2023年中考數(shù)學(xué)試題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編與二次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題二次函數(shù)的極值問(wèn)題二次函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)9:與二次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題，二次函數(shù)的極值問(wèn)題,二次函數(shù)的應(yīng)用34頁(yè)

、選擇題

1.（山東省濰坊市）若一次函數(shù)y=（m+l）x+mH勺圖像過(guò)第一、三、四象限，則函數(shù)

7-mi1-wx()

A.有最大值巴B..有最大值-巴C.有最小值巴D.有最小值

答案：C

2.（浙江杭州）如圖，記拋物線的圖象與正半軸的交點(diǎn)為，將線段提成等份.設(shè)

分點(diǎn)分別為，，，，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的I垂線，分別與拋物線交于點(diǎn)，，…,

,再記直角三角形，，…的面積分別為，，…，這樣就有，，…；記，當(dāng)

答案：B

3.

（08

綿陽(yáng)

市）

二次

函數(shù)

—3-2—1012345

y=

ax2+

bx+

c的

部分

對(duì)應(yīng)

值如

下

表：

X

y1250-3-4-30512

運(yùn)用二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)函數(shù)值yVO時(shí),x的取值范圍是（）.

A.xVO或x>2B.0<x<2C.xV-l或x>3D.-l<x<3

答案：D

4.（浙江省嘉興市）?種函數(shù)日勺圖象如圖，給出如下結(jié)論:

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大;②當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨時(shí)增大而減小;

③存在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為0.其中對(duì)的的結(jié)論是（）

A.①@B.①③C.②③D.①②③

答案：C

5.（湖北恩施）將一張邊長(zhǎng)為30cm的正方形紙片的四角分別剪去一種邊長(zhǎng)為xcm代小正

方形，然后折整成一種無(wú)蓋的長(zhǎng)方休.當(dāng)x取下面哪個(gè)數(shù)值時(shí)，長(zhǎng)方休的休積最大（）

A.7B.6C.5D.4

答案：C

6.（泰安）如圖所示是二次函數(shù)口勺圖象在軸上方的一部分，對(duì)于這段圖象與軸所圍成H勺

陰影部分的面積，你認(rèn)為與其最靠近的值是（）

A.4B.C.D.

4一

O

答案：B

7.（山東泰安）函數(shù)的圖象如圖所示，F(xiàn)列對(duì)該函數(shù)性質(zhì)的I論斷不也許對(duì)的的是（）

A.該函數(shù)日勺圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形B.當(dāng)時(shí)，該函數(shù)在時(shí)獲得最小值2

C.在每個(gè)象限內(nèi)，的值隨值的增大而減小D.時(shí)值不也許為1

答案：C

8.（山東臨沂）如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,E、F、G分別是AB、BC、CA上的

點(diǎn)，且AE=BF=CG,設(shè)AEFG的面積為y,AE的長(zhǎng)為x,則y有關(guān)x的函數(shù)的圖象大體是

（）

答案:C

9.（山東濰坊）若一次函數(shù)y=5+l）x+冊(cè)的圖像過(guò)第一、三、四象限，則函數(shù)了=冽J-用工

（）

A.有最大值生B..有最大值-aC.有最小值巴D.有最小值-巴

4444

答案：D

二、境空題

1.（吉林省長(zhǎng)春市）某商店經(jīng)營(yíng)一種水產(chǎn)品，成木為每公斤4（）元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若

按每公斤50元銷(xiāo)售，一種月能售出500公斤;銷(xiāo)色價(jià)每洸1元，月銷(xiāo)售量就減少10公斤，針

對(duì)這種水產(chǎn)品口勺銷(xiāo)售狀況：銷(xiāo)售單價(jià)定為元時(shí)，獲得的利潤(rùn)最多.

答案：70

2.（山東省棗莊市）已知二次函數(shù)（）與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（—2,4）,B

（8,2）（如圖所示），則能使成立日勺的取值范圍是

答案：xV-2或x>8

3.（四川內(nèi)江）如圖，小明H勺父親在相距2米的兩棵樹(shù)間拴了一根繩子，給他做了一種簡(jiǎn)易

的I秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較

近的那棵樹(shù)0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩了十勺最低點(diǎn)距地面的距離為米.

答案：

4.（慶陽(yáng)市）二次函數(shù)的最小值是

答案：4

5.（慶陽(yáng)市）蘭州市“安居工程”新建成口勺一批樓房都是8層高，房子的價(jià)格y（元/平方

米）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=l,2,3,4,5,6,7,8）；已知點(diǎn)（x,y）都在

一種二次函數(shù)H勺圖像上（如圖6所示），則6樓房子的價(jià)格為元/平方米.

答案：2080

6.（甘肅蘭州）農(nóng)村常需要搭建截面為半圓形的全封閉蔬菜塑料暖房如圖11所示，則需要

塑料布（m2）與半徑（m）的函數(shù)關(guān)系式是（不考慮塑料埋在土里的部分）.

答案：

7.（浙江臺(tái)州）如圖，從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度（單位：米）與

小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式是，那么小球運(yùn)動(dòng)中H勺最大

高度

答案:4.9米

一三、簡(jiǎn)答題

1.（浙江省衢州市）已知直角梯形紙片0ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所

示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0（0,0）,A（10,0）,B（8,口），0（0,□）,點(diǎn)T在

線段0A上（不與線段端點(diǎn)重疊），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)

A'）,折痕通過(guò)點(diǎn)T,折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t,折疊

后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S；

（1）求NOAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB上時(shí),S有關(guān)IH勺函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)紙片重疊部分日勺圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍：

（3）S存在最大值嗎？若存住，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)闡明理由。

???NOAB=60°

當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB上時(shí)，???,TA二TA',

???△A'TA是等邊三角形，且，

當(dāng)A'與B重疊時(shí)AT=AB=,

(2)當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)P在線段AB(穴與B重疊)上時(shí)，

紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1),其中E是TA'與CB的交點(diǎn)),

當(dāng)點(diǎn)P與B重疊時(shí),AT=2AB=8,點(diǎn)T的坐標(biāo)是(2,0)

又由(1)中求得當(dāng)A'與B重疊時(shí),T的坐標(biāo)是(6,0)

BE

因此當(dāng)紙片重晝部分的圖形是四邊形時(shí),

(3)S存在最大值

I當(dāng)時(shí)，，

在對(duì)稱(chēng)軸t=10的左邊,S的J值伴隨tU勺增大而減小,

???當(dāng)1=6時(shí),S時(shí)值最大是。

2當(dāng)時(shí)，由圖1,重疊部分的面積

???△A'EB的高是

S邛(1OT)T(1OT-4)“孝

=y(?『+4t+28)=(t-2)W

當(dāng)1=2時(shí),SH勺值最大是；

3當(dāng),即當(dāng)點(diǎn)A'和點(diǎn)P都在線段AR的J延長(zhǎng)線是(如圖2,其中E是TA'與CR的交點(diǎn),

F是TP與CB的交點(diǎn))，

,:,四邊形ETAB是等腰形，???EF:ET=AB=4,

???S.EFOC=1x4x275=4/

22

綜上所述,si向最大值是，此時(shí)t的值是。

2.(。8山東省日照巾)在△AHC中，NA=90°,AH=%AC=3,M是AH上的動(dòng)點(diǎn)(不

與A,B重疊)，過(guò)M點(diǎn)作MN/7BC交AC于點(diǎn)N.以MN為直徑作€)0,并在€)0內(nèi)作內(nèi)

接矩形AMPN.令A(yù)M=x.

(1)用含X的代數(shù)式表達(dá)△MNP的面積S；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，。。與直線BC相切？

(3)在動(dòng)點(diǎn)M日勺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記aKINP與梯形BCNM重疊的面積為y.試求y有

關(guān)x7、J函數(shù)體現(xiàn)式，并求x為何值時(shí),y!T、J值最大，最大值是多少？

由I

解：（1）VMN/7BC,AZAMN=ZB,ZANM=ZC.

:.AAMNsAABC.

,即.

:.AN=2分

3分

(2)如圖2,設(shè)直線BC與。0相切于點(diǎn)D,連結(jié)AO,OD,則AO=0D=MN.

在RtAARC中，RC==5

由（I）知Z\AMNsAABC.

,即

???...........................5分

過(guò)M點(diǎn)作MQLBC于Q,貝IJ.

在RtABMQ與RtABCA中，ZB是公共角,

:.ABMQ^ABCA.

???當(dāng)*=時(shí)，。。與直線BC相切.（3）隨點(diǎn)M日勺運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連

結(jié)AP,則()點(diǎn)為APH勺中點(diǎn).

,:MN〃BC,:.ZAMN=ZB,ZAOM=ZAPC.

，AAMOsAABP.

:..AM=MB=2.

故如下分兩種狀況討論：

圖3

①當(dāng)OVW2時(shí)，.

:.當(dāng)=2時(shí)，.............................8分

②當(dāng)2VV4時(shí)，設(shè)PM,PN分別交BC于E,F.

???四邊形AMPN是矩形,

/.PN〃AM,PN=AM=x.

又。MN〃BC,

???四邊形MBFN是平行四邊形.

/.FN=BM=4—x.

又APEFsAACB.

.......................................9分

10分

當(dāng)2VV4時(shí)，.

???當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足2V<4,.-?????????][

綜上所述.當(dāng)時(shí).值最大.最大值是2.12分

A

圖4

3.（淅江金華）跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線.正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的

手間距AB為6米，到地面歐I距離A0和BD均為0.9米，身高為1.4米的I小麗站在距點(diǎn)0

的水平距離為1米的點(diǎn)F處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)她口勺頭頂點(diǎn)E。以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此拋物線日勺解析式為y=ax2+bx+0.9.（l）求該拋物線B勺解析

式；⑵假如小華站在OD之間，且離點(diǎn)O的距離為3米，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他的

頭頂，請(qǐng)你算出小華的身高；（3）假如身高為1.4米的小麗站在0D之間，且離點(diǎn)011勺距高為

t米，繩子甩到最高處時(shí)超過(guò)她的頭頂，請(qǐng)結(jié)合圖像，寫(xiě)匕t自由取值范圍。

解：（1）小麗頭頂處E點(diǎn)的坐標(biāo)為E（1,1.4）,B口勺坐標(biāo)為（6,0.9）,代入解析式得:

解得：

因此解析式為y=-0.Ix'+O.Gx+0.9

⑵由y=-0.茂+0.6乂+0.9配方得y=-0+18,因此小華的身高為1.8米。

（3）Kt<5

4.（山東省濰坊市）一家化工廠本來(lái)每月利潤(rùn)為120萬(wàn)元，從今年1月起安裝使用回收凈化

設(shè)備（安裝時(shí)間不計(jì)），首先改善了環(huán)境，另首先大大減少原料成本.據(jù)測(cè)算，使用回收凈化

設(shè)備后的1至x月（1WXW12）的利潤(rùn)口勺月平均值w（萬(wàn)元）滿(mǎn)足w=10x+90,次年的月利潤(rùn)

穩(wěn)定在第1年的第12個(gè)月H勺水平。

（1）設(shè)使用回收凈化設(shè)備后口勺1至x月（IWxW⑵的利潤(rùn)和為y,寫(xiě)出y有關(guān)xl向

函數(shù)關(guān)系式，并求前幾種月時(shí)利潤(rùn)和等于700萬(wàn)元？

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，使用回收凈化設(shè)備后的I至x月的利潤(rùn)和與不安裝回收凈化設(shè)

備時(shí)X個(gè)月的利潤(rùn)和相等？

（3）求使用回收凈化設(shè)備后兩年的利潤(rùn)總和.

解：（I）y=xw=x（lOx+9O）=10x2+90x,10x2+90x=700,解得x=5

答：前5個(gè)月的利潤(rùn)和等于700萬(wàn)元

（2）10x2+90x=120x,角牟得,x=3

答：當(dāng)x為3時(shí)，使用回收凈化設(shè)備后的1至x月的利澗和與不安裝回收凈化設(shè)備時(shí)x個(gè)月

的利潤(rùn)和相等.

（3）12（10X12+90）+12（10X12+90）=5040（萬(wàn)元）

5.（浙江杭州）為了防止流感，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對(duì)教室進(jìn)行消毒.已知藥物釋

放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中口勺含藥量（亳克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完

畢后，與口勺函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示.據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出從藥物釋放開(kāi)始，與之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及對(duì)應(yīng)口勺自變量取值范圍；

（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量減少到0.25亳克如下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么

從藥物釋放開(kāi)始，至少需要通過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？

解.：（1）由點(diǎn)P的I坐標(biāo)（3,）可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式為（x>）,

則當(dāng)y=l時(shí),x=，設(shè)正比例函數(shù)的關(guān)系式為，把點(diǎn)（，1）代入可得k二,

即正比例函數(shù)的I關(guān)系式為（2k20）；

（2）把y=0.25代入反比例函數(shù)（x>），得x=6,因此至少要通過(guò)6個(gè)小時(shí)后學(xué)生才能進(jìn)入

教室。

6..（樂(lè)山市）一家電腦企業(yè)推出一款新型電腦，投放市場(chǎng)以來(lái)3個(gè)月的利潤(rùn)狀況如圖（15）所

示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答如下問(wèn)題:

（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式

（2）該企業(yè)在經(jīng)營(yíng)此款電腦過(guò)程中，第幾月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）若照此經(jīng)營(yíng)下去，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對(duì)企業(yè)在此款電腦的J經(jīng)營(yíng)狀況（與否虧損？何

時(shí)虧損？）作預(yù)測(cè)分析。

解：（1）由于圖象過(guò)原點(diǎn)，

故可設(shè)該二次函數(shù)的J解析式為：，...............................................1分

由圖知：

,.......................................................................3分

解得，

..........................................................................4分

（2）當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，..........................................................5分

最大值為（萬(wàn)元）.............................................................7分

（3）當(dāng)，

,解得：或（舍）...........................................................8分

故從第15個(gè)月起，企業(yè)將出現(xiàn)虧損.

（注：若學(xué)生結(jié)合圖象看出成果，同樣給分）9分

7.（大慶市）如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3nl時(shí)，水面寬為

6m,當(dāng)水位上升0.5m時(shí)：

（1）求水面的寬度為多少米？

（2）有一艘游船，它口勺左右兩邊緣最寬處有一種長(zhǎng)方體形狀H勺遮陽(yáng)棚，此船正對(duì)著橋洞在上

述河流中航行.

①若游船寬（指船H勺最大寬度）為2m,從水面到棚頂?shù)母叨葹?.8m,問(wèn)這艘游船能否從橋

洞下通過(guò)？

②若從水面到棚頂口勺高度為m的游船剛好能從橋洞下通過(guò),

則這艘游船的最大寬度是多少米？

解：（1）設(shè)拋物線形橋洞的函數(shù)關(guān)系式為，

???點(diǎn)和在函數(shù)圖象上：

.0

???

?"3

1

??43

e?3

3.

3

由題意可知，點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

，［33?05

3

e.冷岑（米）.

（2）①當(dāng)時(shí)，，

8

3

???這艘游船能從橋洞下通過(guò).

②當(dāng)時(shí),

???這艘游船H勺最大寬度是3米.

8.（山東省青島市）某服裝企業(yè)試銷(xiāo)一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)的銷(xiāo)售單

價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，試銷(xiāo)中銷(xiāo)售?口（件）與銷(xiāo)售單價(jià)口（元）的關(guān)系

可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）.

（1）求丁與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)企業(yè)獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額總成本）為P元，求P與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)x取何值時(shí)，PU勺值最大？最大值

是多少？

解：（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為...........1分

,:通過(guò)（60,400）（70:300）

.6映+b=400

7映+?=300

解得：

???丁與x之間日勺函數(shù)關(guān)系式為丁=-10x+1000

（2）p=（-iox+iooo）（x-50）=-10（1-75尸+6250

,當(dāng)x=75時(shí),P最大，最大利潤(rùn)為6250元............10分

9.（江蘇省無(wú)錫市）已知拋物線口與它的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)口，與口軸交于口，與口軸正半

軸交于口.

（I）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

y

X

..A

（2）設(shè)直線交軸于是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于），過(guò)作軸交直線于，過(guò)作

軸于，求當(dāng)四邊形口勺面積等于時(shí)點(diǎn)口勺坐標(biāo).

解：（1）由題意，知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，

2a......................................................（2分）

-4=?J-2+c,

,,拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.............................................（3分）

（2）由（1）知，點(diǎn)的坐標(biāo)是.設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，

則，，

由，得，，點(diǎn)口勺坐標(biāo)是.

設(shè)直線日勺函數(shù)關(guān)系式是，

則解得，.

直線的函數(shù)關(guān)系式是.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則.

軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)在直線上，，.

軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

,，當(dāng)時(shí),

而，，

點(diǎn)坐標(biāo)為和.（9分）

10.（吉林省長(zhǎng)春市）已知，如圖，直線通過(guò)和兩點(diǎn)，它與拋物線在第一象限內(nèi)相

交于點(diǎn)P,又知的面積為4,求的值.

解：由aAOPA的面積可知P是AB的中點(diǎn)，從而可得4OAP是等腰直角三角形，過(guò)P作PC

±OATC可得P（2,2）,因此a=

11.（吉林省長(zhǎng)春市）如圖，足球場(chǎng)上守門(mén)員在處開(kāi)出一高球，球從離地面1米日勺處飛

出（在軸上），運(yùn)動(dòng)員乙在距點(diǎn)6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方到達(dá)最高點(diǎn)，

距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)試驗(yàn)測(cè)算，足球在草坪上彈起后的拋物線與本

來(lái)的拋物線形狀相似，最大高度減少到本來(lái)最大高度H勺二分之一.

（1）求足球開(kāi)始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的體現(xiàn)式.

（2）足球第一次落地點(diǎn)距守門(mén)員多少米？（取）

（3）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)，他應(yīng)再向前跑多少米？

（取2及二5）

（2）（3分）令

（舍去）.2分

足球第一次落地距守門(mén)員約13米.3分

（3）（4分）解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為

根據(jù)題意：（即相稱(chēng)于將拋物線向下平移了2個(gè)單位）

解得2分

3分

（米）.4分

解法二：令

解得（舍），

點(diǎn)坐標(biāo)為（13,0）.1分

設(shè)拋物線為2分

將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

解得：（舍去），

3分

令

（舍去），

（米）.

解法三：由解法二知，

因此

因此

答：他應(yīng)再向前跑17米.4分

（不答不扣分）

12.（江蘇省連云港市）如圖，既有兩塊全等的直角三角形紙板I,II,它們兩直角邊的長(zhǎng)

分別為1和2.將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的口,口處，直角邊□在口軸上.一直

尺從上方緊施兩紙板放置，讓紙板I沿直尺邊緣平行移動(dòng).當(dāng)紙板I移動(dòng)至□處時(shí)，設(shè)口

與口分別交于點(diǎn)口，與口軸分別交于點(diǎn)□.

（1）求直線兌C所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)是線段（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試探究：

①點(diǎn)到軸的距離與線段H勺長(zhǎng)與否總相等？請(qǐng)闡明理由；

②兩塊紙板重疊部分（圖中口勺陰影部分）口勺面積與否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大

值及取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)闡明理由.

解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2,

知兩點(diǎn)日勺坐標(biāo)分別為.

設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為.2分

|>+b=2,…片=-1?

有，解得，

2k=1

因此，直線所對(duì)應(yīng)H勺函數(shù)關(guān)系式為..........................................4分

（2）①點(diǎn)到軸距離與線段的長(zhǎng)總相等.

由于點(diǎn)H勺坐標(biāo)為，

因此，直線所對(duì)應(yīng)日勺函數(shù)關(guān)系式為.

又由于點(diǎn)在直線上，

因此可設(shè)點(diǎn)口勺坐標(biāo)為.

過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)，則有.

由于點(diǎn)在直線上，因此有................................................................6分

由于紙板為平行移動(dòng)，故有，即.

又，因此.

法一：故，

從而有.

得，

因此.

乂有8分

因此，得，而，

從而總有.................................................................................10分

法二：故，可得.

故

因此.

故點(diǎn)坐標(biāo)為.

設(shè)直線所對(duì)應(yīng)E向函數(shù)關(guān)系式為，

3-a=+

c-2

則有，3解得，

0=—c(d—l)+*f.d=3—%

?一

因此，直線所對(duì)日勺函數(shù)關(guān)系式為.......................................................8分

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得.解得

而，從而總有...........................................................................................................................10分

②由①知，點(diǎn)的I坐標(biāo)為，點(diǎn)H勺坐標(biāo)為

11.1113(J—3

-AWxOH——OGxh=—x—ax?！?x-------x(a-D

222222

......................................................................................................................................................12分

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為.

取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.14分

（第24題雒）

13.（四川瀘州）如圖H,己知二次函數(shù)的圖像通過(guò)三點(diǎn)A,B,C，它的頂點(diǎn)

為M,又正比例函數(shù)的圖像于二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D.E,且P是線段DE歐|中點(diǎn)。

⑴求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑵已知點(diǎn)E,且二次函數(shù)的函數(shù)值不小于正比例函數(shù)時(shí)，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條

件的自變量的取值范圍；

⑶當(dāng)時(shí)，求四邊形PCMB的面積H勺最小值。

【參照公式：已知兩點(diǎn)，，則線段DEH勺中點(diǎn)坐標(biāo)為】

,解得

故函數(shù)解析式是：。

由知，

點(diǎn)M(1,4)。

(2)由點(diǎn)E在正比例函數(shù)的圖像上得，

，故，

由解得D點(diǎn)坐標(biāo)為(〕，

由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值不小于正比例函數(shù)時(shí)，自變量的取值范圍是。

(3)設(shè)點(diǎn)D、E,因外P是線段DE口勺中點(diǎn)。則P，由

y-kx

y=-X2+2X+3

整頓得：。由韋達(dá)定理得：

玉+X,=2—左,)[+y2=k(X[+x2)=k(2-k)

則P號(hào)絲百

22

由，知點(diǎn)P在第一象限。

由點(diǎn)B,C,M(1,4),過(guò)

715

S四邊形CO8W=5四邊形CONW+S'BNM=]+4=W

《_3.2-kk(2-k)A

^ACOP十JMOP~耳L-22」

.e_q7”3代-3k+24

一°四邊形CF3M一J四邊形CO8M一U'ACOP十一一4

故當(dāng)時(shí)，四邊形PCMBFJ面積值最小，最小值是

14.(湖北荊門(mén))某人定制了一批地磚，每塊地磚(如圖⑴所示)是邊長(zhǎng)為0.4米的正方

形ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，ACFE^^ABE和四邊形AEFD均由單一材料

制成，制成aCFE、AABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20

元、10元，若將此種地豉按圖⑵所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分構(gòu)成四邊形

EFGH.

(I)判斷圖Q)中四邊形EFGH是何形狀，并闡明理由；

(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需時(shí)材料費(fèi)用最??？

⑴⑵

解：(1)四邊形EFGH是正方形.

圖⑵可以看作是由四塊圖⑴所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到血故

CE=CF=CG.AACEF是等腰直角三角形.因此四邊形EFGH是正方形.

(2)設(shè)CE=x,則BE=0.4~x,每塊地磚的I費(fèi)用為y,那么

2

尸Lx3()+LX0.4X(0.4-A)X20+[0.\6~LX2-LX0.4X(().4-X)X10]

2222

=10(X2-0.2X+0.24)

=10[(x-0,1p+0.23](0<x<04).

當(dāng)x=0.1時(shí),y有最小值,即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE二CF=O.1.

答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最省.

15.（湖北恩施）為了貫徹國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神，近來(lái),

州委州政府又出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增長(zhǎng).某農(nóng)戶(hù)生產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)一

種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/公斤.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量w

（公斤）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/公斤）有如下關(guān)系：w=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y

（元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少？

（3）假如物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)不得高于23元/公斤,該農(nóng)戶(hù)想要每天獲得150

元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？

解：（1）甲地當(dāng)年【I勺年銷(xiāo)售額為萬(wàn)元；

（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷(xiāo)售時(shí)，

年利潤(rùn).

由，解得或.

經(jīng)檢查，不合題意，舍去，.

（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷(xiāo)售時(shí)，年利潤(rùn)，

將代入上式，得（萬(wàn)元）；將代入，

得（萬(wàn)元）.，應(yīng)選乙地.

16.（河北）研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷(xiāo)狀況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷(xiāo)

售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為（噸）時(shí)，所需的I所有費(fèi)用（萬(wàn)元）與

滿(mǎn)足關(guān)系式，投入市場(chǎng)后當(dāng)年能所有售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)，（萬(wàn)元）均與

滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系.（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售額一所有費(fèi)用）

（1）成果表明，在甲地生上并銷(xiāo)售噸時(shí)，，請(qǐng)你用含時(shí)代數(shù)式表達(dá)甲地當(dāng)年的年銷(xiāo)售額,

并求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）與之間的函數(shù)關(guān)系式:

（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷(xiāo)售噸時(shí)，（為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤(rùn)為

35萬(wàn)元.試確定時(shí)值；

（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種原因的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷(xiāo)售該產(chǎn)品18噸，根

據(jù)（I）,（2）中日勺成果，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷(xiāo)才能獲得較大

的年利潤(rùn)?

參照公式：拋物線口口勺頂點(diǎn)坐標(biāo)是口

17.（重慶）已知：如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,4）,與x軸交于點(diǎn)A.B,點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（4,0）。

（1）求該拋物線歐I解析式；

（2）點(diǎn)、Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE〃AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ。當(dāng)aCQE的J

面積最大時(shí)，求點(diǎn)QH勺坐標(biāo)；

（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,

0）。問(wèn)：與否存在這樣的直線，使得AODF是等腰三角形？若存在，祈求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)闡明理由。

解：（I）由題意，得）

L=-l.

解得，2

c=4.

所求拋物線的解析式為：.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn).

即..

=、BQ￡O?\BQ豁

M4

=；（冽+2）（4?2w+4

3

又，

當(dāng)時(shí)，有最大值3,此時(shí).

（3）存在.

在中.

（i）若，，.

又在中，，

.此時(shí)，點(diǎn)的I坐標(biāo)為.

由，得，.

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或.

（ii）若，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

由等腰三角形U勺性質(zhì)得：，，

在等腰直角中，..

由，得，.

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或.

（iii）若，，且，

點(diǎn)到的距離為，而，

此時(shí)，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形.

綜上所述，存在這樣口勺直線，使得是等腰三角形.所求點(diǎn)的坐標(biāo)為:

R1+￡2）或尸（1—有,2）或戶(hù)（1+《3）或尸（1-

18.解:（1）由拋物線過(guò)敏0,1）得c=l.

又b=~4ac,頂點(diǎn),4(——,0),

2a

==2c=2.AA(2,0).

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b+l=0,

入Y.解得〃=L,b=-l.

4a+2^>l-0.4

故拋物線的解析式為y=x2-x+l.

另解：由拋物線過(guò)B（0,1）得c=l.又b2-4ac=0,b=-4ac,b=-1.

，故y=x-x+1.

y

PiAPi

(2)假設(shè)符合題意的點(diǎn)C存在，其坐標(biāo)為C(x,y),

作CD_Lx軸于D，連接AB.AC.

TA在以BC為直徑的圓上,???NBAC=90°.

???AAOB^ACDA.

AOB?CD=OA-AD.

即1?y=2(x-2),；.y=2x-4.

由

八9-x.L

解得xl=10,x2=2.

???符合題意U勺點(diǎn)C存在，且坐標(biāo)為(10,16),或(2,0).

TP為圓心，???P為BC中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(10,16)時(shí)，取OD中點(diǎn)P1,連PP1,則PP1為梯形OBCD

中位線.

APP1=(OB+CD)=.VD(10,0),API(5,0),AP(5,).

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0)時(shí)，取OA中點(diǎn)P2,連PP2,則PP2為aOAB日勺中

位線.

PP2=OB=.VA(2,0),AP2(l,0),).

故點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,)，或(1,).

(3)設(shè)B、P、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為B(xl,yl),P(x2,y2),C(x3,y3),由(2)可知:

必2m2

19.（江西）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出三條與上述拋物線有關(guān)的不一樣類(lèi)型的結(jié)論；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左邊）；與軸分別交于兩點(diǎn)（在

的左邊），觀測(cè)四點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)寫(xiě)出一種你所得到的對(duì)的結(jié)論，并闡明理由；

（3）設(shè)上述兩條拋物線相交于兩點(diǎn)，直線都垂直于軸，分別通過(guò)兩點(diǎn)，在直線Z

間，且與兩條拋物線分別交于兩點(diǎn)，求線段日勺最大值.

（1）解：答案不唯一，只要合理均可.例如：

①拋物線開(kāi)口向下，或他物線開(kāi)口向上；

②拋物線H勺對(duì)?稱(chēng)軸是，或拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是；

③拋物線通過(guò)點(diǎn)，或他物線通過(guò)點(diǎn)；

④拋物線與的1形狀相似，但開(kāi)口方向相反；

⑤拋物線乂=一"?-ax+l與%=」?一"-1都與工軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

⑥拋物線乃=-ax'通過(guò)點(diǎn)或拋物線必=或？1通過(guò)點(diǎn)

等等?......................................................................3分

（2）當(dāng)時(shí)，，令，

解得...........................................................................4分

，令，解得.................................................................5分

①點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

②（5加+。+%+今=口二A，N,E,尸四點(diǎn)橫坐標(biāo)U勺代數(shù)和為0；

③（或）.6分

（3）,

拋物線開(kāi)口向下，拋物線開(kāi)口向上...........................................7分

根據(jù)題意，得...................................................................8分

當(dāng)時(shí)，H勺最大值是2.........................................................9分

闡明：1.第（1）問(wèn)每寫(xiě)對(duì)一條得1分；

2.第（2）問(wèn)中，①②③任意寫(xiě)對(duì)一條得1分；其他結(jié)論參照給分.

20.（安徽）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技演出，演員從蹺蹺板右端處彈跳到人梯頂端椅子處，其身體

（當(dāng)作一點(diǎn)）的路線是拋物線的一部分，如圖.

（1）求演員彈跳離地面的最大高度；

（2）已知人梯高米，在一次演出中，人梯到起跳點(diǎn)的水平距離是4米，問(wèn)這次演出與

否成功？造闡明理由.

［解］（1）?,函數(shù)的最大值是.

答：演員彈跳的最大高度是米.

（2）當(dāng)時(shí)，，因此這次演出成功.

21.（08莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果園有100棵枇杷樹(shù)。每棵平均產(chǎn)量為40

公斤，現(xiàn)準(zhǔn)備多種某些枇杷樹(shù)以提高產(chǎn)量，不過(guò)假如多種樹(shù)，那么樹(shù)與樹(shù)之間的距離和

每一棵數(shù)接受口勺陽(yáng)光就會(huì)減少，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，每多種一棵樹(shù).投產(chǎn)后果園中所有的枇

杷樹(shù)平均每棵就會(huì)減少產(chǎn)量0.25公斤，問(wèn)：增種多少棵枇杷樹(shù)，投產(chǎn)后可以使果園枇杷

的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少公斤？

注：拋物線日勺頂點(diǎn)坐標(biāo)是

解:設(shè)增種x棵樹(shù)，果園的總產(chǎn)量為y公斤，

依題意得:y=(100+x)(40-0.25x)

=4000-25x+40x-0,25x2=-0.25x2+15x+4000

由于a=-0.25〈()，因此當(dāng)，y有最大值

4四-/4X(-0.25)X4000-152.(族)

V-2=--------=-------------------------=4225答；(略)

-4a4x(-0.25)

22.（08烏蘭察布市）兩個(gè)直角邊為6的全等口勺等腰直角三角形和，按如圖一所示口勺位

置放置，點(diǎn)與重疊.

（1）固定不動(dòng)，沿軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度日勺速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重置時(shí)

停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒后，和的重疊部分面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)以（1）中的速度和方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒時(shí)，運(yùn)動(dòng)到如圖二所示口勺位置，若

拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（3）既有?動(dòng)點(diǎn)在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與否存在點(diǎn)到軸或

軸的距離為2的狀況，若存在，祈求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)闡明理由

解：（I）由題意知重疊部分是等腰直角三角形，作.

(0<x<3).......................................5分

(2)4(6.6))

當(dāng)時(shí),

6=—

4

h=3

2=%+

?........................................................................................................................................................5分

A

C>vA

D0HE,

(3)設(shè).

當(dāng)點(diǎn)到軸的距離為時(shí)，有，.

當(dāng)時(shí)，得，

當(dāng)吐得.

當(dāng)點(diǎn)到軸的距離為2時(shí)，有.

4

=1(X-2)2+2>0

當(dāng)時(shí)，得.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是?4分

23.(08綿陽(yáng)市)青年企業(yè)家劉敏準(zhǔn)備在北川禹里鄉(xiāng)投資修建一種有30個(gè)房間供旅

客住宿的旅游度假村，并將其所有利潤(rùn)用于災(zāi)后重建.據(jù)測(cè)算，若每個(gè)房間的定價(jià)為6。元/

天，房間將會(huì)住滿(mǎn)；若每個(gè)房間的定價(jià)每增長(zhǎng)5元/天時(shí)，就會(huì)有一種房間空閑.度假村對(duì)

旅客住宿日勺房間將支出?多種費(fèi)用20元/天?間(沒(méi)住宿日勺不支出).問(wèn)房?jī)r(jià)每天定為多少

時(shí)，度假村的利潤(rùn)最大？

解：設(shè)每天的房?jī)r(jià)為60+5x元，則有x個(gè)房間空閑，已住宿了30—x個(gè)房間.

于是度假村的利潤(rùn)y=(30-x)(60+5x)-20(30—x),其中0WxW30.

/.y=(30-x)?5?(8+x)=5(240+22x-x2)=-5(x-11)2+1805.

因此，當(dāng)x=11時(shí),y獲得最大值1805元，即每天房?jī)r(jià)定為115元/間時(shí)；度假村的

利潤(rùn)最大.

法二設(shè)每天的房?jī)r(jià)為x元，利潤(rùn)y元滿(mǎn)足

（60/xW210,是5的倍數(shù)）.

法三設(shè)房?jī)r(jià)定為每間增長(zhǎng)X元，利潤(rùn)y元滿(mǎn)足

=（0WxW150,是5口勺倍數(shù)）.

24.（黑龍江哈爾濱）小李想用籬笆圍成一種周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S（單位：平

方米）隨矩形一邊長(zhǎng)x（單位：米）的變化而變化.

（1）求S與x之間口勺函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的J取值范圍;

（2）當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？

（參照公式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0,當(dāng)x=時(shí)，）

解：（1）根據(jù)題意，得..........................................................1分

自變量X的取值范圍是0<X<30.............................................1分

（2）,有最大值..............................................................I分

b30

x=-------=15分

2a2x(-1)

3=且但

1分

?大4a4x(-1)

當(dāng)時(shí),

答：當(dāng)為15米時(shí)，才能使矩形場(chǎng)地面積最大，最大面積是225平方米.

25.（湖南株洲）如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,-2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,

-1）,二次函數(shù)的I圖象為.

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A,但不過(guò)點(diǎn)B,寫(xiě)出平移后的拋物線的一種

解析式（任寫(xiě)一種即可）.

（2）平移拋物線，使平移后的拋物線過(guò)A.B兩點(diǎn)，記拋物線為，如圖（2）,求拋物線

H勺函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C日勺坐標(biāo).

（3）設(shè)P為y軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）請(qǐng)?jiān)趫D（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上與否存在點(diǎn)Q,使為等腰三角形.

若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)Q共有幾種也許的位置（保留作圖痕跡）：若不存在，請(qǐng)闡明理

由.

解：（1）八