上海市寶山區(qū)2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市寶山區(qū)2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分）．1.集合，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榧?，則.故答案為：.2.函數(shù)的最小正周期為__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以,即函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.3.設(shè)為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，即，所以.故答案為：4.在的展開式中的系數(shù)為_________.【答案】【解析】由題知，設(shè)展開式中通項(xiàng)為，令，則，.故答案為：5.已知為實(shí)數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)偶函數(shù)，所以函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且函數(shù)圖象關(guān)于你軸對稱，所以，且，所以.故答案為：.6.某運(yùn)動員在某次男子米氣手槍射擊比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：環(huán)）為：，，，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為_________.【答案】【解析】分?jǐn)?shù)據(jù)從小到大為：，，，，，，，，，，，，共個數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故答案為：.7.已知關(guān)于正整數(shù)的方程，則該方程的解為__________.【答案】或【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，由可知：或，即或，所以和均滿足題意，所以該方程的解為：或.故答案為：或8.若，且，則_________.【答案】【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴.故答案為：6.9.過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.延長切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則______.【答案】【解析】如圖，取雙曲線右焦點(diǎn)，連接，由題知，，所以，因?yàn)镺為，T為PF的中點(diǎn)，所以TO為的中位線，可得.又，所以，又，所以，又，所以，解得.故答案為：510.將棱長為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為_________.【答案】【解析】如圖為棱長為的正四面體，作，于點(diǎn)，在中，，，，根據(jù)題意，正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個同底的圓錐，底面半徑等于，高等于，所以旋轉(zhuǎn)后幾何體的體積為：.故答案為：11.某物流公司為了擴(kuò)大業(yè)務(wù)量，計劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的倉庫.因倉庫的背面靠墻，無須建造費(fèi)用，設(shè)倉庫前面墻體的長為米（）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊參加競標(biāo)，甲隊的報價方案為：倉庫前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計元；乙隊給出的整體報價為元（）.不考慮其他因素，若乙隊要確保競標(biāo)成功，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】若倉庫前面墻體的長為米（），則左右兩面墻寬度為，則甲工程整體報價為，若乙隊要確保競標(biāo)成功則，所以，則，因?yàn)?，所以函?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，函數(shù)有最小值，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12.已知平面向量滿足：，，且對任意的單位向量滿足，則的最大值為__________.（用含的式子表示）【答案】或【解析】由題意有：當(dāng)時，可得當(dāng)與同向時，取到最大值，即此時恒成立，結(jié)合，即，此時；由于，所以假設(shè)，此時，不符合題意；故時，不妨設(shè)當(dāng)為銳角，取到最大值，此時也為銳角，此時，，（其中為輔助角）而，當(dāng)時等號成立，依題意可得恒成立，解得，由于時單調(diào)遞減，故，故令，結(jié)合解得即得，；由于時，，所以的最大值為或.故答案為：或.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分，每題都給出四個結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得相應(yīng)滿分，否則一律得零分）.13.設(shè),則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】C【解析】由題知,則同號,當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,故能推出,當(dāng)成立時,又,對不等式兩邊同時乘以可得,故“”是“”的充分必要條件.故選:C14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)且存在零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A：因?yàn)?，所以不存在零點(diǎn)，故A錯誤；對于B：令沒有實(shí)數(shù)解，所以不存在零點(diǎn)，故B錯誤；對于C：令，所以零點(diǎn)為1，又因?yàn)?，所以在為增函?shù)，故C正確；對于D：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：C.15.如圖，正四棱柱的底面邊長為，為上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，若棱上至少存在一點(diǎn)使得，則棱長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)已知條件，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱柱的高為，令，，，所以，，因?yàn)?，所以，即，整理得：，因?yàn)槔馍现辽俅嬖谝稽c(diǎn)使得，所以關(guān)于得的方程，至少有一個解，即，整理得：，解得，又因?yàn)?，所以，所以棱長的最大值為.故選：A16.設(shè)的三邊長分別為、、，面積為（為正整數(shù)）．若，其中，，，，則（）A.為嚴(yán)格減數(shù)列B.為嚴(yán)格增數(shù)列C.為嚴(yán)格增數(shù)列，為嚴(yán)格減數(shù)列D.為嚴(yán)格減數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列【答案】B【解析】由已知，即的邊為定值，不妨設(shè)，為定點(diǎn)，如圖所示，又，，則，即為定值，又，所以為定值，即，所以動點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之差的絕對值為定值，滿足雙曲線定義，所以動點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，如圖所示，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)增大時，變大，即變大，此時向遠(yuǎn)離處運(yùn)動，即變大，所以變大，即數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且，均為嚴(yán)格增數(shù)列，故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟）．17.如圖，四棱錐中，底面為矩形，，且該四棱錐的體積為.（1）證明：平面底面；（2）求異面直線和所成角的余弦值.解：（1）證明：設(shè)該四棱錐的高為，則體積，從而，等腰中，設(shè)邊的中點(diǎn)為，易知，在中，，所以，所以該四棱錐的高為即為，即底面，又平面，所以面底面.（2）因?yàn)椋约礊楫惷嬷本€和所成的角或其補(bǔ)角；由（1）知平面底面，且平面底面，在矩形中，，所以平面，因?yàn)槠矫妫瑥亩?，中，，所以，同理可得，中，，由余弦定理可得，所以異面直線和所成角的余弦值為.18.在中，已知.（1）若且，求的面積；（2）若求的取值范圍.解：（1）由正弦定理得，又，從而，由得，從而，所以的面積.（2）由，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，所以，又因?yàn)橹?，，從而，所以的范圍?19.甲乙兩人輪流擲質(zhì)地均勻的骰子，每人每次擲兩顆．（1）甲擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)不同的概率；（2）甲乙各擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大的概率；（3）若第一次擲出點(diǎn)數(shù)之和大于的人為勝者，同時比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到比賽結(jié)束.例如，甲乙先后輪流擲出的點(diǎn)數(shù)之和為：、、、，此時乙為勝者.設(shè)甲先投擲，求甲最終獲勝的概率.解：（1）甲擲一次，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相等的概率為所以兩顆骰子點(diǎn)數(shù)不同的概率為.（2）方法一：甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的情形如下表：所以.方法二：設(shè)擲一次兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)和為，則.則；；；；；.所以甲點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大7點(diǎn)的概率為.（3）由（2）可知擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為.若甲第一輪獲勝，概率為；若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的點(diǎn)數(shù)和都不大于，概率為；于是，組成一個以為首項(xiàng)，為公比的無窮等比數(shù)列.因?yàn)?，所以甲最終獲勝的總概率為.20.已知橢圓:，直線經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)且與橢圓交于另一點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為.（1）求橢圓的焦距和離心率；（2）若，求直線的方程；（3）過點(diǎn)再作一條直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）由得，所以焦距，離心率.（2），設(shè)直線的方程，與橢圓:，聯(lián)立得：，整理得：，，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)不重合，為中點(diǎn)，所以，代入方程，解得，所以可得點(diǎn)，于是由得，直線的方程：.（3）①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為：，與橢圓:，聯(lián)立，得：，整理得：，設(shè)Ax1,且，化簡得，又，從而，，由可得，從而，又因?yàn)椋?，所以上式化為：整理得：，韋達(dá)定理代入：，化簡得：.，所以或當(dāng)時，直線為：，直線經(jīng)過點(diǎn)，舍去；當(dāng)時，直線為：，此時成立，直線經(jīng)過定點(diǎn)②當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)，，則，，，代入，得與聯(lián)立得：解得此時直線也經(jīng)過點(diǎn).綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn).21.已知都是定義在實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù).對于正整數(shù)，當(dāng)分別是和的駐點(diǎn)時，記，若，則稱和滿足性質(zhì)；當(dāng)，且時，記，若，則稱和滿足性質(zhì).（1）若，，判斷和是否滿足性質(zhì)，并說明理由；（2）若，，且和滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若的最小正周期為4，且，.當(dāng)時，的駐點(diǎn)與其兩側(cè)區(qū)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：13000極小值極大值1極小值已知和滿足性質(zhì)，請寫出的充要條件，并說明理由.解：（1）.所以和是滿足性質(zhì).（2）由可知，駐點(diǎn)，又，當(dāng)時，不存在駐點(diǎn)；當(dāng)時，的駐點(diǎn)，由題意可知，解得，（3）方法一：的充要條件是.首先證明必要性：當(dāng)時，由題意可知不是常函數(shù)，所以，因?yàn)楹蜐M足性質(zhì)，所以，所以，又是正整數(shù)，故.其次證明充分性：由題意可知，，，且，①當(dāng)（）時，可知.否則，若存在（），有，因?yàn)?，所以與已知矛盾.同理，，故，所以，即.同理，，得，所以.②當(dāng)（）時，，任意，有，又由①可知，.若存在有，則，所以.由已知，其中，于是有，矛盾，