高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第22講 2.2.4點(diǎn)到直線的距離

.2.4點(diǎn)到直線的距離TOC\o"1-3"\h\u題型1直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 2題型2平面兩點(diǎn)之間的距離 6◆類型1求兩點(diǎn)間距離問題 6◆類型2求解點(diǎn)坐標(biāo)問題 10◆類型3兩點(diǎn)間距離公式求最值問題 13題型3點(diǎn)到直線的距離 15◆類型1求點(diǎn)到直線的距離 15◆類型2直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小問題 17◆類型3兩點(diǎn)到直線距離相等問題 18◆類型4直線到定點(diǎn)距離最大問題 24◆類型5點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用 27題型4兩條平行線之間的距離 31◆類型1兩條平行線之間的距離 31◆類型2與平行線距離相等的直線問題 34◆類型3平行線被第三條直線所截問題 35◆類型4兩平行線距離最大問題 38題型5點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱問題 42題型6點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題 42題型7直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題 46題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題 50◆類型1兩條直線相交時(shí) 50◆類型2兩條直線平行時(shí) 52題型9反射光線問題 54題型10將軍飲馬求最值問題 58◆類型1和最小問題 58◆類型2差最大問題 65知識(shí)點(diǎn)一.兩點(diǎn)間的距離定義：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（知識(shí)點(diǎn)二.點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))2.點(diǎn)到特殊直線的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.知識(shí)點(diǎn)三.兩條平行直線之間的距離1.兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.兩條平行線之間的距離公式兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))題型1直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題【例題1】（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┡袛嘞铝懈鲗?duì)直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若平行，求出兩線間的距離：(1)l1：2x+y+3=0(2)l1：x+y+2=0，【答案】(1)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,?1)；(2)平行，兩線間的距離為24【分析】（1）求出直線l1，l（2）求出直線l1，l【詳解】（1）直線l1：2x+y+3=0的斜率k1=?2k1≠k2，因此直線由2x+y+3=0x?2y?1=0解得：所以直線l1，l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（2）直線l1：x+y+2=0的斜率直線l2：2x+2y+3=0，即x顯然k3=k4,b3所以直線l1，l2平行，它們間的距離為【變式1-1】1.（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A(2,?3)是直線a1x+b1yA．2x?3yC．2x?3y【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)锳(2,?3)是直線a1x所以2a1?3所以兩點(diǎn)a1,b1和故兩點(diǎn)a1,b1和故選:A.【變式1-1】2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）曲線y=x與A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn)C．一個(gè)交點(diǎn) D．無交點(diǎn)【答案】A【分析】聯(lián)立兩條直線的方程得到二次方程，再根據(jù)判別式分析即可【詳解】聯(lián)立兩條直線方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1，兩邊平方得：k2－1x2故選：A【變式1-1】3.（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線3x?(kA．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠?9 C．k≠1或k【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【詳解】因直線3x?(k+2)y即(k+9)(k?1)≠0，解得所以實(shí)數(shù)k的值為k≠1且k故選：D【變式1-1】4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線4xA．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)m值，進(jìn)而驗(yàn)證是否滿足題設(shè)，即可得答案.【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若4x+y?4=0,mx若mx+y=0,2若4x+y?4=0,2x若三條直線交于一點(diǎn)，4x+y?4=0mx經(jīng)檢驗(yàn)知：m∈{?1,?故選：B【變式1-1】5.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線l1:ax+y

【答案】a≠±1且【分析】由題意可分直線l1//l2、l2//l【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)．①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當(dāng)a=1時(shí)，l1,l2與l④若三條直線交于一點(diǎn)，由x+ay+1=0將l2,l3的交點(diǎn)解得a=1(舍去)，或a所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a【變式1-1】6.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x?y的二元一次方程組7x【答案】-35【解析】由x?y的二元一次方程組7x?by=3ax【詳解】因?yàn)閤?y的二元一次方程組7x所以直線7x?by所以7a=?所以ab=?35故答案為：-35【變式1-1】7.（2022·高二校聯(lián)考課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x，y的方程組x+2【答案】a≠6/【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程a?6【詳解】由x+2y=4由關(guān)于x，y的方程組x+2可得方程a?6y故答案為：a題型2平面兩點(diǎn)之間的距離◆類型1求兩點(diǎn)間距離問題【例題2-1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)A7,4，BA．25 B．5C．4 D．7【答案】B【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式得AB=故選：B.【變式2-1】1.（四川省巴中市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1=8+5i，【答案】5【分析】先求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1=8+5i，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(8,5)，(4,2)，則兩點(diǎn)間的距離為(8?4)2故答案為：5.【變式2-1】2.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l1:3ax?y?2=0和直線l2【答案】13【分析】求出直線l1、l2所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得【詳解】將直線l1的方程變形為3ax?y+2=0，由將直線l2的方程變形為a由2x+5y=0x所以，AB=故答案為：135【變式2-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2,?1)，則A與B坐標(biāo)分別為________，AB【答案】A4,0，B0,?2【分析】設(shè)Ax,0，B0,【詳解】設(shè)Ax,0，因?yàn)锳B中點(diǎn)P(2,?1)所以x2=2y2=?1所以A4,0，B所以AB=故答案為：A4,0，B0,?2；【變式2-1】4.（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知A5,?1，B1,1，C2,3A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB，AC，BC的長度即可判斷【詳解】∵A(5,?1)，B(1,1)∴|AB|AC|=5，∴|AB∴△ABC故選：A．【變式2-1】5.(多選)（2023春·江蘇南通·高一期末）對(duì)于兩點(diǎn)A(x1,yA．若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則ABB．在△ABC中，若∠CC．在△ABC中，D．在正方形ABCD中，有AB【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義A(x1,y【詳解】A中，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為(x則2||AC||=2|xB中，因?yàn)棣BC中，若∠C=900則||AC||=|x||AB故||AC||顯然||AC對(duì)于C，設(shè)C(x3因?yàn)閨x同理|y所以AC+D中，因?yàn)锳BCD為正方形，設(shè)正方形邊長為a，可取A(0,則||AB||=|0?0|+|a故選：ACD.◆類型2求解點(diǎn)坐標(biāo)問題【例題2-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(?1,2),B(0,4)A．?112,0 B．0,?112 【答案】D【分析】設(shè)Ca,0，因?yàn)椤驹斀狻恳驗(yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)Ca,0，則所以a+1化簡(jiǎn)可得：a=112故選：D.【變式2-2】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若A(?2,?3),B(1,1)，點(diǎn)P【答案】?【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P(a,2)【詳解】因?yàn)锳(?2,?3),B(1,1)所以AP=BP解得：a=?故答案為：?9【變式2-2】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的點(diǎn)的坐標(biāo)______.①該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)；②該點(diǎn)到點(diǎn)A?2,?2的距離比到點(diǎn)B【答案】1,2（答案不唯一，1,2或2,1任寫一個(gè)即可）【分析】設(shè)該點(diǎn)為x0,y0，由已知條件根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列式并化簡(jiǎn)計(jì)算得x0【詳解】設(shè)該點(diǎn)為x0,y即x0即x0+且x0+y又x0∈N?，y0故答案為：1,2（答案不唯一，1,2或2,1任寫一個(gè)即可）【變式2-2】3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在直線2x?y【答案】P(2,4)或P325,64【分析】利用點(diǎn)在直線上和兩點(diǎn)距離建立方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，代入點(diǎn)斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)P(m,n)，由題意2所以P(2,4)或32當(dāng)P(2,4)時(shí)，直線PM的斜率k因此直線PM方程為y?4=43當(dāng)P325,因此直線PM方程為y?8=247【變式2-2】4.（多選）（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l1:2x+y?6=0和點(diǎn)A(1,?1)，過點(diǎn)A作直線lA．x=1 B．C．3x+4y【答案】AC【分析】設(shè)點(diǎn)Bx0,6?2【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)B在直線l1：2x+因?yàn)锳(1,?1)，則AB=x0?1則B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(5,?4)，當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)時(shí)，直線l2的方程為x當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為(5,?4)時(shí)，直線l2的方程為y+1?4+1故選：AC.【變式2-2】5.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點(diǎn)A(0,0),B(1,0)，若直線y=kx上總存在點(diǎn)P【答案】?1,1【分析】由題意設(shè)P(x,kx)，則由PA【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y=所以可設(shè)P(由PA=2PB由兩點(diǎn)間的距離公式可得x整理可得(k由Δ=16?8(k2+1)≥0即實(shí)數(shù)k的取值范圍為?1,1，故答案為：?1,1◆類型3兩點(diǎn)間距離公式求最值問題【例題2-3】（2022秋·河南濮陽·高二濮陽南樂一高?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx【答案】41【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可得fx表示P(x,0)到點(diǎn)A(1,3),B(5,2)距離之和，作點(diǎn)A【詳解】fx=x根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)fx表示P(x如圖所示，作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1連接A1B，交x軸于點(diǎn)P1可得PA+又由PA當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與P1所以PA+PB=P故答案為：41【變式2-3】1.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?bA．3 B．22+1 C．23【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.【詳解】x2可以看作點(diǎn)Px,0到點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′0,?1，顯然當(dāng)最小值為B,A′故選：D.【變式2-3】2.（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)fx【答案】5【分析】依題意可得fx=x+12+0?22+x?32+0?12，設(shè)A?1,2，B3,1【詳解】解：因?yàn)閒=x設(shè)A?1,2，B3,1，Px,0，則fx表示點(diǎn)Px,0點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′?1,?2，則所以PA+PB=PA故答案為：5題型3點(diǎn)到直線的距離【方法總結(jié)】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用.（3）直線方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解.◆類型1求點(diǎn)到直線的距離【例題3-1】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)2,?1到直線x?【答案】3【分析】根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)2,?1到直線x?y+3=0故答案為：32【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P52,?2【答案】5【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式直接求解即可.【詳解】點(diǎn)P52,?2到直線2故答案為：5.【變式3-1】2.（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)A?3,0，B2,1(1)求直線BC的方程；(2)求△ABC【答案】(1)x(2)7【分析】（1）首先求出BC的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）求出點(diǎn)A到直線BC的距離，再求出BC的長度，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)锽2,1，C所以kBC=3?1?2?2=?（2）點(diǎn)A?3,0到直線BC的距離dBC=則S△【變式3-1】3.（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A?2,?1、B4,1、(1)求AD所在的直線方程；(2)求平行四邊形ABCD的面積.【答案】(1)x(2)16【分析】（1）分析可知AD//BC，則kAD=k（2）求出直線BC的方程，可計(jì)算得出點(diǎn)A到直線BC的距離，并求出BC，再利用平行四邊形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，則AD//BC，則所以，直線AD的方程為y+1=?x+2（2）解：直線BC的方程為y?1=?x?4，即x點(diǎn)A到直線BC的距離為d=所以，平行四邊形ABCD的面積為S?◆類型2直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小問題【例題3-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)y=4x2【答案】41717【分析】設(shè)Pm,4m2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點(diǎn)P的切線斜率k=8m，當(dāng)過點(diǎn)P的切線平行于直線y=4x?5【詳解】設(shè)Pm又y′=8x，則過點(diǎn)P當(dāng)過點(diǎn)P的切線平行于直線y=4x?5時(shí)，點(diǎn)P即8m=4，解得：m=它到直線y=4x?5故答案為：417【變式3-2】1.（2021春·廣西南寧·高二校考階段練習(xí)）直線2x【答案】5【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．【詳解】直線l:2x+故答案為：5．【變式3-2】2.（2021秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)P(x,y)在直線xA．10 B．22 C．42【答案】B【分析】求出點(diǎn)O到直線的距離即得解.【詳解】∵點(diǎn)P(x,∴OP的最小值是點(diǎn)O到直線的距離|0+0?4|故選：B．◆類型3兩點(diǎn)到直線距離相等問題【例題3-3】（2023·全國·高三對(duì)口高考）過點(diǎn)P0,1且和A【答案】2x+【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為kx?y+1=0【詳解】若斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P(0,1)的直線為x若斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P(0,1)的直線l:y根據(jù)題意，可得|3k?3+1|k2+1當(dāng)k1=?2時(shí)，直線方程為當(dāng)k2=0綜上可得，直線方程為2x+y故答案為：2x+【變式3-3】1.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A?1,2,B【答案】x?y【分析】根據(jù)直線l過AB中點(diǎn)或與直線AB平行求得正確答案.【詳解】依題意，A,B到直線AB的中點(diǎn)為0,3，當(dāng)l過0,3以及M?2,?3直線l的方程為y=直線AB的斜率為2?4?1?1當(dāng)直線l過M?2,?3并與AB直線l的方程為y+3=1×綜上所述，直線l的方程為x?y?1=0故答案為：x?y【變式3-3】2.（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中?？奸_學(xué)考試）已知A(?2,0),B(4,a)A．2 B．92 C．2或?8 D．2或【答案】D【分析】分A(?2,0),B(4,【詳解】（1）若A(?2,0),B(4,則kAB=kl=（2）若A(?2,0),B(4,則A(?2,0),B(4,a)所以4?2a=0解得故選:D.【變式3-3】3.（多選）（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┮阎狝3,4,B?6,?3AA．?79 B．97 C．【答案】AD【分析】直接利用兩點(diǎn)距離公式列方程計(jì)算即可.【詳解】∵A3,4,∴3a+4+1a2故選：AD.【變式3-3】4.（2022秋·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中）已知A3,1，B?1,5兩點(diǎn)到直線l：ax+【答案】1或?4【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解可得.【詳解】由題意得3a+1+1a所以3a+2=?a解得a=1或?4故答案為：1或?4.【變式3-3】5.（2021秋·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）求解下列問題：(1)求過點(diǎn)P?2,0，且與點(diǎn)A(2)已知點(diǎn)A3,3、B5,2到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1:3x【答案】(1)x=?2或(2)x+2y【分析】（1）根據(jù)所求直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合A到直線的距離為1求得直線方程.（2）先求得直線l1與l2的交點(diǎn)，然后根據(jù)l與AB平行或過AB的中點(diǎn)求得直線【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=?2，點(diǎn)A當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=即kx?y+2所以?k?2+2k所以直線方程為34x?綜上，所求直線方程為x=?2或3（2）解方程組3x?y當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，A，B到直線l所以直線l的斜率存在，①若A、B在直線l的同側(cè)，則l//AB，∴直線l的方程是：y?2=?12②若A、B分別在直線l的異側(cè)，則直線l過線段AB的中點(diǎn)4,5∴直線l的兩點(diǎn)式方程是y?2x?1綜上，直線l的方程是x+2y?5=0【變式3-3】6.（2020秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)A(1,2),(1)若A,B兩點(diǎn)到直線l的距離都為52(2)若A,B兩點(diǎn)到直線l的距離都為m(m>0)【答案】(1)直線l的方程為y=?34x(2)當(dāng)m<52時(shí)，有4條直線符合題意，當(dāng)m【分析】（1）到A,B兩點(diǎn)距離相等的直線有在A,B同側(cè)和在A,B之間兩種情況：在A,B同側(cè)時(shí)即和直線AB平行，由斜率和距離求解直線l的方程即可；在（2）同（1）中分析，當(dāng)A,B兩點(diǎn)到直線l的距離恰為AB長度的一半時(shí)，A,B之間的直線l恰有一條；當(dāng)A,B兩點(diǎn)到直線l的距離小于AB長度的一半時(shí)，這樣的直線l有2條；當(dāng)【詳解】（1）當(dāng)A，B在直線l同側(cè)時(shí)，由于A,B兩點(diǎn)到直線即kl設(shè)直線l的方程為y=?34+2?b1+故直線l的方程為y=?34當(dāng)A，B在直線l兩側(cè)時(shí)，因?yàn)锳B=所以到A,B兩點(diǎn)距離都為此時(shí)，直線l經(jīng)過AB的中點(diǎn)M(3,12)，且故直線l的方程為y=化簡(jiǎn)得y=綜上：直線l的方程為y=?34x+（2）由（1）知，當(dāng)m=處于A，B兩點(diǎn)之間的直線l恰有1條，而處于A，B兩點(diǎn)同側(cè)，即平行于直線AB的直線l有2條，故共有3條；當(dāng)m<處于A，B兩點(diǎn)之間的直線l有2條，平行于直線AB的直線l有2條，故共有4條；當(dāng)m>平行于直線AB的直線l有2條，故共有2條.綜上：當(dāng)m<52時(shí)，有4條直線符合題意，當(dāng)m◆類型4直線到定點(diǎn)距離最大問題【例題3-4】（2022秋·河北秦皇島·高二?？计谥校┻^點(diǎn)A(1，2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（

）A．x+2y?5=0C．x+3y?7=0【答案】A【分析】判斷哪條直線與直線OA垂直即得．【詳解】kOA=21=2，四個(gè)選項(xiàng)中的直線，只有直線x+2y故選：A．【變式3-4】1.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過直線2x+y﹣5＝0與x﹣2y＝0的交點(diǎn)P.(1)點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點(diǎn)A（5，0）到直線l的距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線l的方程.【答案】(1)x＝2或4x﹣3y﹣5＝0(2)dmax＝10，此時(shí)直線l的方程為：3x﹣y﹣5＝0【分析】（1）因?yàn)榻?jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為：（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）＝0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5＝0，所以10+5λ（2）由2x（1）因?yàn)榻?jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為：（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）＝0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5＝0，所以10+5λ?5(2+所以直線l的方程為x＝2或4x﹣3y﹣5＝0.（2）由2x如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到直線l的距離，則d≤|PA|（當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立）所以dmax＝|PA|=10【變式3-4】2.（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎本€l1：ax+y+1=0過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】本題首先求出P0,?1，然后發(fā)現(xiàn)直線l2：y=kx+1恒過定點(diǎn)Q?1,0，由圖可得點(diǎn)P到直線l【詳解】由題意知，直線l1：ax+y直線l2：y=k過P0,?1作l2的垂線段PH，垂足為那么必有PH≤PQ，當(dāng)且僅當(dāng)Q與從而PH的最大值為PQ=即點(diǎn)P到直線l2：y=k故選：D.

【變式3-4】3.（2022秋·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)(1)當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程；(2)設(shè)直線l與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，且P為AB的中點(diǎn)，求直線【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，求出直線l的斜率，再結(jié)合直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)（2）根據(jù)已知條件，先求出點(diǎn)A，B，再結(jié)合直線的截距式方程，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)原點(diǎn)O到直線l的距離最大時(shí)，則當(dāng)直線OP與直線l垂直時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離最大，∵P(1,2)，∴k∴kl∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)∴y?2=?1故直線l的方程為x+2（2）解：∵直線l與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，且P(1,2)為AB∴不妨設(shè)A(2,0)，B故直線l的方程為x2+y◆類型5點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用【例題3-5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a>0,b<0A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)直線l：ax+by=0，點(diǎn)A1,?3，利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)A到直線l的距離為d=a?3【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線l：ax+by=0那么點(diǎn)A1,?3到直線l的距離為：因?yàn)閍>0,b<0，所以d=a當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，d=a?當(dāng)OA⊥l時(shí)，所以1<d≤2，即因?yàn)?b?a故選：A.【變式3-5】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)滿足關(guān)系式【答案】52或75【分析】化簡(jiǎn)得到|a+b【詳解】由已知得t>0，整理得|看成有且僅有三條直線滿足A(1,1)和B(4,?3)到直線又AB=（1）當(dāng)t=|AB|2=52，此時(shí)易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線（2）當(dāng)t<|AB|2所以當(dāng)其中一條直線過原點(diǎn)時(shí)，會(huì)作為增根被舍去．設(shè)點(diǎn)A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過原點(diǎn)和A，B的中點(diǎn)M(52,?1)，其方程為②作為增根被舍去的直線l，過原點(diǎn)且與AB平行，其方程為4x+3y綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)t為52或75故答案為：52或75【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)得到|a+b+1|a2+【變式3-5】2.（2021·全國·高二期中）求適合下列條件的直線l的方程：（1）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且P4,3到直線l的距離為3（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)P2,?5且與點(diǎn)A3,?2和點(diǎn)B?1,6【答案】（1）答案見解析；（2）x+y+3=0【分析】（1）對(duì)直線l是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)的值，進(jìn)而可得出直線l的方程；（2）對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)的值，由此可得出直線l的方程.【詳解】（1）若直線l過原點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為y=由題意可得4k?3k若直線l不過原點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為xa+y由題意可得7?a2=32，解得綜上所述，直線l的方程為y=?12+342x或y（2）若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x=2此時(shí)，點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為1、3，不合乎題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y+5=kx由已知條件可得3k+2?2k?5k2+1綜上所述，直線l的方程為?x?y?3=0或?17x【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用點(diǎn)到直線的距離求直線方程，需要注意以下兩點(diǎn)：（1）求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論；（2）在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.【變式3-5】3.（2021秋·河南·高一校聯(lián)考期末）已知直線l經(jīng)過兩直線l1:3x?y（1）求直線l的方程；（2）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)Pa,b到x軸的距離為2，到直線l的距離為2【答案】（1）2x【解析】（1）求出l1（2）由點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于a,【詳解】（1）由3x?y+12=03由l與直線x?2y?3=0∴l(xiāng)方程為y?6=?2(x+2)（2）∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)Pa,b到x軸的距離為2，所以b又P到直線l的距離為25，所以2a+2?222∴a+【變式3-5】4.（2016秋·四川綿陽·高二周測(cè)）在△ABC中，A(m,2)，B(-3,-1)，C(5,1)，若BC的中點(diǎn)M到AB的距離大于M到AC的距離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________．【答案】m＜1【詳解】試題分析：因?yàn)锽(-3,-1)，、C(5,1)可得，中點(diǎn)M(1,0)，由A(m,2)，B(-3,-1)，可得kAB=3m+3，所以直線y+1=3m+3(x+3)，即直線AB的方程為3x?(m+3)y?m+6=0，又由A(m,2)，C(5,1)，可得考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的求解，其中解答中涉及到了直線的斜率公式、直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式和不等式的求解等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，試題運(yùn)算繁瑣，需認(rèn)知、細(xì)致的計(jì)算，屬于中檔試題，注重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力．題型4兩條平行線之間的距離【方法總結(jié)】對(duì)兩條平行直線之間的距離公式的理解1.求兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式.2.利用公式求平行線之間的距離時(shí)，兩條直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.3.當(dāng)兩條直線都與x軸（或y軸）垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決.◆類型1兩條平行線之間的距離【例題4-1】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知直線?3x+4yA．1 B．2 C．12 【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)m的值，再將直線方程化為x、y對(duì)應(yīng)系數(shù)一致，最后利用距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橹本€?3x+4y所以?3m=4×6，解得所以直線6x+my?14=0，即所以兩平行線之間的距離d=故選：B【變式4-1】1.（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線l1：x+a?1y+2=0，l2A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【分析】根據(jù)直線平行，求得a的值，結(jié)合兩平行線的距離公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€l1：x+a?1y可得1×2=(a?1)×a且1×1≠2a，解得當(dāng)a=2時(shí)，l1:x+可兩平行線間的距離為d=當(dāng)a=?1時(shí)，l1:x?2可兩平行線間的距離為d=故選：A.【變式4-1】2.（2023秋·高一單元測(cè)試）若兩條平行直線l1:x?2y+m【答案】3【分析】由兩直線平行列方程求出n，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出m的值，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€l1:x所以21=n?2≠所以直線l2為2直線l1:x因?yàn)閮善叫芯€間的距離為25所以2m?(?6)2因?yàn)閙所以2m+6=20，得所以m+故答案為：3【變式4-1】3.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線l1:2x?3y(1)求a的值；(2)求兩平行線l1與l【答案】(1)1(2)6【分析】（1）由兩直線平行，可得23=a（2）先將直線l2【詳解】（1）因?yàn)橹本€l1:2x?3y所以23=（2）由（1）知l2的方程為x?3所以l1與l2之間的距離為【變式4-1】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1:x+y?7=0和直線【答案】3【分析】由題意線段AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1:x+y?7=0和直線l2【詳解】由題意線段AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1:x+y則M到原點(diǎn)距離最小值為原點(diǎn)到l的距離，設(shè)直線l:則|m解得m=?6所以l:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，M到原點(diǎn)的距離的最小值為62故答案為：32◆類型2與平行線距離相等的直線問題【例題4-2】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與直線l1:2x【答案】2【分析】設(shè)直線l的方程為2x【詳解】設(shè)直線l的方程為2x?y+c=0(c故直線l的方程為2x故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題【變式4-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線2x+y【答案】2【分析】由平行直線系設(shè)直線l的方程，由平行線間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：依題意設(shè)直線l的方程為2x+y則|m?1|5=|所以直線l的方程為2x故答案為：2◆類型3平行線被第三條直線所截問題【例題4-3】（2022秋·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習(xí)）若直線m被兩平行線l1：x?y+1=0與l2A．π12 B．π6 C．π4【答案】A【分析】可設(shè)直線m的方程為y=kx，根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于【詳解】因?yàn)槠叫兄本€截l1、l2的線段總是相等，故可設(shè)直線若直線m的斜率不存在，此時(shí)直線m的方程為：x=0此時(shí)直線m截l1、l2的線段長為若直線m的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y=由y=kxx由y=kxx故直線m截l1、l2的線段長為解得k=2±因?yàn)閠anπ12=tan故選：A.【變式4-3】1.（2021秋·天津?yàn)I海新·高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若斜率為2的直線m被直線l1：x+2y－3=0與l2：x+2y+1=0所截得的線段為AB，則線段AB的長為___________．【答案】4【分析】利用斜率之間的關(guān)系判斷直線m與直線l1，l2垂直，然后由兩條平行直線間的距離公式求解即可．【詳解】直線l1：x+2y－3=0與l2：x+2y+1=0得斜率為?1直線m的斜率為2，故直線m與直線l1，l2垂直，由兩條平行直線的距離公式可得|AB故答案為：45【變式4-3】2.（2023春·上海楊浦·高二?？计谥校┤糁本€m被兩平行線l1:3x?【答案】30°或90°【分析】根據(jù)兩平行線間的距離與2的比較可得直線m和兩平行線的夾角為60°，再根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解即可．【詳解】設(shè)直線m與兩平行線l1,l2的交點(diǎn)分別為C,A，過兩平行線間的距離d=1?3?32所以直線m與兩平行線的夾角θ滿足sinθ=1因?yàn)閮善叫芯€斜率為3，所以傾斜角為60°，所以直線m的傾斜角為30°或90°．故答案為：30°或90°．【變式4-3】3.（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線m被兩平行線l1:x?y+1=0與【答案】30°/【分析】作出圖象，過直線m與其中一條直線的交點(diǎn)向另一直線作垂線，在直角三角形中求解即可.【詳解】如圖，直線m與兩平行線l1:x?y+1=0與l2:x?y+3=0分別交于由已知，AB=22，在Rt△ACB中，有sin∠ABC=故答案為：30°【變式4-3】4（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎本€l1:2x(1)求與l1與l2距離相同的點(diǎn)的軌跡；(2)過l1與l2交點(diǎn)作一條直線l，使它夾在兩平行線x?y?5=0與x【答案】(1)222(2)x+2y【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y（2）計(jì)算直線交點(diǎn)為?5,2，排除直線斜率不存在的情況，設(shè)直線方程為y=【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y即22即22x+或22x+（2）2x+y+8=0x當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，線段長度為3，不滿足；故設(shè)直線方程為y=y=kx+5+2y=kx+5+2AB=5k解得k=?12故直線方程為：y=?12x+5+2，即◆類型4兩平行線距離最大問題【例題4-4】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條直線l1:λ+2x+1?A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出l1,l2恒過的定點(diǎn)A,B，故l1【詳解】l1:λ解得x=1y=3，故ll2:k解得x=3y=2，故l故l1，l2距離的最大值為此時(shí)，?λ+21?λ=?解得k=1，故λ故選：C．【變式4-4】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線分別過點(diǎn)A(6,2),【答案】3x+【分析】由題設(shè)易知兩條平行線距離最大，即兩平行線都與直線AB垂直，兩點(diǎn)式求直線AB斜率，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出過A、B的直線即可.【詳解】要使題設(shè)兩條平行線距離最大，只需它們都與直線AB垂直，而kAB所以，過A的直線為y?2=?3(x?6)若B的直線為y+1=?3(x+3)故答案為：3x+【變式4-4】2.（2022秋·山西晉城·高二校考階段練習(xí)）已知兩直線l1與l2，直線l1經(jīng)過點(diǎn)0,3，直線l2過點(diǎn)(1)若l1與l(2)若l1與l【答案】(1)l1:x=0，l2(2)最大距離為12；l1:4x【分析】（1）分斜率不存在，斜率存在兩種情況討論，利用平行線的距離公式即得解；（2）若l1與l2之間的距離最大，則l1，l2均與A0,3【詳解】（1）當(dāng)l1，l2斜率不存在時(shí)，l1:x=0，當(dāng)l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)l1則3+4kk2+1=4此時(shí)，l1:7x綜上，l1:x=0，l2（2）若l1與l2之間的距離最大，則l1，l2均與A0,3，B4,0連線所以l1，l2的斜率均為此時(shí)l1:4x【變式4-4】3.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)0,1，直線l2過點(diǎn)5,0，且(1)若l1與l(2)若l1與l2距離為【答案】(1)最大距離為26，l1:5(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)直線l1、l2均與兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，l1（2）分兩類討論：①若l1、l2的斜率都存在，設(shè)其斜率為k，寫出兩條直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出斜率k，得解；②若l1(1)解：當(dāng)直線l1、l2均與兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，l1兩點(diǎn)連線的直線的斜率為0?15?0=?15，所以，直線l1此時(shí)，最大距離為0?52直線l1的方程為y=5x直線l2的方程為y=5x(2)解：①若l1、l2的斜率都存在，設(shè)其斜率為由斜截式得l1的方程y=kx由點(diǎn)斜式得l2的方程y=k則1+5kk2所以，直線l1的方程為y=12直線l2的方程為y=12②若l1、l2的斜率都不存在，則l1的方程為x=0，l2綜上所述，兩條直線的方程為l1:12x?5y+5=0，【變式4-4】4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A6,2和B【答案】0,3103x【分析】利用兩直線平行垂直的性質(zhì)即可求解距離的最大值，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求直線方程.【詳解】由題意知當(dāng)兩條平行直線與直線AB垂直時(shí)，d取得最大值，為|AB|=(6+3)當(dāng)d取最大值時(shí)，kAB=2?(?1)故所求直線的方程分別為y?2=?3x?6和y+1=?3x故答案為：0,310，3x題型5點(diǎn)與點(diǎn)之間的對(duì)稱問題【方法總結(jié)】【點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱】實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式說明：平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【例題5】求點(diǎn)A（2，4）關(guān)于點(diǎn)B（3，5）對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】B【解析】是線段AC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，解得，故C（4，6）【變式5-1】已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是________．【答案】eq\r(17)【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．題型6點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題【方法總結(jié)】實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線1.當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)(x’，y’)，則2.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（，）【例題6】（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(2,1)關(guān)于直線xA．(?1,4) B．(4,5)C．(?3,?4) D．(?4,?3)【答案】C【分析】因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線x+y+2=0【詳解】設(shè)Ax,y，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線x則x+2即點(diǎn)A坐標(biāo)為(?3,?4).故選：C【變式6-1】1.（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P2,5關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____________，過點(diǎn)【答案】?4,?1x【分析】先利用對(duì)稱的性質(zhì)得到關(guān)于Q的坐標(biāo)的方程組，解之即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；再利用直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)Q(a,b)即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?4,?1，設(shè)與直線x+y?3=0將Q?4,?1代入該式，得?4+1+c=0所以所求直線方程為x?故答案為：?4,?1；x?【變式6-1】2.（2022秋·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線ax+y+3a?1=0恒過定點(diǎn)M【答案】?【分析】先通過觀察可得到定點(diǎn)M，再利用直線MN與直線2x+3y?6=0垂直，以及線段【詳解】直線ax+y+3當(dāng)x+3=0，即x=?3時(shí)，故直線ax+y+3設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線2x+3y∴n∴n=67故答案為：?3【變式6-1】3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A(a+2,b+2),B(【答案】42【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線AB的斜率為a?6?(b+2)b?4?(于是a?b?8b?所以a=4,故答案為：4；2【變式6-1】4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(2,4)重合，則與點(diǎn)(?4,1)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】(?4,3)【分析】根據(jù)給定條件，求出折痕所在直線的方程，再利用對(duì)稱的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(2,4)關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱，則折痕所在直線的方程為y=2因此點(diǎn)(?4,1)關(guān)于直線y=2的對(duì)稱點(diǎn)為(?4,3)所以與點(diǎn)(?4,1)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?4,3).故答案為：(?4,3)【變式6-1】5.（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知△ABC的一條內(nèi)角平分線CD的方程為2x+y?1=0【答案】?【分析】先求出點(diǎn)A關(guān)于直線2x+y?1=0的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在直線BC上，利用兩點(diǎn)式求得BC的方程，再把BC的方程和【詳解】由題意可知：A(1,2)關(guān)于直線2x+設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P(則由b?2a?1所以直線BC的斜率為k=所以直線BC（即PC）的方程為y+1=?92解方程組9x+2y+11=02故答案為：?13【變式6-1】6.（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線n:5x+y+2=0，點(diǎn)A1,0關(guān)于直線x+y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為BA．5x+yC．5x+y【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y+3=0對(duì)稱可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線m的方程為5x+y+c=0【詳解】設(shè)點(diǎn)Ba,b，則a+12因?yàn)閙//n，設(shè)直線m的方程為將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線m的方程可得5×?3?4+c所以，直線m的方程為5x故選：A.題型7直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題【方法總結(jié)】實(shí)質(zhì)：兩直線平行法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）【例題7】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線y=3x?4【答案】y【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)關(guān)系，即可將Ax,y關(guān)于點(diǎn)P【詳解】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn)Ax,y,設(shè)Ax,y關(guān)于點(diǎn)P(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)為A′2?故答案為：y【變式7-1】1.（2023·高二單元測(cè)試）直線2x?y【答案】2【分析】由直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)【詳解】設(shè)對(duì)稱直線為l′則有2×5?3+C0解這個(gè)方程得C0=3（舍）或所以對(duì)稱直線l′的方程中2故答案為：2x【變式7-1】2.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線l的方程為3x(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l′【答案】(1)2,6(2)3【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法分析運(yùn)算即可.【詳解】（1）設(shè)A′m,n，由題意可得所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為2,6（2）在直線l上任取一點(diǎn)Px,y，設(shè)Px,則x0+x由于P′?8?x,8?y在直線3x+y?2=0上，則3?8?x【變式7-1】3.（2022秋·四川成都·高二成都七中?？计谥校┮阎本€l?的方程為4x?y?6=0?，點(diǎn)(1)若直線l′與l?關(guān)于點(diǎn)P?對(duì)稱，求l(2)若點(diǎn)P′?與P?關(guān)于直線l?對(duì)稱，求P【答案】(1)4(2)(6,1)【分析】（1）由直線l′與直線l互相平行，且點(diǎn)P（2）由直線l垂直平分線段PP【詳解】（1）易知直線l′與直線l設(shè)l′的方程為4x?有|4(?2)?3?6|4即λ=28?，或λ故l′?的方程為4（2）設(shè)點(diǎn)?P′的坐標(biāo)為(直線PP′⊥l，且而直線l的斜率為4，kP故有4×m?22?故P′?的坐標(biāo)為(6,1)【變式7-1】4.（2022秋·福建福州·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)P2,1，直線l：x?y?4=0，則點(diǎn)P到直線l的距離為______，直線【答案】322/3【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求點(diǎn)P到直線l的距離，設(shè)直線l上任一點(diǎn)P1x1,y1關(guān)于點(diǎn)【詳解】點(diǎn)P2,1，直線l：x則點(diǎn)P到直線l的距離為2?1?42設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)P2,1的對(duì)稱直線為l則直線l上任一點(diǎn)P1x1,y1關(guān)于點(diǎn)x+x1將x1,y1代入直線所以直線l關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的直線方程為x?故答案為：322；題型8直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題◆類型1兩條直線相交時(shí)【方法總結(jié)】方法：此問題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問題【例題8-1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線l1:x?2y?2=0與A．11x+2yC．5x+y【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式，求直線l2【詳解】聯(lián)立x?2y?2=0取直線l1:x?2y?2=0上一點(diǎn)0,?1，設(shè)點(diǎn)0,?1關(guān)于直線l:2直線l2的斜率k=?112，所以直線整理為：11x故選：A【變式8-1】1.（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）直線x?2y+1=0【答案】2【分析】在直線x?2y+1=0上任取一點(diǎn)(x1【詳解】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1則y1?y又點(diǎn)(y1?1,所以y1?1?2(x所以所求直線方程為2x故答案為：2x【變式8-1】2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）試求直線l1:x【答案】7x【分析】求出直線l1,l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線l1【詳解】由x?y?2=03x?y+3=0，解得x=?在直線l1上取點(diǎn)(0,?2)，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于直線l2對(duì)稱點(diǎn)Q(a,點(diǎn)Q(?3,?1)在直線l上，因此直線l的斜率k所以直線l的方程為y?(?1)=?7[x?(?3)]【變式8-1】3.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求直線l1:3x?2y【答案】9【分析】聯(lián)立方程求兩條直線的交點(diǎn)P，取直線l1上一點(diǎn)A，求其關(guān)于直線l對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)A′，則過P，【詳解】聯(lián)立兩直線方程3x?2y?6=02取直線l1：3x?2y?6=0上一點(diǎn)A(2,0)，設(shè)其關(guān)于直線則y0?0x0?2因?yàn)樗笾本€過P(4,3)，A′(即9x◆類型2兩條直線平行時(shí)【方法總結(jié)】對(duì)稱直線與已知直線平行【例題8-2】（2022·高二單元測(cè)試）已知直線l1:x?y+3=0，直線l:【答案】x?【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)l2:x?y【詳解】由題意知l1//l2，設(shè)直線l2設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M'則b?3a×1=?1a+0將M'4,?1代入l2所以直線l2的方程為x故答案為：x【變式8-2】1.（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期中）直線y=2x+1【答案】y【分析】因?yàn)閮芍本€平行，設(shè)所求直線方程為y=2x+b，由直線【詳解】設(shè)所求直線方程為y=2x+直線y=2x+1與直線y則直線y=2x+b與直線y=2x+3所以所求直線方程為y=2故答案為：y=2【變式8-2】2.（2022·高二單元測(cè)試）已知直線l:x?y?1=0（1）求直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線l（2）求直線l2關(guān)于直線l的對(duì)稱直線l【答案】（1）x?y?5=0【分析】（1）由于l1//l，所以l1′//l，可設(shè)l1′的方程為x?y（2）l2與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,?1)也在l2′上，另取l2上不同于A的一點(diǎn)B(1,1)，求出【詳解】（1）因?yàn)閘1//l設(shè)直線l1′的方程為x?y+在直線l1上取點(diǎn)M(0,3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為則{b?3a即點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,?1)把點(diǎn)M′的坐標(biāo)代入直線l1′的方程，得4?(?1)+所以直線l1′的方程為（2）由{2x?所以l2與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為A另取l2上不同于A的一點(diǎn)B設(shè)B(1,1)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B則{m+12即點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2,0)所以過A(0,?1)與B′(2,0)的直線l即x?2題型9反射光線問題【例題9】（2021秋·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)A?3,4，被直線l:xA．?1 B．14 C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱，可求A′【詳解】設(shè)點(diǎn)A?3,4關(guān)于直線l:x?y+3=0對(duì)稱的點(diǎn)為A′反射線經(jīng)過點(diǎn)A′,B故選：C【變式9-1】1.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)?？计谥校┕饩€沿著直線y=?2x+a?2射到直線x【答案】6或－2【分析】根據(jù)反射光線上的點(diǎn)關(guān)于直線x+【詳解】在直線y=?12由題知點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)B則y0=?12x0?2故答案為：6或－2.【變式9-1】2.（2023秋·安徽六安·高二六安一中?？计谀┚€從P2,0出發(fā)，先后經(jīng)x=4，y=x兩直線反射后，仍返回到P點(diǎn)．則光線從【答案】2【分析】利用入射光線與反射光線的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)稱可求答案.【詳解】顯然P關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)F6,0，如圖，由反射光線性質(zhì)知設(shè)F關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Hx,y由反射光線性質(zhì)知EH所以△PDE各邊即為光線所走的路線，其周長等于線段PH的長度，PH=故答案為：210【變式9-1】3.（2022秋·湖南郴州·高二?？茧A段練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(?3，4)，被直線l：x?3=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)【答案】2【分析】根據(jù)對(duì)稱性可求得M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用直線的兩點(diǎn)式方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，反射光線經(jīng)過點(diǎn)M(?3，4)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P如圖所示：直線PN的方程即為反射光線所在的直線方程，又N(2，6)，P(9,4)可得根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，反射光線所在直線方程為y?6=?整理得2x+7y故答案為：2x【變式9-1】4.（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知A?3,0，B3,0，C0,3，一束光線從點(diǎn)FA．12,52 B．32,【答案】C【分析】根據(jù)入射光線與反射光線的性質(zhì)可知GH方程，由GH與BC的交點(diǎn)可得D，求坐標(biāo)即可.【詳解】根據(jù)入射光線與反射光線關(guān)系可知，分別作出F,E關(guān)于AC,連接GH，交BC于D，則D點(diǎn)即為所求，如圖，因?yàn)锳C所在直線方程為y=x+3，F(xiàn)則y2=x?12由BC所在直線方程為y=?x+3，E所以直線GH方程為y=2，由y=?x故選：C【變式9-1】5.（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1:2a?2(1)求l1與l(2)一束光線從P2,3出發(fā)經(jīng)l1反射后平行于【答案】(1)9(2)4【分析】（1）由平行條件得出a的值，再由距離公式求解；（2）由P2,3關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P′【詳解】（1）由l1∥l2可得：2當(dāng)a=?1時(shí)，l1:?4x?y+2=0當(dāng)a=2時(shí)，l1:2x?故l1與l2之間的距離為（2）設(shè)P2,3關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)為y0?3x0聯(lián)立2x?y?4=0y故入射光線所在的直線方程為y?3x?2題型10將軍飲馬求最值問題【方法總結(jié)】利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對(duì)值小于等于第三邊?！纛愋?和最小問題【例題10-1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知M?1,3、N2,1，點(diǎn)P在x軸上，且使PM+【答案】55【分析】點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q2,?1，分析可知當(dāng)且僅當(dāng)M、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PN取得最小值為MQ，求出直線MQ的方程，在直線MQ的方程中，令y【詳解】如下圖所示：點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q2,?1，由對(duì)稱性可知PN所以，PM+當(dāng)且僅當(dāng)M、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，直線MQ的斜率為kMQ=3+1?1?2=?43聯(lián)立4x+3y?5=0y故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為54,0時(shí)，PM+故答案為：5；54【變式10-1】1.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（-3，5）和B（2，15），在直線l:3x?4【答案】P83【分析】求得A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求得PA+【詳解】設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ca線段AC的中點(diǎn)為a?3所以3×a解得a=3,b=?3所以PA+PB的最小值為此時(shí)直線BC的方程為y+3=由y=?18x+513x【變式10-1】2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)A13A．1453 B．5 C．1353 【答案】A【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，找出最短路程.【詳解】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點(diǎn)B?2,0關(guān)于直線x+2y=3的對(duì)稱點(diǎn)為Cx1,y1，在直線x+2y=3上取點(diǎn)P，連接PC，則故選：A．【變式10-1】3.（2022秋·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求x2A．5 B．10 C．1+5 D．【答案】B【分析】將已知變形設(shè)出P0,1，Q1,2，則x2+1+x2?2x【詳解】x2=x設(shè)P0,1，Q1,2，則x2+1+x2?2x點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P′連接P′則PS+當(dāng)且僅當(dāng)P′，S，Q故