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專題39中考最值難點(diǎn)突破阿氏圓問題(原卷版)模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類型一求和最小典例1(2022秋?山西期末)閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的點(diǎn)阿氏圓基本解法:構(gòu)造三角形相似.【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,在x軸,y軸上分別有點(diǎn)C(m,0),D(0,n),點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且OP=r,設(shè)OPOD=k,求PC+阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟:第一步:如圖1,在OD上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=k;第二步:證明kPD=PM;第三步:連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.下面是該題的解答過程(部分):解:在OD上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=k,又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.任務(wù):(1)將以上解答過程補(bǔ)充完整.(2)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),滿足CD=2,利用(1)中的結(jié)論,請(qǐng)直接寫出AD+23
針對(duì)訓(xùn)練1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,BP,求AP+122.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(6,﹣1),M(4,4),以M為圓心,22為半徑畫圓,O為原點(diǎn),P是⊙M上一動(dòng)點(diǎn),則PO+2PA的最小值為.3.(2018?碑林區(qū)校級(jí)三模)問題提出:(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,BD是AC邊上的中線,請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE,并證明BD=CE:?jiǎn)栴}探究:(2)如圖2,已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),PA=3,求PC+12問題解決:(3)如圖3,在矩形ABCD中,AB=18,BC=25,點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),MA=15,當(dāng)MC+35MD最小時(shí),畫出點(diǎn)M的位置,并求出MC+
類型二求差最大典例2(2020秋?天寧區(qū)校級(jí)月考)如圖,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8,∠B=60°,圓B的半徑為4,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PD?12PC的最大值為針對(duì)訓(xùn)練1.(2018?常熟市二模)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,⊙B的半徑為2,點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PD?12PC的最大值為2.(2021?商河縣校級(jí)模擬)(1)初步思考:如圖1,在△PCB中,已知PB=2,BC=4,N為BC上一點(diǎn)且BN=1,試證明:PN=1(2)問題提出:如圖2,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PD+12(3)推廣運(yùn)用:如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠B=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PD?12
類型三綜合應(yīng)用典例3(2020?成華區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,拋物線y=mx2﹣3mx+n(m≠0)與x軸交于點(diǎn)C(﹣1,0)與y軸交于點(diǎn)B(0,3),在線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)E(不與O、A重合),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.(1)分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)△PMN的面積為S1,△AEN的面積為S2,當(dāng)S1S2(3)如圖2,在(2)的條件下,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接E′A、E′B,求E'A+23E'
針對(duì)訓(xùn)練1.(2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)在△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB.若點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),連接BD,將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BE,連接CE,交AB于點(diǎn)F.(1)如圖1,若∠ABE=75°,BD=4,求AC的長(zhǎng);(2)如圖2,點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),連接FG交BD于點(diǎn)H.若∠ABD=30°,猜想線段DC與線段HG的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;(3)如圖3,若AB=4,D為AC的中點(diǎn),將△ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得△A′BD′,連接A′C、A′D,當(dāng)A′D+22A′C最小時(shí),求S△A′
2.(2022?高唐縣二模)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,﹣4),B(0,4),直線AC的解析式為y=?12x﹣6,且與y軸相交于點(diǎn)C,若點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)(1)求拋物線y=﹣x2+bx+c的解析式;(2)點(diǎn)H是y軸上一動(dòng)點(diǎn),連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形EAFH是矩形?求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo);(3)在(2)的前提下,以點(diǎn)E為圓心,EH長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn)M為⊙E上以動(dòng)點(diǎn),求12AM+CM
模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)1.(2021秋?西峽縣期末)如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn),則12A.4 B.32 C.17 D.2.(2022秋?永嘉縣期末)如圖所示,∠ACB=60°,半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB.P為圓O上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊,垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍為.3.(2021秋?龍鳳區(qū)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=4,以點(diǎn)C為圓心,3為半徑做⊙C,分別交AC,BC于D,E兩點(diǎn),點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則13PA+PB的最小值為4.(2022春?長(zhǎng)順縣月考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DE=4,P是DE的中點(diǎn),連接PA,PB,則PA+14PB的最小值為5.(2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中)如圖,⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,⊙O半徑為3,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)P在弧MN上移動(dòng),連接PA,PB,則3PA+PB的最小值為.6.(2020?武漢模擬)【新知探究】新定義:平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿足PAPB=k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓,我們把這種圓稱之為“【問題解決】如圖,在△ABC中,CB=4,AB=2AC,則△ABC面積的最大值為.7.(2020?溧陽市一模)如圖,在⊙O中,點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上,∠AOB=90°,OA=6,點(diǎn)C在OA上,且OC=2AC,點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn),則CM+2DM的最小值為.8.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC的中點(diǎn),以B為圓心,BE為半徑作⊙B,點(diǎn)P是⊙B上一動(dòng)點(diǎn),連接PD、PC,則PD+12PC的最小值為9.如圖,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中點(diǎn),D是OB上一點(diǎn),OD=5,P是AB上一動(dòng)點(diǎn),則PC+12PD的最小值為10.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,A(0,4),B(4,0),P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),OP=2,連接AP、BP,則BP+12AP11.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形,內(nèi)切圓記為圓O,P為圓O上一動(dòng)點(diǎn),則2PA+PB的最小值為.第11題第12題12.如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,△OAB的頂點(diǎn)O,A,B均在格點(diǎn)上,點(diǎn)E在OA上,且點(diǎn)E也在格點(diǎn)上.(I)OEOB的值為(Ⅱ)DE是以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的一段圓弧.在如圖所示的網(wǎng)格中,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)連接E'A,E'B,當(dāng)E'A+23E'B的值最小時(shí),請(qǐng)用無刻度的直尺畫出點(diǎn)E′,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)E'的位置是如何找到的(不要求證明)13.(2021秋?定海區(qū)期末)如圖1,正方形OABC邊長(zhǎng)是2,以O(shè)A為半徑作圓,P為弧AC上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥AB交AB于點(diǎn)M,連結(jié)PO、PA,設(shè)PM=m,PA=n.(1)求證:∠POA=2∠PAM;(2)探求m、n的數(shù)量關(guān)系,并求n﹣m最大值;(3)如圖2:連結(jié)PB,設(shè)PB=h,求2h+2m的最小值.14.(2022?從化區(qū)一模)已知,AB是⊙O的直徑,AB=42,AC=BC(1)求弦BC的長(zhǎng);(2)若點(diǎn)D是AB下方⊙O上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),以CD為邊,作正方形CDEF,如圖1所示,若M是DF的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),求證:線段MN的長(zhǎng)為定值;(3)如圖2,點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),且AP=2,連接CP,PB,一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿線段CP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值.
15.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,在四
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