《一次方程與方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識(shí)講解

《一次方程與方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）知識(shí)講解撰稿：吳婷婷審稿：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解方程，等式及一元一次方程、二元一次方程組的概念，并掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；2．會(huì)解一元一次方程及二元一次方程組，并理解每步變形的依據(jù)；3．會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程或方程組解應(yīng)用題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、方程及方程組的相關(guān)概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，且等式兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程．3．二元一次方程：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．要點(diǎn)詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“一元”就是指方程中只含有一個(gè)未知數(shù)；“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù)．（2）無(wú)論是一元一次方程還是二元一次方程，未知數(shù)的次數(shù)都為1，是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1．（3）未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)，二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．4．二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．要點(diǎn)詮釋：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為的形式．5．二元一次方程組：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)．例如，二元一次方程組．6．二元一次方程組的解：使二元一次方程組中每個(gè)方程都成立的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解．要點(diǎn)詮釋：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)．7．三元一次方程組：由三個(gè)一次方程組成的含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組．要點(diǎn)詮釋：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組．要點(diǎn)二、等式的性質(zhì)1．等式的概念：用符號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式．2．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式，即：如果，那么

等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式，即：如果，那么；．等式的性質(zhì)3：如果，那么．（對(duì)稱性）等式的性質(zhì)4：如果，，那么．（傳遞性）要點(diǎn)詮釋：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行變形，等式兩邊必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形；（2）等式性質(zhì)1中，強(qiáng)調(diào)的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立，如x＝0中，兩邊加上得x＋，這個(gè)等式不成立；（3）等式的性質(zhì)4中一個(gè)量用與它相等的量代替，簡(jiǎn)稱等量代換．3．移項(xiàng)：在解方程的過(guò)程中，等號(hào)的兩邊加上（或減去）方程中某一項(xiàng)的變形過(guò)程，相當(dāng)于把方程中某一項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊．這種變形過(guò)程叫做移項(xiàng)．要點(diǎn)詮釋：移項(xiàng)通常是指把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)移到方程的另一邊，但無(wú)論是移含有未知數(shù)的項(xiàng)還是其他項(xiàng)都要改變符號(hào)，然后再進(jìn)行移項(xiàng)．要點(diǎn)三、方程及方程組的解法1．解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解．要點(diǎn)詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法．如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單．3．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起．要點(diǎn)四、方程及方程組的應(yīng)用1．常見(jiàn)類型：行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：2．實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組．【典型例題】類型一、方程及方程組的相關(guān)概念1．下列方程中，哪些是一元一次方程?哪些不是?(1)；(2)2x+y＝5；(3)x2-5x+6＝0；(4)；(5)．【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，則這個(gè)方程是一元一次方程．【答案】(1)、(5)是一元一次方程．因?yàn)樗鼈兓虻葍r(jià)變形后是只含有一個(gè)未知數(shù)、并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程；(2)、(3)、(4)都不是一元一次方程，因?yàn)?2)中含有兩個(gè)未知數(shù)；(3)中未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(4)中分母含有未知數(shù)，它不是整式方程．【解析】判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程，有時(shí)需要對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形后再判斷．例如：，可化為：，所以是一元一次方程．【總結(jié)升華】凡是分母中含有未知數(shù)的方程一定不是一元一次方程．舉一反三：【變式】若方程3(x-1)+8＝2x+3與方程的解相同，求k的值．【答案】解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．將x＝-2代入方程中，得．解這個(gè)關(guān)于k的方程，得．所以，k的值是．2．下列方程組中，不是二元一次方程組的是（）．A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】利用二元一次方程組的定義一一進(jìn)行判斷．【答案】B．【解析】二元一次方程組中只含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的次數(shù)都是1，方程組中，可以整理為．【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解二元一次方程組和二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)\o"查看資源信息"409413例1（2）】【變式】若是二元一次方程，則a=，b=．【答案】1,0．類型二、方程及方程組的解法3．解方程【思路點(diǎn)撥】通過(guò)方程的同解原理(去分母，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1)，一步一步將一個(gè)復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化成與它同解的最簡(jiǎn)的方程，從而達(dá)到求解的目的．【答案與解析】解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12去括號(hào)，得3y+6-6+10y＝12合并同類項(xiàng)，得13y＝12未知數(shù)的系數(shù)化為1，得【總結(jié)升華】轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的思想方法，它能將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知．事實(shí)上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，將復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的方程直至求出它的解．舉一反三：【變式】解方程：.【答案】解：把方程可化為：，再去分母得：解得：4.解方程|x-2|＝3．【答案與解析】解：當(dāng)x-2≥0時(shí)，原方程可化為x-2＝3，得x＝5．當(dāng)x-2＜0時(shí)，原方程可化為-(x-2)＝3，得x＝-1．所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．【總結(jié)升華】如圖所示，可以看出點(diǎn)-1與5到點(diǎn)2的距離均為3，所以|x-2|＝3的意義為在數(shù)軸上到點(diǎn)2的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即方程|x-2|＝3的解為x＝-1和x＝5．5．解方程組【思路點(diǎn)撥】由于本題結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不能直接消元，應(yīng)先將方程組化為一般形式，再看如何消元，即用加減或代入消元法．【答案與解析】解：將原方程組化簡(jiǎn)得①－②得：-3y＝3，得y＝-1，將y＝-1代入①中，x＝9-5＝4．故原方程組的解為．【總結(jié)升華】消元法是解方程組的基本方法，消元的目的是把多元一次方程組逐步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問(wèn)題獲解．舉一反三：【變式】解方程組【答案】解：①+②，得．②+③，得．解方程組得把，代入①，得．所以方程組的解是類型三、方程及方程組的應(yīng)用6．甲車(chē)從A地出發(fā)以60km／h的速度沿公路勻速行駛，0.5h后，乙車(chē)也從A地出發(fā)，以80km／h的速度沿該公路與甲車(chē)同向勻速行駛，求乙車(chē)出發(fā)后幾小時(shí)追上甲車(chē)．【答案與解析】解：設(shè)乙車(chē)出發(fā)后x小時(shí)追上甲車(chē)，依題意得60×0．5+60x＝80x，x＝1.5．答：乙車(chē)出發(fā)后1.5小時(shí)追上甲車(chē)．【總結(jié)升華】此題的等量關(guān)系為：甲前0.5h的行程+甲后來(lái)的行程＝乙的行程．7．2001年以來(lái)，我國(guó)曾五次實(shí)施藥品降價(jià)，累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元，五次藥品降價(jià)的年份與相應(yīng)降價(jià)金額如下表所示，表中缺失了2003、2007年相關(guān)數(shù)據(jù)．已知2007年藥品降價(jià)金額是2003年藥品降價(jià)金額的6倍，結(jié)合表中的信息，求2003年和2007年的藥品降價(jià)金額．年份20022003200420052007降價(jià)金額（億元）543540【思路點(diǎn)撥】本題的兩個(gè)相等關(guān)系為：（1）五年的降價(jià)金額一共是269億元；（2）2007年藥品降價(jià)金額＝6×