【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】專(zhuān)題10 勾股定理及其逆定理(解析版)

第第頁(yè)專(zhuān)題10勾股定理及其逆定理考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)一用勾股定理解三角形例題：（2022·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長(zhǎng)應(yīng)是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分為直角邊和斜邊兩種情況討論，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：，AB＝3，BC＝4，①為直角邊時(shí)，，②為斜邊時(shí)，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)可以是__________．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（或5）【解析】【分析】根據(jù)題意分情況討論，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，①當(dāng)4為直角邊長(zhǎng)，則第三邊為斜邊，第三邊的長(zhǎng)為．②當(dāng)4為斜邊長(zhǎng)，則第三邊為直角邊，第三邊的長(zhǎng)為．故答案為：（或5）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長(zhǎng)．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再結(jié)合BC＝3AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵CD是△ABC中AB邊上的高，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，∴BC＝3AD＝18，∴BC的長(zhǎng)為18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積例題：（2022·天津二中八年級(jí)期中）如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（

）A．225 B．144 C．81 D．無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出?EFG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，?EFG為直角三角形，∴，∴正方形A的面積為81，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．【答案】【解析】【分析】由勾股定理求出三邊之間的關(guān)系，根據(jù)圓的面積公式求出三個(gè)半圓的面積，即可得出答案．【詳解】解：如圖，由勾股定理得：，，，同理，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及圓的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為_(kāi)_____．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得，正方形D的面積=正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C面積=2+8+5=15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題例題：（2022·福建福州·八年級(jí)期末）在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點(diǎn)上，長(zhǎng)度是的線段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得各線段的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：AB=，AC=，AD=，AE=，綜上，只有B選項(xiàng)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【答案】周長(zhǎng)為；面積為26【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長(zhǎng)即可得到四邊形ABCD的周長(zhǎng)；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長(zhǎng)方形面積減去周?chē)膫€(gè)三角形面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長(zhǎng)：；四邊形ABCD的面積：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四勾股定理與折疊問(wèn)題例題：（2022·湖北咸寧·八年級(jí)期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由AB的長(zhǎng)度可求出BE的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，故E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE=5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】6【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根據(jù)折疊得到B’C=2，求出三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=,由折疊知AB’=AB=3，∴B’C=AC-AB’=5-3=2，∴△B’EC的周長(zhǎng)為B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對(duì)應(yīng)的關(guān)系．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)例題：（2021·貴州六盤(pán)水·八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，，則（

）．A．100 B．200 C．300 D．400【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，那么AB就為斜邊，則根據(jù)勾股定理可得：，那么原式則為，再將AB的值代入即可求出答案．【詳解】解：∵在中，且，∴AB為的斜邊，∴根據(jù)勾股定理得：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正確對(duì)應(yīng)斜邊并能靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于_____．【答案】69【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2．考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等腰中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)角的和差關(guān)系可得，利用SAS即可證明△CEA≌△CDB；（2）根據(jù)△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．(1)∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴，在與中，，∴．(2)∵是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，在中，，與交于點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．先根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)勾股定理即可證明．【詳解】證明：（1）如下圖所示，標(biāo)出，，．∵，，∴，．∵和是對(duì)頂角，∴．∴，即．（2）在（1）中圖延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．由（1）可知，即．∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴．∴．∵，即，∴．∴．由（1）可知，即．在和中，，∵∴．∴．∴∵在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理，綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，同時(shí)注意等價(jià)代換思想的使用．考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）以下列各組數(shù)為三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那這個(gè)三角形就是直角三角形，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；B、，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，已知三邊的長(zhǎng)，只需要利用逆定理判斷即可．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是____________．【答案】等腰直角三角形【分析】根據(jù)平方的結(jié)果是非負(fù)數(shù)、絕對(duì)值的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定進(jìn)行判定即可．【詳解】解：∵又∵、∴、∴、∴是等腰直角三角形故答案為：等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是得出、．2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級(jí)期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是_____三角形．【答案】直角【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，在一個(gè)三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：（2022·湖北·谷城縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】90°##90度【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，即可解答．【詳解】解：由題意得：AB2=22+42=20，CB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林松原·八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】45°【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC．由題意，AC＝，BC＝，AB＝，∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·青海西寧·八年級(jí)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．(1)__________；(2)判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊可以求出斜邊長(zhǎng)．(2)根據(jù)勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．（1）由圖知∴故答案為（2）△是直角三角形，

理由如下：

，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形）【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和它的逆定理.根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)可以求出第三條邊長(zhǎng)．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，判定這個(gè)三角形是否為直角三角形，注意運(yùn)用時(shí)不要弄混淆．考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）同一平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有______個(gè)．【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則；（2）AB為直角邊，或；【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，即AB邊上的高為，符合要求的C點(diǎn)有4個(gè)，如圖：（2）當(dāng)AB為直角邊時(shí)，或，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖；符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；故答案是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)_________s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)_________s時(shí)，是直角三角形．【答案】

或5

4或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)在上，或點(diǎn)在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：，或，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，且，，，當(dāng)時(shí)，，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，且，，，當(dāng)時(shí)，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù)．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值．【答案】(1)3cm(2)t=1或(3)t=或2或【分析】（1）根據(jù)題意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；（2）由題意可知，分兩種情況：①；②，代值求解即可；（3）由題意可知，分三種情況：①；②；③，分別結(jié)算求解即可．(1)解：∵在△ABC中，，，，∴BC=；(2)解：由題意可知，分兩種情況：①；②，設(shè)BP=3tcm，∠B≠90°：①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，易知點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴BP=BC，即3t=3，∴；②當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，如下圖所示：∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，t=1或；(3)解：由題意可知，分三種情況：①；②；③，①當(dāng)時(shí)，如圖所示：；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：根據(jù)等腰三角形“三線合一”可知，是邊上的中線，，；③當(dāng)時(shí)，如圖所示：設(shè)，則，在中，，，，，則由勾股定理可得，即，解得，，，綜上所述：t=或2或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到勾股定理求線段長(zhǎng)、三角形為直角三角形的討論和三角形為等腰三角形的討論等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及分類(lèi)情況是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解例題：（2022·河北衡水·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，．（1）的度數(shù)為_(kāi)____；（2）若是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】

##90度

##60度【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證得為等邊三角形，從而得到的度數(shù)．【詳解】（1）∵在中，，，∴，，∴，∴為直角三角形，且．故答案為：．（2）∵在中，是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，能夠根據(jù)勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度數(shù)．【答案】∠B=90°【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，進(jìn)而得到∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，∴AC==5，在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠B=90°．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一點(diǎn)，BD＝9，CD＝12(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題例題：（2022·湖南張家界·八年級(jí)期中）已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【答案】10800元【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長(zhǎng)，由BD、CD、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得△DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．【詳解】解：連接BD，在Rt△ABD中，，在△CBD中，，而，即，∴∠DBC＝90°，．所以需費(fèi)用（元）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，在一個(gè)三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·八年級(jí)期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草，若每平方米草地造價(jià)30元，在這塊空地上全部種草的費(fèi)用是多少元？【答案】1080元【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC．∵∠B=90°，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，在△ACD中，CD2=132，AD2=122，∵52+122=132，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），36×30=1080（元），答：這塊地全部種草的費(fèi)用是1080元．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）“村村通”公路是我國(guó)的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測(cè)得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求公路AB的長(zhǎng).【答案】(1)△ACM是直角三角形，見(jiàn)解析(2)原來(lái)的路線AB的長(zhǎng)為16.9千米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．（1）解：（1）△ACM是直角三角形，

理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169，

∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；（2）設(shè)BC=AB=x千米，則BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122，

解這個(gè)方程，得x=16.9，答：原來(lái)的路線AB的長(zhǎng)為16.9千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及它的逆定理，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理的內(nèi)容．3．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）聊城市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？【答案】綠化這片空地共需花費(fèi)17100元【分析】連接AC，直接利用勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接AC，如圖∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費(fèi)17100元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·江蘇·海安市南莫中學(xué)八年級(jí)期中）下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．3、4、5 B．1、、2 C．13、14、15 D．8、15、17【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只需驗(yàn)證兩較小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】A．+=25=，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．+()=4=，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，故不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題；D．，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．2．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）一個(gè)直角三角形有兩條邊分別是3cm，4cm，則第三條邊的長(zhǎng)度是(

)A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】【分析】利用分類(lèi)討論的思想可知，此題有兩種情況：一是當(dāng)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為3cm，4cm時(shí)；二是當(dāng)這個(gè)直角三角形的一條直角邊為3cm，斜邊為4cm時(shí)．然后利用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為3cm，4cm時(shí)，則該三角形的斜邊的長(zhǎng)為：=5（cm）．當(dāng)這個(gè)直角三角形的一條直角邊為3cm，斜邊為4cm時(shí)，則該三角形的另一條直角邊的長(zhǎng)為：=（cm）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的理解和掌握，注意分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．3．（2022·遼寧鐵嶺·八年級(jí)期末）已知，則以a，b，c為三邊長(zhǎng)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】B【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴a＝6，b＝8，c＝10，∵62+82＝102，即a2+b2＝c2，∴以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.4．（2022·遼寧撫順·八年級(jí)期末）在中，，D為BC邊的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)為（

）．A．4 B．5 C． D．10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，然后利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝．∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理得出斜邊的長(zhǎng)度以及掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)為2的線段AB上，用尺規(guī)作如下操作：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，使得BC=，連接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，則BD的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．【詳解】解：∵AB=2，BC=AB，∴BC=1，∴AC=，∵CE=BC=1，∴AD=AE=AC-CE=，∴BD=AB-AD=2-（）=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的斜邊的長(zhǎng)．二、填空題6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）在如圖所示的直角三角形中，x=____．【答案】13【解析】【分析】直接利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用勾股定理解三角形，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南許昌·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足為D．若AB=6．則DC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】在Rt△ABC和Rt△DBC中，由直角三角的兩銳角互余求得∠A=∠DBC=30°，再設(shè)CD=x，得BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，進(jìn)而利用勾股定理即可求解．【詳解】∵∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，∴∠A=90°-∠ACB=30°，∠DBC=90°-∠ACB=30°，∴設(shè)CD=x，則BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，∴，∵AB=6，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余，勾股定理及直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，如果將△ACD沿AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么CE的長(zhǎng)等于________.【答案】【分析】連接CE，延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，所以可求得△ABC的面積；因點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以，，然后可求得AD邊上的高CF；根據(jù)翻折得到的軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的長(zhǎng)．【詳解】將△ACD沿AD翻折后，得到圖形如圖所示，連接CE，延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)F，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即,∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF為△ACD的AD邊上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，能夠根據(jù)勾股定理逆定理判定出直角三角形并根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．9．（2022·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，將沿著翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)時(shí)，________．【答案】【解析】【分析】畫(huà)圖圖形，分別求出，根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)，即可求得：，即可得出答案．【詳解】解：如圖：∵在中：,∴,∴．∵點(diǎn)D為的中點(diǎn),∴．∵,∴．∴，∴，∴．由折疊可知：∵在中：,∴∴．∵在中：,∴∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·青海西寧·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)是射線外一點(diǎn)，連接，cm，點(diǎn)到的距離為3cm．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)為_(kāi)_________秒時(shí)，為直角三角形．【答案】2或【解析】【分析】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，②如圖2，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，由題意得：AP＝3cm，∴（cm），∴t＝（秒）；②如圖2，當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由①可知，AD＝3，BD＝4，在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，∴32＋DP2＝AP2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，∴，∴，∴BP＝4＋＝，∴秒，綜上，當(dāng)為2秒或秒時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·吉林白城·八年級(jí)期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)用勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2022·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)期中）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．(1)求的值；(2)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)7(2)直角三角形，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，變形得，代入計(jì)算即可．（2）根據(jù)=7，，得到，根據(jù)勾股定理的逆定理判定即可．（1）∵a＋b＝3，ab＝1，，∴=．（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵，，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形計(jì)算，勾股定理的逆定理，熟練掌握公式，靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·汕頭市藍(lán)田中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)BC＝，AD＝，連接BD，判斷△ABD的形狀為；(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)2；5；等腰直角三角形(2)【分析】（1）連接BD，根據(jù)網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理，即可求出BC，AD的長(zhǎng)，又因?yàn)?，得到△ABD為直角三角形；又BD=AD，所以△ABD為等腰直角三角形；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可以證明△ABD為直角三角形；△BCD為直角三角形；所以四邊形ABCD的面積等于△ABD加上△BCD的面積，即可求解；（1）解：連接BD，由網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理可得：，，∴，，∴BD=，，∴，∴，∴△ABD為直角三角形；又因?yàn)椋築D=AD=5，∴△ABD為等腰直角三角形，故答案為：2；5；等腰直角三角形．（2）由網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理可知：，，∴，所以△BCD為直角三角形，∴四邊形ABCD的面積=△ABD的面積+△BCD的面積，=．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和等于斜邊長(zhǎng)的平方，是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022·山東聊城·八年級(jí)期中）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形．證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接CE，先證，然后由可得，然后根據(jù)勾股定理逆定理可得即可證明結(jié)論；（2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后聯(lián)立求得AE即可．（1）解：是直角三角形，證明如下：證明：連接CE．∵D是BC的中點(diǎn)，，∴∵，∴，∴，∴是直角三角形，，∴是直角三角形．（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∴.由（1）可知，∴.∵D是BC的中點(diǎn)，∴.在中，，由勾股定理得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線并靈活運(yùn)用勾股定理成為解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，△中，，，，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足時(shí)，求出此時(shí)t的值；(2)若點(diǎn)P恰好在的角平分線上，求的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出當(dāng)為何值時(shí)，△為等腰三角形．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)t=或5或5.3時(shí)△BCP為等腰三角形【解析】【分析】(1)作AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)P，則AP=2t，PC=4-2t．在Rt△PBC中根據(jù)勾股定理列方程求出t的值即可．(2)當(dāng)P點(diǎn)在∠BAC的角平分線上時(shí)，作PD丄AB于D，由角平分線性質(zhì)可得