2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：A2.已知集合M滿足，那么這樣的集合的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】由題意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素構(gòu)成的集合為集合的子集，從而可求出集合的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)樗约现幸欢ò?和2，集合其他元素構(gòu)成的集合為集合的子集，所以集合個(gè)數(shù)為，故選：C3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得答案.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D.4.下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用常用數(shù)集，結(jié)合集合包含關(guān)系逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，中不含任何元素，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不是的元素，因此不是的子集，D錯(cuò)誤.故選：B5.是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要條件 D.既不充分也不必要【正確答案】D【分析】根據(jù)交集、子集、充分和必要條件等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】若，如，滿足但不滿足.若，如，滿足但不滿足.所以是的既不充分也不必要條件.故選：D6.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及代入特殊值可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，令，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于B，若，，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于C，，則a>b>1，即，故選項(xiàng)C對(duì)于D，令，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.7.若函數(shù)值域是，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由條件，結(jié)合不等式性質(zhì)求的范圍即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以，所以，所以，所以，故函數(shù)的值域是.故選：C.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.8【正確答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，對(duì)分類討論，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：，當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解必為3，又，，結(jié)合圖象可知，解得，因?yàn)橐蟮淖畲笾?，所以不必考慮.綜上所述，的最大值為.故選：D方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合與圖象分析：通過畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合不等式的條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法直觀地分析解的分布情況．?dāng)?shù)形結(jié)合是分析不等式解的一個(gè)非常有效的工具．在解題過程中，繪制函數(shù)圖象并結(jié)合不等式條件進(jìn)行討論，是找到解集并確定最大值的關(guān)鍵．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.的根為和B.函數(shù)的零點(diǎn)為和C.D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)三個(gè)二次（二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）之間的關(guān)系，即可得出正確的選項(xiàng).【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，C選項(xiàng)正確；且和是關(guān)于的方程的兩根，則，則，，故D不正確；不等式解集的端點(diǎn)值就是函數(shù)的零點(diǎn)及方程的根，故A正確，B不正確.故選：AC．10.下列說法中正確的是（）A.B.C.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為2D.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為2【正確答案】ABD分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述，成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，令，則在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，而成立，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，，不符合題意，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B.若函數(shù)，則函數(shù)C.若，則函數(shù)中滿足的函數(shù)共有9個(gè)D.若定義在上的函數(shù)滿足，且，則【正確答案】CD【分析】根據(jù)單調(diào)性判斷A，根據(jù)換元法求選項(xiàng)B，根據(jù)映射定義判斷C，根據(jù)賦值法判斷D.【詳解】對(duì)于A，多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用并集符號(hào)連接，用“，”或“和”連接，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，滿足，則集合中剩2個(gè)元素，但集合中仍有3個(gè)元素，集合中每一個(gè)元素在集合中都有3個(gè)相對(duì)應(yīng)，即個(gè)，故C正確；對(duì)于D，，令，則，則，所以，故D正確；故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【正確答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得到的定義域.【詳解】根據(jù)的定義域?yàn)?，即，得到，則的定義域?yàn)?，故答案?13.已知，且，則的最小值是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知式子拼湊出，將乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由可得，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的最小值是，故答案為.14.若函數(shù)在?1,1內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)判別式結(jié)合零點(diǎn)存在原理分類討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的判別式為：，若，即時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為，符合題意，則；當(dāng)，即時(shí)，由，解得且，則且；當(dāng)時(shí)，，方程另一根，當(dāng)時(shí)，，方程中一根，則或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．15.設(shè)全集，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1），（2）或．【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)得到，根據(jù)是否為空集進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或．16.學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的研究調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為，聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的的注意力指數(shù)都為78，聽課時(shí)間為4分鐘的注意力指數(shù)為62；當(dāng)時(shí)，圖象是線段，其中．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳，要使學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，教師安排核心內(nèi)容應(yīng)在什么時(shí)間段？【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件以及圖象求得關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式列不等式，由此求得正確答案.【小問1詳解】由于聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的的注意力指數(shù)都為78，，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入上式得：，解得，所以.所以.小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，老師在時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳．17.（1）解關(guān)于的不等式，其中；（2）若對(duì)任意，都有，則求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）利用分類討論方法求解含參的不等式.（2）變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助二次函數(shù)最值列式求解即得.【詳解】（1）不等式，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）依題意，對(duì)任意的都成立，而當(dāng)時(shí)，不成立，則，且，即，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.18.已知定義在上函數(shù)，其中．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義法進(jìn)行證明；（2）解不等式；（3）設(shè)，若的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，則求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞增；證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義法證明即可；（2）根據(jù)單調(diào)性得到不等式組，求解即可；（3）根據(jù)值域得到有關(guān)的一元二次函數(shù)方程，根據(jù)根的情況得到不等式組，求解即可.【小問1詳解】在0,+∞上單調(diào)遞增；證明：，且，，∵，，∴，，∴，即，∴在0,+∞上單調(diào)遞增；【小問2詳解】∵在0,+∞上單調(diào)遞增，，∴x≥x+3x?1x>0x+3x?1∴；【小問3詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，又∵在上的值域?yàn)?，∴，∴方程有兩個(gè)實(shí)根，，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，∴Δ>0a2a?1219.已知．（1）當(dāng)，時(shí)，求的值域；（2）對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）或【分析】（