高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題專練：函數(shù)的切線問題

第14煉函數(shù)的切線問題

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

(一)與切線相關(guān)的定義

1、切線的定義：在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B,并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極

限位置就是曲線在點(diǎn)A的切線。

(1)此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方

面也可理解為一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，讓切點(diǎn)A附近的點(diǎn)向A不斷接近，當(dāng)與A距離非常小時(shí)，

觀察直線AB是否穩(wěn)定在一個(gè)位置上

(2)判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定。例如函數(shù)＞=/在

(―1,-1)處的切線，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

(3)在定義中，點(diǎn)8不斷接近A包含兩個(gè)方向，A點(diǎn)右邊的點(diǎn)向左接近，左邊的點(diǎn)向右接

近，只有無論從哪個(gè)方向接近，直線的極限位置唯一時(shí)，這個(gè)極限位置才能夠成為在點(diǎn)

A處的切線。對于一個(gè)函數(shù)，并不能保證在每一個(gè)點(diǎn)處均有切線。例如y=|x|在(0,0)處，

通過觀察圖像可知，當(dāng)x=0左邊的點(diǎn)向其無限接近時(shí)，割線的極限位置為y=-%,而當(dāng)

尤=0右邊的點(diǎn)向其無限接近時(shí)，割線的極限位置為y=x,兩個(gè)不同的方向極限位置不相

同，故丁=同在(0,0)處不含切線

(4)由于點(diǎn)8沿函數(shù)曲線不斷向A接近，所以若在A處有切線，那么必須在A點(diǎn)及

其附近有定義(包括左邊與右邊)

2、切線與導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=/(x)上點(diǎn)A(Xo，〃/)),4%)在A附近有定義且附近的點(diǎn)

B(%0+Ax,/(%0+Ax))1則割線AB斜率為：

k=〃Xo+Ax)-40)=〃Xo+—)-〃Xo)

(x0+Ax)-x0Ax

當(dāng)8無限接近A時(shí)，即Ax接近于零，.??直線AB到達(dá)極限位置時(shí)的斜率表示為：

一lim小。+一)一小),

Ax

即切線斜率，由導(dǎo)數(shù)定義可知：1二lim/（/+-）―/（%）=/（/）。故f（x0）為/（%）

Ax->0

在A（%,/（%））處切線的斜率。這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

3、從導(dǎo)數(shù)的幾何意義中可通過數(shù)形結(jié)合解釋幾類不含導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)：

（1）函數(shù)的邊界點(diǎn)：此類點(diǎn)左側(cè)（或右側(cè)）的點(diǎn)不在定義域中，從而某一側(cè)不含割線，也

就無從談起極限位置。故切線不存在，導(dǎo)數(shù)不存在；與此類似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則

斷開處的邊界值也不存在導(dǎo)數(shù)

（2）已知點(diǎn)與左右附近點(diǎn)的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導(dǎo)數(shù)。例如前

面例子y=|x|在（0,0）處不存在導(dǎo)數(shù)。此類情況多出現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間變化的分界處，判斷時(shí)只

需選點(diǎn)向已知點(diǎn)左右靠近，觀察極限位置是否相同即可

（3）若在已知點(diǎn)處存在切線，但切線垂直x軸，則其斜率不存在，在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)也不存在。

例如：y=正在（0,0）處不可導(dǎo)

綜上所述：（1）-（3）所談的點(diǎn)均不存在導(dǎo)數(shù)，而（1）（2）所談的點(diǎn)不存在切線，（3）中

的點(diǎn)存在切線，但沒有導(dǎo)數(shù)。由此可見：某點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)則必有切線，有切線則未必有導(dǎo)數(shù)。

（二）方法與技巧：

1、求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線，在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率

（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn)，在利用點(diǎn)斜式寫出直線方程

2、若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)七,因?yàn)榕c可“一

點(diǎn)兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)了（%）,代入到導(dǎo)函數(shù)中可得到切線的斜

率/'（%）=鼠從而一點(diǎn)一斜率，切線即可求。所以在解切線問題時(shí)一定要盯住切點(diǎn)橫坐標(biāo),

千方百計(jì)的把它求解出來。

3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)

與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)與斜率即可，另一類是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（為,%），再

考慮利用條件解出核心要素與,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成第一類問題

4、在解析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法，即先設(shè)出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用△=（）

求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下，所以兩個(gè)方法可以

互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時(shí)可用解析的方法求解,

例如：j=Vi-%2(圖像為圓的一部分)在1萬,寺J處的切線方程，則可考慮利用圓的切

線的求法進(jìn)行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點(diǎn)在y軸的拋物線，可看作y關(guān)

于x的函數(shù)，則在求切線時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行快速求解(此方法也為解析幾何中處理焦點(diǎn)在y

軸的拋物線切線問題的重要方法)

5、在處理切線問題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)?！痹谀滁c(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即

為切點(diǎn)，而“過某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，有可能不是切點(diǎn)。如果該點(diǎn)恰好

在曲線上那就需要進(jìn)行分類討論了。

二、典型例題

例1：求函數(shù)/(力二，7。1—2)在x=l處的切線方程

思路：本題切點(diǎn)已知，代入原函數(shù)求得函數(shù)值，代入導(dǎo)函數(shù)中求得切線斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜

式求出切線方程

解：/(l)=e切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e)

/1(x)=3/+(3x-2)/=(3x+1)d

:.f(1)=4e切線方程為：y-e=4e(^x-l)=>y=4ex-3e

小煉有話說：切點(diǎn)已知時(shí)求切線方程是切線問題中較簡單的一類問題，體會(huì)切點(diǎn)分別代入到

函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中所起到的作用，體會(huì)切點(diǎn)橫坐標(biāo)在切線問題中的關(guān)鍵作用

例2：已知函數(shù)/(x)=lnx+2x,則：

(1)在曲線了(%)上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線4x—y—2=0平行

(2)在曲線了(%)上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線x-y-3=0垂直

解：(1)思路：切點(diǎn)未知，考慮設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(看,%),再利用平行條件求出與,進(jìn)而求

出切線方程

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%)/'(^o)=—+2由切線與4x—y—2=0平行可得：

,切線方程為：y-l+ln2=41x-g]ny=4x-ln2-l

（2）思路:與（1）類似，切點(diǎn)未知，考慮設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（九0,%）,有垂直關(guān)系可得切線斜

率與已知直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，列出方程求出與,進(jìn)而求出切線方程

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(%,%)f(xo)=—+2'直線x—y—3=0的斜率為1

%0

???…卜—"。T

而xoG(0,+oO)

.?.%=-1不在定義域中，舍去

3

不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線x-y-3=0垂直

小煉有話說：（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，進(jìn)而若切點(diǎn)已知便直接使用，切線未知?jiǎng)t需先

設(shè)再求。兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條

件

（2）在考慮函數(shù)問題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域。在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其

是否在定義域內(nèi)

例3：函數(shù)/（x）=alnx—法2上一點(diǎn)尸（2,〃2））處的切線方程為丁=—3%+21112+2,

求a,匕的值

思路：本題中求。，。的值，考慮尋找兩個(gè)等量條件進(jìn)行求解，P在直線y=—3x+21n2+2

上，，y=—3-2+21n2+2=21n2—4,即/（2）=21n2—4,得到。，。的一個(gè)等量關(guān)系,

在從切線斜率中得到％=2的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到a1的另一個(gè)等量關(guān)系，從而求出a,匕

解：?.,尸在y=—3x+21n2+2上，.-./（2）=-3-2+21n2+2=21n2-4

.-.f（2）=aln2-4b=21n2-4

又因?yàn)槭幍那芯€斜率為一3f\x）=--2bx

/⑵肪=-3

41n2-4/?=21n2-4

（a-2

<an〈

---4b=-3b—\

12i

小煉有話說：（1）本題中切線體現(xiàn)了兩個(gè)作用：①切點(diǎn)在切線上，進(jìn)而可間接求出函數(shù)值;

②切線的斜率即為切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值

（2）一般來說，在求未知量的值題目中，未知量的個(gè)數(shù)與所用條件的個(gè)數(shù)相等。在本題中

確定〃，。兩個(gè)未知量，從而想到尋找兩個(gè)條件來解決問題。

例4：曲線>=/在點(diǎn)（2*2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）

A./B.2e2C.4e2D.—

2

思路：/'（力=炭由圖像可得三角形的面積可用切線的橫縱截距計(jì)算，進(jìn)而先利用求出切

線方程.?./'（2）=e2所以切線方程為：y—e?=e2（x—2）即e?x—y—e?=0,

與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0乂0,—02）.'.S=|xlxe2=1-

答案：D

小煉有話說：在平面直角坐標(biāo)系中，我們研究的問題不僅有函數(shù)，還有解析幾何。所以在求

面積等問題時(shí)也會(huì)用到解析幾何的一些理念與方法。例如求三角形面積要尋底找高，而選擇

底和高以計(jì)算簡便為原則，優(yōu)先使用點(diǎn)的坐標(biāo)表示。在本題中選擇橫縱截距來刻畫三角形的

兩條直角邊有助于簡化計(jì)算。

2

例5：一點(diǎn)P在曲線y=d—x+§上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸處切線的傾斜角為a,則角a的取值

范圍是（）.

r7i\..[3

A.B.0,—IIJ—C.-n.7i

吟4

思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進(jìn)而與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。y=3x2-1,對于曲線上

任意一點(diǎn)P,斜率的范圍即為導(dǎo)函數(shù)的值域：y=3x2-le[-l,+oo）,所以傾斜角的范圍是

吟U*

答案：B

小煉有話說：（1）對于切線而言，其傾斜角，斜率，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系緊密：傾斜角的正切

值為斜率，斜率即為切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。

（2）斜率范圍到傾斜角范圍的轉(zhuǎn)化要注意一下兩點(diǎn)：①斜率化傾斜角時(shí)盡量用圖像進(jìn)行輔

助，觀察斜率變化時(shí)，傾斜角的變化程度。②直線傾斜角的范圍為［0/）

例6：求過點(diǎn)4（2,8）,且與曲線/（x）=%3相切的直線方程

思路：A（2,8）滿足/（%）,但題目并沒有說明A是否為切點(diǎn)，所以要分A是否為切點(diǎn)進(jìn)行

分類討論。當(dāng)A是切點(diǎn)時(shí)，易于求出切線方程，當(dāng)A不是切點(diǎn)時(shí)，切點(diǎn)未知，從而先設(shè)再

求，設(shè)切點(diǎn)（不，%），切線斜率為左，三個(gè)未知量需用三個(gè)條件求解：①％=/（%））,②

k=f'M，③心上區(qū)

解：⑴當(dāng)4（2,8）為切點(diǎn)時(shí)/（x）=3x2

.??/,（2）=12切線方程為：y—8=12（x—2）ny=12x—16

（2）當(dāng)4（2,8）不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)尸（如為）（天）72）,切線斜率為左

3

x；-8

k—3%Q,消去左,尤可得：3%Q=

X。-2

左=『

、入0—2

而XQ—8=（九0一2乂x；+2xg+4）XQH2

，方程等價(jià)于：3x（=xj+2x0+4=>XQ—x0—2—0

解得：/=2（舍），x0=-1

y0--l,k-3」.切線方程為y+l=3（x+l）=>y=3x+2

綜上所述：切線方程為y=12x—16或y=3x+2

小煉有話說：（1）由于在導(dǎo)數(shù)中利用極限的思想對切線進(jìn)行了嚴(yán)格定義，即割線的極限位置

是切線，從而不能局限的認(rèn)為切線與曲線的公共點(diǎn)一定就是切點(diǎn)，存在一條直線與曲線相切

于一點(diǎn)，并與曲線的另一部分相交于一點(diǎn)的情況，本題便是一個(gè)典型的例子

（2）在已知一點(diǎn)求切線方程時(shí)，要注意切線斜率不僅可用切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值來表示，也可以用

已知點(diǎn)與切點(diǎn)來進(jìn)行表示，進(jìn)而增加可以使用的條件。

例7：設(shè)函數(shù)/(x)=d—依2_9%一若曲線y=/(x)的斜率最小的切線與直

線12x+y=6平行，求。的值

思路：切線斜率最小值即為導(dǎo)函數(shù)的最小值，已知直線的斜率為—12,進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)的

最小值為—12,便可求出。的值

解：f(%)=3x2-lax-9=3^x2--1a+-^a2^--^a2-9=--^a2-9

.?J(x/n9?.?直線12x+y=6的斜率為—12,依題意可得：

1

—a9—9=—12=>tz=±3a<0

3

a=—3

例8：若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=/和丁=取2+?工—9都相切，則。等于()

…25-217_257_r

A.一1或----B.-1或一C.——或----D.——或7

6444644

思路：本題兩條曲線上的切點(diǎn)均不知道，且曲線y=a/+”九一9含有參數(shù)，所以考慮先

從常系數(shù)的曲線y=/入手求出切線方程，再考慮在利用切線與曲線y=ax2+1工一9求

出a的值。設(shè)過(1,0)的直線與曲線y=/切于點(diǎn)(％),片)，切線方程為

y-Xg=3%o(x-x0),即y=3焉x-2x；,因?yàn)?1,0)在切線上，所以解得：%=0或

3(327、15

%=5,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)或于可.當(dāng)切點(diǎn)(0,0)時(shí)，由丁=0與丁=口^+1工/相

切可得

A=—4。(-9)=0=>a=—/，同理，切點(diǎn)為解得a=—1

答案：A

小煉有話說：(1)涉及到多個(gè)函數(shù)公切線的問題時(shí)，這條切線是鏈接多個(gè)函數(shù)的橋梁。所以

可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來，再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系

,1515

(2)在利用切線與y=av：2+—x-9求a的過程中，由于曲線丁=?^9+一x-9為拋物

線，所以并沒有利用導(dǎo)數(shù)的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的△=0

來求解，減少了運(yùn)算量。通過例7,例8可以體會(huì)到導(dǎo)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面，

求有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切線問題時(shí)，若曲線可寫

成函數(shù)的形式，那么也可以用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行處理，（尤其是拋物線）

例9：（2014,北京）已知函數(shù)/（x）=2d—3%,若過點(diǎn)P（l"）存在3條直線與曲線

丁=/（1）相切，求:的取值范圍

思路：由于并不知道3條切線中是否存在以P為切點(diǎn)的切線，所以考慮先設(shè)切點(diǎn)（不，％）,

f%=-3x0..

切線斜率為左，則滿足｛,9,所以切線方程為丁一%=左（%—%），即

、k=于（X。）=6x0—3

y_（2x；_34）=（6*一3）（尤-九0）,代入尸（I"）化簡可得：（=一4■+-3,所以

若存在3條切線，則等價(jià)于方程”-4x；+6焉-3有三個(gè)解，即y=f與

32

g（x）=^x+6x—3有三個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可解決

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（毛,％），切線斜率為左，則有:

%=2--3x0

切線方程為：y—（2需-3x0）=（6焉-3）（x-x0）

(2)=6需一3

因?yàn)榍芯€過尸（I"）,所以將尸（I"）代入直線方程可得:

"（2片-3%）=（6%—3）（1—%）

t=（6xj-3）（1-x（））+（2龍;-3%）

—6XQ—3—6XQ+3XQ+2XQ—3XQ——+6%；—3

所以問題等價(jià)于方程t=-4焉+6焉一3,令g（%）=-4x3+6X2-3

即直線y=%與g（x）=T%3+6X2一3有三個(gè)不同交點(diǎn)

g（x）=-12x2+12%=-12%（x-1）

令g（%）>0解得0<xv1所以g（x）在（fo,0）,（1,+oo）單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞增

g⑺極大值=g⑴=-Lg（元）極小值=g（°）=-3

所以若有三個(gè)交點(diǎn)，則fe（-3,-1）

所以當(dāng)fe(—3,—1)時(shí)，過點(diǎn)尸(1J)存在3條直線與曲線y=/(x)相切

例10：已知曲線C:/=y，點(diǎn)。在拋物線上且尸的橫坐標(biāo)為1,過尸作斜率為左(左工0)

的直線交C于另一點(diǎn)。，交x軸于“，過點(diǎn)。且與PQ垂直的直線與。交于另一點(diǎn)N,

問是否存在實(shí)數(shù)左，使得直線1W與曲線C相切？若存在，求出左的值，若不存在，說明

理由。

思路：本題描述的過程較多，可以一步步的拆解分析。點(diǎn)P。/)，則可求出

PQ:y=kx-k+l,從而與拋物線方程聯(lián)立可解得緋―以及"點(diǎn)坐標(biāo)，

從而可寫出QN的方程，再與拋物線聯(lián)立得到N點(diǎn)坐標(biāo)。如果從V,N坐標(biāo)入手得到MN方

程，再根據(jù)相切(A=O)求左，方法可以但計(jì)算量較大。此時(shí)可以著眼于N為切點(diǎn)，考慮拋

物線f=y本身也可視為函數(shù)y=/,從而可以N為入手點(diǎn)先求出切線，再利用切線過〃

代入M點(diǎn)坐標(biāo)求左，計(jì)算量會(huì)相對小些。

解：由P在拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為1可解得。(1,1)

，設(shè)尸Q：丁一1=左(%—1)化簡可得：y=kx-k+1

V=尤2

消去y：%?一而+左一1二。

y=kx-k+1

￡=1,%2=左一1

.?，e（Zr-l,（Zr-l）2）

設(shè)直線QN:y—（左一I?即y=（左_1）2_工［%_（左_］）］

kk

y-x

.-.聯(lián)立方程：4

y=（左一I）2_-（k-1）］

_(左一1)|左一1+1

.-.X2+-X=0

k

由y=可得：y=2x

???切線MN的斜率

代入,0］得:

-1±75

小煉有話說：(1)如果曲線的方程可以視為一個(gè)函數(shù)(比如開口向上或向下的拋物線，橢圓

雙曲線的一部分)，則處理切線問題時(shí)可以考慮使用導(dǎo)數(shù)的方法，在計(jì)算量上有時(shí)要比聯(lián)立

方程計(jì)算A=0簡便

(2)本題在求N點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，并沒有對方程進(jìn)行因式分解，而是利用韋達(dá)定理，已知。的橫

坐標(biāo)求出N的橫坐標(biāo)。這種利用韋達(dá)定理求點(diǎn)坐標(biāo)的方法在解析幾何中常解決已知一交點(diǎn)

求另一交點(diǎn)的問題。

三、近年好題精選：

1、設(shè)函數(shù)/(￡)=g(%)+*,曲線y=g(x)在點(diǎn)處的切線方程為y=2x+l,則

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為

2、己知直線,=丘+1與曲線丁=丁+以+少切于點(diǎn)(1,3),則匕的值為

3、若曲線G：>與曲線。2：y=a"存在公切線，則。的最值情況為()

A.最大值為3B.最大值為三C.最小值為:D.最小值為三

eeee

4、(2015,新課標(biāo)II文)，已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線

y=改2+（〃+2）%+1相切，則〃=

5、（2015,陜西理）設(shè)曲線y=/在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線丁=!@>0）上點(diǎn)P處的切

線垂直，則P的坐標(biāo)為

6、（2014,廣東）曲線y=2在點(diǎn)（0,3）處的切線方程為

7、（2014,江西）若曲線y二小*上點(diǎn)尸處的切線平行于直線2九+y+l=0,則點(diǎn)P的坐

標(biāo)為__________

8、已知函數(shù)/（無）=也，則過原點(diǎn)且與函數(shù)/（x）圖像相切的直線方程為—

9、已知函數(shù)〃x）="—gf—ox（aeR）,若函數(shù)的圖像在x=0處的切線方程

為y=2x+b,則。=,b-

習(xí)題答案:

1、答案：y=4x

解析：由切線過(l,g(l))可得：8(1)=3,所以/(1)=8(1)+12=4,另一方面，g(l)=2,

且f'(x)=g(x)+2x,所以/(l)=g(l)+2=4,從而切線方程為：

y-4=4(x-1)=>y=4%

2,答案：b=3

/⑴=〃+Z?+l=3[a=-l

解析:代入(1,3)可得：左=2,/'(￡>=3三+。，所以有《'/，解得〈

f(l)=3+a=2[b=3

3、答案：B