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考點(diǎn)02二次根式一、二次根式及相關(guān)概念1.二次根式:形如SKIPIF1<0(a)的式子叫做二次根式.2.最簡二次根式:最簡二次根式必須同時滿足以下條件:(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;(2)數(shù)被開方數(shù)不含分母,被開方數(shù)不含能的因或因式.3.同類二次根式:幾個二次根式化成后,如果相同,這幾個二次根式稱為同類二次根式.如eq\r(8)與eq\r(2)是同類二次根式.同類二次根式可以合并,合并同類二次根式與合并同類項(xiàng)類似.二、二次根式的性質(zhì)(1)(SKIPIF1<0)2=a(a≥0).(2)SKIPIF1<0=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a≥0),,-a(a<0).))(3)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0(a≥0,b≥0).(4)SKIPIF1<0(a≥0,b>0).(5)雙重非負(fù)性:二次根式SKIPIF1<0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被開方數(shù)a≥0,\r(a)≥0))三、二次根式的運(yùn)算1.二次根式的加減:先將各二次根式化為,然后合并同類二次根式.2.二次根式的乘除(1)二次根式的乘法:SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=(a≥0,b≥0);(2)二次根式的除法:SKIPIF1<0=(a≥0,b>0);(3)二次根式的運(yùn)算結(jié)果一定要化成.3.二次根式的開方:SKIPIF1<0=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a≥0),,-a(a<0).))4.二次根式的混合運(yùn)算在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同,即先乘方,再乘除,最后算加減,有括號要先去括號;(2)加法的交換律、結(jié)合律,乘法的交換律、結(jié)合律和對加法的分配律在二次根式的混合運(yùn)算中仍然適用;(3)多項(xiàng)式的乘法公式仍然適合于二次根式的運(yùn)算;(4)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡二次根式.【考點(diǎn)1】二次根式的概念【例1】(2022·江蘇連云港)函數(shù)SKIPIF1<0中自變量SKIPIF1<0的取值范圍是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【例2】下列二次根式中,與SKIPIF1<0是同類二次根式的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【例3】下列各式是最簡二次根式的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0牢記二次根式相關(guān)概念:1.二次根式:式子SKIPIF1<0叫做二次根式.注意被開方數(shù)a只能是非負(fù)數(shù).2.最簡二次根式:被開方數(shù)不含分母,被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,叫做最簡二次根式.3.同類二次根式:化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的二次根式,叫做同類二次根式.1.(2022·湖南衡陽)如果二次根式SKIPIF1<0有意義,那么實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.(2022·廣西桂林)化簡SKIPIF1<0的結(jié)果是(
)A.2SKIPIF1<0 B.3 C.2SKIPIF1<0 D.23.下列各式中與SKIPIF1<0是同類二次根式的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.(2022·云南)若代數(shù)式SKIPIF1<0有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.5.(2022·四川南充)若SKIPIF1<0為整數(shù),x為正整數(shù),則x的值是_______________.【考點(diǎn)2】二次根式的性質(zhì)【例4】(2021·湖南婁底市)SKIPIF1<0是某三角形三邊的長,則SKIPIF1<0等于()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.10 D.41.(2022·四川涼山)化簡:SKIPIF1<0=(
)A.±2 B.-2 C.4 D.22.(2022·河北·一模)已知SKIPIF1<0,則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.(2022·四川遂寧)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡SKIPIF1<0______.【考點(diǎn)3】二次根式的運(yùn)算【例5】(2022·山東青島)計(jì)算SKIPIF1<0的結(jié)果是(
)A.SKIPIF1<0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.3【例6】(2022·四川宜賓)《數(shù)學(xué)九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí).一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即為SKIPIF1<0.現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足SKIPIF1<0,則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為______.【例7】計(jì)算下列各題(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0;(4)SKIPIF1<0二次根式運(yùn)算的注意事項(xiàng)1.在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時,一般先把二次根式化為最簡二次根式,再利用二次根式的乘除法法則進(jìn)行乘除運(yùn)算,同類二次根式之間可以進(jìn)行加減運(yùn)算(類似于合并同類項(xiàng)).2.運(yùn)算結(jié)果要化成最簡形式.3.在二次根式的運(yùn)算中,要注意SKIPIF1<0與次SKIPIF1<0的區(qū)別.①取值不同:前者的a為任意實(shí)數(shù),后者的a為非負(fù)數(shù);②化簡結(jié)果不同:SKIPIF1<0=|a|,SKIPIF1<0=a.1.(2022·黑龍江哈爾濱)計(jì)算SKIPIF1<0的結(jié)果是___________.2.(2022·天津)計(jì)算SKIPIF1<0的結(jié)果等于___________.3.(2022·湖南衡陽)計(jì)算:SKIPIF1<0=_____.4.(2022·山西)計(jì)算SKIPIF1<0的結(jié)果是________.5.(2022·重慶)估計(jì)SKIPIF1<0的值應(yīng)在(
)A.10和11之間 B.9和10之間 C.8和9之間 D.7和8之間6.列各式不成立的是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.(2022·甘肅武威)計(jì)算:SKIPIF1<0.8.(2022·貴州遵義)(1)計(jì)算:SKIPIF1<0(2)先化簡SKIPIF1<0,再求值,其中SKIPIF1<0.【考點(diǎn)4】二次根式綜合運(yùn)用【例8】(2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模)若三個實(shí)數(shù)x,y,z滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則有:SKIPIF1<0(結(jié)論不需要證明)例如:SKIPIF1<0根據(jù)以上閱讀,請解決下列問題:【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)求SKIPIF1<0的值;【能力提升】(2)設(shè)SKIPIF1<0,求S的整數(shù)部分.【拓展升華】(3)已知SKIPIF1<0,其中,且SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時,求x的取值范圍.1.閱讀材料:黑白雙雄、縱橫江湖;雙劍合璧、天下無敵.這是武俠小說中的常見描述,其意是指兩個人合在一起,取長補(bǔ)短,威力無比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”.如:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,它們的積不含根號,我們說這兩個二次根式互為有理化因式,其中一個是另一個的有理化因式,于是,二次根式除法可以這樣理解:如:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.像這樣,通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去,叫做分母有理化.解決問題:(1)SKIPIF1<0的有理化因式可以是___________,SKIPIF1<0分母有理化得___________.(2)計(jì)算:①已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;②SKIPIF1<0.2.閱讀下面問題:SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-1;1/SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1×(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0;1/SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=1×(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)/(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0;試求:(1)SKIPIF1<0=________;(2)當(dāng)n為正整數(shù)時,SKIPI
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