)看出，分母上的乘冪為x1=1,y1=z1=0y2=1,x2=z2=0z3=1,x3=y3=0這樣，由無量綱數(shù)的計(jì)算式有，π1、π2和π3都為1，于是，或π定理：

這樣，選用新的基本單位后，可使原來k+1個(gè)有量綱的物理量間的函數(shù)式變成了k-2個(gè)無量綱數(shù)之間的函數(shù)式，這就是Buckingham’stheorem，因?yàn)榻?jīng)常用π表示無量綱數(shù)，故簡稱為π定理。π為希臘字母，用以表示乘積的意思，因?yàn)檫@些無量綱數(shù)組是幾個(gè)量的指數(shù)的乘積。如果物理方程轉(zhuǎn)換成只包含無量綱量的函數(shù)式，這個(gè)函數(shù)關(guān)系將不隨單位的改變而改變。單位改變后物理量的數(shù)值要改變一個(gè)倍數(shù)而物理模型也是改變了實(shí)物的大小，從而把各物理量改變一個(gè)倍數(shù)，二者有共同之處。模型試驗(yàn)的無量綱準(zhǔn)則既然只要能保持某些無量綱數(shù)相等就可做到各物理量改變而方程式結(jié)構(gòu)不變，那么，如果能保持某些無量綱數(shù)為同量，物理現(xiàn)象雖縮小或放大若干倍而物理規(guī)律仍然是相似的了。

因此，尋求這些必須保持為同量的無量綱數(shù)就成為進(jìn)行模型試驗(yàn)的理論依據(jù)。模型試驗(yàn)的無量綱準(zhǔn)則量綱分析正是確定無量綱數(shù)的重要手段之一，所求得的須保持為同量的無量綱數(shù)，稱為模型試驗(yàn)的無量綱準(zhǔn)則。

模型試驗(yàn)的無量綱準(zhǔn)則量綱分析的方法具體進(jìn)行無量綱分析有不同的方法。常用的方法有下列兩種：①白金漢法和②瑞利法。①白金漢法：先選取幾個(gè)獨(dú)立變量（基本單位），再按π定理算出應(yīng)有無量綱數(shù)的個(gè)數(shù)，并設(shè)定無量綱乘積的形式，然后按量綱一致性原則解出無量綱乘積中各變量的指數(shù)，就得出各π。量綱分析的方法②瑞利法：先設(shè)定一包含有關(guān)物理量的顯性函數(shù)式，再按量綱一致性原則列出量綱的等式和指數(shù)的聯(lián)立方程式，解此聯(lián)立方程式可得各指數(shù)，也就得出注意：量綱分析能闡明物理運(yùn)動(dòng)中諸物理量之間的關(guān)系，初步反映出某些運(yùn)動(dòng)規(guī)律。無量綱數(shù)求得后又可減少函數(shù)中變量的個(gè)數(shù)，也能訂出模型試驗(yàn)的相似準(zhǔn)則，這是一種簡單而有效的方法。但量綱分析有局限性，應(yīng)用時(shí)必須慎重。正確的量綱分析基于對物理實(shí)質(zhì)的正確認(rèn)識，分析的結(jié)果也須以實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。例子-----流體流經(jīng)管路時(shí)摩擦阻力（沿程水頭損失）計(jì)算時(shí)π定理應(yīng)用流速v(m/s)、管徑d(m)、管長L(m)、流體密度ρ(g/m3)

、管路的粗糙度Δ(m)、流體的動(dòng)力粘滯系數(shù)μ(g/m.s)、壓強(qiáng)差Δp(g/m.s2)。流體流動(dòng)時(shí)：Δp=f1(d,L,v,ρ,μ,Δ)量綱分析：7個(gè)物理量的基本量綱為

[Δp]=ML-1T-2，[d]=L，[L]=L，[Δ]=L[v]=LT-1，[ρ]=ML-3，[μ]=ML-1T-1選擇d、v、ρ作為基本單位，它們符合基本單位制的兩點(diǎn)要求。無量綱數(shù)計(jì)算式寫成：先分析Δp的量綱：因?yàn)槠浞肿?、分母量綱應(yīng)該相同，才能保證是無量綱(量綱一致性原則)。所以有：ML-1T-2=

(L)x(LT-1)y(ML-3)z，解得：Z=1，