第三節(jié) 定積分的應(yīng)用

第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積二、體積一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)的情形設(shè)平面圖形是由連續(xù)曲線和直線圍成．在[a,b]上，如下圖所示．取x為積分變量，上的窄曲邊梯形面積近似于以為高、底為dx的矩形面積,在變化區(qū)間從而得到面積微元以面積微元為被積表達(dá)式，在[a,b]上作定積分,得所求面積:同理，如果平面圖形是由連續(xù)曲線和直線圍成,且在上圖形的面積為那么該平面例1

求由兩條拋物線圍成的條曲線的交點(diǎn),為此解方程組圖形的面積．解圍成的圖形如圖所示，先求這兩得交點(diǎn)(0,0)及(1,1).取x為積分變量，則圖形在直線x=0與x=1之間，應(yīng)用公式(1)得例2

求拋物線與直線圍成的圖形的面積．解所圍圖形如圖所示，先求拋物線與直線的交點(diǎn)以確定圖形范圍．解方程組得交點(diǎn)(2,-2)和(8,4).取y為積分變量，應(yīng)用公式(2)得作直線x=2將圖形分成兩部分，分別應(yīng)用注：此題若選x作積分變量,必須過點(diǎn)(2,-2)公式，可得例3

求曲線y=lnx,x=2及x軸圍成的平面圖形的面積．解如圖所示,如果選擇x為積分變量,它的變化范圍為[1,2]，則所求面積如果選擇y為積分變量，那么它的變化范圍為[0,ln2]，于是所求面積例4

求擺線的一拱與x軸圍成的圖形的面積(如圖).解所求面積為將

代入上述積分公式，并應(yīng)用定積分的換元積分法換限，當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)時(shí)，.得二、體積1.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)有一立體(如下圖所示)，在分別過點(diǎn)且垂直于x軸的兩平面之間，它被垂直于x軸的平面所截的截面面積為已知的連續(xù)函數(shù)A(x).取x為積分變量,積分區(qū)間為[a,b],在[a,b]上取代表區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于底面積為A(x)、高為dx的柱體體積，即體積微元從而，所求立體的體積例7

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面夾角為α，截得一楔形立體(如下圖所示)，求這楔形立體的體積．

2.旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a,x=b及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，如圖所示．取橫坐標(biāo)x為積分變量，積分區(qū)間為[a,b]，

且垂直于x軸的平面截旋轉(zhuǎn)用過點(diǎn)體，所得的截面是半徑為的圓盤，則截面面積為于是旋轉(zhuǎn)體的體積同理，由連續(xù)曲線與直線y=cy=d及y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積(如下圖所示)例8

求由橢圓旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積．圍成的圖形繞y軸解旋轉(zhuǎn)橢球體如圖所示，可看作由右半橢圓及y軸圍成的圖形繞繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的．由公式可得當(dāng)a=b便得到半徑為a的球體的體積例9

求由曲線的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積．與解如圖所示，解方程組圍成得交點(diǎn)(1，1)及(-1，1).，該旋轉(zhuǎn)體的體積V