2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間幾何體的表面積和體積

第2講空間幾何體的表面積和體積

基礎(chǔ)知識整合

如砥頊

1.多面體的表面積、側(cè)面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是網(wǎng)側(cè)面展開圖的面積，表面

積是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

；

側(cè)面展開圖密

側(cè)面積s??=

公式|02)2兀rl1031兀rl[04]兀（、+「11

3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體

S=S+2SV=p)5]sh

（棱柱和圓柱）表面積側(cè)底

錐體

S=S+SV=f06]lsh

（棱錐和圓錐）表面積側(cè)底

V=1(s+s^+

臺體s=s+

表面積側(cè)J上下

（棱臺和圓臺）S+S

上下H)h

V=|。8|；nrs

球S=|0714兀—

知識拓展

1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論

⑴一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

（2）底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=<3a；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2R={^a.

(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

(3)直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，可知球心為上下

底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.

(4)設(shè)正四面體的棱長為a,則它的高為*a,內(nèi)切球半徑r=ea,外接球半徑R=^a.

正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

I雙基自測

1.(2019?福州二模)設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4,球心到切面

圓心的距離為3,則該西瓜的體積為()

256n400兀500兀

A.100nB.---C.---D.---

答案D

解析由題意知切面圓的半徑r=4,球心到切面的距離d=3,所以球的半徑口=正短

._____44500Ji500Ji

=、42+32=5,故球的體積丫=.兀1?3=鼻兀X53=---,即該西瓜的體積為一--.

OOOO

2.(2019?安徽蚌埠質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體

的三視圖，則它的體積為()

,4

A.兀+-

,4

C.2n+-D.2兀+2

答案A

解析由三視圖可知，該幾何體由半個(gè)圓柱和一個(gè)三棱錐組合而成.故該幾何體的體積

為X,11,4

X12X2+-X-X2X2X2=兀+~.

3.（2018?浙江高考）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

cm3)是()

I+ITh_2—H

正視圖惻視圖

俯視圖

A.2B.4

C.6D.8

答案C

解析由三視圖知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，即如圖所示四棱柱

ABCD-ABCD.由三視圖中的數(shù)據(jù)可知底面梯形的兩底分別為1和2,高為2,所以S』

liii底面

=1x（1+2）X2=3.因?yàn)橹彼睦庵母邽?,所以體積V=3X2=6.故選C.

4.（2019?北京東城區(qū)模擬）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是

)

左｝視圖

A.2+y/5B.4+m

C.2+24D.5

答案C

解析該三棱錐的直觀圖如圖所示，過點(diǎn)D作DELBC,交BC于點(diǎn)E,連

接AE,則BC=2,EC=1,AD=1,ED=2,

c

S.+S.=￡2x2+(xmxi+*mxi+*2xm=2+2m.

故選c.

5.如圖，半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱

長為季,則球的表面積和體積分別為

答案36Jt36JT

解析底面中心與。的連線即為半徑，設(shè)球的半徑為R,則兄=(m)?+(，5)2=9.所以

4

R=3,所以S=4JiR2=36JI,VJIRs=36Ji.

球球J=-

6.如圖所示，已知球。的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,DA_L平面ABC,AB_LBC,DA=AB

=BC=，§,則球。的體積等于.

、9兀

答案-

解析由題意知，DC邊的中點(diǎn)就是球心0,

?它到D,A,C,B四點(diǎn)的距離相等,

.?.球的半徑R=*D,又AB=BC=，§,

AC=j6,CD=、、JAG+ADz=3,

核心考向突破

考向一幾何體的表面積

例1(1)(2019?衡水模擬)如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是

1

HII

正視圖惻視圖

俯視圖

A.Jt+4啦+4B.2"+4m+4

C.2it+4鏡+2D.2n+24+4

答案B

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由半圓柱與三棱柱組成的幾

何體，其直觀圖如圖所示，其表面積S=2xgnXL+nXlXl+2xgx2Xl

+（鏡+鏡+2）X2—2X1=2Jt+4啦+4.故選B.

（2）（2019?鄭州二模）如圖是某幾何體的三視圖，圖中方格的單位長度

為11,則該幾何體的表面積為.

答案8+4^5

解析由三視圖，知該幾何體為三棱錐，將該幾何體放在長方體中如

圖所示，由題意可知長方體的長、寬、高分別為2,2,4,

由BC=2,CD=2計(jì)算，得

BD=2-^2,AD=24，

所以SABCD=；X2X2=2,

S.=；X2X2m=24,

S△械=*2X2m=2m,

因?yàn)?ABD為等腰三角形，高為］2m2——二=3蛆，所以工血=/2餡X3鏡

=6,所以該幾何體的表面積為2+24+2■+6=8+44.

觸類旁通

幾類空間幾何體表面積的求法

(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和.

(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和.

(3)簡單組合體：應(yīng)弄清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ).

(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元

素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

［即時(shí)訓(xùn)練］L(2019?山東濰坊模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫

出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.20JiB.24Ji

C.28nD.32Ji

答案C

解析由三視圖可知該幾何體為組合體，上半部分為圓柱，下半部分為圓錐，圓柱的底

面半徑為1,高為2,圓錐的底面半徑為3,高為4,則該幾何體的表面積S=五X3?+nX3X5

+2JiX1X2=28”.故選C.

2.(2019?河北承德模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,

則該幾何體的表面積為()

A.8+4g+2季B.6+4班+4季

C.6+2-\/2+2^5D.8+2^+2A/5

答案c

解析由三視圖可知，該幾何體為放在正方體內(nèi)的四棱錐E-ABCD,

如圖，正方體的棱長為2,該四棱錐底面為正方形，面積為4,前后兩個(gè)側(cè)

面為等腰三角形，面積分別為入「，2,左右兩個(gè)側(cè)面為直角三角形，面積

都為乖，可得這個(gè)幾何體的表面積為6+2/+2乖，故選C.

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向二幾何體的體積

角度1補(bǔ)形法求體積

例2（1）（2017?全國卷H）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾

何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A.90兀B.63Ji

C.42nD.36JT

答案B

解析（割補(bǔ)法）由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面

虛線部分所得，如圖所示.

將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾

何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的;，所以該幾何體的體積v=

五XSX4+JiX32X6X^=6311.故選B.

(2)(2019?北京高考)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所

示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

答案40

解析由題意知去掉的四棱柱的底面為直角梯形，底面積S=(2+4)X2+2=6,高為正

方體的棱長4,所以去掉的四棱柱的體積為6X4=24.又正方體的體積為43=64,所以該幾何

體的體積為64-24=40.

角度2分割法求體積

例3(1)(2019?山西五校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書

中有如下問題：“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”

其意思為：”今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1

丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()

A.5000立方尺B.5500立方尺

C.6000立方尺D.6500立方尺

答案A

解析該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEE

取AB的中點(diǎn)G,CD的中點(diǎn)H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的

體積為四棱錐F—GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和.又可以將三R

13

棱柱ADE—GHF割補(bǔ)成高為EF,底面積為S=G><3X1=,（平方丈）的一個(gè)直棱柱，故該楔體的

3j

體積V=-X2+-X2X3X1=5(±M)=5000(立方尺).故選A.

（2）（2019?浙江高考）祖隨是我國南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“幕勢既同，則積

不容異”稱為祖曬原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式Vw=Sh,其中S是柱體的底

柱體

面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm3）

是（）

俯視圖

A.158B.162

C.182D.324

答案B

解析如圖，該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6,底面可以看作由

兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4,下底為6,高為3,另一個(gè)

的上底為2,下底為6,高為3.則底面面積5=等乂3+學(xué)*3=27,

因此，該柱體的體積V=27X6=162.故選B.

角度3轉(zhuǎn)化法求體積

例4⑴如圖所示，在正三棱柱ABC—個(gè)￡中，AB=4,AA=6.若E,

F分別是棱BBjCq上的點(diǎn)，則三棱錐A—AEF的體積是.

答案8小

解析由正三棱柱的底面邊長為4,得點(diǎn)F到平面4AE的距離（等于

點(diǎn)C到平面AABB］的距離）為守X4=24，則V三棱錐A-A1EF=V三棱錐

F-A1AE=|SAA1AEX2小=gX；X6X4X24=8近

⑵在三棱錐P—ABC中，D,E分別為PB,PC的中點(diǎn)，記三棱錐D—ABE的體積為匕，三

棱錐P—ABC的體積為V,則（=

2V--------------

2

答案I

解析如圖所示，由于D,E分別是邊PB與PC的中點(diǎn)，所以

△BDE

=^SAPBC.又因?yàn)槿忮FA-BDE與三棱錐A-PBC的高相等，所以

觸類旁通

⑴處理體積問題的思路

指的是轉(zhuǎn)換底而與商.將原來不容易求面積的

底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面.或?qū)⒃瓉聿蝗?/p>

易看出的高轉(zhuǎn)換為容易育出并容易求解的高

指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡單的

幾何體，便于計(jì)算

5指的是將小幾何體喊入一個(gè)大幾何體中.如有

時(shí)將一個(gè)三橫傀欠累成一個(gè)三棱柱.將一個(gè)三

棱柱堂晚成一個(gè)四棱柱

（2）求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不

割補(bǔ)法規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體、不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于

計(jì)算

等體選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐

積法的任何一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

［即時(shí)訓(xùn)I練］3.（2019?河北滄州質(zhì)檢）《九章算術(shù)》是中國古

代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有關(guān)于“塹堵”的記載，“塹堵”即底面

是直角三角形的直三棱柱.已知某“塹堵”被一個(gè)平面截去一部分

后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體積是（）

A.50B.75

C.25.5D.37.5

答案D

解析如圖，由題意及給定的三視圖可知，剩余部分是在直三棱柱

的基礎(chǔ)上，截去一個(gè)四棱錐q—MNBA所得的，且直三棱柱的底面是腰長為5的等腰直角三角

形，高為5.圖中幾何體ABCQMN為剩余部分，因?yàn)锳M=2,B￡J_平面所以剩余部分

的體積V=V三棱柱A1B1C1-ABC-V四棱錐C1-A1B1NM=1X5X5X5-|X3X5X5=37.5,

故選D.

4.如圖所示，正方體ABCD-A月CR的棱長為1,E,F分別為線段

AA,B,上的點(diǎn)，則三棱錐［―EDF的體積為.

答案

解析三棱錐D-EDF的體積即為三棱錐F-DDE的體積.因?yàn)镋,F分別為線段AA「BC

上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD—ARCR中，AEDDi的面積為定值;，F(xiàn)到平面AARD的距離為定

值1,所以V三棱錐F—DD1E=/X〈X1=：.

考向三與球有關(guān)的切、接問題

例5（1）（2019?全國卷I）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球0的球面上，PA=PB=

PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體

積為（）

A.8鄧nB.4鄧Jt

C.2乖mD.乖“

答案D

解析P

在△PEC中,

32+3—32—2a

cos/PEC=

|_±^Z__i-L-zvyI,LUOZ-/j2aqI3—a2.

?；/PEC與/AEC互補(bǔ)，...3—4^=1,a=*

故PA=PB=PC={1

又AB=BC=AC=2,.\PA±PB±PC,

.??外接球的直徑2R=4~小2+22+2

R=36,???V=[JIR3=1JIX2j3=V?11-故選D.

2n

（2）（2019?沈陽市東北育才學(xué)校模擬）將半徑為3,圓心角為亍的扇形圍成一個(gè)圓錐,

則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）

B.23T

C.3兀D.4兀

答案B

2兀人

解析將半徑為3,圓心角為亍的扇形圍成一個(gè)圓錐，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R,則

,2n上

有2nR=3X?-,所以R=l,設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r,結(jié)合圓錐和球的特征，可知內(nèi)切

球的球心必在圓錐的高線上，設(shè)圓錐的高為h,因?yàn)閳A錐的母線長為3,所以卜=后1=2鏡,

所以解得r=半，因此內(nèi)切球的表面積S=4"r2=2n.故選B.

n—r3z

“切”“接”問題的處理規(guī)律

（1）“切”的處理

解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，

通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面.

（2）“接”的處理

把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外

接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

［即時(shí)訓(xùn)練］5.（2018?全國卷HI）設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，

△ABC為等邊三角形且其面積為則三棱錐D—ABC體積的最大值為（）

A.12小B.18小

C.24小D.5473

答案B

解析如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC的中點(diǎn)，當(dāng)DM,平面ABC時(shí)，三棱

錐D—ABC體積最大，此時(shí)，0D=0B=R=4.

D

乎AR=M

AB=6,

??,點(diǎn)M為三角形ABC的重心,

/.BM=?BE=,

在Rt△OMB中,有OM=yOB2—BM2=2.

/.DM=0D+0M=4+2=6,

???(V-L*X9鎘X6=18小故選B.

6.（2019?漳州模擬）在直三棱柱ARQ—ABC中，0=3,B￡=4,AC=5,AA=2,則

其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

C.—D.29

答案A

解析由底面三角形的三邊長可知，底面三角形為直角三角形，內(nèi)

AA

切球半徑r=^=l,取AC,A￡的中點(diǎn)D,E,則外接球球心是DE的中

點(diǎn)0,由A￡=5,AA=2,得Aq=*,所以外接球半徑R=0A=率,

所以^S=747兀募R2=一29，故選兒

S4兀口4

內(nèi)

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)qg十二）巧用補(bǔ)形法求四面體的外接球問題

1.（2019?鄭州二模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,

則此幾何體的外接球的體積為（）

C.18075JiD.9075Ji

答案A

解析構(gòu)造底面邊長為3,6,高為3的長方體，由三視圖可知，該幾何體是如圖1中所

示的三棱錐P-ABC.

所以在該三棱錐中，PAL底面ABC,并且ABLAC,把該三棱錐放在如圖2所示的底面邊

長為34，高為3的長方體中，則該三棱錐的外接球就是該長方體的外接球，設(shè)該三棱錐的

外接球的半徑為R,則有（2R）2=32+（3鏡）2+（3隹）2=45,解得R=等，所以該三棱錐的外

接球的體積V=|nRa=|JT=",故選A.

2.（2019?寶雞中學(xué)高三第一次模擬）已知一個(gè)四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9n

的球0的表面上，且AB=CD=a,AC=AD=BC=BD=4，貝!Ja=.

答案2yf2

解析由題意，知四面體ABCD的對棱都相等，故該四面體可以通過補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)長方體,

如圖所示.設(shè)AF=x,BF=y,CF=z,則，分=4,