2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13.2.1平面的基本性質(zhì)課時(shí)分層作業(yè)含解析蘇教版必修第二冊(cè)VIP

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二十八)平面的基本性質(zhì)(建議用時(shí)：40分鐘)1．下面是四個(gè)命題的敘述(其中A，B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面)，其中敘述方式和推理都正確的是()A．A?α，B?α，∴AB?αB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵A?α，a?α，∴A?aD．∵AB?α，∴A?αC[A錯(cuò)，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；B錯(cuò)，應(yīng)寫為AB?α；C對(duì)．D錯(cuò)，A有可能在α內(nèi)．]2．空間四點(diǎn)A，B，C，D共面而不共線，那么這四點(diǎn)中()A．必有三點(diǎn)共線 B．必有三點(diǎn)不共線C．至少有三點(diǎn)共線 D．不行能有三點(diǎn)共線B[如圖(1)(2)所示，A、C、D均不正確，只有B正確，如圖(1)中A，B，D不共線．(1)(2)]3．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1四點(diǎn)共面C．A，O，C，M四點(diǎn)共面D．B，B1，O，M四點(diǎn)共面D[因?yàn)锳，M，O三點(diǎn)既在平面AB1D1內(nèi)，又在平面AA1C內(nèi)，故A，M，O三點(diǎn)共線，從而易知A、B、C均正確．]4．下列圖形均表示兩個(gè)相交平面，其中畫(huà)法正確的是()ABCD[答案]D5．如圖所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是()ABCDA[圖形A中，連接MN，PQ(圖略)，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ.依據(jù)推論3可知兩條平行直線可以確定一個(gè)平面，故圖形A正確．分析可知圖形B、C、D中這四點(diǎn)均不共面．]二、填空題6．經(jīng)過(guò)空間隨意三點(diǎn)可以作________個(gè)平面．一個(gè)或多數(shù)[若三點(diǎn)不共線，只可以作一個(gè)平面；若三點(diǎn)共線，則可以作出多數(shù)個(gè)平面．]7．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.∈[因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.]8．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．共線[∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝CD．∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點(diǎn)共線．]三、解答題9．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．[證明](1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD．在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，所以P∈EG，又因?yàn)镋G?平面ABC，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，所以P為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC．所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：D1，E，F(xiàn)，B共面．[證明]因?yàn)镈1，E，F(xiàn)三點(diǎn)不共線，所以D1，E，F(xiàn)三點(diǎn)確定一個(gè)平面α.由題意得，D1E與DA共面于平面A1D且不平行，如圖．分別延長(zhǎng)D1E與DA相交于G，所以G∈直線D1E，所以G∈平面α.同理設(shè)直線D1F與DC的延長(zhǎng)線交于H，則H∈平面α.又點(diǎn)G，B，H均在平面AC內(nèi)，且點(diǎn)E是AA1的中點(diǎn)，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB為等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共線于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F(xiàn)，B共面．1．下列命題中是假命題的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?αB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝ABC．若l?α，A∈l，則A∈αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則α與β重合C[C中A是l和α交點(diǎn)時(shí)，A∈α.]2．(多選題)正方體被平面所截得的圖形可能是()A．正三角形 B．正方形C．正五邊形 D．正六邊形ABD[如圖所示，平面與正方體相交與不同的位置，可以出現(xiàn)正三角形，正方形，正六邊形，不行能出現(xiàn)正五邊形，故選ABD．]3．如圖所示，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是________．P∈DE[因?yàn)镈，E兩點(diǎn)都在α內(nèi)，也都在平面ABC內(nèi)，故DE是平面ABC與平面α的交線．又∵P點(diǎn)在α內(nèi)，也在平面ABC內(nèi)，故P點(diǎn)在平面ABC與平面α的交線DE上．]4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么過(guò)P，Q，R的截面圖形是________．正六邊形[如圖所示，取C1D1的中點(diǎn)E，連接RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中點(diǎn)F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，綜上E，G，F(xiàn)，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝eq\f(\r(2),2)AB，∴截面圖形為正六邊形．]5．在棱長(zhǎng)是a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過(guò)D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫(huà)出交線l；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長(zhǎng)；(3)求點(diǎn)D1到l的距離．[解](1)如圖，延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個(gè)公共點(diǎn)．連接QN，則直線QN就是兩平面的交線l.(2)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中點(diǎn)．又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq\f(1,2)D1N.∵N是D1C1的中點(diǎn)，∴A1P＝eq\f(1,4)D1C1＝eq\f(a,4)，∴PB1＝A1B1－A1P＝eq\f(3,4)a.(3)過(guò)點(diǎn)D1作D1H⊥PN于點(diǎn)H，則D1H的長(zhǎng)就是點(diǎn)D1到l的距離．∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq\f(a,2)，∴QN＝eq\r(Q