《第十四章 整式的乘法與因式分解》單元核心考點歸納與單元檢測

《第十四章整式的乘法與因式分解》單元核心考點歸納法則1同底數(shù)冪的乘法法則1．化簡a4·(－a)3的結(jié)果是(

)A．a(chǎn)12 B．－a12

C．a(chǎn)7 D．－a7法則2冪的乘方法則2．若an＝3，則a3n＝________.1八個法則D27法則3積的乘方法則法則4單項式乘單項式法則4．計算：3a2b·(－a)2＝____________.法則5單項式乘多項式法則5．計算：(－2a2)(a－3)＝____________________.C3a4b－2a3＋6a2法則6多項式乘多項式法則6．化簡：(2x＋1)(2x－3)＝____________________.法則7單項式除以單項式法則7．計算：8x3y÷(2x)2＝__________.法則8多項式除以單項式法則4x2－4x－32xy公式1

(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq9．若(x＋3)(x＋n)＝x2＋mx－15，則m的值為(

)A．－5 B．－2C．5 D．210．下列多項式相乘，結(jié)果為x2－4x－12的是(

)A．(x－4)(x＋3) B．(x－6)(x＋2)C．(x－4)(x－3) D．(x＋6)(x－2)2三個公式BB公式2平方差公式11．下列代數(shù)式：①(x－y)(x＋y)；②(3a＋b)(－b－3a)；③(－1＋a)(－1－a)；④(100＋1)×(100－1)．其中能用平方差公式計算的是__________.(填序號)12．分解因式：12a2－3b2＝________________________.公式3完全平方公式14．分解因式：a2b－4ab＋4b＝__________________.①③④3(2a＋b)(2a－b)①③⑥b(a－2)215．先化簡，再求值：(a＋3b)2＋(a＋3b)(a－3b)，其中a＝2，b＝－1.解：原式＝a2＋6ab＋9b2＋a2－9b2＝2a2＋6ab.當a＝2，b＝－1時，原式＝2×22＋6×2×(－1)＝－4.3一個能力——運算能力16．已知am＝3，an＝2.求：(1)a2m.

(2)am＋n.

(3)am－n.(4)a3m＋2n.

(5)a3m－2n.4一種思維——逆向思維解：(1)a2m＝(am)2＝32＝9.(2)am＋n＝am·an＝3×2＝6.(4)a3m＋2n＝(am)3·(an)2＝27×4＝108.17．已知二次三項式x2－4x＋m有一個因式是(x＋3)，求另一個因式及m的值．解：設(shè)另一個因式為x＋n，則(x＋3)(x＋n)＝x2－4x＋m，∴另一個因式為x－7，m＝－21.《第十四章整式的乘法與因式分解》階段小測(一)(測試范圍：14.1時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1．計算a·a2

的結(jié)果是(

)A．a(chǎn) B．a(chǎn)2

C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)42．計算－a6÷a3

的結(jié)果是(

)A．－a3 B．－a2

C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)2CA3．下列計算中正確的是(

)A．a(chǎn)2＋a3＝a5 B．a(chǎn)2·a3＝a6C．(a2)3＝a6 D．(－2a2)3＝－6a64．已知2m－3n＝3，則9m÷27n的值是(

)A．9 B．18C．27 D．815．計算(－4x3＋12x2y－7x3y2)÷(－4x2)的結(jié)果是(

)CCA6．如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出(2x＋2y)個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)都相同，則2x＋y的值等于(

)A．128 B．64C．32 D．16A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．若(－2x－1)0＝1，則x的取值范圍是____________.8．化簡x(x－1)＋x的結(jié)果是________.9．已知多項式x2＋ax－4(a為常數(shù))是兩個一次多項式

x＋1和x＋n(n為常數(shù))相乘得來的，則a＝________.10．定義一種新運算(a，b)，若ac＝b，則(a，b)＝c，例(2,8)＝3，(3,81)＝4.已知(3,5)＋(3,7)＝(3，x)，則x的值為________.x2－335三、解答題(本大題共6小題，滿分56分)11．(本題8分)計算：(1)3y·5y2.解：15y3.(2)24x2y÷(－6xy)．解：－4x.12．(本題8分)已知2a＝m,32b＝n，a，b為正整數(shù)，求23a＋10b的值．解：23a＋10b＝(2a)3(2b)10＝(2a)3(32b)2＝m3n2.13．(本題8分)已知x2－x＋1＝0，求代數(shù)式(x＋3)·(x－1)－(x＋1)(2x－1)的值．解：原式＝x2＋2x－3－2x2＋x－2x＋1＝－x2＋x－2.當x2－x＋1＝0，即－x2＋x＝1時，原式＝1－2＝－1.15．(本題12分)(1)已知(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2

中不含x的三次項，求a的值．解：(1)(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2＝－6x4＋2ax3＋12x2－3x3＋x2＝－6x4＋(2a－3)x3＋13x2.∵不含x的三次項，∴4a＋c＝12.16．(本題12分)如圖，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜居環(huán)境，小區(qū)準備在一個長為(4a＋3b)m，寬為(2a＋3b)m的長方形草坪上修建兩條寬為bm的通道．(1)剩余草坪的面積是多少？(2)當a＝3，b＝3時，求剩余草坪面積．解：(1)b(2a＋3b)＋b(4a＋3b)－b2＝2ab＋3b2＋4ab＋3b2－b2＝6ab＋5b2(m2)．通道的面積是(6ab＋5b2)m2.(4a＋3b)(2a＋3b)－(6ab＋5b2)＝8a2＋6ab＋12ab＋9b2－6ab－5b2＝8a2＋12ab＋4b2(m2)，剩余草坪的面積是(8a2＋12ab＋4b2)m2.(2)由(1)知，剩余草坪的面積是(8a2＋12ab＋4b2)m2.當a＝3，b＝3時，8a2＋12ab＋4b2＝8×32＋12×3×3＋4×32＝72＋108＋36＝216(m2)答：剩余草坪面積為216m2.《第十四章整式的乘法與因式分解》階段小測(二)(測試范圍：14.2～14.3時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1．計算(x＋3)2的結(jié)果是(

)A．x2＋9 B．x2－6x＋9C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋92．運用乘法公式計算(3m＋2)(3m－2)的結(jié)果是(

)A．3m2－2 B．9m2－4C．9m2＋4 D．3m2＋2CB3．多項式x2－1與多項式x2－2x＋1的公因式是(

)A．x－1 B．x＋1C．x2－1 D．(x－1)24．將下列多項式因式分解，結(jié)果不含有因式a＋1的是(

)A．a(chǎn)2－1 B．a(chǎn)2＋a

C．a(chǎn)2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋15．已知a＋b＝3，ab＝2，則(a2＋b2)2

的值為(

)A．9 B．16C．25 D．36ACC6．新考法如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“致真數(shù)”，如8＝32－12,24＝72－52，即8,24均為“致真數(shù)”，在不超過50的正整數(shù)中，所有的“致真數(shù)”之和為(

)A．160 B．164C．168 D．177C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．分解因式：xy－2y2＝____________.8．已知(x－a)(x＋a)＝x2－9，則a＝________.9．若(x＋y)2＝9，(x－y)2＝5，則xy＝______.10．已知(19x－31)(13x－17)－(13x－17)(11x－23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中常數(shù)a，b，c均為整數(shù)，則a＋b＋c＝__________.y(x－2y)±31－12三、解答題(本大題共6小題，滿分56分)11．(本題8分)分解因式：(1)a3－9a.解：a(a＋3)(a－3)．(2)2a2x＋4ax＋2x.解：2x(a＋1)2.12．(本題8分)化簡：(x＋3)2＋(x＋2)(x－2)－2x2.解：原式＝x2＋6x＋9＋x2－4－2x2＝6x＋5.14．(本題10分)已知多項式A＝(x＋2)2＋(x＋2)·(1－x)－3.(1)化簡多項式A.(2)若(x＋1)2＝5，求A的值．解：(1)A＝x2＋4x＋4＋x＋2－x2－2x－3＝3x＋3.(2)∵(x＋1)2＝5，15．新考法(本題10分)定義一種新運算，規(guī)定F(a，b)＝ab，例：F(1,2)＝1×2＝2.(1)已知A＝F(x＋2y，x－2y)，B＝F(4y，x－2y)，分別求A，B.(2)通過計算比較A與B的大?。猓?1)A＝F(x＋2y，x－2y)＝(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2.B＝F(4y，x－2y)＝4y(x－2y)＝4xy－8y2.(2)A－B＝x2－4y2－(4xy－8y2)＝x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2，∵(x－2y)2≥0，∴A≥B.16．核心素養(yǎng)·幾何直觀(本題12分)如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為n的小正方形，五塊是長為m、寬為n的全等小長方形，且m>n(單位：cm)．(1)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解為__________________.(2)若每塊小長方形的面積為10cm2，四個正方形的面積之和為58cm2，試求圖中所有裁剪線的長度之和．(2m＋n)(m＋2n)

解：(2)∵mn＝10,2m2＋2n2＝58，∴(m＋n)2＝49，(m－n)2＝9，∴裁剪線的長度之和為(2m＋n)×2＋(m＋2n)×2＝24＋18＝42(cm)．《第十四章整式的乘法與因式分解》單元檢測一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．計算x·x2的結(jié)果是(

)A．3x B．x2

C．x D．x32．下列計算中正確的是(

)A．x·x＝2x B．x＋x＝2x

C．(x3)3＝x6 D．(2x)2＝2x2DB3．計算x(x2－1)的結(jié)果是(

)A．x3－1 B．x3－x

C．x3＋x D．x2－x4．將x3－xy2分解因式正確的是(

)A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2＋y2)C．x(x－y)2 D．xy(x－y)5．已知m為整數(shù)，則(a－b)2m·(b－a)n與(b－a)2m＋n的結(jié)果是(

)A．相等 B．互為相反數(shù)C．不相等 D．以上說法都錯誤BAA6．下列運用平方差公式計算中錯誤的是(

)A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(x＋1)(x－1)＝x2－1C．(2x＋1)(2x－1)＝2x2－1 D．(－a＋b)(－a－b)＝a2－b27．長方形的面積是4a2－2ab＋6a，一邊長為2a，則它的周長是(

)A．2a－b＋3 B．8a－2b

C．4a－b＋3 D．8a－2b＋68．已知一個長方形的長為a，寬為b，它的面積為6，周長為10，則a2＋b2的值是(

)A．37 B．30C．25 D．13CDD9．如圖，在邊長為(m＋3)的正方形紙片上剪出一個邊長為m的正方形后，剩余部分可剪拼成一個長方形(不重疊無縫隙)．若拼成的長方形的一邊長為3，則另一邊的長是(

)A．m＋3 B．m＋6C．2m＋3 D．2m＋6C10．如果10b＝n，那么稱b為n的“拉格數(shù)”，記為d(n)，由定義可知：d(n)＝b.如102＝100，則d(100)＝d(102)＝2，下列關(guān)于“拉格數(shù)”d(n)的結(jié)論錯誤的是(

)D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)12．若(x＋2)(2x－n)＝2x2＋mx－2，則m＋n＝______.－1413．如圖，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的長方形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張．用這16張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為____________.a＋3b14．已知甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示(m為正整數(shù))，甲、乙的面積分別為S1，S2.(1)S1與S2的大小關(guān)系為S1______S2(選填“＞”“＝”或“＜”)．(2)若滿足|S2－S1|＜n≤2023的整數(shù)n有且只有2個，則m的值是______________.＜1011三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計算：(2)(2x＋5y)(2x－5y)(－4x2－25y2).解：原式＝(4x2－25y2)(－4x2－25y2)＝(－25y2)2－(4x2)2＝625y4－16x4.16．分解因式：(1)3a(x－y)2－2b(y－x)2.解：原式＝3a(x－y)2－2b(x－y)2＝(x－y)2(3a－2b)．(2)m2(m－n)2－4(n－m)2.解：原式＝m2(m－n)2－4(m－n)2＝(m－n)2(m2－22)＝(m－n)2(m＋2)(m－2)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)解：原式＝9－m2＋m2－6m－7＝2－6m.(2)20242－2025×2023＝20242－(2024＋1)(2024－1)＝20242－20242＋1＝1.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，小明家有一塊L形菜地，要把L形菜地按如圖所示的方法分成面積相等的兩個梯形，種上不同的蔬菜，這兩個梯形的上底都是am，下底都是bm，高都是(b－a)m.請你算一下，這塊L形菜地的面積共有多少平方米？當a＝10，b＝30時，面積是多少平方米？解：由題意，得L形菜地的面積為當a＝10，b＝30時，b2－a2＝302－102＝800(m2)．答：這塊L形菜地的面積共有(b2－a2)m2；當a＝10，b＝30時，面積為800m2.20．如圖，AB＝a，點P是線段AB上一點，分別以AP，BP為邊作正方形．(1)設(shè)AP＝x，求兩個正方形的面積之和S.解：(1)由題意可知PB＝a－x，∴S＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2.∴S1>S2.六、(本題滿分12分)21．我國宋朝數(shù)學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖所示，此圖揭示了(a＋b)n(n為非負整數(shù))展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：(a＋b)0＝1，它只有一項，系數(shù)為1；(a＋b)1＝a＋b，它有2項，系數(shù)分別為1,1，系數(shù)和為2；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，它有3項，系數(shù)分別為1,2,1，系數(shù)和為4；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有4項，系數(shù)分別為1,3,3,1，系數(shù)和為8……根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題．(1)(a＋b)4的展開式共有_____項，系數(shù)分別為_____________.(2)(a＋b)n的展開式共有___________項，系數(shù)和為________.(3)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(4a－5)3的展開式．解：(3)(4a－5)3＝(4a)3＋3×(4a)2×(－5)＋3×(4a)×(－5)2＋(－5)3＝64a3－240a2＋300a－125.51,4,6,4,1(n＋1)2n七、(本題滿分12分)22．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”．例如：8＝32－12,16＝53－32,24＝72－52，則8,16,24這三個數(shù)都是“奇特數(shù)”．(1)32和2024這兩個數(shù)是“奇特數(shù)”嗎？若是，就將它們表示成兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差形式．(2)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)是2n－1和2n＋1(其中n取正整數(shù))，由這兩個連續(xù)奇數(shù)構(gòu)造的“奇特數(shù)”是8的倍數(shù)嗎？為什么？(3)如圖，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續(xù)奇數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長為15，求陰影部分的面積.解：(1)32,2024是“奇特數(shù)”，32＝92