中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)專題39 中考最值難點突破阿氏圓問題（原卷版）

專題39中考最值難點突破阿氏圓問題（原卷版）模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練類型一求和最小典例1（2022秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點A、B，則所有符合PAPB=k（k＞0且k≠1）的點阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內(nèi)一動點，且OP＝r，設(shè)OPOD=k，求PC+阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AD+23

針對訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+122．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M為圓心，22為半徑畫圓，O為原點，P是⊙M上一動點，則PO+2PA的最小值為．3．（2018?碑林區(qū)校級三模）問題提出：（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，請用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE，并證明BD＝CE：問題探究：（2）如圖2，已知點P是邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部一動點，PA＝3，求PC+12問題解決：（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，點M是矩形內(nèi)部一動點，MA＝15，當(dāng)MC+35MD最小時，畫出點M的位置，并求出MC+

類型二求差最大典例2（2020秋?天寧區(qū)校級月考）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，∠B＝60°，圓B的半徑為4，點P是圓B上的一個動點，則PD?12PC的最大值為針對訓(xùn)練1．（2018?常熟市二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD?12PC的最大值為2．（2021?商河縣校級模擬）（1）初步思考：如圖1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N為BC上一點且BN＝1，試證明：PN=1（2）問題提出：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+12（3）推廣運用：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD?12

類型三綜合應(yīng)用典例3（2020?成華區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）與x軸交于點C（﹣1，0）與y軸交于點B（0，3），在線段OA上有一動點E（不與O、A重合），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．（1）分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，當(dāng)S1S2（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E'A+23E'

針對訓(xùn)練1．（2021?九龍坡區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若點D為AC上一點，連接BD，將BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到BE，連接CE，交AB于點F．（1）如圖1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的長；（2）如圖2，點G為BC的中點，連接FG交BD于點H．若∠ABD＝30°，猜想線段DC與線段HG的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，若AB＝4，D為AC的中點，將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)得△A′BD′，連接A′C、A′D，當(dāng)A′D+22A′C最小時，求S△A′

2．（2022?高唐縣二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，﹣4），B（0，4），直線AC的解析式為y=?12x﹣6，且與y軸相交于點C，若點E是直線AB上的一個動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（2）點H是y軸上一動點，連接EH，HF，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形EAFH是矩形？求出此時點E，H的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上以動點，求12AM+CM

模塊二2023中考押題預(yù)測1．（2021秋?西峽縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則12A．4 B．32 C．17 D．2．（2022秋?永嘉縣期末）如圖所示，∠ACB＝60°，半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB．P為圓O上一動點，過點P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM+2PN的取值范圍為．3．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以點C為圓心，3為半徑做⊙C，分別交AC，BC于D，E兩點，點P是⊙C上一個動點，則13PA+PB的最小值為4．（2022春?長順縣月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+14PB的最小值為5．（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為．6．（2020?武漢模擬）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A，B，所有滿足PAPB=k（k為定值）的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“【問題解決】如圖，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，則△ABC面積的最大值為．7．（2020?溧陽市一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA上，且OC＝2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．8．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC的中點，以B為圓心，BE為半徑作⊙B，點P是⊙B上一動點，連接PD、PC，則PD+12PC的最小值為9．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點，D是OB上一點，OD＝5，P是AB上一動點，則PC+12PD的最小值為10．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限內(nèi)一動點，OP＝2，連接AP、BP，則BP+12AP11．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點，則2PA+PB的最小值為．第11題第12題12．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△OAB的頂點O，A，B均在格點上，點E在OA上，且點E也在格點上．（I）OEOB的值為（Ⅱ）DE是以點O為圓心，2為半徑的一段圓弧．在如圖所示的網(wǎng)格中，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）連接E'A，E'B，當(dāng)E'A+23E'B的值最小時，請用無刻度的直尺畫出點E′，并簡要說明點E'的位置是如何找到的（不要求證明）13．（2021秋?定海區(qū)期末）如圖1，正方形OABC邊長是2，以O(shè)A為半徑作圓，P為弧AC上的一點，過點P作PM⊥AB交AB于點M，連結(jié)PO、PA，設(shè)PM＝m，PA＝n．（1）求證：∠POA＝2∠PAM；（2）探求m、n的數(shù)量關(guān)系，并求n﹣m最大值；（3）如圖2：連結(jié)PB，設(shè)PB＝h，求2h+2m的最小值．14．（2022?從化區(qū)一模）已知，AB是⊙O的直徑，AB=42，AC＝BC（1）求弦BC的長；（2）若點D是AB下方⊙O上的動點（不與點A，B重合），以CD為邊，作正方形CDEF，如圖1所示，若M是DF的中點，N是BC的中點，求證：線段MN的長為定值；（3）如圖2，點P是動點，且AP＝2，連接CP，PB，一動點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段CP勻速運動到點P，再以每秒1個單位的速度沿線段PB勻速運動到點B，到達(dá)點B后停止運動，求點Q的運動時間t的最小值．

15．（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖1，在四