北師大版九年級數(shù)學上冊壓軸題：相似三角形中的動點問題的三種考法（原卷版）

專題10相似三角形中的動點問題的三種考法

類型一、相似三角形存在性問題

例1.如圖，正方形ABC。的邊長為4,E是2C的中點，點P在射線上，過點尸作垂足為足當

點尸在射線AD上運動時，若以尸、F、E為頂點的三角形與0ABE相似，則B4的值為.

AFD

BEC

例2.如圖，在直角J1BC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,點D是BC的中點，點E是A3邊上的動點,

DF±DE交射線AC于點F.

AA

LxK

CDBCBcB

（備用圖）（備用圖）

Cl）求8C的長；

（2）連接E/，當￡5//3。時,求8E的長；

（3）連接當“。即和一相似時，請直接寫出BE的長.

【變式訓練1】建立如圖所示們平面直角坐標系xOy中，矩形3BC的點A（2,0）,C（0,3）,RtPBE以點B為

旋轉中心，BC為起始邊，逆時針方向，直角邊3尸交OC射線于點尸，直角邊8E交尤軸于點E.

（1）當NCBP=45。時，求點E的坐標；

⑵在旋轉過程中，是否存在以P、。、E為頂點的三角形與㈤龍相似.若存在，詩求出點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

【變式訓練2】如圖，ZACB=9Q°,A(3,0),C(-1,0),AB=5.

（1）直接寫出線段BC的長是，點2的坐標是

⑵己知點。在x軸上（不與點C重合），連接D8,若.ADB與.ABC相似，則點。坐標是

⑶在（2）的條件下，點P、。分別是AZ）和A3上的動點，連接PQ,^AP=BQ=k,是否存在上的值，使

△AP。與ADB相似？若存在，請求出上的值；若不存在，請說明理由.

類型二、幾何圖形存在性問題

例1.如圖，在“1BC中，ZC=90°,AC=12cm,3C=16cm,E、O分別是AC、AB的中點，連接DE.Q

從點E出發(fā)，沿西方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點尸從點2出發(fā)，沿54方向勻速運動，速度為4cm/s，

當點。停止運動時，點尸也停止運動。連接。P，設運動時間為t(O<t<4)s.答下列問題:

備用圖

⑴請直接用含f的代數(shù)式表示8、9的長；

(2)當f為何值時，以點P、。為頂點的三角形與VADE相似?

⑶當f為何值時，VDPQ為等腰三角形(直接寫出)

例2.如圖，在平面直角坐標系中，矩形Q4BC的兩邊(M,OC分別在x軸、,軸的正半軸上，。4=4,

OC=2.點尸從點。出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,當點P到達點A時停止運動,

設點尸運動的時間是f秒.將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點。，點O隨點尸的運動而運動，

連接DP,DA.

圖1圖2圖3

⑴當/=2時，點。的坐標是」

(2)請用含，的代數(shù)式表示出點D的坐標」

⑶在點尸從。向A運動的過程中，DR4能否成為直角三角形？若能，求f的值.若不能，請說明理由.

例3.綜合與探究：己知：如圖①，在RtaABC中，NC=9。。，AC=8cm,8c=6cm,點尸由8出發(fā)沿54

方向向點A勻速運動，速度為lcm/s；點。由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ.若

設運動的時間為4s)(0</<4),解答下列問題：

圖①圖②

(1)當AP=AQ時，求/的值；

(2)點P,。同時出發(fā)，/為何值時，以A,P,。為頂點的三角形與_ABC相似；

⑶如圖②，連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC,那么是否存在某一時刻入使四邊形

PQPC為菱形？若存在，直接寫出此時/的值；若不存在，說明理由，(不寫求解過程)

【變式訓練如圖，在矩形ABCD中，8。是對角線，AS=6cm,BC=8cm,點E從點O出發(fā)，沿DA

方向勻速運動，速度是2cm/s；點/從點8出發(fā)，沿3。方向勻速運動，速度是lcm/s.兩點同時出發(fā)，設

運動時間為f(s)(O</<4),請回答下列問題：

(1)當，為何值時，EF//AB?

⑵設四邊形ABEE的面積為S(cm2),求S與f之間的函數(shù)關系式；

⑶當t為何值時，四邊形的面積S等于矩形ABQ?面積的?？

O

⑷當/為_時，△EED是等腰三角形.

【變式訓練2】如圖1,矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,E為AB上一點,尸為AB延長線上一點，

且8尸="0".點尸從A點出發(fā)，沿AD方向以4c〃?/s的速度向。運動，連結PE、PF,尸尸交BC于點H.設

點P運動的時間為r(s),AfAE的面積為y(a〃2),當owrwi時，的面積乂。機)關于時間［s)的函數(shù)

圖象如圖2所示.

(1)AE的長是_。根；

(2)當a=2cm,APAEAE4P時，求/的值;

(3)如圖3,將AHB尸沿線段所進行翻折，與CB的延長線交于點連結AM,當/為何值時，四邊形

PAMH為菱形?

圖1圖2圖3

【變式訓練3］已知：在ABC中，AB=AC=4y/2,ZBAC=90°,AD1BC于點。，點E是AC邊的中

點，動點P在線段8上，將線段PE繞點E逆時針旋轉90。得到線段QE,2。與AD交于點尸.

(1)如圖1,當點尸與點C重合時，線段上的長為；

(2)如圖2,當點尸與C,。兩點均不重合時，

①求證：PD=2DF；

②問：是否存在點尸，使以尸，E,尸為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出PC的長；若不存

在，請說明理由，

類型三、最值問題

例.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O4BC的頂點坐標分別為0(0,0),A(12,0),8(8,6),C(0,6).動

點P從點。出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運動；動點。從點8同時出發(fā)，以每秒2

個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動，作于點G,設運動的時間為t秒，則AG的最大值

是.

【變式訓練1】如圖，媯8。中A8=AC,A(0,8),C(6,0),。為射線AO上一點，一動點尸從A出發(fā)，運

動路徑為4好。好C,點P在上的運動速度是在CO上的g倍，要使整個運動時間最少，則點。的坐標應

為.

【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(4,0),點8在第一象限內，45=4/540=60。，

點E是線段上的一個動點，連接8E,將射線EB繞點E順時針旋轉60。交AB于點凡當3f最短時點尸

的坐標是.

2

【變式訓練3】在RtABC中，乙4。8=90。,47=41。=3,點。是./5。內一動點,且滿足8=2,則4。+耳3。

的最小值__________.的最小值______

課后作業(yè)

1.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=8,點E在邊AZ)上，且AE:匹=1:3,動點尸從點A出發(fā)，沿A3

運動到點8停止，過點E作防，。￡交射線BC于點。設O是線段EQ的中點，則在點P運動的整個過程

中，點。運動路線的長為.

2.如圖，正方形ABC。的對角線上的兩個動點M、N,滿足=點P是BC的中點，連接AM

PM,若A3=6,則當⑷V+PM的值最小時，線段A7V的長度為.

3.如圖，在一ABC中AB=AC=6cm,BC=8cm,點E是線段BC邊上的一動點(不含8、C兩端點)，連

接AE,作NAED=NB,交線段A3于點。.

⑴求證：ABDESMEA

(2)設跖=x,AD=y,請求y與x之間的函數(shù)關系式.

(3)￡點在運動的過程中，VADE能否構成等腰三角形？若能，求出班的長；若不能，請說明理由.

4.如圖，平面直角坐標系中，四邊形Q4BC為矩形，點A3坐標分別為(4,0),(4,3),動點M、N分別從

同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿Q4向終點A運動，點N沿BC向終點C運動過動點M

作交AC于P,連接NP,設M、N運動時間為r秒，(0<r<4)

⑴當f=3秒時，尸點的坐標為(—，),PC=

(2)當/為何值時，以C、P、N為頂點的三角形與..ABC相似；

⑶在平面內是否存在一個點E,使以C、P、N、E為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出，的值，若

不存在，說明理由.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZZMB=90°,AB=6cm,BC=8cm,AD=4cm.點尸從點A

出發(fā)沿AO向點。勻速運動，速度是lcm/s；同時，點。從點C出發(fā)沿C4向點A勻速運動，速度是lcm/s,

當一個點到達終點，另一個點立即停止運動.連接PQ，BP,BQ,設運動時間為f(s),解答下列問題：

⑴當f為何值時，PQ//CD?

(2)設的面積為s(cn?),求s與f之間的函數(shù)關系式;

⑶連接3。，是否存在某一時刻,,使得3尸平分27出0?若存在，求出此時/的值；若不存在，說明理由.

6.如圖，在，ABC中，A