第三章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

第三章經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型1§3.1多元線性回歸模型一、線性代數(shù)有關(guān)知識(shí)的回顧二、多元線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定2一、線性代數(shù)知識(shí)的回顧1、矩陣與行列式矩陣是把n×m個(gè)數(shù)排成n行m列的表，并用該表來(lái)研究線性運(yùn)算。行列式是把個(gè)數(shù)排成n行和n列，并計(jì)算出它的值。因此，可以看出，矩陣是一張表，而行列式是一個(gè)值。例如是矩陣，而是行列式。32、有關(guān)矩陣的幾個(gè)概念（1）向量與矩陣向量可以看成是n×1或者是1×n的矩陣。例如是行向量，是列向量。注意：上述的行向量和列向量實(shí)際上是同一向量，只是寫法形式上不同。（2）矩陣的秩設(shè)矩陣

4矩陣A的秩r(A)是指A中不為零的行列式最大階數(shù)。例如A中有行列式但該行列式不是最大階數(shù)非零的行列式，因?yàn)樵谠摼仃囍校€有行列式5矩陣A的秩是3。若方陣A的秩等于它的階數(shù)，稱A是非奇異矩陣。（3）矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置就是把矩陣的行變成對(duì)應(yīng)的列，把矩陣的列變成對(duì)應(yīng)的行。例如則A的轉(zhuǎn)置是6（4）矩陣的逆設(shè)A是n階非奇異矩陣，若存在矩陣B滿足，稱矩陣A是可逆的，矩陣B是矩陣A的逆矩陣。注意：n階矩陣A是非奇異的A的秩是nA是可逆的（5）逆矩陣的求法逆矩陣的求法常見(jiàn)的有行變換法和列變換法兩種。行變換法是把矩陣A與它同階的單位矩陣I并排放列，對(duì)應(yīng)的行對(duì)齊，組成一個(gè)新的大矩陣，對(duì)大矩陣進(jìn)行行的初等變換，使得原來(lái)的矩陣A的部分變成單位矩陣，原來(lái)單位矩陣的部分就是A的逆矩陣。例如

現(xiàn)在求A的逆矩陣如下78所以A的逆矩陣是

9（6）矩陣的運(yùn)算ⅰ加法運(yùn)算矩陣的加法運(yùn)算是同階矩陣對(duì)應(yīng)的元素相加。例如10（ⅱ）矩陣的乘法設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×p階矩陣，則AB的(i，j）元素是A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和。例如則有注意：1、矩陣相乘時(shí)必須滿足前面矩陣的列數(shù)與后面矩陣的行數(shù)相等

2、矩陣的乘法是不滿足交換律，即AB≠BA。（A與B可以相乘，B與A不一定能相乘，即使能相乘，也不一定相等。）11二、多元線性回歸模型多元線性回歸模型的一般形式是，稱為回歸系數(shù)。上述回歸函數(shù)的確定形式是將上述模型的隨機(jī)形式寫成矩陣形式12其中13同樣，在給出總體中的一個(gè)樣本時(shí)，可以估計(jì)樣本回歸函數(shù)，并讓它近似地代表未知的總體回歸函數(shù)。樣本回歸函數(shù)可以表示為其隨機(jī)形式是寫成矩陣形式是14，其中15例題在一項(xiàng)對(duì)社區(qū)家庭對(duì)某種消費(fèi)品的消費(fèi)需要調(diào)查中，得到下表所示的資料。我們用多元線性回歸模型表示如下16序號(hào)對(duì)商品的消費(fèi)支出Y商品單價(jià)家庭月收入1591.923.5676202654.524.4491203623.632.07106704647.032.46111605674.031434035.30143408724.038.70159609757.139.631800010706.846.681930017寫成矩陣形式是18三、多元線性回歸模型的基本假定假定1：解釋變量是非隨機(jī)的或者固定的。假定2：隨機(jī)干擾具有零均值，同方差及序列不相關(guān)。

19假設(shè)3：解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)。假設(shè)4：隨機(jī)干擾項(xiàng)滿足正態(tài)分布

i=1,2,…,n假設(shè)5：樣本容量趨于無(wú)窮時(shí)，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)。假設(shè)6：回歸模型設(shè)定正確。20§3.2多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)一、普通最小二乘估計(jì)二、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)三、例題講解21一、普通最小二乘估計(jì)1、的最小二乘估計(jì)設(shè)是樣本數(shù)據(jù)，多元回歸模型是22根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)使

達(dá)到最小。根據(jù)微積分學(xué)知識(shí)，對(duì)Q求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得23化簡(jiǎn)得到正規(guī)方程組24（1）25將上述過(guò)程用矩陣形式表達(dá)出來(lái)是

在滿足基本假定的情況下，多元線性回歸模型的設(shè)計(jì)矩陣X是列滿秩的（X的秩和X的列數(shù)相等）。

（2）根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)使下列（3）為最小。

（3）根據(jù)微積分學(xué)原理，對(duì)（3）求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得

26也就是（4）（4）就是正規(guī)方程組。其中

在正規(guī)方程組（4）的兩邊，左乘，得27例2.1.1的講解根據(jù)課本第28頁(yè)的表2.1.3中的樣本數(shù)據(jù)，有28按行變換法求的逆矩陣，得29302、隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差的估計(jì)

其中i=1，2，…，n.K為回歸方程中解釋變量的個(gè)數(shù)31二、參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì)和一元線性回歸模型一樣，多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)量也具有下列性質(zhì)：1、線性性2、無(wú)偏性3、有效性見(jiàn)書(shū)（P63）32三、例題講解例3.2.2在例2.5.1中，我們已經(jīng)建立了中國(guó)居民人均消費(fèi)的一元線性模型。這里我們?cè)诮⒍嘣€性回歸模型。在中國(guó)，居民消費(fèi)是在國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值經(jīng)過(guò)初次分配和再分配后形成的，所以選擇人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPP）是恰當(dāng)?shù)?，另外，居民消費(fèi)有一定的慣性，因此，在模型中，再引入前一年的居民人均消費(fèi)（CONSP（-1））作為另一解釋變量。樣本觀測(cè)值在表2.5.1（在下頁(yè)）33年份人均居民消費(fèi)支出人均GDP19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.61527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.734應(yīng)用EViews5.0軟件計(jì)算如下DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/15/07Time:14:58 Sample(adjusted):223 Includedobservations:22afteradjustments Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 120.7253 36.51374 3.306299 0.0037 GDPP 0.221359 0.060973 3.630462 0.0018 CONSP(-1) 0.451408 0.1703182.650380 0.0158

R-squared 0.995403

Meandependentvar 928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar 372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion 9.671791Loglikelihood -101.7531

F-statistic 2056.887Durbin-Watsonstat 1.278902

Prob(F-statistic) 0.000000

35所以回歸函數(shù)（隨機(jī)形式）是36作業(yè)1、求下列矩陣的逆矩陣2、研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生用于購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和家庭收入水平有關(guān)。對(duì)18名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示。試求出學(xué)生購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物的花費(fèi)與受教育年限和家庭收入水平的回歸方程。。37學(xué)生序號(hào)購(gòu)買書(shū)籍及課外讀物支出（元/年）受教育年限（年）家庭人均可支配收入（元/年）1234567891011121