專題4.4 與整式有關(guān)的規(guī)律探索【八大題型】（原卷版）

專題4.4與整式有關(guān)的規(guī)律探索【八大題型】

【人教版2024】

【題型1單項式中的規(guī)律探索】...............................................................................................................................1

【題型2多項式中的規(guī)律探索】...............................................................................................................................2

【題型3圖形中的規(guī)律探索】...................................................................................................................................2

【題型4表格中的規(guī)律探索】...................................................................................................................................3

【題型5等式中的規(guī)律探索】...................................................................................................................................4

【題型6程序圖中的規(guī)律探索】...............................................................................................................................6

【題型7新定義中的規(guī)律探索】...............................................................................................................................7

【題型8動態(tài)中的規(guī)律探索】...................................................................................................................................8

【題型1單項式中的規(guī)律探索】

為奇數(shù)

【例1】（23-24七年級·北京海淀·期中）由于（﹣1）n＝，所以我們通常把（﹣1）n稱為符

為偶數(shù)

?1?

號系數(shù)．1?

（1）觀察下列單項式：﹣，…按此規(guī)律，第5個單項式是，第n個單項式是．

1223344

3?,15?,?35?,63?

（2）的值為；

?+?????

2+?12

（3）你根據(jù)（2）寫出一個當(dāng)n為偶數(shù)時值為2，當(dāng)n為奇數(shù)時值為0的式子．

【變式】（七年級云南紅河期末）按一定規(guī)律排列的單項式：，則第個

1-123-24··46810

2????

單項式是（）．?,?3,5,?7,9,???

．．．．

A2?B2?C2?D?

?+1??+1?????

(?1)2?+1(?1)2??1(?1)2?+1(?1)2??1

【變式1-2】（2024·云南臨滄·模擬預(yù)測）按一定規(guī)律排列的數(shù)：，，，，……，則這列數(shù)的第n

1357

個數(shù)是（）2?510?17

A．B．

2?+12??1

?+122

(?1)??+1

C．D．

2??12??1

?2?+12

(?1)?+1(?1)?+1

第1頁共9頁.

【變式1-3】（23-24七年級·云南昭通·期末）觀察下列關(guān)于m，n的單項式的特點：，，，

12222323

2??3??4??

，，……，按此規(guī)律，第n個單項式是（）

424525

5??6??

A．B．C．D．

?2??????12???1??

?+1???+1????????

【題型2多項式中的規(guī)律探索】

【例2】（23-24七年級·云南昭通·期末）按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，

234

，，…，根據(jù)上述規(guī)律，則第n個多項式是（??+）2??+4???+6??+8?

56

??A+．10??+12?B．

????

C．?1?+??D．?1?+2??

?+1????

【變式2-?1】1（20?24+七2年??級·全國·專題練習(xí)）觀察下?列1多項?式+：?1??，，，，…，

234

按此規(guī)律，則可得到第2023個多項式是．2???4?+?8???16?+?

【變式2-2】（23-24七年級·云南昆明·期末）一組按規(guī)律排列的多項式：，，，，……，

233547

其中第10個式子的次數(shù)是（）?+?????+????

A．10B．17C．19D．21

【變式2-3】（23-24七年級·浙江杭州·期末）觀察多項式的構(gòu)成規(guī)律，則：

234

（1）它的第5項是；??3?+5??7?+?

（2）當(dāng)時，多項式前100項的和為．

?=1

【題型3圖形中的規(guī)律探索】

【例3】（2024七年級·重慶·專題練習(xí)）下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖共有四個●，

第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規(guī)律排列下去，則第

10個圖形中●的個數(shù)為（）

A．50B．53C．64D．76

【變式3-1】（23-24七年級·新疆伊犁·期中）如圖，在一組有規(guī)律的圖案中，第個圖案由個基礎(chǔ)圖形組

成，第個圖案由個基礎(chǔ)圖形組成，第個圖案由個基礎(chǔ)圖形組成，則第1是正整數(shù)4)個圖案由

27310?(?

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個基礎(chǔ)圖形組成．

【變式3-2】（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為

燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷

（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個時即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷…的化學(xué)

式為，丙烷的化學(xué)式為，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按…照)此規(guī)律，十二烷的化?學(xué)?式4為（）

?2?6?3?8…

A．B．C．D．

【變式3?-31】2?（2423-24七年級·?江12蘇?2無5錫·階段練習(xí)）分?1形2?幾26何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努?1瓦2?·曼28德爾布羅在20世紀(jì)70年代

創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科．分形是把整體以某種方式分成幾個部分．按照如圖甲所示的分形規(guī)律（1個白圈

分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈），可得如圖乙所示的一個樹形圖，則第7行

中黑圈數(shù)量為（）

A．364B．365C．366D．367

【題型4表格中的規(guī)律探索】

【例4】（23-24七年級·浙江杭州·階段練習(xí)）將偶數(shù)2、4、6、8、10…按下列規(guī)律進(jìn)行排列，首先將這些數(shù)

從“2”開始每隔一數(shù)取出，形成第一行數(shù)：2、6、10、14…；然后在剩下的數(shù)4、8、12、16…中從第一個數(shù)

“4”開始每隔一數(shù)取出，形成第二行數(shù)：4、12、20、28…；那么數(shù)表中的416位于（）．

261014…

4122028…

第3頁共9頁.

8244056…

164880112…

……………

A．第6行第4列B．第4行第6列C．第5行第7列D．第7行第5列

【變式4-1】（2024七年級·全國·專題練習(xí)）如圖，萍萍同學(xué)將自然數(shù)按照一定的規(guī)律填寫在方格中（圖①），

圖②是從圖①中截取的一部分．根據(jù)圖①中數(shù)的規(guī)律，我們可以計算出圖②中4個數(shù)的和是．

【變式4-2】（23-24七年級·廣東湛江·期末）正整數(shù)按如下的規(guī)律排列，寫出第n行、第列的數(shù)字為．

第一列第二列第三列第四列第五列?+1

第一行1251017…

第二行4361118…

第三行9871219…

第四行1615141320…

第五行2524232221…

…

【變式4-3】（2024·湖南·二模）下面每個表格中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的．

根據(jù)此規(guī)律確定a的值為，b的值為，x的值為．

【題型5等式中的規(guī)律探索】

【例5】（23-24七年級·安徽安慶·期末）觀察以下等式．

第1個等式：．

22

第2個等式：1×2×3×4+1=1+3×1+1．

22

2×3×4×5+1=2+3×2+1

第4頁共9頁.

第3個等式：．

22

第4個等式：3×4×5×6+1=3+3×3+1．

22

按照以上規(guī)律，4×解5決×下6列×問7+題1．=4+3×4+1

(1)寫出第5個等式：______．

(2)寫出你猜想的第n個等式．（用含n的式子表示）

【變式5-1】（23-24七年級·河北唐山·單元測試）觀察下列算式：，，

22

，…，這列算式的規(guī)律可表表示為：1×3+1=22×4+1=3

2

【3變×式5+5-12】=（423-24七年級·四川達(dá)州·期末）從開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們和的情況如下表：

加數(shù)的個數(shù)連續(xù)偶數(shù)的和2

??

12=1×2

22+4=6=2×3

32+4+6=12=3×4

42+4+6+8=20=4×5

(51)如果時2，+那4么+6的+值8為+10=30；=5×6

(2)由表中?=的8規(guī)律猜想：?用含的代數(shù)式表示的公式為；

(3)由上題的規(guī)律計算???=2+的4值+．6（+要8有+計?算+過2?程=）

【變式5-3】（2024·安徽30六0+安3·模02擬+預(yù)30測4）+觀?察+下20列22等+式2：024

第1個等式：；

11

?1+2=?1×2

第2個等式：；

1111

?2+3=?2×3

第3個等式：；．

1111

?3+4=?3×4?

…．

(1)請寫出第5個等式：______；

(2)寫出第個等式：______；（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）

?

(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．

1111111

?1×2+?2×3+?3×4+?+?2023×2024

第5頁共9頁.

【題型6程序圖中的規(guī)律探索】

【例6】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習(xí)）如圖所示，是一個運算程序示意圖．若第一次輸入k的值為125，

則第2023次輸出的結(jié)果是（）

A．B．C．D．

【變式62-10】20（23-24七年級2·浙5江金華·期中）小明同1學(xué)利用計算機(jī)設(shè)計了一5個程序，輸入和輸出的情況如下

表．他發(fā)現(xiàn)從第三個輸出項起的每一項都與這一項的前面兩個輸出項有關(guān)．按此規(guī)律，當(dāng)輸入9時，輸出

結(jié)果為，從1開始一直輸入到2022后，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項共有個．

輸入12345678…

輸出a…

22426310516826

3?4??7??11??18??29??47??

【變式6-2】（23-24七年級·陜西西安·期中）[新視角規(guī)律探究題]按如圖所示的程序進(jìn)行計算，如果第一次

輸入x的值是，則第次計算后輸出的結(jié)果為．

?32024

【變式6-3】（23-24七年級·河南信陽·期末）按下列程序計算，把答案填寫在表格內(nèi)，然后觀察有什么規(guī)律，

想一想：為什么會有這個規(guī)律？

(1)填寫表內(nèi)空格：

輸入0…

輸出答案?93?2?11

第6頁共9頁.

(2)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：輸入數(shù)據(jù)x，則輸出的答案是_____．

(3)請驗證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．

【題型7新定義中的規(guī)律探索】

【例7】（23-24七年級·福建廈門·期末）定義數(shù)組的變換：依次排列的一組數(shù)，對任意相鄰的兩個數(shù)，都

用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在兩個數(shù)之間?，可產(chǎn)生一個新數(shù)組．

步驟如下（以數(shù)組，為例）：

①第1次變換后得3到數(shù)9組，，；

②第2次?變換后得到數(shù)組3，6，9，，；

……?33639

一組有理數(shù)，，這組數(shù)經(jīng)過2023次變換后，利用你所觀察的規(guī)律，這組數(shù)的和為（用含

有，的式?子表?示并化簡）?

【變?式7?-1】（23-24七年級·江蘇鎮(zhèn)江·期中）定義一種新運算，規(guī)律如下：

1⊕2=3×1?2=1

5⊕3=3×5?3=12

4⊕(?1)=3×4+1=13

(1?)直2接)⊕寫(出?：6)=3×(__?__2_)_+；6（=用0含a、b的代數(shù)式表示）

(2)化簡：?⊕?=；

(3)若定義的?新?運?算⊕滿?足⊕交?換律，則a、b的數(shù)量關(guān)系是（）

A．B．C．D．

?+?=0?=??=3??=3?

【變式7-2】（23-24七年級·河北保定·期末）定義一種對正整數(shù)的“運算”：

①當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果為；??

②當(dāng)?為偶數(shù)時，結(jié)果為3（??其1中是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進(jìn)行．例如，第一次“

??

??

?2?2?=12?

運算”的結(jié)果是3；第二次“運算”的結(jié)果是8；第三次“運算”的結(jié)果是1．

??

第7頁共9頁.

若，則：

（1?）=第1一71次“運算”的結(jié)果為．

（2）照這樣運?算下去，第2024次“運算”的結(jié)果為．

?

【變式7-3】（23-24七年級·重慶渝北·階段練習(xí)）對于任意一個三位數(shù)或四位數(shù)，若m所

?=????=????

有數(shù)位上的數(shù)相等，那么則稱這個數(shù)為“同位數(shù)”，定義?+12?，那么；

3?<1000

?(?)=?+122??(888)=

現(xiàn)有實數(shù)、、，，，滿足式子3?≥1000能被7整除，求

的值：??．?(?=?????=???1≤?≤9?=9)?(?)+?(?)+??+?

【題型8動態(tài)中的規(guī)律探索】

【例8】（23-24七年級·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上，兩點的距離為3，一動點從點出發(fā)，按以下規(guī)

律跳動：第1次跳動到的中點處，第2次從跳?動到?的中點處，第3次從?點?跳動到的中

點處，按照這樣的規(guī)?律?繼續(xù)跳動?1到點?1（?1?是整數(shù)?2）處，那么線段?2的長度?為2?（）

?3?4,?5,?6,…,???≥3,????

．．．