2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用（學(xué)生版）

專題17歸納思想在兩種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

解決這類問題的基本思路是觀察一歸納一猜想一證明（驗(yàn)證），具體做法是:①認(rèn)

真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系:②分析概括所給數(shù)式圖

的特征，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論;③結(jié)

合問題所給的材料查是證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一：數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想

1.（2024?馬鞍山一模）觀察以下等式:

第1個(gè)等式：lx—--=1,

22

第2個(gè)等式：lx---=1,

233

第3個(gè)等式：=

344

第4個(gè)等式：=

455

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

（1）寫出第5個(gè)等式：―；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式：—（用含〃的等式表示），并證明.

2.（2024?包河區(qū)一模）觀察下列等式：

112

-------1=;

1x2x321x3

____1___I1=__3_

2x3x432x4

114

-----1—=--

3x4x543x5

（1）猜想并寫出第6個(gè)等式,=

（2）猜想并寫出第〃個(gè)等式a“=

（3）證明（2）中你猜想的正確性.

3.（2024?嘉善縣一模）觀察下面的等式：=—[=3《，=口；=55，…

（1）寫出、2023+」一的結(jié)果；

V2025

（2）按照上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論；（用含"的等式表示，〃為正整數(shù)）

（3）試運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，推理說明你所得到的結(jié)論是正確的.

4.（2024?新樂市一模）每個(gè)人都擁有一個(gè)快樂數(shù)字，我們把自己出生的年份減去組成這個(gè)年份的數(shù)字之和，

所得的差就是我們自己的快樂數(shù)字.比如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚出生于1910年，他的快樂數(shù)字是

1910-（1+9+1+0）=1899.

（1）某人出生于1949年，他的快樂數(shù)字是；

（2）你再舉幾個(gè)例子并觀察，這些快樂數(shù)字都能被—整除，請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)說明你的猜想.

（3）請(qǐng)你重新對(duì)快樂數(shù)字定義，并寫出一個(gè)你找到的規(guī)律（直接寫出結(jié)果，不用證明）.

5.(2024?長(zhǎng)安區(qū)一模)某班數(shù)學(xué)小組在研究個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時(shí)，得到了下列等式:

第1個(gè)等式：152=15x15=225=(1x2)x100+25；

第2個(gè)等式：25?=25x25=625=(2x3)x100+25；

第3個(gè)等式：352=35x35=1225=(3x4)x100+25；

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)填空：752=75x75==；

(2)已知啜出9且"為整數(shù)，猜想第〃個(gè)等式(用含〃的等式表示)，并證明.

6.(2024?廬江縣一模)觀察下列等式:

22

第1個(gè)等式：士3—42=」3+1-+，；

133

22

第2個(gè)等式：色4―42=土4土+2上+〃；

248

5252+32

第3個(gè)等式：+

3515

第4個(gè)等式：6_2=￡+￡+Q；

4624

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

(1)各等式都成立時(shí)，a=

(2)在(1)的條件下，寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

7.（2023?利辛縣模擬）觀察下列等式：

第①個(gè)等式：仔+22=32一22,

第②個(gè)等式：22+32=72-62,

第③個(gè)等式：32+42=132-122,

第④個(gè)等式：42+52=212-202,

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：

（1）寫出第⑤個(gè)等式；

（2）寫出你猜想的第？個(gè)等式（用含力的式子表示），并證明.

8.（2023?全椒縣三模）觀察下列等式:

72

第1個(gè)等式：--1-2=1；

1

321

第2個(gè)等式：--2-2=-；

22

421

第3個(gè)等式：--3-2=-；

33

521

第4個(gè)等式：--4-2=-；

44

第5個(gè)等式：--5-2=-；

55

按照以上規(guī)律，解決下列問題

（1）寫出第6個(gè)等式：―；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含“的式子表示），并驗(yàn)證其正確性.

9.（2023?夏邑縣校級(jí)三模）設(shè)05是一個(gè)兩位數(shù)，其中。是十位上的數(shù)字（啜必9）.例如：當(dāng)。=4時(shí)，°5表

示的兩位數(shù)是45.

（1）嘗試：

①當(dāng)。=1時(shí)，152=225=1x2x100+25；

②當(dāng)。=2時(shí)，252=625=2x3x100+25；

③當(dāng)。=3時(shí)，352=1225=3x4x100+25；

④當(dāng)a=4時(shí)，452=2025=.

-----2

（2）歸納：a5與100a（a+l）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

__2

（3）運(yùn)用：若。5與100。的和為6325,求“的值.

10.（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)三模）觀察等式:

311

第1個(gè)算式.

2x432x3x4

411

第2個(gè)等式:

3x5413x4x5

511

第3個(gè)等式:

4x654x5x6

根據(jù)以上等式的規(guī)律，解答下列問題：

（1）直接寫出第5個(gè)等式：―；

（2）猜想并寫出第〃個(gè)等式，證明你所猜想的正確性.

2

11.（2023?蕭縣三模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1+1-上I=3士；

51x5

第2個(gè)等式「+品：42

2^6

52

第3個(gè)等式：1+---

373^7

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第4個(gè)等式：—；

（2）寫出你猜想的第，2個(gè)等式（用含〃的等式表示），并證明.

12.（2023?無為市四模）觀察下列等式：

11

第1個(gè)等式:

'VU2~2

J__11

第2個(gè)等式:

2~2^3~3

1_11

第3個(gè)等式:

3-374~4

J__11

第4個(gè)等式:

4~4^5~5

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個(gè)等式：—.

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含〃的式子表示），并證明.

13.（2023?思明區(qū)模擬）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話從左往右讀和從右往左讀，結(jié)果完全

相同.文學(xué)上把這樣的現(xiàn)象稱為“回文”，數(shù)學(xué)上也有類似的“回文數(shù)”，比如252,7887,34143.小明在

計(jì)算兩位數(shù)減法的過程中意外地發(fā)現(xiàn)有些等式從左往右讀的結(jié)果和從右往左讀的結(jié)果一樣，如：

65-38=83-56；91-37=73-19；54—36=63-45.數(shù)學(xué)上把這類等式叫做“減法回文等式”.

（1）①觀察以上等式，請(qǐng)你再寫出一個(gè)“減法回文等式”；

②請(qǐng)歸納“減法回文等式”的被減數(shù)法（十位數(shù)字為。，個(gè)位數(shù)字為b）與減數(shù)訝?wèi)?yīng)滿足的條件，并證明.

（2）兩個(gè)兩位數(shù)相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，請(qǐng)你直接寫出“乘法回文等式”的因數(shù)

H與因數(shù)嬴應(yīng)滿足的條件.

14.（2023?武安市三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：38x32=1216,53x57=3021,71x79=5609,

84x86=7224.觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且積有一

定的規(guī)律”.

（1）根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫出結(jié)果：58x52=—；752=.

（2）設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為6（a>0,6>0）.

①請(qǐng)用含a,。的等式表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明；

②上述等式中，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘（如:38x32調(diào)

換為83x23）.若記新的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為機(jī)，①中的運(yùn)算結(jié)果為〃，求證："能被99整除.

15.（2024?安徽模擬）【觀察】觀察下列式子:

?lx4+2=2x3；

②2x5+2=3x4；

③3x6+2=4x5；

④4x7+2=5x6；

【猜想】根據(jù)上述式子猜想式子⑥：6x9+2=—x

【發(fā)現(xiàn)】用含“的式子表示出第"個(gè)式子:

2021x2024+2

【應(yīng)用】利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算:

2022x2025+2

16.（2024?蕪湖二模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規(guī)律是：從第3行起,每行兩端的數(shù)都

是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和.圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,........，

我們把第1個(gè)數(shù)記為q,第2個(gè)數(shù)記為電，第3個(gè)數(shù)記為例，……，第〃個(gè)數(shù)記為凡.

（1）根據(jù)這列數(shù)的規(guī)律，%=—，4=—；

（2）這列數(shù)中有66這個(gè)數(shù)嗎？如果有，求“；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

17.（2024?池州二模）觀察下列式子:

第1個(gè)等式：132=10x（10x1+6）x1+9；

第2個(gè)等式：232=10x（10x2+6）x2+9；

第3個(gè)等式：332=10X（10X3+6）X3+9；

（1）請(qǐng)寫出第4個(gè)等式：—；

（2）設(shè)一個(gè)兩位數(shù)表示為10a+3,根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)寫出（10。+3）2的一般性規(guī)律，并予以證明.

18.（2024?廬江縣校級(jí)模擬）觀察下列等式：

110

第1個(gè)等式：

111

第2個(gè)等式：3-4-4^3；

11_22

第3個(gè)等式：5-9-9^5；

11_32

第4個(gè)等式：

71616x7

（1）請(qǐng)你按照上述等式規(guī)律寫出第5個(gè)等式;

（2）根據(jù)上述等式規(guī)律寫出第〃個(gè)等式；

（3）證明（2）中你所寫等式的正確性.

19.（2024?沅江市一模）設(shè)q=3?-?，々=52-32,0,=72-52…，容易知道q=8,a,=16,%=24,

如果一個(gè)數(shù)能表示為8的倍數(shù)，我們就說它能被8整除，所以4,4,%都能被8整除.

（1）試探究a“是否能被8整除，并用文字語言表達(dá)出你的結(jié)論.

（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出q,小,生…%這一系

列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并說出當(dāng)〃滿足什么條件時(shí)，％為完全平方數(shù).

20.（2023?新華區(qū)校級(jí)二模）【發(fā)現(xiàn)】如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字能被5整除，那么這個(gè)整數(shù)就能被5整除.

【驗(yàn)證】如：-345=100x3+10x4+5,

又「100和10都能被5整除，5能被5整除,

.-.100x3+10x4+5能被5整除，

即：345能被5整除.

（1）請(qǐng)你照著上面的例子驗(yàn)證343不能被5整除；

（2）把一個(gè)千位是百位是6、十位是c、個(gè)位是d的四位數(shù)記為麗.請(qǐng)照例說明：只有d等于5或

。時(shí)，四位數(shù)時(shí)才能被5整除.

【遷移】（3）設(shè)。be是一個(gè)三位數(shù)，請(qǐng)證明；當(dāng)a+6+c的和能被3整除時(shí)，“be能被3整除.

題型二：圖案規(guī)律中的猜想歸納思想

1.（2023?棗莊）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，圖②，圖③三幅

圖形，請(qǐng)你結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí)，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特

征:

2.（2024?肥西縣一模）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息完成

（1）在圖②中用了一塊白色正方形，在圖③中用了一塊白色正方形；

（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第〃個(gè)圖形要用一塊白色正方形；

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果

可以請(qǐng)說明它是第幾個(gè)圖形；如果不能，說明你的理由.

3.（2024?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）將一些相同的按如圖所示擺放，觀察其規(guī)律并回答下列問題:

☆

☆☆吩

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

圖1圖2圖3圖4

（1）圖6中的的個(gè)數(shù)有一個(gè)；

（2）圖〃中的的個(gè)數(shù)有一個(gè)；

（3）圖〃中的的個(gè)數(shù)可能是100個(gè)嗎；如果能，求出〃的值；如果不能，試用一元二次方程的相關(guān)

知識(shí)說明理由.

4.（2024?宣城模擬）【觀察思考】

如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個(gè)圖案有4個(gè)正方形；第2個(gè)圖案有6個(gè)

正方形；第3個(gè)圖案有8個(gè)正方形；…

第1個(gè)圖案

依此規(guī)律，請(qǐng)解答下面的問題.

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

（1）第5個(gè)圖案有正方形一個(gè).

（2）第〃個(gè)圖案有正方形個(gè).

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）結(jié)合圖案中正方形的排列方式，現(xiàn)有4050個(gè)正方形，若干個(gè)三角形（足夠多）.依此規(guī)律，是否可以

組成第〃個(gè)圖案（正方形一次性用完），若存在，請(qǐng)求出〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5.（2024?淄博模擬）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面:

①②③

（1）觀察圖形，填寫下表：

圖形?②③

黑色瓷磚的塊數(shù)47

黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)915

（2）依上推測(cè)，第〃個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為—,黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為—（用含〃的代數(shù)式

表示）；

（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)可能是2024塊嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖形；若不能，請(qǐng)說明理由.

6.（2024?蜀山區(qū)模擬）某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè).圖

1為有1塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時(shí)，正方形地

磚有11塊，三角形地磚有10塊；….

（1）按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加一塊，三角形地磚會(huì)增加一塊；

（2）若鋪設(shè)這條小路共用去。塊六邊形地磚，分別用含。的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量;

（3）當(dāng)。=25時(shí)，求此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量.

KXXKXXV

Si圖2圖3

7.（2024?瑤海區(qū)校級(jí)模擬）將字母“C”，"H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，其中第1個(gè)圖形中有1個(gè)字

母C,有4個(gè)字母H；第2個(gè)圖形中有2個(gè)字母C,有6個(gè)字母H；第3個(gè)圖形中有3個(gè)字母C,有8個(gè)

字母4;……根據(jù)此規(guī)律解答下面的問題:

HHHHHH

IIIIII

CCCCCC

H---HH---

IIIIII—H

HHHHHH

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形

（1）第4個(gè)圖形中有個(gè)字母C,有個(gè)字母H；

（2）第"個(gè)圖形中有個(gè)字母C,有個(gè)字母H（用含力的式子表示）;

（3）第2024個(gè)圖形中有個(gè)字母C,有個(gè)字母

（1）若圖1中小正方形個(gè)數(shù)記作4，圖2中小正方形個(gè)數(shù)記作出，…，圖”中小正方形個(gè)數(shù)記作《，則

%=，a,+a2++an=；（用含〃的式子表示）

【規(guī)律應(yīng)用】

（2）結(jié)合上述規(guī)律，試說明是否存在正整數(shù)"，使得4+凡++為等于""的4倍？

9.（2024?蜀山區(qū)一模）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:

????????

??????

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

（1）第5個(gè)圖案有一顆黑色棋子，第”個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為

（2）據(jù)此規(guī)律用2024顆黑色棋子，是否能擺放成一個(gè)圖案，如果能，是第幾個(gè)圖案？如果不能，請(qǐng)說明

理由.

10.（2024?長(zhǎng)豐縣一模）如圖，第1個(gè)圖案中“O”的個(gè)數(shù)為1x2,的個(gè)數(shù)為&生；

2

第2個(gè)圖案中“O”的個(gè)數(shù)為2*3,“?”的個(gè)數(shù)為上為；

2

第3個(gè)圖案中“O”的個(gè)數(shù)為3x4,的個(gè)數(shù)為生

2

（1）在第〃個(gè)圖案中，“O”的個(gè)數(shù)為—，“?”的個(gè)數(shù)為一.（用含〃的式子表示）

（2）根據(jù)圖案中和的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)〃，使得第〃個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)是

o

oo

oooo

OOoooo

)oOooOo

)oOOOOO

)OOOOOO

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

11.（2024?阜陽一模）【觀察思考】

（1）第4個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為—,黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為一.

（2）第w個(gè)圖案中黑色方塊的個(gè)數(shù)為—，黑、白兩種方塊的總個(gè)數(shù)為一.（用含〃的代數(shù)式表示）

【規(guī)律應(yīng)用】

（3）白色方塊的個(gè)數(shù)可能比黑色方塊的個(gè)數(shù)多2024嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖案；若不能，請(qǐng)說明理由.

12.（2024?安徽模擬）【觀察思考】下列是由空白長(zhǎng)方形和陰影長(zhǎng)方形構(gòu)成的圖案:

圖3

圖1中有F塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有3x2+lx2=8（塊）；

圖2中有22塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有4x2+2x2=12（塊）；

圖3中有32塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有5*2+3x2=16（塊）；

（1）圖〃中有一塊陰影長(zhǎng)方形，空白長(zhǎng)方形有—=—（塊）;

【規(guī)律應(yīng)用】

（2）在圖"中，是否存在空白長(zhǎng)方形的塊數(shù)恰好比陰影長(zhǎng)方形塊數(shù)少8塊？若存在，通過計(jì)算求出”的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.（2023?蕪湖三模）觀察與思考：我們知道1+2+3+...+〃=幽土?,那么Q+23+33+...+/結(jié)果等于

2

多少呢？

請(qǐng)你仔細(xì)觀察，找出下面圖形與算式的關(guān)系，解決下列問題：？

（1）嘗試：第5個(gè)圖形可以表示的等式是

(2)概括：13+23+33+...+?3=

13+23+...+20233

(3)拓展應(yīng)用：求的值.

1+2+3+...+2023

。

。

。??o????

。

???o。????

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???o。????

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?OOO????e?????

0OOO????e?????

0OOO????e?????

0OOOe

???

???

?

?

?

3

/1+23=32/+23+33=6233332

1+2+3+4=10

14.（2023?青島二模）如圖，（"+1）個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△星〃G的面積

為S「△B/ZC2的面積為邑，…，△紇+℃的面積為S“.

【規(guī)律探究】：

探究一探究二探究三

?△5132As△C]AD],B2B3:AC2=1:2,B3B4:AC3=1:3,

B、D\:DG=1:1,/.B2D2:D2c2=1:2,B3D3:D3c3=1:3,

/.S]=____.??S2-，S]—???S3-，S?-?

【結(jié)論歸納】

15.（2023?定遠(yuǎn)縣二模）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5

盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推.

??按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）第4個(gè)圖案需要花卉____盆；

（2）第〃個(gè)圖案需要花卉一盆（用含〃的代數(shù)式表示）；

（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花

卉的盆數(shù).

圖1圖2圖3

16.（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）用同樣大小的兩種不同顏色（白色.灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成

長(zhǎng)方形.

［觀察思考］

第（1）個(gè)圖形中有2=1x2張正方形紙片；

第（2）個(gè)圖形中有2x（l+2）=6=2x3張正方形紙片；

第（3）個(gè)圖形中有2x（l+2+3）=12=3x4張正方形紙片；

第（4）個(gè)圖形中有2x（l+2+3+4）=20=4x5張正方形紙片;

以此類推

(4)

［規(guī)律總結(jié)］

（1）第（5）個(gè)圖形中有,張正方形紙片（直接寫出結(jié)果）;

（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1+2+3+……+〃=；（用含〃的代數(shù)式表示）

［問題解決］

（3）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：