2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：一次函數(shù)復(fù)習(xí)講義

一次函數(shù)復(fù)習(xí)講義

典例1將一次函數(shù)y=2x-4向上平移2個單位長度，求平移后的函數(shù)解析式。

解法一

思維導(dǎo)向?qū)⒅本€的平移化歸為直線上任意一點的平移，通過尋找平移后的點，從而求得平移后的直線解析

式。

令x=0,則y=-4,令y=0,則x=2,；.(0,-4),(2,0)在一次函數(shù)y=2x-4的圖象上,

???(0,-4),(2,0)向上平移2個單位對應(yīng)的點分別為(0,-2),(2,2),設(shè)過點(0,-2),(2,2)的一次函數(shù)解析式為y

=kx+b,則由

L/T；b=2解得｛:二，2;.平移后的函數(shù)解析式為丫=20。

解法二

思維導(dǎo)向由平移的性質(zhì)可得平移后的直線與原直線保持平行，從而得平移后直線的斜率k與平移前相等。

設(shè)平移后的直線解析式為y=2x+b,

又：y=2x-4上的點(0,-4)向上平移兩個單位后對應(yīng)點(0,-2),

將(0,-2)代入y=2x+b得b=-2,平移后的函數(shù)解析式為y=2x-2o

解法三

思維導(dǎo)向由直線平移的特征直接求解。

y=2%-4y=2%-4+2,即平移后的函數(shù)解析式為y=2x-2o

多維評析：解法一將直線的平移化歸為點的平移，通過研究平移后的點從而求得平移后的直線；解法二

是根據(jù)平移不改變直線的斜率，先設(shè)直線解析式，再利用待定系數(shù)法代入一個點的坐標(biāo)即可求解；解法三巧

妙地根據(jù)向上平移即任意一點的縱坐標(biāo)都對應(yīng)增加相等的量，從而直接在平移前的直線解析式中變形求解。

典例2如圖,矩形AOBC的兩個頂點A,B在坐標(biāo)軸上,頂點C的坐標(biāo)(6,8),點P是BC邊上一動點,連接

AP,將小ACP沿AP折疊，點C落在點C處,當(dāng)/CAP=30。時.求點C的坐標(biāo)。

解法一

思維導(dǎo)向在坐標(biāo)系中求點的坐標(biāo)，可過點作x軸或y軸的垂線，通過求點到坐標(biāo)軸的距離進(jìn)一步確定點的

坐標(biāo)。

圖①

如圖①,過點c作C1M±y軸，交y軸于點M,

VZCAP=30°=ZPAC,ZCAO=90°,ZC'AM=30°,

X?/CA=CA=6,/.iSdRtEP△C'MA中,CM=3,AM=3V3,

???OMOA-AM=8-3V3,???C<3,8-3次）。

解法二

思維導(dǎo)向類比解法一，還可過點C作AC的垂線，在速t?AAMC中,通過求AM,MC確定點C的坐標(biāo)。

如圖②,過點C作CMXAC交AC于點M,VZCAP=30°,ZCAP=ZC'AP,ZMA

C'=60。,又；CA=C'A=6,...在①Rt④△AMC中，AM=3,MC=3g，xCt=3

,yC'=8-3V3,.-.C'^8-3百）。

解法三

思維導(dǎo)向利用“①字型”相似及含有特殊角的直角三角形求解線段長。

如圖③，過點C作x軸的平行線分別交y軸于點M,交CB于點N,

??ZAC'P=90°,AZAC'M+ZPC'N=90°,

又：ZAC'M+ZC'AM=90°,ZPC'N=ZC'AM,

又：^AMC=乙C'NP=90。，：.AMC>C'NP,華=半

''C，PC'N

,在①Rt?）AAC'P中，會=tan乙4PC',又；4CAP=30。,NC=90°,

???乙CPA=^C'PA=60°,.??牛=tan60°=V3,

又：竿=AM=b，又?.?①RtgzXAMC'中,華=tan/AC'M=V3,AAM=V3MC,

C'NMN-MCr6-MCr6-MC'-1?MCr，，

亙”=wMC=3,2M=3V3,OM=8-3其

6-MC'

：.(7(3,8-3⑸。

解法四

思維導(dǎo)向利用翻折的性質(zhì)，直接求解包含特殊角30。、60。的直角三角形。

如圖④,過點C作x軸的平行線交y軸于點M,交BC于點N,

???NC4P=30。4=90°,ACPA=^C'PA=60°L

.?.①Rt④ZkCNP中，NC'PN=60°,

'."@RtEDAACP中，.AC=6,.-.CP=AC-tan30°=2?

■：CP=CP,

在①Rt①△CNP中,PN=CP-cos60°=2V3x|=V3,

???CN=CP+PN=2V3+V3=3V3,

■.■AM=CN,AM=3V3,OM=OA-AM=8-3V3,

/.?RtEPAAMC'中，MC=AM-tan^C'AM,

■■■^CAP=^C'AP=30°,^MAC=30°,

???MC=AM-tan30°=3V3X—=3,

C[3,8—3V3)O

解法五

思維導(dǎo)向由翻折的性質(zhì)可連接對應(yīng)點c、c得等邊△acu將點L轉(zhuǎn)化為直線ac，、cc'的交點，利用函數(shù)

解析式聯(lián)立方程求解。

如圖⑤，連接CC并延長交X軸于點M,延長.4C咬X軸于點N，則點。為直線與直線CC的交

AN點。

?.,ZCAP=ZC'AP=30°,ZCAC'=60°,

又：CA=CA,.?.△ACC為正三角形，

ZACC'=60°,ZMCB=30°,

(ERt@ACBM中,CB=8,MB=CB-tanzMCF=8X弓=第,

...OM=6-第,M(6-第，0),又「C(6,8),

???直線CM的解析式為y=V3x+8-6V3,

同理①Rt(g)aAON中,AO=8,ON=0A-tan^OAN=竽,

...ON=囁??.N(?,又,：A(0,8),

直線AN的解析式為y=-V3x+8,

x=3

C(3,8-3月)。

y=V3x+8-6^3'得Iy=8-3J3

聯(lián)立

.y=-43x+8'

解法六

思維導(dǎo)向由翻折的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線段被折痕垂直平分可聯(lián)想利用中點坐標(biāo)公式及函數(shù)解析式進(jìn)

行求解。

如圖⑥,連接CC并延長交X軸于點M,交AP于點Q,延長AP交X軸

于點N。

,/點C與點C關(guān)于直線AN對稱，；.CC'±AP,點Q為CC中點，

/.(ERtEPACQA中，乙4CQ=90°-LCAQ=90°-30°=60°,

又：AC〃OB,，/CMB=60。，

①Rt④ACBM中，CB=8,.-.MB=CB-tanzMCB=第，

???GM=OB-MB=6-竽.??M(6-啜。)，

又：C(6,8),

直線CM',y=V3x+8-6A/3,

設(shè)點Cr(^afV3a+8—6V3),

由中點坐標(biāo)公式X(2=竺子,%=皆得Q(等，壬31)，

在①Rt④Z^AON中,ZNAO=90°-4CAP=90°-60°=30°,0A=8,

ON=OA-tanZOAN=8xV3=8V3,

??.N(8/，0),又：A(0,8),

直線4N:y=-yx+8,

???點Q在直線AN上,???一+；-68=一空?卓+&

a=3,y/3a+8—6\/3=8—3^/3,

???廣(3,8-38)。

解法七

思維導(dǎo)向由軸對稱的性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式求解。

如圖⑦,連接CC并延長交x軸于點M,交AP于點Q。

①RtEDAACP中,AC=6,ZCAP=30°,

CP=2V3,BP=8-2V3,

???。(6,8-2遍),又；人(0,8),

直線AP的解析式為:y=—日x+8也p=—中，

又：CC'^AP,：.KCX.-KAP=-1,

he=V3,

又：C(6,8),

直線CC'的解析式為:y=V3x+8-6A/3,

聯(lián)立［y=*“+8,可得|“一七

y=V3x+8-6V3(y=8--

即Q（2子）,

%c+Xc

又；Q為CC中點，由中點坐標(biāo)公式2

2

得C'（3,8—3百）。

解法八

思維導(dǎo)向利用角平分線性質(zhì)聯(lián)想過點c作AP及y軸的垂線，在①RtHDAACP中利用等面積法求解線段長。

如圖⑧，過點C作y軸、AP的垂線分別交于點M、N,

：/CAP=NC'AP=30。，；.2]\1\?=30。，平分/PAO,

.1.C'N=C'M,

（ERt（gAACP中,AC=6,AP=4c=4=4百,CP=AC-tan/G4P=6x—=2V3,

COSZ.CAPV33

2

又；AC=AC=6,CP=CP=2V3,

.,.（ERt@AACP中.-C'N=|aCPC,

6,nrAC'PC'6X2V3

CN=--------=—一=3o,

AP4V3

.?.C'M=3,①Rt④△AMC'中易得.AM=3?：.OM=8-3y[3,

C13,8-3向。

多維評析：解法一、二、三、四是常規(guī)的幾何法，由特殊角通過向X軸或y軸作垂線構(gòu)造特殊直角三角形

求解關(guān)鍵線段長從而求點的坐標(biāo)，?解法五、六是解析法，其實質(zhì)都是聯(lián)立兩直線解析式求交點，不同的是，解

法五通過將點轉(zhuǎn)化為兩條特殊直線的交點，先由待定系數(shù)法求出兩條直線，再聯(lián)立方程求交點；解法六根據(jù)點

關(guān)于直線的對稱性，兩點若關(guān)于某一直線對稱，則兩點連線段的中點必在該直線上，從而可設(shè)點的坐標(biāo)，利用

中點坐標(biāo)公式，將中點坐標(biāo)代入直線解析式直接求解。解法七是在解法六的基礎(chǔ)上先求出中點Q的坐標(biāo)，再由

中點坐標(biāo)公式求得點(Q'的坐標(biāo)，與解法六不同的是，這里應(yīng)用了AP和(CC兩直線垂直時K「Kz=-1這一結(jié)

論求直線斜率，再由點斜式求直線解析式，較解法六而言簡便一些；解法八是由角平分線性質(zhì)及等面積法求解。

典例3如圖，四邊形ABCD為矩形，點C在x軸上，點A在y軸上，點D坐標(biāo)(0,0),點B坐標(biāo)(3,4),矩形

ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的點G處,E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標(biāo)(2,4)。

⑴求點G的坐標(biāo)；

⑵求直線EF的解析式。

(1)解法

由已知得AF=FG=2,AB=3BF=1,

①Rt④△FBG中，BC=VKG2-BF2=百,6C=BC-BC=4—展

G(3,4-⑹。

⑵解法一

思維導(dǎo)向利用①Rt④4FBG的特殊性求得.NBFG=60。,再利用對稱性求得乙4FE=60。,在①Rt④4EAF中

求解AE的長,即得點E的坐標(biāo),由E、F點坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得直線EF的解析式。

由⑴得BF=1,AF=2,

VBC=V3,?Rt?AFBC中,sinzSFC=—=Z.BFC=60。，

FG2

XVZAFE=ZGFE,AZAFE=60°,

在①Rt④Z\EAF中,AE=AF-tanzXFf=2V3,

OE=4-2V3,???F(0-4-2何

設(shè)EF的解析為y=kx+b,由待定系數(shù)法得

,2k+b=匕，解得(fc=V3,

1/9=4-2遮i/)=4-2V3,

,直線EF的解析式為:y=V3x+4-2vx

解法二

思維導(dǎo)向由方法一可得/BFG=/AFE,易證△EAF^AGBF相似,運用相似所得線段成比例求出AE，得點

E坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求直線EF的解析式。

由解法一得NBFG=/AFE,又：ZFBG=ZFAE=90°,

.?.△FBG^AFAE,又：在①Rt①4FBG中,BF=AB-AF=1,ZAFE=60°,

BG=V3,

*6?4E=甯=等=2WE(0,4—2V3),XVF(2.4),

由待定系數(shù)法可得EF解析式為：y=+4-2百。

解法三

思維導(dǎo)向過點E可作BC的垂線,通過在Rt?AEMG中設(shè)線段長GM表示EG,又由EG=AE=BG+GM建設(shè)

關(guān)于GM的方程,求解GM,進(jìn)而求得點E的坐標(biāo),再由點E、F的坐標(biāo)通過待定系數(shù)法求直線EF的解析式。

如圖①,過點E作EMLBC交BC于點M,

:①RtEDAFBG中，ZFGB=30°,FB=1,.".BG=V3,

又,?ZFGE=ZEAF=90°,

ZEGM=60°,

設(shè)GM=x,；.EG=2x=AE,

又：AE=BM=百+x,.-.2x=V3+x,

???%=V3,BPCM=V3,.'.BM=2V3

AE=2V3,OE=4-2V3,.-.E(0,4-2百)又：F(2,4),

由待定系數(shù)法可得EF的解析式為：y=百久+4-

解法四

思維導(dǎo)向利用軸對稱性得AG與EF互相垂直，再由kEF-kAG=-1解得品尸,結(jié)合點F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)

法確定直線EF的解析式。

圖②

如圖②,連接AG,

,/AEAF與4EGF關(guān)于直線EF對稱，

???XC0EF,kAG-kEF=-1,

V(gRt@AFBG中，BC=V3,:.GC=4-^3,??.G(3,4一份,

、c,-\A(4-V3)-4%/3T/

「''kAc=rrr=—0—==，?1-kE=j—=v3

又：A(0,4),.x(；x,\JUJFK.u:

又,/F(2,4)；.直