特征函數(shù)及其應用

PAGE6特征函數(shù)及其應用1引言在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，我們學習了特征函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了它可以更高級、優(yōu)越、方便的表示出一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律．是研究隨機變量的重要工具．本文將向大家詳細的闡述特征函數(shù)的基本概念，性質以及特征函數(shù)的應用和一些相關定理的證明．2特征函數(shù)2.1特征函數(shù)的定義設是定義在樣本空間上的隨機變量．稱的復值函數(shù)cos+sin的數(shù)學期望+其中，，為隨機變量的特征函數(shù)，記為．特征函數(shù)一般為實變量的復值函數(shù)，它對一切有定義．事實上，當是連續(xù)型隨機變量時，對，總有若為離散型隨機變量，則因此，任一隨機變量，必有特征函數(shù)存在．2.2特征函數(shù)的性質有界性：一致連續(xù)性：在上一致連續(xù)非負定：對個實數(shù)，，及復數(shù)，，，總有，這里表示的共軛若，，，為常數(shù)，則設的特征函數(shù)分別為，，又與相互獨立，則的特征函數(shù)為2.3特征函數(shù)與矩的關系在以前的學習中，我們發(fā)現(xiàn)求隨機變量的各階矩往往需要作繁難的求無窮級數(shù)和或無窮積分的計算，有時應用一定的技巧方可計算出結果．現(xiàn)在我們有了特征函數(shù)這一優(yōu)越的工具后，可以通過對特征函數(shù)求導的方法來計算隨機變量的矩．設隨機變量有階矩存在，則的特征函數(shù)可微分次，且對，有設有密度函數(shù)，則=由于的階矩存在，即有從而可以在積分號下對求導次，于是對，有令即得當是離散型隨機變量時，證明也是類似的．由這個性質，在求的各階矩（如果他們存在的話），只要對的特征函數(shù)求導即可．而從定義出發(fā)是要計算積分的，大家都知道，求導一般總是要比求積分簡單的多，所以可以這樣說：特征函數(shù)提供了一條求各階矩的捷徑2.4幾種常見分布的特征函數(shù)單點分布設服從單點分布，即，則兩點分布設，即，，則二項分布設，，則普哇松分布設為普哇松分布，即，，，則均勻分布設在上均勻分布，即則指數(shù)分布設服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即故由數(shù)學分析知道由此可得正態(tài)分布設服從分布，把分布的密度函數(shù)代入中，即有其中是利用復變函數(shù)中的圍道積分求得的．例1求分布的數(shù)學期望和方差解已知分布的特征函數(shù)為于是由有由此即得從這里我們可以看出用特征函數(shù)求正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差，要比從定義去證更方便2.5特征函數(shù)與分布函數(shù)的關系逆轉公設隨機變量的分布函數(shù)為，特征函數(shù)為，又與為的任意兩個連續(xù)點，則有其中，當時，按連續(xù)性延拓定義由特征函數(shù)的定義可知，隨機變量的分布函數(shù)唯一的確定了它的特征函數(shù)．反過來，由唯一性定理可知特征函數(shù)可以唯一地確定它的分布函數(shù)．從而由特征函數(shù)來確定分布函數(shù)的式子也常常稱為“逆轉公式”．唯一性定隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定．3特征函數(shù)的應用3.1特征函數(shù)在求獨立隨機變量和的分布上的應用設，的特征函數(shù)分別為，，又與相互獨立，則的特征函數(shù)為因為與相互獨立，由以前的知識我們知道與也相互獨立，于是由數(shù)學期望的性質即得利用歸納法，不難把上述性質推廣到個獨立隨機變量的場合，若，，是個相互獨立的隨機變量，相應的特征函數(shù)為，，…，則的特征函數(shù)為例2設，，是個相互獨立的，且服從分布的正態(tài)隨機變量，試求的分布．解已知的分布為，故相應的特征函數(shù)為由特征函數(shù)的性質可知的特征函數(shù)為而這是分布的特征函數(shù)，由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對應關系即知服從分布．這正是我們所熟知的可加性，這里用特征函數(shù)作為工具證明了這個可加性．3.2在普哇松分布收斂于正態(tài)分布上的應用連續(xù)性定分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充要條件是相應的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)．例3若是服從參數(shù)為的普哇松分布的隨機變量，證明：證明已知的特征函數(shù)為，故的特征函數(shù)為對于任意的，有，于是，從而對任意的點列，有但是是分布的特征函數(shù)，由連續(xù)性定理即知有成立，因為是可以任意選取的，這就意味著成立．即“普哇松分布收斂與正態(tài)分布”．3.3在證明辛欽大數(shù)定律上的應用若，…是獨立同分布隨機變量序列，且，，則，證明因為，…有相同的分布，所以也有相同的特征函數(shù)，記這個特征函數(shù)為，又因為存在，從而特征函數(shù)有展開式再由獨立性知的特征函數(shù)為對任意取定的，有已知是退化分布的特征函數(shù)，相應的分布函數(shù)為由連續(xù)性定理知的分布函數(shù)弱收斂于，因是常數(shù)，則有故辛欽大數(shù)定律成立．3.4在證明二項分布收斂于正態(tài)分布上的應用在重貝努里試驗中，事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為，為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則要證明這個式子我們只需證明下面的這個式子，因為它是下面的式子的一個特例，證明了下面的式子，也就證明了它．若，，…是一列獨立同分布的隨機變量，且，，，，…則有證明設的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為又因為，，所以，于是特征函數(shù)有展開式從而對任意固定的，有，而是分布的特征函數(shù)，由連續(xù)性定理知