廣東省汕頭市2024-2025學年高三期末統(tǒng)測數學試題（含解析）

廣東省汕頭市2024-2025學年高三年級期末統(tǒng)測數學試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個選項正確.1.下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（）A.B.C.D.2.若，，則（）A.B.C.D.3.已知平面向量滿足：，，則（）A.B.C.D.4.我們研究成對數據的相關關系，其中，，.在集合中取一個元素作為的值，使得這組成對數據的相關程度最強，則（）A.B.C.D.5.某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價格，隨機抽取100戶居民，得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據直方圖的數據信息，下列結論中正確的是（）A.100戶居民的月均用水量的中位數大于B.100戶居民的月均用水量低于的用戶所占比例超過90%C.100戶居民的月均用水量的極差介于與之間D.100戶居民的月均用水量的平均值介于與之間6.已知為坐標原點，為拋物線的交點，點在上，且，則的方程為（）A.B.C.D.7.已知正四棱臺的上、下底面面積分別為18、32，下底面上的棱與側棱所成角的余弦值為，則該四棱臺的體積為（）A.B.C.D.8.設函數，若，則的最小值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，，則（）A.若，則曲線表示兩條直線B.若，則曲線是橢圓C.若，則曲線是雙曲線D.若，則曲線的離心率為10.已知，則（）A.若，，且，則B.，使得的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于原點對稱C.當時，函數，恰有三個零點，且，則D.若在上恰有2個極大值點和1個極小值點，則11.若將函數的圖象繞原點逆時針旋轉后得到的曲線依然可以看作一個函數的圖象，則下列函數中符合條件的有（）A.B.C.D.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數列中，且，，成等差數列，則.（結果用冪表示）13.已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，若，則雙曲線的漸近線方程為.14.如圖，在山腳測得山頂的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走米到達處，在處測得山頂的仰角為，則山高.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校為了解高三學生每天的作業(yè)完成時長，在該校高三學生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時長進行了調研，結果如下表所示：用表格中的頻率估計概率，且每個學生完成各科作業(yè)時互不影響.（1）從該校高三學生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內完成各科作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內”的學生中隨機選取3人，其中共有人可以在2小時內完成各科作業(yè)，求的分布列和數學期望；（3）從該校高三學生（學生人數較多）中隨機選取3人，其中共有人可以在3小時內完成各科作業(yè)，求.16.已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與交于兩點（點在軸上方），的面積是面積的2倍.（1）求直線的方程；（2）求.17.如圖，平面四邊形中，，,,，，點為中點，于，將沿翻折至，使得.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.已知函數.（1）證明曲線是軸對稱圖形；（2）設函數，解不等式（是自然對數的底數）.19.設為無窮數列，為正整數集的無限子集，且，則數列稱為數列的一個子列.（1）請寫出一個無窮等差數列，其任意子列均為等比數列；（2）設無窮數列為等差數列，，，證明：的任意子列不是等比數列；（3）對于公差不為零的無窮等差數列，試探究其任意子列不是等比數列的一個充分條件.參考答案一、選擇題1.B解析：選項A,D均是全稱量詞命題，B,C均是存在量詞命題，當時，，B為真命題，當，C為假命題.2.C解析：由得：，解得.3.A解析：根據平面向量線性運算與模的幾何意義，如圖，.4.B解析：顯然前9個點位于直線上，且，則越接近10，相關性越強，∴.5.C解析：月均用水量低于的用戶頻率為，A錯誤；月均用水量低于的用戶頻率為，B錯誤；月均用水量的極差的最大值為，最小值為，C正確；由直方圖可直觀觀察出D錯誤.6.B解析：∵，由拋物線的定義得：，即，由點在上得，∴，故的方程為.7.A解析：依題意上、下底面邊長分別為，作于，于，得三棱錐，則，，由題設得，，∴,.8.D解析：由題意，若，則當時，，不合題意；若，則當時，，不合題意；若，則當時，，不合題意；∴，此時，，則，當時，；當時，；，符合題意，∴，當且僅當時，即時，等號成立.二、選擇題9.ACD解析：若，則，曲線的方程為，表示兩條直線，A正確；若，則當時，曲線表示圓，故B錯誤；若，由知曲線表示雙曲線,故C正確；若，則曲線表示等軸雙曲線，故D正確10.BCD解析：，對于A，依題意，周期，∴，故A錯誤；對于B，依題意，函數圖象關于對稱，則，得，又，∴，故B正確；對于C，函數，，令得，∴在上恰有兩條對稱軸，.從而，故C正確；對于D，由得，解得，D正確.11.AC解析：若函數逆時針旋轉后所得函數仍是一個函數，則其圖象與直線均不能有兩個或兩個以上的交點.對于，設，則，則為上的減函數，且曲線與直線恰有1個交點，符合題意，A正確；對于，設，則，，則在存在零點，不符合題意，B錯誤；對于，設，恰有一個零點，符合題意，C正確；對于，作出圖象，易知不符合題意，D錯誤.三、填空題12.解析：依題意，，從而，∴，.13.解析：法一：顯然直線為雙曲線的漸近線，且，由得：，整理得，∴，從而雙曲線的漸近線方程為.法二：在中由余弦定理得，在中，，兩式相加得，整理得，∴，從而雙曲線的漸近線方程為.14.（也可）解析：法一：在中，，，，∴，由正弦定理得：，故，從而中，.法二：在中，，，，∴，由正弦定理得：，故，從而.四、解答題15.解：（1）樣本中，可以在3小時內完成各科作業(yè)的學生頻率為，∴從該校高三學生中隨機選取1人，可估計他在3小時內完成各科作業(yè)的概率為.（2）樣本中，完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內的學生共7人，其中砸2小時內完成的有3人，則服從超幾何分布，其分布列為：，，即則.（3）依題意，可近似為服從二項分布，即，∴.16.解：（1）法一：由得：，∴，解得，設到直線的距離分別為，則由得：，∴，解得或（舍去），故直線的方程為：.法二：設直線與軸的交點為，∵，且，∴，從而，解得，故直線的方程為：.（2）設，中，由余弦定理得：即，∴，從而，由得：,解得點的縱坐標為，∴，故.17.解：（1）證明：依題意，，，又，∴平面，∵，即，∴，故平面.（2）連接，∵，，∴，即，又，，∴平面，又平面，∴，如圖，以點為原點，分別以直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，∴，，設平面的法向量為，則，不妨取，得，又為平面的一個法向量，∴，故平面與平面的夾角的余弦值為.18.解：（1）由得的定義域為，∴曲線關于直線對稱.（2）由得：，令，則，，∴在上單調遞增，從而，∴在上單調遞增，∴，即，故是上的增函數，由得的解集為.19.解：（1）常數列1,1,1，…符合題意.（2）若存在一個子列是等比數列，則中必存在某三項成等比數列，下證的任意三項不能構成等比數列，假設，其中且，∵公差，∴，從而，整理得，①若，則，從而，與矛盾，∴，此時，①中左邊為無理數，右邊為有理數，不可能相等，∴假設不成立，故的任意三項不能都成等比數列，從而的任意子列不是等比