《一次方程與方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解_第1頁(yè)
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《一次方程與方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解撰稿:吳婷婷審稿:常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解方程,等式及一元一次方程、二元一次方程組的概念,并掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系;2.會(huì)解一元一次方程及二元一次方程組,并理解每步變形的依據(jù);3.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程或方程組解應(yīng)用題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、方程及方程組的相關(guān)概念1.方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是1,且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程.3.二元一次方程:方程中含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.要點(diǎn)詮釋:(1)在方程中“元”是指未知數(shù),“一元”就是指方程中只含有一個(gè)未知數(shù);“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).(2)無(wú)論是一元一次方程還是二元一次方程,未知數(shù)的次數(shù)都為1,是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式)的次數(shù)是1.(3)未知數(shù)所在的式子是整式,即分母中不含未知數(shù),二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.4.二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.要點(diǎn)詮釋:二元一次方程的每一個(gè)解,都是一對(duì)數(shù)值,而不是一個(gè)數(shù)值,一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái),即二元一次方程的解通常表示為的形式.5.二元一次方程組:把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起,就組成了一個(gè)二元一次方程組.此外,組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如,二元一次方程組.6.二元一次方程組的解:使二元一次方程組中每個(gè)方程都成立的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)詮釋:(1)方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程,所以檢驗(yàn)是否是方程組的解,應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程,若兩個(gè)方程同時(shí)成立,才是方程組的解,而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.(2)方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立;(3)一般地,二元一次方程組的解只有一個(gè),但也有特殊情況,如方程組無(wú)解,而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).7.三元一次方程組:由三個(gè)一次方程組成的含有三個(gè)未知數(shù)的方程組,叫做三元一次方程組.要點(diǎn)詮釋:(1)方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程;(2)如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù),它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.要點(diǎn)二、等式的性質(zhì)1.等式的概念:用符號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式.2.等式的性質(zhì):等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,所得結(jié)果仍是等式,即:如果,那么

等式的性質(zhì)2:等式的兩邊都乘同或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能為0),所得結(jié)果仍是等式,即:如果,那么;.等式的性質(zhì)3:如果,那么.(對(duì)稱性)等式的性質(zhì)4:如果,,那么.(傳遞性)要點(diǎn)詮釋:(1)根據(jù)等式的性質(zhì),對(duì)等式進(jìn)行變形,等式兩邊必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形;(2)等式性質(zhì)1中,強(qiáng)調(diào)的是整式,如果在等式兩邊同加的不是整式,那么變形后的等式不一定成立,如x=0中,兩邊加上得x+,這個(gè)等式不成立;(3)等式的性質(zhì)4中一個(gè)量用與它相等的量代替,簡(jiǎn)稱等量代換.3.移項(xiàng):在解方程的過(guò)程中,等號(hào)的兩邊加上(或減去)方程中某一項(xiàng)的變形過(guò)程,相當(dāng)于把方程中某一項(xiàng)改變符號(hào)后,從方程的一邊移到另一邊.這種變形過(guò)程叫做移項(xiàng).要點(diǎn)詮釋:移項(xiàng)通常是指把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊,其他項(xiàng)移到方程的另一邊,但無(wú)論是移含有未知數(shù)的項(xiàng)還是其他項(xiàng)都要改變符號(hào),然后再進(jìn)行移項(xiàng).要點(diǎn)三、方程及方程組的解法1.解一元一次方程的一般步驟:(1)去分母:在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).(2)去括號(hào):依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則,先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).(3)移項(xiàng):把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.(4)合并:逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),把方程化為ax=b(a≠0)的形式.(5)系數(shù)化為1:方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0).(6)檢驗(yàn):把方程的解代入原方程,若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等,則不是方程的解.2.解二元一次方程組的基本方法:代入消元法和加減消元法(1)用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程:①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形,用含有(或)的代數(shù)式表示(或),即變成(或)的形式;②將(或)代入另一個(gè)方程(不能代入原變形方程)中,消去(或),得到一個(gè)關(guān)于(或)的一元一次方程;③解這個(gè)一元一次方程,求出(或)的值;④把(或)的值代入(或)中,求(或)的值;⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值,就是方程組的解.要點(diǎn)詮釋:(1)用代入法解二元一次方程組時(shí),應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn),盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形;(2)變形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程組中的另一個(gè)方程;(3)要善于分析方程的特點(diǎn),尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示,代入另一個(gè)方程,或直接將某一方程代入另一個(gè)方程,這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一,它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便,提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.(2)用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程:①根據(jù)“等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)不等于0的數(shù),等式仍然成立”的性質(zhì),將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式;②根據(jù)“等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì),將變形后的兩個(gè)方程相加(或相減),消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程;③解這個(gè)一元一次方程,求出一個(gè)未知數(shù)的值;④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中,求出另一個(gè)未知數(shù)的值;⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點(diǎn)詮釋:當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí),用加減消元法較簡(jiǎn)單.3.三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元,一般的,應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù),從而化三元為二元,然后解這個(gè)二元一次方程組,求出兩個(gè)未知數(shù),最后再求出另一個(gè)未知數(shù).解三元一次方程組的一般步驟是:(1)利用代入法或加減法,把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組,消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù),得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組;(2)解這個(gè)二元一次方程組,求出兩個(gè)未知數(shù)的值;(3)將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程,得到一個(gè)一元一次方程;(4)解這個(gè)一元一次方程,求出最后一個(gè)未知數(shù)的值;(5)將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起.要點(diǎn)四、方程及方程組的應(yīng)用1.常見(jiàn)類型:行程問(wèn)題:路程=速度×?xí)r間和差倍分問(wèn)題:增長(zhǎng)量=原有量×增長(zhǎng)率利潤(rùn)問(wèn)題:商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)工程問(wèn)題:工作量=工作效率×工作時(shí)間,各部分勞動(dòng)量之和=總量銀行存貸款問(wèn)題:本息和=本金+利息,利息=本金×利率×期數(shù)數(shù)字問(wèn)題:多位數(shù)的表示方法:例如:2.實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組要點(diǎn)詮釋:(1)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”,而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義,檢查求得的結(jié)果是否合理,不符合題意的解應(yīng)該舍去;(2)“設(shè)”、“答”兩步,都要寫(xiě)清單位名稱;(3)一般來(lái)說(shuō),設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類型一、方程及方程組的相關(guān)概念1.下列方程中,哪些是一元一次方程?哪些不是?(1);(2)2x+y=5;(3)x2-5x+6=0;(4);(5).【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后,只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)不為0,則這個(gè)方程是一元一次方程.【答案】(1)、(5)是一元一次方程.因?yàn)樗鼈兓虻葍r(jià)變形后是只含有一個(gè)未知數(shù)、并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程;(2)、(3)、(4)都不是一元一次方程,因?yàn)?2)中含有兩個(gè)未知數(shù);(3)中未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(4)中分母含有未知數(shù),它不是整式方程.【解析】判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程,有時(shí)需要對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形后再判斷.例如:,可化為:,所以是一元一次方程.【總結(jié)升華】凡是分母中含有未知數(shù)的方程一定不是一元一次方程.舉一反三:【變式】若方程3(x-1)+8=2x+3與方程的解相同,求k的值.【答案】解:解方程3(x-1)+8=2x+3,得x=-2.將x=-2代入方程中,得.解這個(gè)關(guān)于k的方程,得.所以,k的值是.2.下列方程組中,不是二元一次方程組的是().A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】利用二元一次方程組的定義一一進(jìn)行判斷.【答案】B.【解析】二元一次方程組中只含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的次數(shù)都是1,方程組中,可以整理為.【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.舉一反三:【高清課堂:二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)\o"查看資源信息"409413例1(2)】【變式】若是二元一次方程,則a=,b=.【答案】1,0.類型二、方程及方程組的解法3.解方程【思路點(diǎn)撥】通過(guò)方程的同解原理(去分母,去括號(hào),合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1),一步一步將一個(gè)復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化成與它同解的最簡(jiǎn)的方程,從而達(dá)到求解的目的.【答案與解析】解:去分母,得3(y+2)-2(3-5y)=12去括號(hào),得3y+6-6+10y=12合并同類項(xiàng),得13y=12未知數(shù)的系數(shù)化為1,得【總結(jié)升華】轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的思想方法,它能將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,將未知轉(zhuǎn)化為已知.事實(shí)上解一元一次方程就是利用方程的同解原理,將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程直至求出它的解.舉一反三:【變式】解方程:.【答案】解:把方程可化為:,再去分母得:解得:4.解方程|x-2|=3.【答案與解析】解:當(dāng)x-2≥0時(shí),原方程可化為x-2=3,得x=5.當(dāng)x-2<0時(shí),原方程可化為-(x-2)=3,得x=-1.所以x=5和x=-1都是方程|x-2|=3的解.【總結(jié)升華】如圖所示,可以看出點(diǎn)-1與5到點(diǎn)2的距離均為3,所以|x-2|=3的意義為在數(shù)軸上到點(diǎn)2的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù),即方程|x-2|=3的解為x=-1和x=5.5.解方程組【思路點(diǎn)撥】由于本題結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,不能直接消元,應(yīng)先將方程組化為一般形式,再看如何消元,即用加減或代入消元法.【答案與解析】解:將原方程組化簡(jiǎn)得①-②得:-3y=3,得y=-1,將y=-1代入①中,x=9-5=4.故原方程組的解為.【總結(jié)升華】消元法是解方程組的基本方法,消元的目的是把多元一次方程組逐步轉(zhuǎn)化為一元一次方程,從而使問(wèn)題獲解.舉一反三:【變式】解方程組【答案】解:①+②,得.②+③,得.解方程組得把,代入①,得.所以方程組的解是類型三、方程及方程組的應(yīng)用6.甲車(chē)從A地出發(fā)以60km/h的速度沿公路勻速行駛,0.5h后,乙車(chē)也從A地出發(fā),以80km/h的速度沿該公路與甲車(chē)同向勻速行駛,求乙車(chē)出發(fā)后幾小時(shí)追上甲車(chē).【答案與解析】解:設(shè)乙車(chē)出發(fā)后x小時(shí)追上甲車(chē),依題意得60×0.5+60x=80x,x=1.5.答:乙車(chē)出發(fā)后1.5小時(shí)追上甲車(chē).【總結(jié)升華】此題的等量關(guān)系為:甲前0.5h的行程+甲后來(lái)的行程=乙的行程.7.2001年以來(lái),我國(guó)曾五次實(shí)施藥品降價(jià),累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元,五次藥品降價(jià)的年份與相應(yīng)降價(jià)金額如下表所示,表中缺失了2003、2007年相關(guān)數(shù)據(jù).已知2007年藥品降價(jià)金額是2003年藥品降價(jià)金額的6倍,結(jié)合表中的信息,求2003年和2007年的藥品降價(jià)金額.年份20022003200420052007降價(jià)金額(億元)543540【思路點(diǎn)撥】本題的兩個(gè)相等關(guān)系為:(1)五年的降價(jià)金額一共是269億元;(2)2007年藥品降價(jià)金額=6×

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