滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十一章 代數(shù)方程（4大知識(shí)歸納+11類題型突破）（解析版）

第二十一章代數(shù)方程（4大知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

i.掌握整式方程的概念；

2.掌握分式的概念、解法與應(yīng)用；

3、掌握無理方程的概念與解法；

4、掌握二元二次方程組與列方程（組）解應(yīng)用題;

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一、整式方程：

1字母系數(shù)：關(guān)于x的方程痛+72=0,ax2+bx+c=O,把用字母表示的已知數(shù)m、n、a、b、c叫做字母

系數(shù).

2.含字母系數(shù)的一元一次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的含字母系數(shù)的方程；

求解步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1;注意：系數(shù)化為1時(shí)視情況討論！

3.含字母系數(shù)的一元二次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的含有字母系數(shù)的方程；

解法：因式分解法，開平方法；配方法，公式法；當(dāng)用含字母系數(shù)的式子去乘或除方程兩邊時(shí)，要討論.

4.一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；

一元n次方程與一元高次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是n；其中n大于2的方程稱為

一元高次方程.

5.二項(xiàng)方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零.一般形式為：

axn+b-0（aw0,b/是正整數(shù)）.

二項(xiàng)方程的解法:將方程ajcn+b=O變形為x"=-幺，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x=2；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),如果ab<0,

aVa

x=±J--；如果a）>0,那么方程沒有實(shí)數(shù)根.

Va

知識(shí)點(diǎn)二、分式方程:

6.可化為一元二次方程的分式方程

解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解;

解分式方程的一般步驟：①方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母，化成整式方程；②解這個(gè)整式方程；③檢

驗(yàn)，是否有增根.

知識(shí)點(diǎn)三、無理方程

［無理方程的概念

無理方程曾無理方程、有理方程、代數(shù)方程三者的關(guān)系

||解無理方程的步驟

1.無理方程：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式；無理方程也叫根式方程.

理解］①方程中含有根號(hào)；

，兩點(diǎn)缺一不可!

［②根號(hào)里含有未知數(shù).

2.無理方程、有理方程、代數(shù)方程三者之關(guān)系

'整式方程

有理方程<

代數(shù)方程.分式方程

無理方程

有理方程：整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程;

代數(shù)方程：有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱代數(shù)方程.

3.無理方程的解法

(1)基本思路：解簡(jiǎn)單的無理方程，可以通過去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理方程來解；

(2)一般步驟:

-①變形：當(dāng)方程中只有一個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，使這個(gè)二次根式單獨(dú)放在等號(hào)一邊；

②去根號(hào)：方程兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化成有理方程；

‘③解有理方程；

④驗(yàn)根：由于去根號(hào)兩邊平方時(shí)，未知數(shù)的范圍擴(kuò)大而可能產(chǎn)生增根，因此驗(yàn)根必不可少.

知識(shí)點(diǎn)四、二元二次方程組與列方程(組)解應(yīng)用題

1.二元二次方程

,⑴定義：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程;

(2)理解：①整式方程；②含有兩個(gè)未知數(shù)；③含有未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)是2.

<(3)一般形式：OJC+bxy+cy+dx+ey+f=O(a,b,c,d,e,/是常數(shù)，

且a,dc至少有一個(gè)不為零)

(4)解：能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值.

2.二元二次方程組

'⑴定義：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的

<最高次數(shù)是2的方程組；

(2)二元二次方程組的解:方程組中所含各方程的公共解.

3.二元二次方程組的解法

(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.

(2)題型一：解方程組一“^即方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.

［二兀二次萬程.

方法：代入消元法；

一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；②將這個(gè)未知數(shù)所

表示的代數(shù)式代入二元二次方程中，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程；③解這個(gè)一元二次方程；④

將求得的兩個(gè)解分別代入二元一次方程，求相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤把相應(yīng)的兩組解寫出來，即是原

方程組的解.

‘二元二次方程；

(3)題型二：解方程組一','(其中一個(gè)方程可以分解為兩個(gè)一次因式積等于零的形式)

［二兀二次萬程.

方法：因式分解法；

解法：把原方程組化為兩個(gè)分別由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.

4.列方程(組)解應(yīng)用題

刖止也［①審題；②設(shè)元；③列方程;

［④解方程；⑤檢驗(yàn)；⑥作答.

列一元二次方程解決問題；

列方程(組)解應(yīng)用題列簡(jiǎn)單的高次方程解決問題；

列分式方程解決問題

列無理方程解決問題

列方程組解決問題

重要題型

題型——元整式方程

1.下列方程中，是關(guān)于X的一元三次方程的是（）

A.岳屐=1B.—+2x3=l

X

C.3彳3-3=-3尤（1一尤2）D.ax（x2-2）-2or+l=0（a為非零常數(shù)）

【答案】D

【分析】根據(jù)一元三次方程的定義：一個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為3的整式方程，進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】解：A.J，+x3=l，整理，得：卜尤3=1,當(dāng)X為負(fù)數(shù)時(shí)，不是一元三次方程，不符合題意；

B.不是整式方程，不符合題意；

C.3X3-3=-3X（1-X2）,整理得：3x—3=0,沒有3次項(xiàng)，不符合題意；

D.辦1-2）-2依+1=0（。為非零常數(shù)）整理，得：以3一4以+i=o（a為非零常數(shù)），是一元三次方程，

符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元三次方程的識(shí)別.熟練掌握一元三次方程的定義，是解題的關(guān)鍵.

2.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.，2彳2-1=0B.2y+x2=1C.x2-2=0D.=4

無J一1

【答案】C

【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案即可.

【詳解】解：A、亞1=0，是無理方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、2y+x2=l,是二元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、￡一2=0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

D、1=4,是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意.

X-1

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.一元二次方程必須滿足四個(gè)條

件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù).

3.下列方程是一元高次方程的是（）

A.尤+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+—=0D./+1=0

尤

【答案】D

【分析】根據(jù)一元高次方程的定義：只含一個(gè)未知數(shù)，未知項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于3的整式方程，即可得

出答案.

【詳解】解：這四個(gè)方程都只含一個(gè)未知數(shù)，

,:A,B中未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)小于等于2,

:.A,B選項(xiàng)不是一元高次方程，不符合題意，

?.?C中分母中含有未知數(shù)，

是分式方程，

???C選項(xiàng)不符合題意，

符合一元高次方程定義：只含一個(gè)未知數(shù)，未知項(xiàng)的最高次數(shù)大于等于3的整式方程，

；.D選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元高次方程的定義，注意幾元幾次方程都首先是整式方程.

鞏固訓(xùn)練：

1.若關(guān)于x的方程--?+3卜尤+f恰有三個(gè)根，貝心的值為（）

,313,1

A.-1B.-1或——C.-1或——D.—或—

4242

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值方程為兩個(gè)一元二次方程①V-5x+3T=0和②V-3x+3+1=0,再分三種情況討

論：（1）方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程②有等根；（2）方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程①有等根；（3）

兩個(gè)方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且兩個(gè)方程恰有一個(gè)相同的根.針對(duì)每種情況分別利用根的判別式列出

方程或不等式求解并驗(yàn)證，即可得到答案.

［詳角牟］-：\x2-4x+3\=x+t,

—4x+3=%+，^4f—4%+3——x—19

整理得一一5%+3-，=0①或f一3l+3+/=0②，

設(shè)方程①的判別式為4,方程②的判別式為42,

若原方程恰有三個(gè)根，則有三種可能:

01=25-4(3-”0

")[A2=9-4(3+Z)=0，

[13

,4

"3'

L4

3

..t——,

4

此時(shí)，X2—4x+3|=x—,

114

33

%2-4-X+3—x——4x+3=—xH—,

44

解得X=,或占=9=I'，

22

3

,滿足題意的t的值是

4

4=25-4(37)=0

(一)口=9-4(3+/)>0，

1313

?.%2—4%+3=%---—4%+3=—xH--------,

44

解得X,=JC2=-|,或工=,

但工=也叵<上，不滿足題意，舍去;

24

⑶乜A,=295--4((33+-”r)>。0,且兩方程恰有一個(gè)相同的根，

13

t>-----

4

3

t<——

4

設(shè)相同的根為加，

r」/-5m+3-t=0

則12

m-3m+3+￡=0

當(dāng)r=—1時(shí)，,2-4%+3卜%—1,

解得x=l或2或4,符合題意；

當(dāng),=—3時(shí)，I*-4x+3]=x-3,

解得尤=0或2或3,

但此時(shí)x-3>0,三個(gè)解均不合題意，舍去；

3

綜上所述，，的值為-1或-:.

4

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次

方程根的判別式，正確理解方程恰有三個(gè)根的含義是解答本題的關(guān)鍵.

2.如果關(guān)于x的一元二次方程以2+法一1=0的一個(gè)根是》=一1,那么2。23-(“-6)=.

【答案】2022

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值，正確理解一元二次方程的解的定義是解答本

題的關(guān)鍵，把X=-1代入方程，得到4-6的值，在代入2023-(“-》)即得答案.

【詳解】???關(guān)于x的一元二次方程加+法-1=0的一個(gè)根是尸-1,

a(-l)2+Z?x(-l)-l=0,

即a-b=l,

2023-(a-b)=2023-1=2022,

故答案為：2022.

3.解方程：^(X-1)4-64=0.

【答案】占=5,尤2=-3.

【分析】首先移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)乘以4得到（X-1）4=162,開方得到（X-1）2=16,最后兩邊直接開平方即可

得到兩個(gè)一元一次方程，再解一元一次方程即可.

【詳解】解：元-爐-64=0,

（尤-1?=256=?,

A（^-1）2=16,或（尤-I?=-16（舍去），

貝!Jx—1=4或x—l=T,

解得％=5,x2=-3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解高次方程，解這類問題要把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等

號(hào)的右邊，利用數(shù)的開方求解.

題型二二項(xiàng)方程

1.一項(xiàng)工程，甲、乙合作6天可完成，若獨(dú)做，甲可比乙少5天，設(shè)甲，乙獨(dú)做分別需x天，y天，以下

所列的方程組正確的是（）

111111

x+y=6x+y=6—I—=——I—=—

A.x-y=5B?C.《xy6D.〈Xy6

y—x=5

x-y=5x-y=-5

【答案】D

【分析】設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)修路所需天數(shù)分別為尤和y,根據(jù)兩隊(duì)合修需要6天完成可得方程,+'=：,

xyo

根據(jù)各隊(duì)單獨(dú)修路,則甲隊(duì)比乙隊(duì)少用5天可得方程元=y-5,由此即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)修路所需天數(shù)分別為％和y,

111

-11-1=1一—I—=—

由題意得xy6，即：xy6

x=y-5.x-y=-5

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出分式方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.下列說法中，正確的是（）

A.Y-4x=0是二項(xiàng)方程B.--—I—丁=0是分式方程

32

C.瓜2_岳_]=0是無理方程D.\2，是二元二次方程組

[y=1

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)方程、分式方程、無理方程、二元二次方程組的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】A.尤2-4尤=0不是二項(xiàng)方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.U+U不是分式方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.6/一岳一i=o不是無理方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

fx=0

D.2，是二元二次方程組，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

ir=i

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)方程、分式方程、無理方程、二元二次方程組的定義，如果一元幾次方程的一邊只

有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程，分母含有未知數(shù)的方

程是分式方程，根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程是無理方程，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.方程組[(：一1)"+3)=°的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

y-x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】把代入原方程，再化簡(jiǎn)成(y+l)(y-l)(y+3)=0,解方程即可求解.

【詳解】解：?.?y2=x

;.(x_l)(y+3)=0

.?.(/-l)(j+3)=0

，(y+i)(D(y+3)=。

,y+l=0或y-l=0或y+3=0

\y=-1或y=i或y=-3

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解解方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和解方程.

鞏固訓(xùn)練

1.下列方程中，是二項(xiàng)方程的為（）

A.jc2+2x=lB.x2+x=0C.^;3—8=0D.x=0

【答案】C

【分析】二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)含未知數(shù)x,另一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)；方程的右邊是0,結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)

行判斷即可.

【詳解】解：A.不是二項(xiàng)方程，方程右邊不等于0,不符合題意；

B.不是二項(xiàng)方程，方程左邊沒有常數(shù)項(xiàng)，不符合題意；

C.是二項(xiàng)方程，符合題意；

D.不是二項(xiàng)方程，方程左邊只有一項(xiàng)，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)方程的定義，注意二項(xiàng)方程的左邊只有兩項(xiàng)，一項(xiàng)含未知數(shù)，一項(xiàng)是常數(shù)，右邊為0,

熟練掌握二項(xiàng)方程的定義是解決問題的關(guān)鍵.

1R

2.方程^^+==。的解是.（保留三位小數(shù)）.

【答案】-1.246

【分析】先求出x=-為，再利用計(jì)算器求出即可.

I3

【詳解】解：-%5+1=0,

22

x5=-3,

x=_#_1.246，

故答案為：-1.246.

【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程和近似數(shù)和有效數(shù)字，能求出x=-指是解此題的關(guān)鍵.

3.已知函數(shù)y=x+l與>=一尤+3,求：

（1）兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）這兩條直線與x軸圍成的三角形面積.

【答案】（1）兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,2）

（2）這兩條直線與x軸圍成的三角形面積為4

【分析】（1）聯(lián)立兩個(gè)一次函數(shù)的解析式得到方程組解方程組即可得到兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）分別求出兩條直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出這兩條直線與無軸圍成的三角形面積即可.

【詳解】（1）解：聯(lián)立y=x+l,y=-x+3得

y=x+1

y=-x+3

.?.兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（1,2）；

（2）解：設(shè)直線y=x+l與X軸的交點(diǎn)為A,

當(dāng)y—0時(shí)，0=尤+1,

解得x=-1,

二點(diǎn)A的坐標(biāo)是（T,0）,

設(shè)直線>=-尤+3與x軸的交點(diǎn)為8,

當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+3,

解得x=3,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,0）,

則這兩條直線與x軸圍成的三角形是記，

貝！1S&PAB=|xAfiX|^|=1X[3_（-1）]X2=4-

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，聯(lián)立兩個(gè)一次函數(shù)解析式

求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵.

題型三分式方程的定義

1.下列方程中哪些是可以化為一元二次方程的分式方程（）

A.—=3B.-=—C.-=2D.—=^-

x+1xx—12x-lx—1

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程的定義進(jìn)行判斷即可；

【詳解】解：選項(xiàng)A中，轉(zhuǎn)化為2=3（x+l）,不符合題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B中，轉(zhuǎn)化為無-1=3無，不符合題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C中，轉(zhuǎn)化為：x=4,不符合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D中，轉(zhuǎn)化為：f+x=2,符合題意，故選項(xiàng)D正確;

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列關(guān)于x的方程：_1+戶1,1+當(dāng)=3，工=±"=2中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）

x345%—1xx+1

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可.

【詳解】分式方程是：工+產(chǎn)1,工=±"=2共3個(gè)；故選C.

xx—1XX+1

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是理解分式方程的意義.

3.下列各式中，是分式方程的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有求知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A、x+y=5方程不含分母，是整式方程，故不是分式方程；

B、瞪二馬”方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；

C、工不是方程，是分式，故不是分式方程；

X

D、三=0方程分母中含未知數(shù)x,故是分式方程.

x+5

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

鞏固訓(xùn)練

1.下列方程：①工=2；②2—=：；③^+x=l;④--;+13=3.其中，分式方程有（）

xa25x—11—x

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】①工=2的分母中含有未知數(shù)，是分式方程；

X

~是整式方程；

a2

③1+戶1是整式方程；

④三2+一一3二3的分母中含有未知數(shù)，是分式方程.

x—11-x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解答此題的關(guān)鍵.

2.有下列方程：

---無2=1；③—=x；④—+3=——；⑤一=2；⑥2無-3y=0；⑦-----3=—；⑧-+3；

3n3xx-2x-2x27x-2

⑨一3==?5，其中是整式方程的是_________；是分式方程的是__________.（填序號(hào)）

x-2x

【答案】①②⑥⑦③④⑤⑨

【分析】根據(jù)整式方程和分式方程的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：：①]爐=1為整式方程；②2--=1為整式方程；③2=x為分式方程；④2+3=三1為

3兀3xx-2x-2

分式方程；⑤上1=2為分式方程；⑥2尤-3y=0為整式方程；⑦X+卓]-3=9=r為整式方程；⑧工y+=1+3為不是

x27x-2

方程；⑨一3==±5為分式方程.

x-2x

，整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨.

故答案為：①②⑥⑦，③④⑤⑨.

【點(diǎn)睛】本題考查判斷整式方程和分式方程.解題的關(guān)鍵是掌握整式方程是指方程里所有的未知數(shù)都出現(xiàn)

在分子上，分母只是常數(shù)而沒有未知數(shù)的一類方程；分式方程是指分母里含有未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的

有理方程.

3.判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程？

⑴日」；

x2

（2）

712

m2m

(6)2x=l；

【答案】（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程；（2）（6）是整式方程.

【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的字母的方程叫做分式方程即可判斷.

【詳解】（1）匚=5是分式方程；

x2

（2）二=：是整式方程；

兀2

V1

（3）—=是分式方程；

3x-l2

（4）:2=上1是分式方程；

mm

（5）2-3=4是分式方程；

y2

（6）2x=l是整式方程；

（7）1+工=2是分式方程.

xy

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵.

題型四解分式方程

1.下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）?

%1

A.x2—x+l=OB.---------=0

x~lx—1

C.y/x—1+4=0D.Jx-1+y/l-x=0

【答案】D

【分析】利用根的判別式，解分式方程、算術(shù)平方根的非負(fù)性，二次根式有意義的條件求解方程依次來判

斷.

2

【詳解】解：A、尤2_彳+1=0,A=（_I）_4X1X1=-3<0,故沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；

Y1

B、-一\=0,方程兩邊都乘以x-l得：x=l,檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，分式的分母為0,所以此方程沒有

X-1X-1

解，不符合題意；

C、由GT+4=0,得Q=因?yàn)樗阈g(shù)平方根的結(jié)果是非負(fù)數(shù)，所以此方程無解，不符合題意；

D、由Jx-1+Jl-x=0,得Jx-1=—J［一x,兩邊平方得x-l=l-x,解得x=l,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故有

實(shí)數(shù)根，符合題意;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根的問題，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式，會(huì)解分式方程，算術(shù)平方根的非負(fù)

性.

2.下列關(guān)于x的方程中，有實(shí)數(shù)解的是（）

A.Jx-2+1=0

X—2x—2

C.%4—6=0D.2X2+X+3=0

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性可判斷A；求出分式方程的解，再檢驗(yàn)即可判斷B；方程變形得到犬=6進(jìn)

而可判斷C；根據(jù)根的判別式即可判斷D；從而可得答案.

【詳解】解：A、由H工+1=0可得=故原方程無實(shí)數(shù)解；

B、去分母得x=2,當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0,所以x=2是方程的增根，故原方程無實(shí)數(shù)解；

C、方程可變形為/=6,所以x=土痣，故原方程有實(shí)數(shù)解；

D、因?yàn)榉匠痰摹?12-4x2x3=-23<0,所以原方程無實(shí)數(shù)解；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性、分式方程的求解、高次方程的求解以及一元二次方程的根的判別

式等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵.

3.解方程王［-工-=3時(shí)，設(shè)土］=y,則原方程可化為關(guān)于>的整式方程是（）

xx-1X

2

A.y——=3B.y2-2y=3C.y2+3y-2=0D.y2-3y-2=0

【答案】D

x—x—12

【分析】根據(jù)--------7=3,設(shè)二」=y,代入得丁一一=3,再左右同乘丁化簡(jiǎn)即可.

y

2x

x-1

y2—3y—2=0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了換元法將分式方程化為整式方程，換元代入是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1-1

1.方程的解是()

x—A-x—2

A.x=3B.x=lC.x=-l

【答案】A

【分析】本題考查解分式方程，去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可得到答案;

【詳解】解：兩邊同時(shí)乘以(％-4)(X-2)得,

解得,

x=3,

當(dāng)％=3時(shí)，(%—4)(%—2)=—1w0,

**?%=3是原方程的解,

故選：A.

32

2.分式方程的解為___________

x+21-x

【答案】x=-^/x=-0.2

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.利用去分母將原方程化為整式方程,

解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：原方程去分母得：3(l-x)=2(x+2),

整理得：3-3x=2x+4,

解得：x=-1,

檢驗(yàn)：當(dāng)尤=—二時(shí)，(％+2乂1—%)片0,

故原方程的解為了=-1,

故答案為：x=-1.

3.解分式方程：

(1)^^+^—=4；

2x-55-2x

⑵為1$

17

【答案】⑴戶了

⑵尤

【分析】本題考查了解分式方程，關(guān)鍵是利用了轉(zhuǎn)化的思想，把分式方程化為整式方程，解分式方程注意

要檢驗(yàn).

(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解;

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

(1)-^+^—=4

【詳解】

2x-55-2x

x3.

整理得:------------------=4

2%—52%—5

去分母,得：％-3=4(2%-5)

去括號(hào),得無一3=8x—20

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得-7x=-17

17

將系數(shù)化為1,得X*

1717

檢驗(yàn)：把尤=7代入2%—5=2x~^—5w0,

所以工=，17是原分式方程的解.

(2)3+1=上

x-2x+3

去分母,3(%+3)+(x-2)(x+3)=x(x-2)

去括號(hào)，得3%+9+/+工一6=爐-2光

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得6%=-3

將系數(shù)化為1,得x=-g

檢驗(yàn)：把》=一;代入(x_2)(x+3)=l；-2^4+3>0,

所以x=-1■是原分式方程的解.

題型五根據(jù)分式方程解的情況求值

1.若關(guān)于X的分式方程生:有增根，則a的值是（）

x-22

A.4B.2C.3D.0

【答案】A

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出。的

值.

【詳解】解：去分母得：4x-2?=x-2,

由分式方程有增根，得到x-2=0,即x=2,

代入整式方程得：。=4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

2.如果4是關(guān)于尤的分式方程空|一=2的解，則a等于（）

元-32%-7

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】C

【分析】本題考查方程的解，根據(jù)方程的解的定義，把x=4代入原方程，原方程左右兩邊相等，從而原方

程轉(zhuǎn)化為含有a的新方程，解此新方程可以求得。的值.

【詳解】解：把x=4代入原方程，

得：（a+2）-1=2,

解得a=l.

故選：C.

3.已知關(guān)于x的分式方程?^=1的解為非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

2%-1

A.加之-4且相。一,B.加NY且機(jī)。一3

2

C.機(jī)〉7■且機(jī)。一!D.m>7■且機(jī)。一3

2

【答案】B

【分析】本題主要考查分式方程解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵；由題意易得彳=歲+4，然后

分式方程的解和有意義可進(jìn)行求解.

m+4

【詳解】解：由方程"4=1可得:x=-------

2x-l2

??,該方程的解為非負(fù)數(shù),

：3對(duì)，且山」

222

解得：加2T且機(jī)。一3；

故選B.

鞏固訓(xùn)練

0Y—4VY!—3X

1.若關(guān)于X的分式方程三一+，生=1的解是非負(fù)數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

X—1L—X

A.m>-3B.用2-3且機(jī)。1C.m<3D.相V3且機(jī)wl

【答案】B

【分析】本題考查了分式方程的解,涉及解分式方程和分式方程分母不為0,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

首先解分式方程，然后根據(jù)方程的解的情況列不等式組計(jì)算求解.

2x—4m—3x1

【詳解】解:--------+---------=1

x—l1—x

2x-4m-3x

整理，可得=1

x—1x—1

口m+3

解得尤二—^

4

m+3

>0

4

由題意可得.解得機(jī)N-3且加w1,

m+3

T

故選：B.

6x-a>2（x-l）

2.若a使得關(guān)于尤的不等式組x-513有且僅有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于x的分式方程*-。=4

----<—x——1-xx-1

1342

的解為正數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)“的值之和為.

【答案】-3

【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解分式方程等，熟練掌握解

6元-a>2（x-l）

一元一次不等式組的方法，解分式方程的方法是解決問題的關(guān)鍵.首先解不等式組工—5,13得

-----<—x——

〔3-----42

F<XV2,再根據(jù)該不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，得x=2,1,0,由此得出-14二<0,據(jù)此可解

44

出-2Va<2,再解分式方程鄉(xiāng)-上==4得x=3-2a,根據(jù)該方程的解為正數(shù),得3-2a>0,由止匕1a<：,

1-xx-12

3

再考慮x=1是方程的增根得a工1,據(jù)此可得出-2Va<：且a/1,由此可求出所有滿足條件的整數(shù)。的值,

進(jìn)而再求出它們的和即可.

n—2

【詳解】解：由不等式6%-a>2(>1),解得：x>——,

4

由不等Y式-5三1￡3，解得：x<2,

，原不等式組的解集為：二〈龍42,

又???該不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，

x—?2,190,

<0,

4

-2Ka<2,

Dai_

對(duì)于----------=4,去分母，方程兩邊同時(shí)乘以(1-%),得：2。+1-3%=4(1-%),

1-xx-1

尚軍得：x=3—2a,

?/該方程的解為正數(shù)，

3—2a>0,

解得：〃<，3

對(duì)于％=3—%，當(dāng)尤=1時(shí)，a=l,

<％=1是該方程的增根，故awl,

3「

二.a<一目.aw1,

2

X-/-2<a<2,

3

-2?a<—且aw1,

2

.??滿足條件的整數(shù)，為-2,-1,0,

?.?(-2)+(-1)+0=-3.

「?所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為-3.

故答案為：-3.

3.已知關(guān)于x的分式方程工=二+1.

x—13—3x

⑴若這個(gè)方程無解，求"的值;

（2）若這個(gè)方程的解是非負(fù)數(shù)，求〃的值.

【答案】（1）3或-9

⑵"3且”工一9

【分析】此題考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，解一元一次不等式，熟練掌握分式方程的解法是解題

的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)方程無解，可分兩種情況：原分式方程有增根和整式方程無解，即可求解.

（2）先化分式方程為整式方程，求得解，根據(jù)解為負(fù)數(shù)，計(jì)算字母的范圍即可.

【詳解】（1）-7=1+1，

兩邊都乘以3-3%，得

-9=加+3—3光,

（幾-3）x=-12,

當(dāng)〃-3=0時(shí)，分式方程無解，此時(shí)〃=3.

當(dāng)x=l時(shí)，分式方程無解，此時(shí)3=-12即〃=-9.

綜上可知，若這個(gè)方程無解，〃的值為3或-9；

（2）3）%=-12,

._12

??x=------,

〃一3

由題意，得

解得“<3且"w-9.

題型六分式方程無解問題

1.關(guān)于尤的方程一^+4=1無解，則加的值是（）

x-22-x

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】本題考查了分式方程無解、解分式方程，先解分式方程，再根據(jù)分式方程無解得出x的值，從而即

可得出加的值，掌握分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程的無解或者這個(gè)整式方程的解使原分

式方程的分母等于0,是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：去分母得1-%=x-2,

解得x=3—m,

???方程無解，

方程有增根，即x-2=0,

解得：x=1,

把x=2代入得3-〃z=2,

解得m=l,

故選：B.

2.若關(guān)于x的方程=-1有增根，貝壯的值為（）

X+1

A.3B.1C.0D.-1

【答案】D

【分析】本題主要考查了分式方程的增根.熟練掌握增根的特征，是解決問題的關(guān)鍵.

去分母把分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程的增根使分式方程的分母為0,求出增根代入整式方程求解

即可.

【詳解】方程兩邊都乘（x+1）,

得，X—（7=—（X+1）,

???關(guān)于X的方程七心=-1有增根，

X+1

x+l=0,

解得，x=-l,

—1—4=0,

解得，a=-l.

故選：D.

3.如果關(guān)于尤的分式方程一-3=1無解，則。的值為（）

x-1元

A.-1B.1C.0或1D.T或1

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的解.根據(jù)分式方程無解分兩種情況，一是方程有增根，得出x=0或x=l,

求出a的值，二是去分母后的方程無解.即可求解.

X—n2

【詳解】解：v=i

x—1X

方程兩邊同時(shí)乘以工(，—1)得：x(x—a)—2(x—1)=x(x—1),

化簡(jiǎn)得(a+l)x=2,

???關(guān)于尤的分式方程Y-4=1無解，

x—1X

a+l=O或x=0或％-1=0,

.?.a=-1或x=0或x=l,

當(dāng)％=0時(shí)，此時(shí)〃不存在；

當(dāng)兀=1時(shí)，1+1=2,止匕時(shí)4=1,

??.〃的值為-1或1,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.若關(guān)于X的方程—=茨］無解，則加=()

x-510-2x

88

A.—B.-C.5

55

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程無解問題,掌握分式方程無解即最簡(jiǎn)公分母為0是解題關(guān)鍵.由題意可知％=5，

再將％=5代入一2(%-1)=如，求出加的值即可.

【詳解】解：方程三二而五去分母得：-2(、-1)=,吟

x-lmx

方程無解,

x-510-2%

:.x=5,

將x=5代入一2(x-l)=mx,得：一2x(5—1)=5帆，

O

解得：m=--,

故選：A.

2.若關(guān)于x的分式方程忙=f無解，則％的值為______

x+2x-2x-4

【答案】-g或1

【分析】本題考查了分式方程無解，理解分式方程無解的含義是解題的關(guān)鍵.

去分母，整理得-3工-詼=-2,根據(jù)分式方程無解可知增根分別為x=-2或x=2,分別求解即可.

【詳解】分式方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x-2)(x+2),得：(x-2)2_x(x+2)=16欠，

整理得：—3x—Sk=-2,

關(guān)于X的分式方程七|-9=」三無解，

x+2x-2x-4

當(dāng)x=2時(shí)，得一3x2-8左=—2,解得左=一

當(dāng)X=—2時(shí)，得一3*(-2)-8后=一2,解得女=1.

?,?%的值為-；或1.

故答案為：-萬或1.

光一

3.已知關(guān)于x的分式方程2=;-m23=±.

x-3x

(1)當(dāng)機(jī)=9時(shí)，求分式方程的解；

2丫一YH3

(2)求機(jī)為何值時(shí)，分式方程二^-2=三無解.

x-3X

3

【答案】(l)X=；；

(2)當(dāng)機(jī)=3或m=6時(shí)，分式方程無解.

【分析】(1)本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法即可解題.

(2)本題考查了分式方程的無解的情況，即考慮整式方程無解及分式方程有增根的情況，分類討論這兩種

情況下加應(yīng)滿足的條件，即可解題.

【詳解】(1)解：當(dāng)相=9時(shí)，分式方程為2=',

x-3x

去分母，得尤(2%-9)-2年-3)=3(%-3),

去括號(hào)，得2"9x-2/+6x=3尤-9,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，6x=9,

系數(shù)化1,得天==，

2

3

檢驗(yàn)：當(dāng)工二,時(shí)，—3)W。，

3

所以x是原分式方程的解.

⑵解：交--2=』

x-3x

方程兩邊同乘x（x—3）,得x（2x-〃z）-2尤（x-3）=3（尤一3）,

整理，得（機(jī)-3）x=9.

①若整式方程無解，m-3=0,解得加=3；

②若分式方程有增根，》=0或》-3=0,

即當(dāng)x=0或x=3時(shí)，分式方程無解.

當(dāng)x=0時(shí)，方程（祖一3）X=9無解；當(dāng)x=3時(shí)，3（m-3）=9,解得〃7=6.

綜上，當(dāng)m=3或%=6時(shí)，分式方程無解.

題型七列分式方程

1.“雙減”政策實(shí)施后，為減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，增加學(xué)生校內(nèi)課外的閱讀量，某校欲購買一些圖書《科學(xué)

家的故事》以供學(xué)生課外閱讀.現(xiàn)有A,B兩個(gè)商家供貨，A商家每本圖書的售價(jià)比3商家每本圖書的售價(jià)

少2元，用2000元購買A商家圖書的數(shù)量與用2200元購買8商家圖書的數(shù)量相同.設(shè)A商家的圖書每本售

價(jià)為加元，可列方程為（）

2000220022002000-20002200-20002200

A.------=--------B.------=--------C.—D.-------=-------

mm—2mm+2mm+2m—2m

【答案】C

【分析】由兩商家圖書銷售單價(jià)間的關(guān)系,可