江蘇省海安市2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末 數(shù)學(xué)試題

江蘇省海安市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知全集U=R,集合X={%|—1<x<1],則=（）

A.(-1,1]B.(—oo,-1)U[1,+8)

C.[-1,1)D.(—oo,-1]U(1,+8)

2.命題p：%+240”的否定是（）

A.VxGR,%+2<0B.3%GR,%+2>0

C.VxGR,%+2>0D.3%ER,%+2>0

3.式子J(7T_4)2+'(3_")3的值為()

A.7—2.71B.2TT—7C.-1D.1

4.圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額y關(guān)于游客量％的圖像，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時(shí)提高門票價(jià)

格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的是（）

p是r的充分不必要條件，則q是r的（)

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.將函數(shù)y=cos（2尤-5）的圖象向左平移卬0>0）個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則R的最小值為

（）

7.已知函數(shù)/(%)=2%+爐,記a=/(20go.32)，b=/(203),c=/(0.32),則()

1

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

8.已知函數(shù)f(x)滿足:對任意的非零實(shí)數(shù)x,y,都八支+y)=(9+9)/(久)f(y)成立"⑴=2.若f⑺=+1),

九y

九eZ,貝！J九二()

A.-3B.-2C.2D.3

二'選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.若a>b>l>c>0,則()

A.「〉［B.ac>bc

ab

C.logac>logbcD.log±a>\logcb\

10.記無理數(shù)e=2.718281828459045…小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字為加，則m是關(guān)于n的函數(shù)，記作m=f(n),

其定義域?yàn)?值域?yàn)?則()

A.f(5)=8B.函數(shù)f(n)的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.〃是關(guān)于m的函數(shù)D.BU4

11.奇函數(shù)/(久)與偶函數(shù)或久)的定義域均為R,在區(qū)間(a,b)(a<b)上都是增函數(shù)，則()

A.00(a,b)

B./(久)在區(qū)間(―b,—a)上是增函數(shù)，g(x)在區(qū)間(―b,—a)上是減函數(shù)

C./(久)g(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)

D./(%)-g(￡)不具有奇偶性，且在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性不確定

12.我們知道，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是y=Asin3k已知某音是由3個(gè)不同的純音合

成，其函數(shù)為f(%)=s譏%+^s譏2%+可$譏3%,貝(J()

A.7?(￡)是奇函數(shù)B.6久)的最小正周期為華

C.fO)在(0,看)上是單調(diào)增函數(shù)D.f(x)的最大值為年

三'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知扇形的半徑為1cm,弧長為2cm,則其圓心角所對的弦長為cm.

14.在平面直角坐標(biāo)系、0y中，已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,2),若角S的終邊與角a的終邊關(guān)于

軸對稱，則cos(a-TT)COS(^+/?)=.

c

15.已知圓和四邊形(四個(gè)角均為直角)的周長相等，面積分別為Si，S2,則患的最小值為_______.

32

16.已知函數(shù)/(久)=1必5%-第562)在區(qū)間得，等)上是減函數(shù)，則n的取值集合為.(用

2

列舉法表示)

四'解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

17.已知集合4={%|-2/+7工一3>0},集合B={%|/—￡>久+4<0,bER}

(1)若ACiB=(1,3),求b；

(2)若AUB=B,求b的取值范圍.

18.已知xG(0,兀).

(1)若/=b,求芍篙的值;

（2）若sin%+cosx=9，求cos2%—sin2%的值.

19.已知函數(shù)/■(無)=4sin(3工+0)(4>0,co>0,切<葦)的振幅為2,最小正周期為兀，且其恰滿足條件

①②③中的兩個(gè)條件:

①初相為酎②圖像的一個(gè)最高點(diǎn)為/，2)；③圖像與y軸的交點(diǎn)為(0,V3).

(1)求/(%)的解析式;

（2）若/1（.）=?1，求sin（爭—a）—sin2（萼+a）的值.

3

20.設(shè)計(jì)一個(gè)印有“紅十字”logo的正方形旗幟/'B'C'D'(如圖).要求“紅十字”logo居中，其突出邊緣之間留空寬

度均為2cm，"紅十字”logo的面積(陰影部分)為100cm2s〃的長度不小于ZB的長度.記=FG=CD=EH=

xcm,AH=IF=JC=KH=ycm.

Df

Br

(1)試用工表示y,并求出x的取值范圍；

(2)當(dāng)久為多少時(shí)，可使正方形AB'C'D的面積最?。?/p>

參考結(jié)論：函數(shù)/(久)=K+1(k〉0)在(0,源)上是減函數(shù)

21.已知函數(shù)f(%)是定義在R上的奇函數(shù),其圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),B(-2,—4),當(dāng)％>0時(shí),/(x)=ax2+1-

1.

(1)求a,b的值及/(%)在R上的解析式；

(2)請?jiān)趨^(qū)間(-8,-1)和(0,1)中選擇一個(gè)判斷/(%)的單調(diào)性，并證明.

22.已知函數(shù)/(%)=+%—3,g(x)=x—2+logax.

(1)若a=2,/(m)=m,求自(2血)；

(2)若/(zn)=-l,g(jn)=-1,求zn；

(3)若/(7H)=0,g(71)=0,問：7?1+九是否為定值(與Q無關(guān))？并說明理由.

5

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：?.?全集U=R,集合4={久|一1＜久＜1},

?,C(/^4—(—8,—1]u(1,+8).

故答案為：D

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義直接求解即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：命題p：FKCR,尤+2W0”為存在量詞命題，

其否定為'卬久GR,x+2＞0”.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：J(兀-4尸+.(3—兀＞=|兀一4|+3—兀=4—兀+3—兀=7—27r.

故答案為：A.

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A.當(dāng)x=0時(shí)，虛線y值減小，說明成本提高了，不滿足題意，故A錯(cuò)誤;

B.兩函數(shù)圖象平行，說明票價(jià)不變，不合題意，故B錯(cuò)誤；

C.當(dāng)x=0時(shí)，y值不變，說明成本不變，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；

D.當(dāng)尤=0時(shí)，虛線y值變大，說明成本見減小，又.??虛線的傾斜角變大，

說明提高了門票的價(jià)格，符合題意，故D正確.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)直線的縱截距表示成本，傾斜角與門票價(jià)格的關(guān)系判斷即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：若p是q的必要不充分條件，則q=p,p4q,

p是r的充分不必要條件，則p3r,r#p,

則q今r,r#q,所有q是r的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】利用題給條件判斷q與r的邏輯關(guān)系即可.

6.【答案】C

6

【解析】【解答】解：將函數(shù)y=cos(2x—苓)的圖象向左平移0體>0)個(gè)單位長度后，

77"7T

可得y=cos[2(%+卬)-可]=cos(2x+2(p—j),

Vy=cos(2x+2(p-可)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

—=

2(p??+kn9kEZ,?,.0二罵+/，kEZ,

J乙izz

.?.W的最小值為普.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)條件得到平移后的解析式，由余弦函數(shù)的對稱性得到2w-3=￡+Mr,kEZ,再求出9的取值

即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：=2*，y=久③在R上單調(diào)遞增，

=2X+/在R上單調(diào)遞增，

032

又logo,32<log0,3l=0,1=2°<2-<2】=2,0<0.3=0.09<1,

??f(log()^2')<f(0.32)</(203),'.a<c<b.

故答案為：B.

【分析】判斷函數(shù);?(乃的單調(diào)性，比較指對數(shù)的大小，再結(jié)合單調(diào)性判斷即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意，可得.(1+n)=(1+J)f(l)y(zi)=*x2f(n),

又/'(n)=f(n+1),.,.寫ix2=1,又nCZ,.'.n=—2.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)條件得到/(I+九)=嚕x2/(九)，再結(jié)合f(n)=f(n+1)求解即可.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A.-：a>b>1>O0,：.a-b>0,c>0,

?ccc(b—a),***~<^9故A錯(cuò)誤;

^a~b=~ab-<

B.\*a>b>l>c>0,?\ac>bc,故B正確;

C.*.*a>b>l>c>0,Iga>0,lg&>0,Ige<0,且lga-lgb>0,

.../。9"一］。9*=魯一魯=鹿儒亮眄>0,：.logac>logbc,故C正確;

1&LtLbu

h

D.\9a>b>l>c>0,/.0<—<1,

a

7

；.logxa-\logcb\=logc^+logcb=Zo^c|>logcl=0,>〃。。冽，故D正確.

—Cv(X「

CC

故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)條件利用作差法判斷ACD；根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)判斷B.

10.【答案】A,B

【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域4=N*,

對應(yīng)關(guān)系為數(shù)位n對應(yīng)數(shù)字7,1,8,2,8,1,8,2,8,

f(5)=8,函數(shù)f(n)的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故A,B正確，

對于C.〃不是關(guān)于m的函數(shù)，當(dāng)TH=8時(shí)，

n可能為3,5,7,9,不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤，

VOGB,OiA,，D錯(cuò)誤.

故答案為：AB.

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A.若0e(a,b),為偶函數(shù)，

則函數(shù)gQ)在(a,0)和(0,b)上的單調(diào)性相反，

與函數(shù)。(久)在區(qū)間(a,b)(a<6)上是增函數(shù)矛盾，0(a,b),故A正確；

B.?.?函數(shù)/(%)與偶函數(shù)g(x)的定義域均為R,在區(qū)間(a,b)(a<b)上都是增函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可知，/(%)在區(qū)間(-瓦-a)上是增函數(shù)，

g(久)在區(qū)間(一七一a)上是減函數(shù)，故B正確；

C.令/(%)=—%,gQ)=/,則/(久)。(久)=—久3在R上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

D.設(shè)F(久)=/(%)—g(x),其定義域?yàn)镽,

由題意，可得/(_%)=_/(久),g(-x)=g(x),

則F(-x)=f(-x)-g(-x)=-/(x)-g(x),/(%)-g(%)不具有奇偶性.

,.?/(久)在(a,b)(a<b)上是增函數(shù)，而g(x)在區(qū)間(a,b)(a<b)上都是增函數(shù)，

則-9(久)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，

=/(%)-g(x)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性不確定，故D正確；

故答案為：ABD.

【分析】A.若0e(a,b),根據(jù)偶函數(shù)的圖象性質(zhì)推出矛盾即可；B.根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合已

8

知條件即可判斷；C.舉出反例即可；D.根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A./(%)=sinx+^-sin2x+其定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,

11

又/(—%)=-sinx—2-Sin2x—^sin3x=—/(%)，;?函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，故A正確；

B.函數(shù)y=sin%的最小正周期為2my=1^112%的最小正周期為兀，

y-gsin3%的最小正周期為冬，則/(%)=sinx+^-sin2x+gsin3%的最小正周期為2TT,

且/H—=svn(x++-^-si7i2(x+51713(%+

???冬不是函數(shù)/(%)的周期，故B錯(cuò)誤；

C.函數(shù)y=sin%,y=*sin2%和y=I'SinB]在(0，看)上為增函數(shù)，

則函數(shù)/(%)=sinx+|-sin2x+|-sin3%在(0，看)上為增函數(shù)，故C正確；

D.函數(shù)y=sin%的最大值為1,且當(dāng)％=5+2上兀，ZcGZ時(shí)取最大值，

函數(shù)y=*sin2%的最大值為：且當(dāng)?shù)?今+而，/cGZ時(shí)取最大值，

函數(shù)y=Jsin3%的最大值為主且當(dāng)久=梟攀，/CGZ時(shí)取最大值，

,3D63

，三個(gè)函數(shù)的最大值不能同時(shí)取到，則/(久)的最大值要小于1+號+*=,，故D錯(cuò)誤.

故答案為：AC.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)選項(xiàng)分別判斷即可.

13.【答案】2sinl

【解析】【解答】解：如圖，

圓心角乙4。8=a,AB=2(cm),OA=OB=l(cm),

過點(diǎn)。作0C_L4B,。為垂足，

AB=ax1=2(cm)，=2,

貝！JZJ1OC=1,在中，AC=OAsinl=sinl(cm),

9

.?.其圓心角所對的弦長為2sinl（cm）.

故答案為：2sinl.

【分析】由弧長公式求出圓心角，再求出圓心角所對的弦長即可.

14.【答案】%（或y）；|（或一看）

【解析】【解答】解：角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-1,2）,

則等，cosa=1=-電.

若角。的終邊與角a的終邊關(guān)于x軸對稱,

則sin/3=—sincr=—,cos/3=cosa=—學(xué)，

cos(a—Wcos(>?=(-cosa)X(—sin￡)=(一造)x(一2

=5；

若角。的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱,

則sin/3—since=,cos/?=—cosa=唱

cos(a-7r)cos(^+/?)=(—cosa)x(-sin0)=善x(-2

=一丁

故答案為:%（或y）,|（或-?

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求解即可.

15.【答案】1

71

【解析】【解答】解：四個(gè)角均為直角的四邊形是矩形，

設(shè)長為a，寬為b,周長為C,圓的半徑為r,

貝！J271T=C,a+b=],Si=7rr2=,S?—ab，

S〔c?C2c24

二同=2軌.（萼）2=懣=元,當(dāng)且僅當(dāng)。=8=亨時(shí)，等號成立,

???2的最小值為生

故答案為：

71

根據(jù)條件得到如益,

【分析】四個(gè)角均為直角的四邊形是矩形，設(shè)長為a，寬為b,周長為C,圓的半徑為r,

C

再利用基本不等式求出甘的最小值.

16.【答案】｛—3,-2）

【解析】【解答】解：由/（%）在區(qū)間弓，等）上是減函數(shù)，則”0,且等一旌俞,解得|川44,

VnGZ,An=-4或n=—3或n=—2或？；=—1,

10

當(dāng)71=-4時(shí),/(x)=-tan(Ax+^'),當(dāng)(〈,券)時(shí),孚<4%+今<竿，

當(dāng)4x+*=竽，即％=時(shí)，函數(shù)無意義，故幾=一4不成立.

當(dāng)n=-3時(shí),/(x)=-tan(3x+J),當(dāng)?shù)?，?時(shí)，居<3%+今<等，

由>=1211%在(普，寺)上單調(diào)遞增，.?"(%)在區(qū)間俏，等)上是減函數(shù)，

故n=-3滿足題意.

當(dāng)n=—2時(shí)，/(x)=-tan(2x+5),當(dāng)xe(泉等)時(shí)，[<2[+)<兀,

由〉=121%在得，兀)上單調(diào)遞增，??"(%)在區(qū)間得，警)上是減函數(shù)，

1NOO

故n=-2滿足題意.

當(dāng)n=-l時(shí)，/-(x)=-tan(%+J),當(dāng)xe/,等)時(shí)，等<%+'〈普,

當(dāng)%+*=*,即％=今時(shí)，函數(shù)無意義，故n=-l不成立.

故答案為：{一3,-2).

【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件得到n<0,由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期性可得|MW4,再對n的值

進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可.

i

17.【答案】(1)/={%|—2/+7%—3>0}=(2，3),B—[x\x2—bx+4<0,bE/?),

-：AC\B=(1,3),

:.1是方程%2-加:+4=0的一個(gè)根，

1-b+4=0

???b=5；

(2)?.?4UB=B,則ZUB,

t(l)2.1+4<0)解得一-學(xué)

132-3/?+4<0

【解析】【分析】(1)化簡集合4根據(jù)ZCB=(1,3),得到1是方程/—bx+4=0的一個(gè)根，再求出b的

值；

(2)由AUB=B,可得4UB,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.

18.【答案】(1)因?yàn)榫胑(0,兀)，所以sin久力0,cosx1>

因?yàn)楸P＜=8，且1=sin2%_sin2x_sin%sin。

1—cosx'sin2x1—cos2x1—cosx1+cosx

grprSin%_1所以斗常=遮.

所^1+COSX一店

11

(2)將已知等式sin%+cos%='

兩邊平方得：(sinx+cos%)2=1+2sinxcosx=否,

即2sinxcosx=—<0,

?49

..(sinx—cosx)9z=1—2sinxcosx=否,

V%G(0,Ti),sinx>0,cos%VO,即cos%-sinxV0,

.7

??cosx—sinx=一耳，

?*.cos2%—sin2%=(cosx+sinx)(cosx—sinx)=/x(-()=——?

【解析】【分析】(i)利用1=4'?言求解即可；

1—COSX1-rCOSX

(2)由sin%+cos%=9，求出cos%—sinx=一耳，再求出cos2%—sin2%的值即可.

19.【答案】(1)因?yàn)?(%)的振幅為2,最小正周期為m

O-T7-

所以4=2,pjj-=7T(a>>0),即3=2.此時(shí)/(%)=2s譏(2%+g).

若滿足條件①，則0=*

若滿足條件②,則嗚)=2,即s皿爭+@)=1,

所以■^+9=*+2/OT,kEZ,即卬=—看+2/CT,kEZ,

又|0|<￡所以⑴=一強(qiáng)

若滿足條件③，則-0)=遮，即s仇0=孚，

又|創(chuàng)<p所以0=*

因?yàn)閒(x)恰滿足條件①②③中的兩個(gè)條件，所以只能滿足條件①③.

-JT

此時(shí)/(%)=2s譏(2%+可).

(2)因?yàn)橛?1)知,sin(a+J)=|.

又因?yàn)閟in2(a+y)+cos2(a+^)=1,

所以cos2(a+^-)=1—(-|)2=蕓.

原式=sin[n—(a+j)]-sin2[j+(a+1)]

TC7TC

—sin(a+@)-cos(a+g)

_3_16__J_

=5-25="25,

12

【解析】【分析】(1)由振幅和周期得出43,再分別討論①②③得出/(久)的解析式；

(2)由平方關(guān)系得出cos2(a+^),再利用誘導(dǎo)公式求解即可.

20.【答案】(1)由題意可知:4xy+x2=100=>y=勺—*，

因?yàn)榈拈L度不小于AB的長度，

所以丫2久=在一3?久=至2學(xué)，v%>0=>%2<20=>0<%<2V5?

'x4x4x4

即y=§—左,0<X<2V5；

(2)設(shè)正方形A'B'C'D'的面積為S,

所以S=(%+2y+4)2,要想正方形A'B'C'D'的面積最小，只需久+2y最小，

,,25x、I,1100、

久+2ny=x+n2z(〒-4)=2(久+丁>

因?yàn)楹瘮?shù)/。)=%+￥在(0,10)上是減函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)=%+￥在［0,2通］上是減函數(shù)，

因此當(dāng)x=2逐時(shí)，/'Or)有最小值，即％+2y有最小值，因此正方形Z‘B'C'。'的面積最小.

【解析】【分析】(1)根據(jù)面積列出等式，用久表示y,并求出工的取值范圍即可；

(2)根據(jù)題意得到Z‘B'C'。'面積表達(dá)式，結(jié)合(1)的結(jié)論和題中所給函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.

21.【答案】(1)因?yàn)?(久)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),B(-2,—4),所以/(1)=2,/(—2)=—4.

因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(一0)=—/(0)，/(—2)=—/(2),

所以/(0)=0,/(2)=4.

fa+b-1=2,((2=1,

所以i解得；

(4。+9—1=4,(b=2.

所以當(dāng)久〉0時(shí)，/(%)=x2+^-l.

當(dāng)x<0時(shí)，—%>0,所以/(—%)=(—久)2+告—1=—/(%),所以/(%)=—/+］+1.

—xH----F1,%<0,

x

所以，/(%)在R上的解析式為人%)={0,久=0,

02

xH------1/%>0.

Ix

(2)①若選擇區(qū)間(—8,-1),則/(%)在區(qū)間(―8，—1)上是單調(diào)遞增.

證明：設(shè)％1，應(yīng)為區(qū)間(-8,-1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且久1<%2.

則fQi)-/3)=(一￡+9+1)-(一片+2+1)

1X1zx2

13

=(工2一K1)。2+久1)+

=3,產(chǎn)+?)產(chǎn)+2,

X2X1

因?yàn)椋?，所以％i+》2<—2,%i%2>1，％2-11>。，

于是(%2++2V0,故f(%l)—/(%2)V。，即f(%l)Vf(%2)，

所以/(%)在區(qū)間(-8,-1)上是單調(diào)遞增；

②若選擇區(qū)間(0,1),則/(久)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞減.

證明：設(shè)X1，久2為區(qū)間(0，1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且無1<久2.

則/(%1)-/(久2)=(好+怖+1)一((+0+1)

1X1'%2