湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二年級上冊1月期末考試數(shù)學(xué)試題

湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的

1.在等比數(shù)列｛。九｝中，若改=1，。4=2，則他=()

A.3B.4C.6D.8

2.已知直線Z的傾斜角a滿足120。135。，貝!的斜率々的取值范圍是()

A.[―1,-[―V3,-1]

C.(—V3,—1]D.(—8,—V3]U(—1,+oo)

3.已知曲線>普=l(mHO)的焦距為4,則m=()

A.4B.8C.12D.20

4.若拋物線C：y2=2p%(p>0)的焦點到直線8％—y+2g=0的距離為28，貝K的準(zhǔn)線方程為()

A.x=2B.%=1C.x=-1D.%=—2

5.已知向量五=(1,-2,3),石=(1,%,1),c=(2,0,y-1),且五||@+2),貝年+y=()

A.-6B.-3C.3D.6

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且只有一個面為平行四邊形的五面體稱為芻薨.如

圖，今有一芻蔓，四邊形ABCD為平行四邊形，EFII平面ABCD,且AB=2EF,點M在棱FC上，且2FM=MC.

12T2

--b-

333

B.D

42T1

--b-

336

7.已知實數(shù)x,y滿足/+/—6久+1=0,則集的最小值是()

A.1B.1C.1D.1

8.已知斜率為2的直線/與橢圓C：圣+技=l(a>b>0)交于4B兩點，M為線段ZB的中點，。為坐標(biāo)原

點，若OM的斜率為―焉，貝兒的離心率為()

O

A?苧B-IC.|D.|

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知點P(l,3)與Q(-3,1)到直線/的距離相等，則/的方程可以是()

A.2久+y=0B.%—2y—3=0C.2x+3y—5=0D.3久—2y+7=0

。且多記也｝的前幾項和分別為右，

10.已知｛a",｛"｝均是公差不為。的等差數(shù)歹U，1=31=Tn,

則()

A.bi=4B.an=2n+1

C.譙｝為遞增數(shù)列D-含高著

11.已知F為拋物線C：y2=2p%(p>0)的焦點，直線AB過點T(2p,0)且與C交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點,

貝I()

A.|AF|的最小值為考

B.以線段AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相離

C.ZkAOB的面積為定值

D.OA1OB

12.已知四棱臺4BC0-4B1QD1的底面為正方形，棱Z41底面ABC。，且4。=AAX=2A1D1=2,則下列

說法正確的是()

A.直線CD1與平面相交

B.若直線AC】與平面BDDiBi交于點M,則M為線段的中點

C.平面&CD將該四棱臺分成的大、小兩部分體積之比為5：2

D.若點p,Q分別在直線A4,CD1上運動，則線段PQ長度的最小值為呼

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.雙曲線/—普=1的一條漸近線方程為.

14.直線/：(3a—l)x+(a+2)y+a—5=0(aCR)所過定點的坐標(biāo)為.

c

15.已知公比q。1的等比數(shù)列滿足03,a9,成等差數(shù)列，設(shè)的前n項和為Sn,則券=.

16.如圖，已知AB,BC是圓E的弦，\AB\>\BC\,P為四C的中點，且P在弦AB上的射影為Q,則|4Q|

幽產(chǎn)L該定理稱為阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知A(-3,2),B(5,6),點C在直線下方,

PQ||BC,|AQ|=3*，則過點B,C,Q的圓的方程為.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.

(1)已知等差數(shù)列｛即｝滿足%+2an+i=9n,求｛時｝的通項公式;

(2)已知等比數(shù)列｛tin｝的公比q=3,且雄€；6=1，求｛&t｝的前n項和Sn.

18.已知橢圓C：與+耳=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸M—遍，0),F2(V3,0),離心率為冬

ab,

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線y=x與C交于4B兩點，求AABF2的周長.

19.已知圓C經(jīng)過4(-1,2)和B(8,5)兩點，且與％軸的正半軸相切.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C'與圓C關(guān)于直線八2%+y=l對稱，求圓C’的方程.

20.如圖，在四棱錐P—/BCD中，PAJ■平面4BCD,^DAB=^ADC=90°,且ZB=2DC=2，PAAD=

V2.

(1)證明：直線BC1平面P4C；

(2)求平面PZC與平面PBC夾角的余弦值.

n(l,an).

21.已知在數(shù)列｛即｝中，%=1,a2=3,｛g｝的前n項和Sn=

(1)證明：｛&J為等差數(shù)列;

(2)已知bn=抑求數(shù)列｛跖｝的前n項和乙.

22.已知曲線C上的動點M滿足||M&|-IMF2"=2,且％(—2,0),F2(2,0).

(1)求C的方程；

(2)已知直線1與C交于尸，Q兩點，過P,Q分別作C的切線，若兩切線交于點R,且點R在直線％=/上，證

明：I經(jīng)過定點.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：在等比數(shù)列中，因為。2=1,。4=2,設(shè)公比為q，

又因為的H0,所以,由q=I,（l）,aiq3=2,（2）,曷得出q2=2,

則=?296=1X（q2）3—23=8-

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，從而建立方程組求出公比的值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)得

出等比數(shù)列第八項的值.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：因為直線/的傾斜角a滿足120。＜a＜135。，

又因為k=tana,當(dāng)a=120。時，則k=一百，

當(dāng)a=135。時，則k=—1,則直線/的斜率k的取值范圍為（—國，-1].

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的傾斜角的取值范圍和直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式，再結(jié)合正切和

的圖象求值域的方法得出直線/的斜率k的取值范圍.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因為曲線苧+%1（771。0）的焦距為明

當(dāng)4＞租＞0時，曲線為焦點在x軸上的橢圓，

所以小=4,b2=m,c=Va2—b2=V4—m,

所以，2c=2A/4—m=4,所以，m=0（舍）；

當(dāng)m＞4時，曲線為焦點在y軸上的橢圓，

所以M=m,b2=4,c=Va2—&2=7m—4,

所以，2c=2Vm-4=4,所以，m=8；

當(dāng)m=4時，曲線為圓，不存在焦點，所以，m=4（舍）；

當(dāng)7HV0時，曲線為焦點在x軸上的雙曲線，

所以小=4,b2=—m,c=-12_

所以，2c=2V4+m=4,所以，m=0（舍），

綜上所述，m=8.

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合分類討論的方法和雙曲線、橢圓焦點的位置得出a,b的值，再結(jié)合雙曲線、橢圓

中a,be三者的關(guān)系式，進而得出c的值，再結(jié)合雙曲線、橢圓的焦距定義得出m的值.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：因為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(%0),

因為拋物線焦點F到直線通支-y+2值=0的距離為2百，

所以，p=4翰=—12(舍)，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為久=一§=一2.

故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出焦點F的坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式得出p的值,

從而得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而得出拋物線的準(zhǔn)線方程.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：因為向量N=(l,-2,3),b=(1,x,1),c=(2,0,y-l)，

所以，b+K=(3,久,y)，又因為+所以存在唯一meR,使得a=7710+(：),

1=3mfm=i

所以，?一2=mx,則，久=_6，則久+y=-6+9=3.

(3=my[y=9

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和向量共線的坐標(biāo)表示，進而得出x,y值，從而得出x+y的值.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：因為2FM=MC,得出AM=?華="G|"C丁F=?；兒,

又因為ZC=AB+AD.AF=AE+EF=AE+*AB,

所以，AM=弓a+c)+g(a+b)=++,c.

故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線定理、三角形法則、平行四邊形法則和空間向量基本定理，進而找出正

確的選項.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：令卜=祟=存胃，

則k可看作圓%2+y2-6%+1=0上的動點到點(5,-4)的連線的斜率，

因為圓％2+y2-6%+1=0的圓心為(3,0),半徑長為2/，

所以，法的最小值是當(dāng)直線與圓相切時的斜率,

設(shè)直線方程為y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0,

|3k+5k-4|方1

由圓心到直線的距離為d=I2=2迎,解得卜=1^=1

加+17

所以,集的最小值是;.

故答案為：

【分析】令九=塞=受胃，則k可看作圓久2+產(chǎn)—6%+1=0上的動點到點(5,-4)的連線的斜率，而直

■A*IJ人》iJJ

線與圓相切時的斜率為所求，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合求出切線的斜率，進而得出縹的最小值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)斜率為2的直線/方程為y=2久+

因為直線/與橢圓C：a+%=1(。>b>°)交于4B兩點，

(芷+置=1

聯(lián)立二者方程，即,層^2,整理可得(d+4Q2)/+4771。2%+q2ml2一人2)=0,

\y=2x+m

2

所以，%i+x=4ma:又因為M為線段43的中點,

2-29^xlx2/

b+4。2Z?2+4a2

2ma2,2

所以，M(亂棄，空4,所以，M(-mb?),又因為。為坐標(biāo)原點,

廬+4。2廬+4。2

,2

mb

22

0M的斜率為—,所以，k°M=■+4。2=mb_b__3

2ma^2ma22a2&

所以，4=今則橢圓。的離心率為

故答案為：D.

【分析】設(shè)出直線的斜截式方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，從而結(jié)合韋達定理和中點坐標(biāo)公式得出點M的坐

,2

標(biāo)，再利用兩點求斜率公式得出「的值，再結(jié)合橢圓的離心率公式和橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，進而得出

az

橢圓C的離心率的值.

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因為點P(l,3)與Q(-3,1)到直線/的距離相等，

所以，直線/過PQ的中點或直線PQ的斜率與直線/的斜率相等，

當(dāng)直線/過PQ的中點時，因為PQ的中點坐標(biāo)為“(與心,導(dǎo))，

即M(—1,2),所以，直線2久+丫=0或3久—2y+7=0滿足題意；

當(dāng)直線PQ的斜率與直線/的斜率相等時，如=kPQ=言當(dāng)=,=｝

所以，直線x—2y—3=0滿足題意；

綜上所述，直線］的方程可以是2x+y=0或x-2y-3=0或3x-2y+7=0.

故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合點到直線的距離相等，得出直線Z過PQ的中點或直線PQ的斜率與直線/的斜率相

等，再利用中點坐標(biāo)公式和直線過點的方法、兩點求斜率公式，從而得出滿足要求的直線方程.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因為數(shù)列｛0｝均是公差不為0的等差數(shù)列，所以，心。0,dzHO,

又因為劭=3且矩|=|,所以，^|=|,則昌=|，所以比=4,所以A對；

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式特征結(jié)合=多則設(shè)an=2An+1也=3擊i+1,壯0，

因為=3,所以，A=1,所以，冊=2九+1,勾=3九+1,所以B對；

由選項B可知，令d=器=所以，Cn+1=3(n+l)+l=tnS'

_2n+32n+l_(2n+3)(3n+l)—(2n+l)(3n+4)_6n2+lln+3-6n2—lln—4_1口

Cn+1-4=3n+4-3n+l=(3n+4)(3n+l)=(3n+4)(3n+l)=一(3n+4)(3n+l)<U

所以％+i<d，所以數(shù)列｛孑｝為遞減數(shù)列，所以C錯；

un

由選項B可知由=24=242=34=3,由選項A可知比=4,又因為｛%J,｛%｝的前n項和分別為Sn,Tn,

同網(wǎng)+嗎Dg+n_3」+嗎"x2+n_6+2n_6+2n_2所以口對

人」而丐%豆一癡再不如一開而—麗用一寵所以口對.

故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件結(jié)合代入法得出力的值，從而判斷出選項A；利用等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)特征和

已知條件得出數(shù)列｛%J,｛%｝的通項公式，從而判斷出選項B；利用數(shù)列｛%｝,｛.｝的通項公式得出數(shù)歹U垮)

的通項公式，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義，從而判斷出選項C；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式和選項

A以及選項B,進而判斷出選項D,從而找出正確的選項.

n.【答案】B.D

【解析】【解答】解：設(shè)蟹孫,女"(孫，沖)，

對于A,若|AF|=芻，則點A與坐標(biāo)原點O重合,

直線AT為x軸，與拋物線C不可能有兩個交點，所以A錯;

對于B,如圖，設(shè)AB的中點為M,過A,B,M分別向準(zhǔn)線引垂線,

垂足分別為當(dāng),Mi，

則幽“]|=出嗎四=嗎幽＞挈，因為以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相離，所以B對;

對于C,三角形A40B的面積為S=號|。7|X|治-'BI，1。71為定值，|力一丫/51顯然不是定值，所以C錯；

對于D,設(shè)直線AB的方程為x=my+2p,聯(lián)立x=my+2P與y2=2px,

(yA+yR=2mp

整理可得y2—2mpy_4P2=0,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得y?_4p2,

且y：=2P辦，yj=2pxB,止匕時?日=鬻=惡=

所以，。41OB,所以D對.

故答案為：BD.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的定義、幾何法、拋物線的性質(zhì)、韋達定理、直線與圓的位置關(guān)系、三角

形的面積公式、兩點求斜率公式和兩直線垂直斜率之積等于-1,進而找出正確的選項.

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

對于A,由ZB=AD=A4i河知暖=(1,1,1)為平面&BZ)的一個法向量，

又因為b=4、一品=(_2,—1,2),所以,盂?=-2—1+2=—1H0,

所以，：與不垂直，即直線CD1與平面相交，所以A對；

對于B,連接ZCi，&Ci，AC,設(shè)正方形ABCD的中心為O,正方形&8也山1的中心為0,

則。為AC的中點，。1為&Ci中點，連接0?！缚傻?。3u平面u平面AiGCA,所以，。。1

與4G的交點即為點M,

1

由=/4=2A1D1=2,所以，01cl||0A,且0道1=方。4

所以，AZ0M與AQ01M相似，所以，CrM=^AM,

所以點M是/J的一個三等分點，所以B錯；

對于C,如圖，延長&B1至點E,使得2止=4R

1111f)

X2x2x2-XX2X2><2=，

則K41B1-/BCD=AIAD-EBC~BX-EBC=232T

又因為匕4m1。遇1一/58=gx(lxl+2x2+Vlxlx2x2)x2=竽，

所以，乙11%。-/C1C=%從而，平面&CD將該四棱臺分成的大、小兩部分體積之比為學(xué)：1=5：2,所以，C

對；

對于D，區(qū)ZP=(0,0,4),4Q=/C+mCOi=(2-2m,2-zn,2zn),其中4，mER,

因此，PQ=(2-2m,2-m,2m-A)>貝"PQ|=V(2-2m)2+(2-m)2+(2m-A)2=

J5(m-§+(2m—A)2+

當(dāng)且僅當(dāng)4=卷，加=機寸取等號，所以，線段PQ長度的最小值為等，所以D對.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量得到線與平面的法向量不垂直判斷出選項A；借助

相似三角形計算判斷出選項B；由棱臺和棱錐的體積公式結(jié)合作差法判斷出選項C；設(shè)出點P,Q坐標(biāo)結(jié)合距

離公式計算判斷出選項D,從而找出說法正確的選項.

13.【答案】y=3%或y=-3%

9

【解析】【解答】解：因為雙曲線尤2—若=1，所以a2=i,M=9,

又因為a>0,b>0,所以，a-1,b=3,

所以，雙曲線的一條漸近線方程為y=:久=3%弱;=—:久=_3x

故答案為：y=3%或y=-3久.

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點坐標(biāo)，從而得出a,b的值，進而得出雙曲線的一條漸

近線方程.

14.【答案】(-1,2)

【解析】【解答】解：因為直線/：(3a-1)%+(a+2)y+a-5=0(ae/?),

所以a(3%+y+1)+(—龍+2y—5)=0,所以，

所以｛初11，則直線/所過定點的坐標(biāo)為(—1,2).

故答案為：(—1,2).

【分析】利用已知條件結(jié)合直線方程變形，從而建立x,y的二元一次方程組，進而解方程組得出直線恒過的

定點坐標(biāo).

15.【答案】

【解析】【解答】解：因為公比q豐1的等比數(shù)列滿足。3,。9,成等差數(shù)列，且由豐0,

a3

所以，2a9=a3+6,所以，2%_q8=%勺2+%q5,所以，2q&—g—1=o,

則(2q3+i)(q3—1)=0,所以/=—$或“3=1(舍)，設(shè)的前n項和為Sn,

9(l-q9)3

mi|^9___7_1-e3)_1-(T)_64

則后一刊yrETm同一千司一釬

故答案為：需

【分析】利用已知條件結(jié)合等差中項公式和等比數(shù)列的通項公式，從而建立公比的方程，進而解方程得出q3

C

的值，再利用等比數(shù)列前n項和公式得出含的值.

?27

16.【答案】x2+y2—10%—7y+31=0

【解析】【解答】解：設(shè)圓的一般方程為/+y2+D6+Ey+尸=0,其中。1，瓦9CR,

因為力(一3,2),5(5,6),所以，線段AB的長度為|48|=J(—3-5尸+(2-6尸=4逐,

根據(jù)阿基米德折弦定理，MQ|=叫；四,\AQ\=3遙，所以線段BC的長度為2|/Q|-|43|=2近，

由于PQ||BC,所以，kpQ=0°=:=跖c,

XQXPXCXB

pi=-10

所以將點B,C,D的坐標(biāo)代入圓的一般方程可得E=-7,

VF=31

所以過點3,C,Q的圓的方程為了+y2—io%—7y+31=0.

故答案為：x2+y2—10%—7y+31=0.

【分析】利用已知條件結(jié)合兩點距離公式和阿基米德折弦定理得出BC的長，再結(jié)合兩直線平行斜率相等和兩

點求斜率公式，進而得出C,D的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的一般方程和點代入法得出圓的一般方程.

17.【答案】⑴解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則與+2an+1=%+(n?-l)d+2al+2nd=3dn+3al—d=9n,

3d=9,

所以角牟得的=1,d=3,

3。1d—0,

所以即=1+3(n—1)=3n—2

(2)解：因為等比數(shù)列｛冊｝的公比q=3,且強即=1，

所以城即=a：q9=3%；=1,%=2，

所以s一"1—q")分(1一3，3n-31

皿一—一q一1一3一^-一54

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，從而建立首項和公差的方程組，再解方程組得

出首項和公差的值，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式得出數(shù)列｛為3的通項公式；

(2)利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項公式得出首項的值，再結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式得出數(shù)列的前

71項和5葭.

18.【答案】(1)解：由題意知C的半焦距c=8，

因為周心率e——=烏，所以a=V6>

a2

b=Va2—c2=V3,

所以C的方程為合+^=1

63

(6鏟彈4方產(chǎn)加(<+4=1'鏟衿卜1=卜2=一企，

(2)解：聯(lián)“方程得J63解得JM

、y=x,81=42,(y2=-V2,

所以|4B|=y[2\x1-x2\=4.

由對稱性可知IBF2I=\AFr\,

所以△ABF2的周長為|AB|+IAF2I+IBF2I=\AB\+\AF2\+\AF1\=4+2a=4+2遍

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合焦點坐標(biāo)得出c的值，再利用橢圓的離心率公式得出a的值，再結(jié)合

橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式得出b的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)利用已知條件聯(lián)立直線與橢圓方程得出交點A,B的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點距離公式和圖形的對稱性，進而

由三角形的周長公式得出三角形△ABF2的周長.

19.【答案】(1)解：根據(jù)題意設(shè)圓C的方程為Q—a)2+y2+by=o,其中。＞0.

將力(―1,2),5(8,5)兩點的坐標(biāo)代入方程得(一1一?+4+25-0,

((8-a)2+25+56=0,

解得a=3,b=—10.

2

因此圓C的方程為(％-3)2+y2-ioy=0,標(biāo)準(zhǔn)方程為。一3尸+(y-5)=25.

(2)解：因為圓C'與圓C關(guān)于/對稱，所以兩個圓的圓心關(guān)于Z對稱，半徑相等.

由(1)知圓C的圓心為C(3,5),設(shè)圓C’的圓心坐標(biāo)為(久0，y。)，

yp-5_i

x-3—2，

則0

2x吟+空=1

解得劭一一5‘即c'(—5,1),

(y0=1，

所以圓C'的方程為(％+5/+(y-I)2=25.

【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點代入法，從而解方程組得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用圓C,與圓C關(guān)于直線/對稱，所以兩個圓的圓心關(guān)于Z對稱，半徑相等，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓C

的圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓C,的圓心坐標(biāo)，再結(jié)合中點坐標(biāo)公式和點代入法以及兩直線垂直斜率之積等于-1,從而建

立方程組得出圓C,的圓心坐標(biāo)，進而得出圓C’的方程.

20.【答案】(1)證明：根據(jù)題意，以4為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),8(0,2,0),C(V2,1,0),D(V2,0,0),P(0,0,a),

所以麗=(或，-2,0),AC=(V2,1,0),AP=(0,0,V2).

因此麗?存=0,BD-AC=0,

所以BDLAP,BDVAC,

又因為APClAC=A,所以直線BQ1平面PAC.

⑵解：根據(jù)⑴知，~BD=(V2,一2,0)為平面24c的一個法向量.

因為阮=(/，-1,0),7c=(V2,1,一魚)，

設(shè)元=(%,y,z)為平面PBC的法向量,

n-=y/2x—y=0,仃「

則一一LLW=(l,V2,2).

n-PC=V2x+y—V2z=0,

因為|cos伍，BD)\=^^=-^=^.

所以平面PAC與平面PBC夾角的余弦值為答

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，以4為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),

再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而證出線線垂直，再結(jié)合線面垂直的判定

定理證出直線BC1平面P4C；

（2）根據(jù)（1）知，~BD=（V2,-2,0）為平面24c的一個法向量，再利用詼=（魚，-1,0）,PC=

（V2,1,-魚）結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面的法向量，再

結(jié)合數(shù)量積求向量夾角的余弦值的公式得出平面PAC與平面PBC夾角的余弦值.

21.【答案】（1）證明：因為所以Sn+1=>+l）（；+4+D，

兩式相減得即+i=（>+1）（；+囹+1）,"1產(chǎn)）,

整理得（九—l）an+1=nan—1,所以（n—2）an=（n-1）縱_1-1,n,2,

兩式相減整理得2a九=an+1+%i_i，n》2,

即為等差數(shù)列.

（2）解：由條件及（1）知｛。九｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，所以也九｝的通項公式為即=2n-1.

所以勾=鋁，

則Tn++京+黃+…+笑I+竽，

11352n-32n-l

246=2—+2—+2—+".+1/+2”+i'

兩式相減得抗="8+玄+…+雅）—翁

_工12九一1_32n+3

22九—12九+122九+1'

整理得〃=3—竽.

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合5?,即的關(guān)系式和分類討論的方法，再結(jié)合檢驗法和等差數(shù)列的定義，

進而證出數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）由條件及（1）知數(shù)列｛a"是首項為1