2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.5增長速度的比較訓練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE5-第四章4.5請同學們仔細完成[練案10]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2的圖像上點P(1,2)及鄰近點Q(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)的值為(D)A．4 B．4xC．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx．2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為(B)A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.443．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均改變率為3，則實數(shù)m的值為(B)A．3 B．2C．1 D．4[解析]由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2．4．有一組試驗數(shù)據(jù)如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是(C)A．y＝logax(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝logax＋b(a＞1)[解析]通過所給數(shù)據(jù)可知s隨t的增大而增大，其增長速度越來越快，而A，D表示的函數(shù)增長越來越慢，而B中的函數(shù)增長速度保持不變，只有C表示的函數(shù)符合題意．5．假如函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為3，則a＝(C)A．－3 B．2C．3 D．－2[解析]依據(jù)平均改變率的定義，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3．二、填空題6．函數(shù)y＝－2x＋1在隨意區(qū)間上的平均改變率為__－2__，也就是說自變量每增加一個單位，函數(shù)值將__減小2__個單位．[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(－2x1＋1－－2x2＋1,x1－x2)＝－2，∴自變量每增加一個單位，函數(shù)值將減小2個單位．7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個是__y＝x2__．[解析]當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．8．質(zhì)點運動規(guī)律s＝eq\f(1,2)gt2，則在時間區(qū)間(3,3＋Δt)內(nèi)的平均速度等于__30＋5Δt__.(g＝10m/s2)[解析]Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt．三、解答題9．計算函數(shù)y＝log3x在區(qū)間[1,2]與[2,3]上的平均改變率，并以此說明函數(shù)值改變的規(guī)律．[解析]因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(log3x2－log3x1,x2－x1)，所以y＝log3x在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為eq\f(log32－log31,2－1)＝log32．在區(qū)間[2,3]上的平均改變率為eq\f(log33－log32,3－2)＝log3eq\f(3,2)，∴函數(shù)y＝log3x在區(qū)間[1,2]與[2,3]上均是增函數(shù)，又log32＞log3eq\f(3,2)∴函數(shù)值y增加的速度越來越慢．10．已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，分別計算這兩個函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的平均改變率，并比較它們的大?。甗解析]f(x)＝2x在[2,3]上的平均改變率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(23－22,3－2)＝4，g(x)＝3x在[2,3]上的平均改變率為eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(33－32,3－2)＝18．∴f(x)在[2,3]上的平均改變率小于g(x)在[2,3]上的平均改變率．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．f(x)＝3x與f(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均改變率分別為k1，k2，當k2＞k1時，a的取值范圍為(D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，log3\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞))[解析]對f(x)＝3x，eq\f(Δy,Δx)＝3，對f(x)＝3x，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝2×3a，由2×3a＞3時，得a＞log3eq\f(3,2)．所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞))．2．某公司為適應市場需求，對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長快速，后期增長越來越慢．若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用(D)A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)[解析]本題考查對常見函數(shù)模型不同增長特點的理解．四種函數(shù)模型中只有對數(shù)型函數(shù)具有初期利潤增長快速、后來增長越來越慢的特點，故選D．3．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從1到a的平均改變率為eq\f(1,4)，則實數(shù)a的值為(B)A．10 B．9C．8 D．7[解析]f(x)＝eq\r(x)從1到a的平均改變率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(a)－1,a－1)＝eq\f(1,1＋\r(a))＝eq\f(1,4)，解得a＝9．4．(多選題)下面對函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x－eq\s\up4(\f(1,2))在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減狀況說法錯誤的是(ABD)A．f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越慢B．f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越快C．f(x)衰減速度越來越慢，g(x)衰減速度越來越慢，h(x)衰減速度越來越慢D．f(x)衰減速度越來越快，g(x)衰減速度越來越快，h(x)衰減速度越來越快[解析]視察函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝x－eq\s\up4(\f(1,2))在區(qū)間(0，＋∞)上的大致圖像如圖，可知：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度漸漸變慢，在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢；同樣，函數(shù)g(x)的圖像在區(qū)間(0，＋∞)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數(shù)h(x)的圖像在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度變慢，在區(qū)間(1，＋∞)上，遞減較慢，且越來越慢．二、填空題5．函數(shù)y＝log3x在[a，a＋1](a＞0)上平均改變率大于1，則a的取值范圍為__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))__．[解析]因為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(log3a＋1－log3a,a＋1－a)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))＞1＝log33，a＞0，所以1＋eq\f(1,a)＞3，所以0＜a＜eq\f(1,2)．6．已知函數(shù)f(x)的定義域為R．(1)若f(x)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率均為正數(shù)，則f(x)是__增__函數(shù)(填“增”或“減”)；(2)若f(x)在隨意區(qū)間內(nèi)的平均改變率均比g(x)＝2在同一區(qū)間內(nèi)的平均改變率小，則f(x)是__減__函數(shù)(填“增”或“減”)．[解析]設(shè)x1，x2∈R，且x1≠x2，(1)則有eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＞0，∴f(x)是增函數(shù)．(2)由于g(x)＝2在[x1，x2]上的平均改變率為0，∴eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，∴f(x)是減函數(shù)．7．函數(shù)y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之間的平均改變率為__－eq\f(2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0))__．[解析]∵Δy＝eq\f(1,x0＋Δx2)－eq\f(1,x\o\al(2,0))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0))．三、解答題8．下面是y隨x的增大而得到的函數(shù)值表：x12345678910y＝2x2481632641282565121024y＝x2149162536496481100y＝2x＋79111315171921232527y＝log2x011.58522.3222.5852.80733.1703.322試問：(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值有什么共同的改變趨勢？(2)各函數(shù)增長速度的快慢有什么不同？[解析](1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值都在增大．(2)由題表可以看出：各函數(shù)增長速度的快慢不同，其中y＝2x的增長速度最快，而且越來越快；其次為y＝x2，增長速度也在變快；而y＝2x＋7的增長速度不變；增長速度最慢的是y＝log2x，其增長速度越來越慢．9．巍巍泰山為五岳之首，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受．下面是一段登山路途