天津市南開區(qū)2023-2024學年高二下學期7月期末考試 數(shù)學 含解析

2023—2024學年度第二學期階段性質量監(jiān)測高二年級數(shù)學學科本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時間100分鐘.一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，，，則集合C子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.82.已知正實數(shù)，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的大致圖象為（）.A. B.C. D.4.已知，，，則（）.A B.C. D.5.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關于相關系數(shù)比較，正確的是（）A. B. C. D.6.函數(shù)的一個單調增區(qū)間是（）A. B. C. D.7.根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.07227063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（）A.有95%的把握認為變量x與y獨立B.有95%的把握認為變量x與y不獨立C.變量x與y獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%D.變量x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%8.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調查一名學生，他近視的概率大約是（）A B. C. D.9.三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.12種10.已知函數(shù)，，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.11.已知展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．12.計算：______．13.已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關關系，且回歸方程為，則__________．14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.15.已知正實數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.三、解答題：（本大題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知展開式中的常數(shù)項為.（1）求實數(shù)的值；（2）若展開式中各項系數(shù)的和為，求該展開式中的系數(shù).17.學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球、個黑球；乙箱子里裝有個白球、個黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出個球，若摸出的白球不少于個，則獲獎.（每次游戲結束后將球放回原箱）（I）求在一次游戲中，（i）摸出個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（II）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望18.已知曲線在點處的切線與直線平行，.（1）求的值；（2）過坐標原點作曲線的切線，求的方程.19.李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立.假設李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設道路上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路，上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到.（1）求李先生的小孩按時到校的概率；（2）判斷李先生是否有七成把握能夠按時上班.20.已知函數(shù)，．（1）討論的極值；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范圍．2023—2024學年度第二學期階段性質量監(jiān)測高二年級數(shù)學學科本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時間100分鐘.一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，，，則集合C的子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出集合即可得解.【詳解】集合，，則，所以集合子集個數(shù)為.故選：C2.已知正實數(shù)，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當時可得必要性不成立，即可得出結果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D3.函數(shù)的大致圖象為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號變化以及函數(shù)的單調性，結合排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的，，故函數(shù)的定義域為，當時，；當時，，排除B選項；因為，當或時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，故A正確.故選：A.4.已知，，，則（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質判斷大小關系即可.【詳解】因為，，所以．故選：B5.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關于相關系數(shù)的比較，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布可得相關性的強弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對應的圖中的散點呈現(xiàn)正相關，而且對應的相關性比對應的相關性要強，故，所對應的圖中的散點呈現(xiàn)負相關，且根據(jù)散點的分布情況可知,因此，故選：C6.函數(shù)的一個單調增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復合函數(shù)單調性法則“同增異減”即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為.要求函數(shù)一個單調增區(qū)間，只需求的增區(qū)間，只需.所以.所以函數(shù)一個單調增區(qū)間是.故選：C7.根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（）A.有95%的把握認為變量x與y獨立B.有95%的把握認為變量x與y不獨立C.變量x與y獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%D.變量x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%【答案】D【解析】【分析】依據(jù)表中給出的獨立性檢驗求解.【詳解】解：因為，且，所以依據(jù)表中給出的獨立性檢驗知：變量x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%，故選：D8.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調查一名學生，他近視的概率大約是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計算可得.【詳解】設事件為“任意調查一名學生，每天玩手機超過”，事件為“任意調查一名學生，該學生近視”，則，，所以，則．故選：C9.三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）A.4種 B.5種 C.6種 D.12種【答案】C【解析】【分析】按甲先傳給乙和甲先傳給丙分兩類，兩類方法相等，對第一類用列舉法寫出不同的傳遞方式后可得．【詳解】解析：若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳遞方式；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種不同的傳遞方式.答案：C．10.已知函數(shù)，，若方程的所有實根之和為4，則實數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合圖象按、、分類討論，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)去判斷方程根的個數(shù)，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，的對稱軸為，則實根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)，如下圖，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個交點，且交點橫坐標大于1，即，函數(shù)與函數(shù)有2個交點，且2個交點關于對稱，則方程有兩根，且兩根和為2，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，，時，可得，或，時，，可得，，，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個交點，則方程有5個根，且5個根的和為5，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，分別為，即，或，，當時，函數(shù)與函數(shù)無交點，不符合題意；當時，函數(shù)與函數(shù)有4個交點，且關于對稱，所以4個交點橫坐標之和為4，則方程有4個根，且4個根之和為4，符合題意，綜上，實數(shù)取值范圍是.故選：C.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.11.已知展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．【答案】4【解析】【分析】先求出，再求出展開式的通項，知當時，展開式中系數(shù)為有理數(shù)，即可求出展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù).【詳解】依題意，知，，則展開式的第項為，當時，展開式中系數(shù)為有理數(shù)，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為.故答案為：4.12.計算：______．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)冪的計算公式求解即可【詳解】故答案為：1813.已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關關系，且回歸方程為，則__________．【答案】【解析】【詳解】將代入回歸方程為，可得，應填答案．點睛：解答這類問題的常規(guī)方法就是先求出，再借助這個點的坐標滿足回歸方程為這一結論，將其代入回歸方程可方程，然后通過解方程得到，使得問題獲解．14.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：115.已知正實數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.【答案】.【解析】【詳解】試題分析：，由題意得，，令，∴，當且僅當，時，等號成立，即所求最大值為，故填：.考點：基本不等式求最值.三、解答題：（本大題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知展開式中的常數(shù)項為.（1）求實數(shù)的值；（2）若展開式中各項系數(shù)的和為，求該展開式中的系數(shù).【答案】（1）（2）0【解析】分析】（1）寫出通項，令，即可得解；（2）由的展開式中的各項系數(shù)的和為，令x=1，求得的值，再利用通項公式求展開式中的系數(shù).【小問1詳解】根據(jù)題意，的通項,令，得，則，解得；【小問2詳解】由（1）得，因為其展開式中各項系數(shù)的和為，令，得，解得，所以，因為展開式的通項為，則展開式中項為，故該展開式中的系數(shù)為0.17.學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球、個黑球；乙箱子里裝有個白球、個黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出個球，若摸出的白球不少于個，則獲獎.（每次游戲結束后將球放回原箱）（I）求在一次游戲中，（i）摸出個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（II）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望【答案】（I）（i）；（ii）；（II）見解析【解析】【分析】（I）（i）摸出三個白球說明甲箱子取個白球，乙箱子取個白球，個黑球，根據(jù)古典概型概率公式求得結果；（ii）獲獎的情況包括摸出個白球或個白球，根據(jù)和事件的概率公式，結合古典概型求得結果；（II）確定所有可能的取值，可知，利用二項分布概率公式計算得到每個取值對應的概率，從而得到分布列；再利用二項分布數(shù)學期望計算公式求得.【詳解】（I）記“在一次游戲中摸出個白球”為事件，（i），即摸出個白球的概率為：（ii）即獲獎的概率為：（II）由題意可知，所有可能的取值為：，且則；；的分布列如下：【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解、和事件概率的求解問題、服從于二項分布的隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求解，是對概率部分知識的綜合考查，屬于?？碱}型.18.已知曲線在點處的切線與直線平行，.（1）求的值；（2）過坐標原點作曲線的切線，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，可解；（2）設切點，先求出過原點的切線方程，解出，即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，則，且，因為曲線在點處的切線與直線平行，所以，則；【小問2詳解】由（1）知，，則，設切點，由于，則切線，因為切線過原點，所以，即，設，當時，，則沒有零點，當時，，則在單調遞增，由，知是的唯一零點，所以有唯一解，所以切線的方程為.19.李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立.假設李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班.假設道路上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路，上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到.（1）求李先生的小孩按時到校的概率；（2）判斷李先生是否有七成把握能夠按時上班.【答案】（1）（2）李先生沒有七成把握能夠按時上班【解析】【分析】