解三角形五類題型-2025年高考數(shù)學(xué)沖刺大題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）

專題01五類解三角形題型

2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)(解析版)

解三角形問(wèn)題一般分為五類：類型1：三角形面積最值問(wèn)題；

類型2：三角形周長(zhǎng)定值及最值；

類型3：三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題；

類型4：三角形涉及角平分線問(wèn)題

類型5：三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題。

類型1：面積最值問(wèn)題

技巧：正規(guī)方法：面積公式+基本不等式

2

(1)<S-^absinCa=2abcosC+c~>2ab^>ab<—,-----------r

a2+b~-c2=2abcosC2(1-cosC)

1

S=—cicsinB22cr?/b2

2+c=2accosB+b>2ac^>ac<—；----------r

222

a+c-b=2acCOsB2(1—cos引

222

(3)<$z^/7+c=2/?ccosA+tz>2bc=>bc<—y-------、

b1+C1-a1-2bccosA2(1-cosA)

秒殺方法：

在AA5C中，已知5=6,AC=x

?(A5+BCymax.

則n：^cMBCmax=-——J—D

O

其中(AB+3C)max=2氏1府+2mncos6加，〃分別是R4、5c的系數(shù)

2-

面積最值問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

1.44BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,》,c,c=2(acosC-，)，c2+a2=b2+y/iac,6=2.

⑴求A；

IT

⑵若在線段BC上且和&C都不重合，ZMAN=],求AAWN面積的取值范圍.

【答案】(1)5

^3^3

⑵

~T'~2

7

【詳解】（1）由c=2（acosC-＞）得2acosC=c+26,由正弦定理得

所以2cosAsinC+sinC=O,又因?yàn)镃?。，兀），所以sinCVO,

所以cosA=—],又A￡（0,71）,所以A=萬(wàn)~,

(2)由+“2=+6QC,得—〃=6時(shí)，由余弦定理知COSB='"----—=，

2ac2

又因?yàn)樨＃?，所?=9

o

JT

所以。=?！狝—5=:，所以b=c=2,如圖，設(shè)NBAM=a,

6

TTSjrjr

則NCAN=——a,/BMA=——a,ZCNA=-+a,

362

?“csinB61

在AABM中,由正弦定理可知人知=嬴商港=下「二不「

sin------asin—+a

I6）（6

C?兀

2sm—

…Z?sinC61

在△4VC中,=

由正弦定理可知AN=嬴N麗.(71cosa

sin—+a

12

L-sin巴

S=-AM-AN-sinZMAN=-百

故“AMMNN22cosa3

4sina+-\cosa

I6

_________y/3____________________V|_________

2^A/3sinct+coscosa2^/3sinacosa+2cos2a

島in2c+cos2a+l2sin,+j+l'

因?yàn)樗訠<2a+g〈學(xué)，所以:<sin(2a+VI,

V3J6662I6J

<口無(wú)<____B____<正

所以2<2sin2a+z+1W3,所以3一0.乙兀U2，

I6)2sinl26Z+—1+1

7

2.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若J§csin8=a-6cosC.

⑴求B；

（2）^DC=AD,BD=2,求44BC的面積的最大值.

【答案】⑴m

0

⑵8-

【詳解】（1）由題意，

在AABC中，y/3csmB=a—bcosC,

??〃

?-----=---b---=----c--,A+5+C=兀

sinAsinBsinC

73sinCsinB=sinA-sinBcos。，即6sinCsin3=sin（3+C）—sin3cosC,

:.^A/3sinB-cosBjsinC=0,

sinCw0,0<B<7i

V3sinB-cos3=0,可得tanB=，解得：B=j

36

（2）由題意及（1）得

jr

在AABC中，B=~,DC=AD，BD=2,

6

。為邊AC的中點(diǎn)，4|BD|2=4x22=16

UUWUUULU

2BD=BA+BC,

：.4（BD）2=（BA+BC）2=（BA）2+2BA-BC+（BC^,即

4|BD|2=|BA|2+2|BA||BC|COSB+|B^2=16,

設(shè),A|=C,pc|=a,貝Ua?+/+/+百ac=162（2+6）4c,

所以或石=32T6后，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.

ABC=^ACsinB=—ac<S—4\/3,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，

AABC的面積的最大值為8-46.

3.在“BC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且2asinA=（2b-c）sinB+c（2sinC-sinB）.

⑴求A;

（2）點(diǎn)D在邊3c上，且BD=3OC,AD=4,求AABC面積的最大值.

【答案】（1）A=]

0、64>/3

9

【詳解】(1)v2tzsinA=(2Z?-c)sinB+c(2sinC-sinB),

2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,

即

Ae(O,^-)

???A=~,

3

_____,__,____3__,i__.3__

(2)根據(jù)題意可得茄=須+豆5=4§+-比=一瓶+—XS,

444

1QQTT

所以平方可得16=白02+3〃+/ccosg.

Io1683

256

又256=c2+9b2+3bc>9bc,所以。。工,

當(dāng)且僅當(dāng)b=電@,c="@時(shí)，等號(hào)成立，

93

所以S=Lsin為L(zhǎng)變、3二處1

232929

即“1BC面積的最大值為史i.

9

4.AABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為〃"，c,已知。=2(acosC—，)，c2+a2=b2+^3ac,

b=2.

⑴求A；

TT

⑵若M是直線BC外一點(diǎn)，ZBMC=~,求△BMC面積的最大值.

兀

【答案】⑴g2

(2)373

【詳解】(1)由c=2(acosC—6)得2acosC=c+2Z?,

由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB,

因?yàn)閟inB=sin(兀-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2cosAsinC+sinC=0.

又因?yàn)椤！?0,兀)，所以sinCwO,

所以cosA=一‘.

2

因?yàn)锳e（O,兀）,所以A=手.

(2)由+。2=/得/+。2一/=,

c2+a2-b2_6

故cosB

lac2

因?yàn)?e(0,7t),所以8=2,

o

TT

所以C=7i—A—5=：,可得b=c=2.

6

2x3

根據(jù)正弦定理三可得，a=3=—=2技

smAsinBsin3j_

2

設(shè)BM-m,CM=n,

jr

在△BMC中，ZBMC=~,

由余弦定理可得〃=療+n--2mncos—=m2+n2—mn=12.

所以12=療+“2_>2mn—mn=mn，

當(dāng)且僅當(dāng)根=77=2石時(shí)取等號(hào)，

所以wz<12.

所以SAMBC=mwsinj='mn<乎xl2=36■

故△BMC面積的最大值為3#)■

5.在44BC中，角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB),D

為BC邊上一點(diǎn)，AD平分NBAC,AO=2.

⑴求角A；

(2)求AABC面積的最小值.

【答案】⑴力=*

(2)|V3

【詳解】(1)由(sinA+sin5)(a—8)=c(sinC—sin5),可得(a+b)(a—b)=c(c—〃),

整理得Z72+02—="，則cosA=1十°——=-^-=—,

2bc2bc2

又0cA〈兀，貝!jA=g.

(2)過(guò)點(diǎn)。作OE1AC于E,作于憶

TT

y.^OAC=ZDAB=-,AD=2,貝!江=Z)E=1,

6

則=1&csinA=1(Z?+c)-l,

貝U其c=20+c),又b+cN2癡(當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等號(hào)成立)，

16

則其c24癡，貝!|bcN可，

則(當(dāng)且僅當(dāng)』時(shí)等號(hào)成立)，

4L

則“13C面積的最小值為耳6.

，C

"F力

6.在①m=(2a-c,b),n=(cosC,cosB),mlIn;②bsinA=acos〔B-野；③

(a+b)(a-b)=(a-c)c三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.在“IBC

中，內(nèi)角A,8C的對(duì)邊分別是°,6,c,且滿足.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,

按第一個(gè)解答計(jì)分.

⑴求角8；

⑵若6=2,求"RC面積的最大值.

【答案】⑴2

⑵6

【詳解】(1)解:選①：因?yàn)闄C(jī)=(2〃—c,，)，n=(cosC,cosB)

由正//K可得(2a—c)cos3-。cosC=。，

由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB—sinBcosC

=2sinAcosB-(sinCeosB+sinBcosC)=2sinAcosB-sin(B+C)=0,

因?yàn)锽+C=71—A,可得sin(3+C)=sinA,所以2sinAcos5—sinA=0,

又因?yàn)锳w(O,?),可得sinA>0,所以cos5=；,

因?yàn)?w(0,?),所以3

選②：因?yàn)閎sinA=〃cos(3-,

由正弦定理得sinBsinA=sinA-cosB+—sinB),

又因?yàn)锳c(。,萬(wàn))，可得sinA>0,貝!]51113二避<053+!$1118,

22

BP-sinB=迫cosB,可得tan3=6，

22

因?yàn)锽e(0,m,所以8

選③：因?yàn)?a+b)(a—b)=(a—c)c,可得6+/一〃=農(nóng)，

由余弦定理得cosB==旦=!，

2ac2ac2

又因?yàn)锽e?》)，所以

(2)解:因?yàn)锽=g,且6=2,

由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB,即4=+c?—2℃cos§,

可得片+0?-“c=4,

又由a?+<?2-acN2ac-ac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以acV4,

所以AABC的面積,曲；=^-?csinjB<^x4xsin-|-=V3,

即AABC的面積的最大值為

類型2：三角形周長(zhǎng)定值及最值

類型一：已知一角與兩邊乘積模型

第一步：求兩邊乘積

第二步：利用余弦定理求出兩邊之和

類型二：已知一角與三角等量模型

第一步：求三角各自的大小

第二步：利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度

最值步驟如下：

第一步：先表示出周長(zhǎng)/=a+b+c

第二步：利用正弦定理a=2RsinAS=2火5也5,。=2火5達(dá)。將邊化為角

第三步：多角化一角+輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值

周長(zhǎng)定值及最值問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

7.在銳角三角形AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,⑸為C?在而方向上的

投影向量，且滿足2csinB=^|麗

⑴求cosC的值；

(2)若=a=3ccosB,求AABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)&

⑵0+2有

【詳解】(1)由國(guó)為國(guó)在B方向上的投影向量，貝"前|=bcosC,即2csin2=?cosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsin8=>/^sinBcosC,

在銳角AABC中，Be[。，')則sinB>0,即2sinC=J^cosC,

由Ce]o,1^|,則cc^C+sin2c=1,整理可得cos?C+；cos2c=1,解得cosC=|.

(2)由。=3ccos5,根據(jù)正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在AABC中，A+B+C=TT,則sin(5+C)=3sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=3sinCeosB,

sinBcosC=2sinCeosB,

2

由（1）可知cosC=1,sinC=A/1-COS2C=,則sin5=6cosB,

3

由sin?B+cos?3=1,貝15cos23+cos?5=1,解得cos5=^^,sinB=

66

b貝Jc=sin：j,〃=逅0=6,

根據(jù)正弦定理，可得一二

sinBsinCsmB2

故AABC的周長(zhǎng)6枷=。+人+。=26+血.

8.如圖，在梯形ABC。中，AB!/CD,NO=60。.

(1)若AC=3,求人48周長(zhǎng)的最大值；

(2)若CD=2Afi,/BCD=75。，求tanNZMC的值.

【答案】⑴9

⑵3+石.

【詳解】(1)在AACD中，AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosD=AD2+DC2-ADDC

=(AD+DC)2-3ADDC>(AD+DC)。-3[仞；-,=(A￡);CD)2,

即9^(4。+CD>，解得：AD+DC46,當(dāng)且僅當(dāng)AD=OC=3時(shí)取等號(hào).

4

故AACD周長(zhǎng)的最大值是9.

(2)設(shè)NZMC=a,貝!]ZDG4=120°—口，ZBC4=a-45°.

CDAC

在AACD中,

sinasin60°

AB_AC2sin(a45。)_sin105°

在△羯CP中，~~7/——~Ineo，兩式相除得,

sin(a-45°)sin105°sinasin60°

&十6

因?yàn)閟in105。=sin(45°+60°)=sin45°cos600+cos45°sin60°=

4

2點(diǎn)

(V6-母)sina=2^6cosa,故tanADAC=tana=—；=---產(chǎn)=3+^3.

V6-V2

9.已知AABC的面積為S,角A3,C所對(duì)的邊為a,6,c.點(diǎn)。為的內(nèi)心，8=2百且

5=烏/+,2一/).

4

(1)求B的大??；

⑵求MOC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】⑴B=]

【詳解】(1)因?yàn)?=3(/+,2-〃)=j_acsinB,

42

所以YEx2accosB=』acsinB,即J^cosB=sinB,可得tanB=J^,

42

因?yàn)锽e(0,it),所以B="|.

(2)設(shè)AAOC周長(zhǎng)為/,ZOAC=a,如圖所示,

A

因?yàn)辄c(diǎn)。為AABC的內(nèi)心，Q4,OC分別是NA,/C的平分線，且8=(,

所以ZAOC=?2兀,

OA0C273

在AAOC中，由正弦定理可得一?=而￡=一^^，

sin(j-cr)sin—

所以/=OA+OC+AC=4sina+4sin(三一a)+2-J3=4sina+4(^-cosa-sinor)+2也

=2sina+2>/3cosa+2-43=4sin(a+])+2G,

因?yàn)閍e(0g),所以a+^e(],/可得sin(a+])e[等,11,

可得AAOC周長(zhǎng)Z=4sin(a+])+26e卜6,4+2百].

10-在銳角的0中，角4-C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知畸詈=嚼.

⑴求角8的值;

（2）若a=2,求VRC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）5

0

⑵(3+后2+2@

sinA-sinBsinCa-bc

【詳解】（1）,由正弦定理得:

6a-ca+ba+b

即a2+c2-b2=>/3ac，

由余弦定理得：cosB=g±互=/竺=立,

laclac2

因?yàn)??0,兀）,

所以8=3

O

(2)銳角44BC中，a=2,B=y,

6

2_Z?_c

由正弦定理得：sinAsin至sinC，

6

故712sinC(6JV3sinA+cosA,

b=------,c=---------=-----------------=---------------------

sinAsinAsinAsinA

1?1

則6+c=』sinA+cosA+l=』+、J=』+1+Vl+tan2A

sinAtanAtanA

=73+—1—+./-^^+],

tanAVtanA

因?yàn)殇J角AABC中，B=?

o

故0+ce(l+6,2@,a+6+ce(3+6,2+2@

所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是(3+括,2+2看).

11.在AABC中，角A,2,C的對(duì)邊分別是&c,(a-c)(a+c)+/2(/?-a)=0.

⑴求C；

(2)若c=6，AABC的面積是且，求“LBC的周長(zhǎng).

2

【答案】⑴*

⑵3+技

【詳解】(1)由題意在AABC中，(a—c)(a+c)+b(〃-a)=。,

^a2+b2-c2=ab,故cosC-十，一。」,

2ab2

jr

由于Ce(0,7t),所以C=g.

(2)由題意AABC的面積是3，C=g,即SABc=LabsinC=Y^4b=4^,，ab=2,

23"ABC242

由c=y/3，c2=cr+b2-2而cosC得3—ci~+b~—ab—(a+b)°-6,a+b=3,

故AABC的周長(zhǎng)為a+b+c=3+A/3.

類型3：三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題

①中線長(zhǎng)定理：(兩次余弦定理推導(dǎo)可得)+(一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦

值)

人如：在ZVLBC與AABD同用cosB求AD

DC2

②中線長(zhǎng)常用方法

A

cosZADB+cosZADC=0

③已%M3+A己一菽t方的范圍

VAB+AC為定值，故滿足橢圓的第一定義

半短軸WAOV半長(zhǎng)軸

三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

12.在44BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且匕=7,c=5.

7

(1)若sinB=7，求cosC的值；

o

⑵若BC邊上的中線長(zhǎng)為&T，求a的值.

【答案】⑴叵

8

(2)8

b_c

(1)由正弦定理.-csinB5

sinBsinC/.sinC=------

b78

又b>c,若C為鈍角，則B也為鈍角，與三角形內(nèi)角和矛盾，故Ce]o，W

(2)取BC邊上的中點(diǎn)。，則AO=J五，設(shè)8D=x

S+m-AB?21+--5?-4+尤2

在AABD中，利用余弦定理知cosZADB=

2ADBD2yf21x2A/21X

AO?+CO?-AC?_21+爐-7。_-28+Y

在AACD中，利用余弦定理知cos/ADC=

2ADCD2A/21X2A/21X

又ZADB+ZADC=7t,貝!JcosZADB+cosZADC=0

即-4+X2—28+x2

2A/21X+2%x=0,即2/_32=0,解得x=4

又a=2x=8

故a的值為8.

13.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=0,6=正,c=l.

(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值;

⑵求AC邊上的中線長(zhǎng).

【答案】⑴最大值為sin5=]

⑵？

【詳解】(1)A/5>\/2>1,故有b>a>cnsinB>sinA>sinC,

(^)2+l2-(V5)2_72

由余弦定理可得cos8==

2x0x1—2'

又如。㈤，故=4

-.1-.—.

(2)設(shè)AC邊上的中線為30,則3。=](84+3。),

(2BD)2=(BA+BC)2=c2+a2+2cacosB=l2+(V2)2+2xlxV2xcos—=1,

4

.■—.\B?D\1=^,即AC邊上的中線長(zhǎng)為31.

14.在“LBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,且滿足J§&sinA=acosB+a.

⑴求角3的值;

⑵若c=8,44BC的面積為20A/L求8C邊上中線的長(zhǎng).

【答案】（1）三

(2)7

【詳解】(1)解：由正弦定理得GsinBsinA=sinAcosB+sinA,AG(0,TI),

sinAw0

則sin/4]=；,

/.6sinB=cosB+1,BG(O,7T),

-4

(2),/S=-6zcsinB=2073,c=8,/.tz=10,

2

由余弦定理AO之++出-2x|accosB=64+25-40=49,

得AD?=49,:.AD=7,

15.如圖，在AABC中，內(nèi)角A、2、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知b=3,c—6,sin2C=sinB,

且A。為BC邊上的中線，AE為NA4C的角平分線.

⑵求及4?！甑拿娣e.

【答案】(l)cosC=J,BC=6

后

8

【詳解】(1)sin2C=sinB,?*.2sinCcosC=sinB,/.2ccosC=b,cosC=—

zy2_i_g_3A1

由余弦定理得cosC=J°=±na=6(負(fù)值舍去)，即BC=6.

6a4

(2)VcosC=—>0,Cef0,^,sinC=SABC=-CA-CB-sinC=^^~,

4I2J4A/IDC24

〈AE平分NBAC,sinZBAE=sinZCAE,

BE_A5CE_AC

由正弦定理得:

sin/BAEsinZAEBsinZCAEsinZAEC

其中sinNA￡B=sinNAEC,

?空=殷=』。lc

,,ACCE△謝=3AABC'

為BC邊的中線，..?％Wc=gs?；c，

?q_c_c_J_q_3^/^

**^Z\ADE=^AADC-,^AAEC=T^AABC=Q'

oo

2萬(wàn)

16.在AABC中，44=丁，AC=2,,點(diǎn)D在AB上，CD=3g.

⑴若。為中線，求AABC的面積；

⑵若。平分/ACB,求BC的長(zhǎng).

【答案】⑴9-3君

⑵6

⑴解：由余弦定理得CD?=AC2+Ar>2—2?ACA￡)?cosA,

...(3V2)23=(2^3J"+A￡>2-2x273xA￡>x,解得A￡)=--±3(負(fù)值舍).

所以，AB=2AD=6-2y/3,

故Lsc=JAB-AC：、(6-2省卜2。￥=9-33

(2)

CDAC3'J^_2百r-

解：由正弦定理得‘三=.,即其「sinaWC，解得sin/ADC=±.

sinAsinZADC—2

2

XZA=—,則/AZ)Ce(0,工］,:.ZADC=-,:.AACD=7r.

3I3J43412

IT

又。。平分NAC3,則NAC5=2/ACQ=—.

6

2萬(wàn)TTTT

所以，ZB=^------=則ZB=ZACB,故A3=AC=2A/L

366

由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosA=(2⑹°+R島-2x273x2^3xj=36.

因此，BC=6.

17.在①>/1inC+V^cosC)；②asinC=csin；③acosC+gc=。，這三個(gè)條件

中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在44BC中，內(nèi)角A,B,C的

對(duì)邊分別為。，b,c.已知.

⑴求角A；

(2)若b=l,c=3,求8C邊上的中線AZ)的長(zhǎng).

注：若選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，則按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

【答案】(1)任選一個(gè)，答案均為會(huì)

(2)叵.

2

(2)在Z\ABD和△ACD中分別應(yīng)用余弦定理后相加可得AD.

【詳解】(1)選①島=Q(sinC+指cos。)，

由正弦定理得sinB=sinA(sinC+^3cosC),

V3sin(A+C)=sinAsinc+^3sinAcosC,

^3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+^3sinAcosC,

百cosAsinC=sinAsinC,二角形中sin。。。，所以tanA=百，又Aw(。,1),

所以A=?；

選②〃sinC=csin史＜?

-2

由正弦定理得sinAsinC=sinCsin'十。=sinCcos-三角形中sinCwO,

2

AA1

所以2sin—cos—=cos—又三角形中cos丁0,所以s嗚V，Ae(0㈤,

222

所以g=即A=g；

263

選③QCOSC+』C=b,

一2

由余弦定理得'=整理得"+/一儲(chǔ)=歷,

2b2

所以cosA="+：；一/二,而Ae(0/),A=J；

2bc23

(2)由(1)a1=b2+c2-2Z?ccosA=l+9-2xlx3cos—=7,a=Jl,

3

由余弦定理得：b1=AD2+CD2-2AD-CDcosZCDA

c2=AD2+BD2-2ADBDcosZBDA,又BD=CD,cosZCDA=-cosZBDA,

所以〃+0?=2AD2+BD2+CD2=2AD2+-a2,

2

所以步=91+9_葭7)=；,AD=叵.

2242

類型4：三角形涉及角平分線問(wèn)題

張角定理

如圖，在AA3C中，D為BC邊上一點(diǎn),連接設(shè)A￡>=/,/BAD=a,NCAD=0

』.sin(cr+￡)sinasinB

則nrl一定有一',-=-----+--

Ibc

三角形涉及角平分線問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

18.設(shè)a,6,c分別是AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，(sin3-sinC)b=(a-c)(sinA+sinC).

(1)求角A的大小；

(2)從下面兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分.

①設(shè)角A的角平分線交8C邊于點(diǎn)且45=1,求AABC面積的最小值.

②設(shè)點(diǎn)。為BC邊上的中點(diǎn)，且AT>=1,求AABC面積的最大值.

【答案】(1)A=?;

⑵①g②￡

【詳解】(1)V(sinB-sinC)Z?=(d!-c)(sinA+sinC),

(b-=(a—C)(Q+C),即b2+c2—a2=be

b2+c2-a2be_1

cosA=又Ae(O,%),

2bc2bc~2

/.A=-；

3

(2)選①平分NBAC,

1n

：.ZBAD=ZCAD=—NBAC=-,

26

BDC

?S^ABD+S^ACD=^AABC，

；.^AB-ADsinZBAD+^ACADsinZCAD=^b-c-sinA,

gpcsinJ+/?sin9=bcsinW，

o63

***c+b=y/3bc

由基本不等式可得：

6bc=b+c>2>Jbc,

/.bc>^,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=空時(shí)取

33

S4e=3bcsinA=當(dāng)bcN號(hào),

AB

即"WC的面積的最小值為也；

3

②因?yàn)槭?c邊上的中線，

在AADB中由余弦定理得cosNADB=

2x-|xl

在AADC中由余弦定理得cosZADC=⑷--------

2x|xl

*.*cosZADB+cosZADC=0,

22

,\^-+2=b+c,

在AABC中，A=|,由余弦定理得〃=〃+/—灰，

**?4—bc=b2+c2

***4—bc=b2+c2>2bc,

解得6c42，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2?時(shí)取“=”，

33

所以SAABC=/csinA=中?歷4坐,

即AABC的面積的最大值為".

3

19.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

出出

csinB+^-/7cos(A+B)=-^-Z?.

(1)求角。的大小;

Q)若c=6,角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)。，求△ABD面積的取值范圍.

【答案】(嗚

’3-6亞

⑵4，7

【詳解】（1）解：：csinB+16cos（A+B）=[■b,

由正弦定理可得：sinCsinB+^-sinBcos（A+B）=-^-sinB,

sinCsinB-sinBcosC=sinB,

33

*.*sinB0,sinC-^-cosC=2^,

33

.?.sin（c—Vg,：C為銳角,

7171

,1?c4e?--=-n

7,C66

(2)解：由題意可知=設(shè)乙。"=。，：.ZABD=^-af

n71

9：0<2a<-,又?.?8=2aaG

22

ABAD

在△ABD中，由正弦定理可得:

sinZADB~sinZABD'

AD

71a

即：.2兀.,/.AD=2sin~~

sin二sin

3

SAARC=—AB-AD-sincr=—xV3x2sin--asintz

Z-XnDL>223J

3.如sir?a=正力

=—sincrcoscr-sin]2a+?

222一彳'

九71712〃

VaG,2aH—￡

1257633

下）（3-g73

sin12a+?

sin26z+—G----------------C,----------------------------------

I6244'4'

叵

???三角形面積的取值范圍為

‘4.

20.已知疑。的三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,。滿足

(Z?cosC+ccosB)sinB+A/3Z?COSA=0.

(1)求A;

(2)若c=2,a=2yf3,角B的角平分線交邊AC于點(diǎn)O,求3。的長(zhǎng).

O-jr

【答案】(1)—；(2)^6.

【詳解】(1)由正弦定理化邊為角可得：

(sinBcosC+sinCcosB)sinB+6sinBcosA=0,

即sin(8+C)sin3+gsin5cosA=0

所以sinAsinB+6sinBcosA=0,

因?yàn)閟in5w0,所以sinA+冊(cè)cosA=0

即tanA=-A/3.

因?yàn)镺vAvu,所以

(2)在AABC中，由余弦定理得a?=〃+/—2〃ccosA,

代入數(shù)據(jù)可得：12=/+4-26、2，［-；］即12=62+4+26.

解得：6=2或b=-4(舍).

7T

所以b=c=2,所以8=。=^,

O

JT

在中，由30是/ABC的角平分線,^ZABD=—,

12

則/4。3=無(wú)一/一方71

4

BD

ABBD口口----

在△ABD中，由正弦定理得:------------=------------EP.71.2K

sinZADBsinABADsin—sin—

43

2xsin?2x6

可得：BD=32=76.

.71

sin—

42

21.已知44BC的內(nèi)角A3,C的對(duì)應(yīng)邊分別為”,b,c,且有

>/3cosA(ccosB+Z?cosC)+asinA=0.

(1)求A；

(2)設(shè)AD是"3C的內(nèi)角平分線，邊b,c的長(zhǎng)度是方程*-6x+4=0的兩根，求線段AD

的長(zhǎng)度.

【答案】(1)A=?2萬(wàn)；(2)AD=12.

【詳解】(1)由正弦定理得：V3cosA(sinCcosB+sinBcosC)+sin2A=0,

即6cosAsin(8+C)+sin2A=0,Xsin(B+C)=sin(^--A)=sinA,

/.-y/3sinAcosA=sin2A，又入￡(。,4),..sinAw。,

2萬(wàn)

sinA——y/3cosA,「.tanA——y/3,3^A￡(°,兀),..A二；

(2)?「反。為方程f一6尢+4=0的兩根，/.Z?+c=6,bc=4,

Z冗TT

由(i)知：A=——,ZBAD=ZCAD=~,

33

cco.271cAe.兀bac.7lb+cAC.兀

丁SJBC=S.ABD+S，.?.-fecsin--=-ADsin-+-Ar)sm-=——?ADsin-,

乙。乙J乙。乙J

即"AD=6,解得：AD=-.

23

C2J3)

22.在①6sinB+csinC=bsinC+asinA；②cos?C+sin3sinC=sin?3+cos?A;③