新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題18環(huán)排問題含答案及解析

專題18環(huán)排問題例1．7顆顏色不同的珠子，可穿成種不同的珠子圈．例2．6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？例3．有5個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內(nèi)各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余4個匣子，那么鑰匙的放法有種．例4.8人圍桌而坐,共有多少種坐法?例5．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種例6．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數(shù)字作答）例7．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？

專題18環(huán)排問題例1．7顆顏色不同的珠子，可穿成種不同的珠子圈．【解析】因?yàn)橛捎诃h(huán)狀排列沒有首尾之分，將個元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成個元素排成一排，即共有種排法．由于個元素共有種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有種排法，而珠子圈沒有反正，故7顆顏色不同的珠子，可穿成種不同的珠子圈．故答案為：360．例2．6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？【解析】因?yàn)橛捎诃h(huán)狀排列沒有首尾之分，將個元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成個元素排成一排，即共有種種排法．由于個元素共有種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有有種種排法，而鉆石圈沒有反正，故6顆顏色不同的鉆石，可穿成種不同的鉆石圈．例3．有5個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內(nèi)各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余4個匣子，那么鑰匙的放法有種．【解析】在砸開的匣子中必放有另一個匣子的鑰匙，在匣子中又放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有被砸開的匣子的鑰匙．記這個砸開的匣子為．這就相當(dāng)于1，2，3，4，5形成一個環(huán)狀排列，反過來，對由1，2，3，4，5排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對應(yīng)成一種相繼打開各個匣子的一種放鑰匙的方法．先讓5個匣子沿著圓環(huán)對號入座，再在每個匣子中放入其下方的匣子的鑰匙（如圖），這就得到種相繼打開各個匣子的放鑰匙的方法．所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與1，2，3，4，5的環(huán)狀排列數(shù)相等，由于每個環(huán)狀排列（如圖）可以剪開拉直為5個排列：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；反之，5個這樣的排列對應(yīng)著一個環(huán)狀排列，因而5個元素的環(huán)狀排列數(shù)為：（種一般地，個元素的環(huán)狀排列數(shù)為種故答案為：24例4.8人圍桌而坐,共有多少種坐法?【解析】圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！例5．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【解析】首先，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，根據(jù)排列數(shù)的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據(jù)分步計數(shù)原理，得到種，故選B.例6．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有____種．（用數(shù)字作答）【解析】先按排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數(shù)為種．故答案為8．例7．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.(1)若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？(2)若記錄員坐于正、副組長之間，有多少種坐法？【解析】(1)正、副組長相鄰而坐，可將此2人當(dāng)作1人看，即7人圍一圓桌，有(7－1)?。?！種坐法，又因?yàn)檎?、副組長2人可換位，有2！種坐法．故所求坐法為(7－1)！