理論力學(xué)(周衍柏第三版)思考題+習(xí)題答案

理徐力學(xué)思考觀司敢參考

琴嗓

周衍柏第三版

骯病毒整理

2007-10-22

目錄

第一章質(zhì)點力學(xué)-2-

第一章思考題-2-

第一章思考題解答-3?

第一章習(xí)題-6-

第一章習(xí)題解答-10-

第二章質(zhì)點組力學(xué)?34-

第二章思考題-34-

第二章思考題解答-35-

第二章:習(xí)題.-37-

第二章習(xí)題解答-38-

第三章剛體力學(xué)-48.

第三章思考題-48-

僅供參考，多思考，勤練習(xí)

第三章思考題解答-49-

第三章習(xí)題-51-

第三章習(xí)題解答-54-

笫四章轉(zhuǎn)動參考系-68-

第四章思考題-68-

第四章思考題解答-68-

第四章習(xí)題-70-

第四章習(xí)題解答-71-

第五章分析力學(xué)-75-

第五章思考題-75?

第五章思考題解答-76-

第五章習(xí)題-81-

第五章習(xí)題解答-84-

第一章質(zhì)點力學(xué)

第一章思考題

L1平均速度與瞬時速度有何不同？在上面情況下，它們一致?

1.2在極坐標(biāo)系中，匕=＞，%=而.為什么勺=＞一；?解而非尸？為什么/=)/+2泊而非

用+泊?你能說出對中的_,02和Q〃中另一個戶@出現(xiàn)的原因和它們的物理意義嗎？

1.3在內(nèi)稟方程中，〃“是怎樣產(chǎn)生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線方向？當(dāng)質(zhì)點沿空間運動

時，副法線方向的加速度％等于零，而作用力在副法線方向的分量《一般不等于零，這是不是違背了

牛頓運動定律呢？

1.4在怎樣的運動中只有〃而無a?在怎樣的運動中又只有q而無。？在怎樣的運動中既有〃而無

廣〃nrn

1.5更與如有無不同？蟲與也有無不同？試就直線運動與曲線運動分別加以討論.

dtdtdtdt

1.6人以速度0向籃球網(wǎng)前進(jìn)，那么當(dāng)其投籃時應(yīng)用什么角度投出？跟靜止時投籃有何不同？

1.7雨點以勻速度I，落下，在一有加速度〃的火車中看，它走什么路經(jīng)？

1.8某人以一定的功率劃船，逆流而上.當(dāng)船經(jīng)過一橋時，船上的漁竿不慎落入河中.兩分鐘后，此人才

發(fā)現(xiàn)，立即飯棹追機(jī)追到漁竿之處是在橋的卜.游600米的地方，問河水的流速是?多大？

1.9物體運動的速度是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？

1.10在那些條件下，物體可以作直線運動？如果初速度的方向和力的方向一致，那么物體是沿力的方向

還是沿初速度的方向運動？試用一具體實例加以說明.

1.11質(zhì)點僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，到達(dá)任一點時的速度只和什么有關(guān)？為什么是這樣？假

設(shè)不是光滑的將如何？

1.12為什么被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否

求出約束力？如不能，應(yīng)當(dāng)怎樣去求？

1.13質(zhì)點的質(zhì)量是1千克，它運動時的速度是？=3，+2/+7a1，式中i、j、上是沿x、y>z軸上

的單位矢量。求此質(zhì)點的動量和動能的量值。

1.14在上題中，當(dāng)質(zhì)點以上述速度運動到（1,2,3）點時，它對原點0及z軸的動量矩各是多少？

1.15動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？質(zhì)點受有心力作用而運動時，動量矩是守恒的，問它的動量

是否也守恒？

1.16如尸=尸（"，那么在三維直角坐標(biāo)系中，仍有▽、/=（）的關(guān)系存在嗎？試驗之。

1.17在平方反比引力問題中，勢能曲線應(yīng)具有什么樣的形狀？

1.18我國發(fā)射的第?顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的交角為68.5。，比蘇義及美國第

一次發(fā)射的都要大。我們說，交角越大，技術(shù)要求越高，這是為什么？又交角大的優(yōu)點是什么？

1.19盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？

第一章思考題解答

1.1答：平均速度是運動質(zhì)點在某一時間間隔/+A1內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方

向沿位移的方向即沿加對應(yīng)的軌跡割線方向：瞬時速度是運動質(zhì)點在某時刻或某未知位矢和方向變化

的快慢程度其方向沿該時刻質(zhì)點所在點軌跡的切線方向。在&->0的極限情況，二者一致，在勻速直

線運動中二者也一致的。

1.2答：質(zhì)點運動時，徑向速度V,'和橫向速度Ve的大小、方向都改變，而勺中的1：只反映了V,本身大

小的改變，%中的廠在+,電只是V。本身大小的改變。事實上，橫向速度V。方向的改變會引起徑向速度

V,大小大改變，rd就是反映這種改變的加速度分量;經(jīng)向速度V,的方向改變也引起Ve的大小改變,

另一個/?。即為反映這種改變的前速度分量，故>一/招2,6=,不+2戶女。這表示質(zhì)點的徑向與

橫向運動在相互影響，它們一起才能完整地描述質(zhì)點的運動變化情況

13答：內(nèi)稟方程中，明是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切面內(nèi)，速度

v總是沿軌跡的切線方向，而4垂直于v指向曲線凹陷一方，故?！笨偸茄刂ň€方向。質(zhì)點沿空間曲

線運動時，4-4Oz何與牛頓運動定律不矛盾。因質(zhì)點除受作用力F，還受到被動的約反作用力

R,二者在副法線方向的分量成平衡力與1R〃=O,故牝=0符合牛頓運動率.有人會問：約束反作

用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點的作用而對質(zhì)點產(chǎn)生的反作用力。有人

也許還會問：某時刻假設(shè)《與此大小不等，即就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時刻質(zhì)點受合力的方向

與原來不同，質(zhì)點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來為所在的方位，乂有了新的副

法線，在新的副法線上仍滿足5,十七=0即％=0。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了

自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點的運動而變。

L4答：質(zhì)點在直線運動中只有4而無％,質(zhì)點的勻速曲線運動中只有%而無4；質(zhì)點作變速運動時

即有。又有%。

1.5答：包即反響位矢r大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點運動某時刻的速度矢量，而立只表

dtdt

示r大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，包=月+廠4而立二＞。在直線運動中，規(guī)定了直線的正方向后，

—=—O且如的正負(fù)可表示它的指向，二者都可表示質(zhì)點的運動速度；在曲線運動中包工生

巨絲也表示不了”的指向，二者完全不同。

史表示質(zhì)點運動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而也只是質(zhì)點運動速度大小的改變。在直

dtdt

線運動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點運動的加速度；在曲線運動中，二者不同，

1.6答：不管人是靜止投籃還是運動投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃篋，其速度合成如題1.6

圖所示，故人以速度V向球網(wǎng)前進(jìn)時應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，〔事實上

要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。

1.7答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度。的勻速水平直線運動的合

成運動如題1.7圖所示，

o'x'y是固定于車的坐標(biāo)系，雨點相對年的加速度a'=-a，其相對運動力程《-2消去/的軌跡

y'=vt

如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè),

才垂直于V'方向的分量a；在改變著V'的方向，該軌跡上凹。

1.8答：設(shè)人覺察干落水時，船己上行（，上行時船的絕對速度匕后-V水，那么

船反向追趕竿的速度v船十匕小設(shè)從反船到迫上竿共用時間那么

（V明+V水）f=600+s'②

又竿與水同速，那么

K水（2+，）=600③

①十③:②得

1.9答：不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外

力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力與速度的方向肯定不一

致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。

1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。在曲線運動中

假設(shè)初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻既可沿初速度方向運動，

也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運動，到達(dá)最高

點下落過程中沿力的方向運動。

在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿

初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻的運動方向與外力的方

向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不?致，重力的方向決定了軌道的形

狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。

1.11答：質(zhì)點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，到達(dá)任意點的速度只和初末時刻的高度差有關(guān)，因重

力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論

假設(shè)曲線不是光滑的，質(zhì)點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān),

還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點到達(dá)任一點的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。

1.12答：質(zhì)點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點的運動方向，故約束

力不做功，動能定理或能量枳分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質(zhì)

點在某位置的速度，從而得出〃，有牛頓運動方程/+R=ma便可求出R,即為約束力

nnnnn

1.13答：動量

動能

1.14答：

故

L15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守

恒。如質(zhì)點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質(zhì)點受的力并不

為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。

L16答：假設(shè)尸=尸卜），在球坐標(biāo)系中有

由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中仍有

VxF=0的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中

故

事實上據(jù)算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為

這說明有心力場星無旋場記保守立場

1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能丫卜）=_起，其勢能曲線如題圖1.17圖所示，

r

由T+y（r）=E知r=E-V（"因7>0,故有E>V（r）?

假設(shè)E<0，其勢能曲線對應(yīng)于近日點rmjn和遠(yuǎn)日點聯(lián)容之間的一段。近日點處E-V（r）-7即

為進(jìn)入軌道需要的初動能假設(shè)E>0那么質(zhì)點的運動無界，對應(yīng)于雙曲線軌道的運動；假設(shè)石=0位于

有界和無界之間，對應(yīng)于拋物線軌道的運動；這兩種軌道的運動都沒有近日點，即對大的廠質(zhì)點的運動

是無界的，當(dāng)〃很大時v（r）.0,還是選無限遠(yuǎn)為零勢點的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運動比拋

物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動能要大。事實及理論都證明，平方反比引力場中質(zhì)點的軌道

正是取決于進(jìn)入軌道時初動能的大小

由

得

即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中（心，4對應(yīng)于進(jìn)入軌道時的到達(dá)第一二三宇宙速度所需的

能量由于物體總是有限度的，故廠有一極小值既相互作用的二質(zhì)點不可能無限接近，對于人造衛(wèi)星

的發(fā)射（其為地球半徑。7；）=七-1/（r）為地面上發(fā)射時所需的初動能，圖示41,7；2,7；）3分別為使衛(wèi)星

進(jìn)入軌道時到達(dá)一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動能。（g-1）i=1,2,3.為進(jìn)入軌道前克服里及空氣

阻力做功所需的能量.

1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離?心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，

指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，那么衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平

面的家教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探

測面積越大，其科學(xué)使用價值越高。

1.19答：對庫侖引力場有_1〃停2一幺=E，其中/=三二若V?）竺，則，E〉0,軌道是雙曲線的一點,

27*4在（）r

與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內(nèi)側(cè)；假設(shè)

產(chǎn)三竺,則EWO,軌道橢圓國〈0）或拋物線（￡=0）,盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，

r

在入射速度匕〉生的情況卜即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正，負(fù)粒子的對撞試驗可驗證這一結(jié)論

r

的近似正確性。

第一章習(xí)題

L1沿水平方向前進(jìn)的槍彈，通過某一距離s的時間為而通過下一等距離s的時間為『.試證明槍彈

的減速度〔假定是常數(shù)）為

1.2某船向東航行，速率為每小時15km,在正午某一燈塔。另一船以同樣速度向北航行，在下午1時30

分經(jīng)過此燈塔。問在什么時候，兩船的距離最近？最近的距離是多少？

1.3曲柄西=幾以勻角速/繞定點0轉(zhuǎn)動。此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線。工運動。求連桿上0點

的軌道方程及速度。設(shè)從0=而=&，ZAOB=(p,Z,ABO=i//o

第1.3題圖

1.4細(xì)桿OL繞。點以角速。轉(zhuǎn)動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲.A8上滑動。圖中的d為常數(shù)，試求小

球的速度及加速度的量值。

1.5礦山升降機(jī)作加速度運動時，其變加速度可用卜.式表示：

式中c及丁為常數(shù)，試求運動開始/秒后升降機(jī)的速度及其所走過的路程。升降機(jī)的初速度為零。

1.6一質(zhì)點沿位失及垂直于位失的速度分別為4〃及〃夕，式中4及〃是常數(shù)。試證其沿位矢及垂直于位

失的加速度為

1.7試自

出發(fā)，計算工及y。并由此推出徑向加速度/及橫向加速度為。

1.8直線尸M在?給定的橢圓平面內(nèi)以勻角速切繞其焦點尸轉(zhuǎn)動。求此直線與橢圓的焦點M的速度。

以焦點為坐標(biāo)原點的橢圓的極坐標(biāo)方程為

式中。為橢圓的半長軸，e為偏心率，都是常數(shù)。

1.9質(zhì)點作平面運動，其速率保持為常數(shù)。試證其速度矢量v與加速度矢量。正交。

1.10一質(zhì)點沿著拋物線y2=2px運動其切向加速度的最值為法向加速度顯值的_2攵倍。如比質(zhì)點從正

焦弦(5,p)的一端以速度〃出發(fā)，試求其到達(dá)正焦弦另一端時的速率。

1.11質(zhì)點沿著半徑為廠的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角a保持不變。求質(zhì)點的速度隨時

間而變化的規(guī)律。出速度為％。

1.12在上題中，試證其速度可表為

式中。為速度矢量與X軸間的夾角，且當(dāng)1=0時，0=0^

1.13假定一飛機(jī)從A處向東飛到B處，而后又向西飛回原處。飛機(jī)相對于空氣的速度為/，而空氣相

對于地面的速度為%。A與8之間的距離為/。飛機(jī)相對于空氣的速度/保持不變。

(〃)假定匕,=。，即空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行的總時間為

G)假定空氣速度為向東(或向西)，試證來回飛行的總時間為

(c)假定空氣的速度為向北［或向南)，試證來回飛行的總時間為

1.14一飛機(jī)在靜止空氣中每小時的速率為100千米。如果飛機(jī)沿每邊為6千米的正方形飛行，且風(fēng)速

為每小時28千米，方向與正方形的某兩邊平行，那么飛機(jī)繞此正方形飛行一周，需時多少？

1.15當(dāng)一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但當(dāng)輪船停航時，

甲板上干濕兩局部的分界線卻在篷前3米。如果雨點的速度為8米/杪，求輪船的速率。

1.16寬度為Q的河流，其流速與到河岸的距離成iF比。在河岸外，水流速度為零,在河流中心處,其

值為c。一小船以相對速度〃沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點。

1.17小船加被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度C2朝岸上4點劃回。假定河流速度G沿河寬

不變，且小船可以看成一個質(zhì)點，求船的軌跡。

1.18一質(zhì)點自傾角為。的斜面上方。點，沿一光滑斜槽QA下降。如欲使此質(zhì)點到達(dá)斜面上所需的時

間為最短，問斜槽0A與豎直線所成之角°應(yīng)為何值？

1.19將質(zhì)量為m的質(zhì)點豎直拋上于有阻力的媒質(zhì)中。設(shè)阻力與速度平方成正比，即R=〃吠2且一。如上

拋時的速度為咻，試證此質(zhì)點又落至投擲點時的速度為

1.20一槍彈以仰角a、初速度”自傾角為￡的斜面的卜端發(fā)射。試證子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的

距離d（沿斜面量取）及此距離的最大值分別為

V202（兀P\

d=—sec--------|。

m”2g（42）

1.21將一質(zhì)點以初速％拋出，環(huán)與水平線所成之角為Q。此質(zhì)點所受到的空氣阻力為其速度的相攵倍,

〃，為質(zhì)點的質(zhì)量，憶為比例系數(shù)。試求當(dāng)此質(zhì)點的速度與水平線所成之角又為a時所需的時間。

1.22如向互相垂直的勻強電磁場E、8中發(fā)射一電子，并設(shè)電子的初速度V與E及5垂直,試求電子

的運動規(guī)律。此電子所受的力為e（E+yxB），式中E為電場強度，e為電子所帶的電荷，u為任一瞬

時電子運動的速度。

1.23在上題中，如

（a）3=0,那么電子的軌道為在豎直平面（xy平面）的拋物線；

（歷如E=0,那么電子的軌道為半徑等于叱的圓。試證明之。

eB

1.24質(zhì)量為〃?與的兩質(zhì)點，為一不可伸長的輕繩所聯(lián)結(jié)，繩掛在一光滑的滑輪上。在川的下端又

用固有長度為4、倔強系數(shù)女為鱉的彈性繩掛上另外一個質(zhì)最為加的質(zhì)點。在開始時，全體保持豎直,

a

原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩那么處在固有的長度上。由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這運動是簡諧

的，并求出其振動周期r及任何時刻兩段繩中的張力丁及廠。

1.25滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端升一重為卬的物體。當(dāng)滑輪以勻速轉(zhuǎn)動時，

物體以勻速%下降。如將滑輪突然停住，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受W的作用時的

靜伸長為4。

1.26■—彈性繩上端固定，下端懸有m及M兩質(zhì)點。設(shè)a為繩的固有長度，b為加"?后的伸長，c為加

加后的伸長。今將加任其脫離而下墜，試證質(zhì)點〃?在任一瞬時離上端O的距離為

1.27一質(zhì)點自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點自由滑下。問滑至何處，此質(zhì)點將離開圓柱

面？假定圓柱體的半徑為廣。

1.28重為W的不受摩擦而沿半長軸為〃、半短軸為人的橢圓弧滑下,此橢圓的短軸是豎百倍。如小球

白長2軸的端點開始運動時，其初速度為零，試求小球在到達(dá)橢圓的最低點時它對橢圓的壓力。

1.29一質(zhì)量為加的質(zhì)點自光滑圓滾線的尖端無初速地下滑。試證在任何一點的壓力為2〃吆COS。，式

中0為水平線和質(zhì)點運動方向間的夾角。圓滾線方程為

1.30在上題中，如圓滾線不是光滑的，且質(zhì)點自圓滾線的尖端自由下滑，到達(dá)圓滾線的最低點時停止運

動，那么摩擦系數(shù)〃應(yīng)滿足下式

試證明之。

131假定單擺在有阻力的媒質(zhì)中振動，并假定振幅很小，故阻力與8成正比，且可寫為R=_2mk而，

式中加是擺錘的質(zhì)量，/為擺長，左為比例系數(shù)。試證當(dāng)A2V彳時，單擺的振動周期為

1.32光滑楔子以勻加速度劭沿水平面運動。質(zhì)量為小的質(zhì)點沿楔子的光滑斜面滑下。求質(zhì)點的相對加

速度a'和質(zhì)點對楔子的壓力p。

133光滑鋼絲圓圈的半徑為一其平面為豎直的。圓圈上套一小環(huán)，其中為卬。如鋼絲圈以勻加速度。

沿豎直方向運動，求小環(huán)的相對速度V,及圈對小環(huán)的反作用力R。

134火車質(zhì)量為〃?，其功率為常數(shù)攵。如果車所受的阻力/為常數(shù)，那么時間與速度的關(guān)系為：

如果/和速度丫成正比，那么

式中％為初速度，試證明之。

135質(zhì)量為〃?的物體為一錘所擊。設(shè)錘所加的壓力，是均勻地增減的。當(dāng)在沖擊時間r的一半時，增

至極大值戶，以后又均勻減小至零。求物體在各時刻的速率以及壓力所作的總功。

136檢驗以下的力是否是保守力。如是，那么求出其勢能。

32342

(C7)Fx=6abz3y-20bxy，F(xiàn)y=babxz-10bxy，F(xiàn):=\Sabxyz

137根據(jù)湯川核力理論，中子與質(zhì)子之間的引力具有如下形式的勢能：

V(r)=—,^<0

r

試求

(〃)中子與質(zhì)子間的引力表之式，并與平方反比定律相比較；

(/?)求質(zhì)量為〃?的粒子作半徑為。的圓運動的動量矩/及能量￡>

138作用在質(zhì)點上的力為

式中系數(shù)為(i,)=1,2,3)都是常數(shù)。問這些％應(yīng)滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計

算其勢能。

139一質(zhì)點受一與距離3次方成反比的引力作用在一直線上運動。試證此質(zhì)點自無窮遠(yuǎn)到達(dá)。時的速

2

率和白。靜止出發(fā)到達(dá)-時的速率相同。

4

1.40一質(zhì)點受一與距離成反比的引力作用在一百線卜運動.求其到達(dá)°點所需的時間.

1.41試導(dǎo)出下面有心力量值的公式：

式中加為質(zhì)點的質(zhì)點，「為質(zhì)點到力心的距離，〃=〃2往=常數(shù)，〃為力心到軌道切線的垂直距離。

1.42試?yán)蒙项}的結(jié)果，證明：

(〃)如質(zhì)點走一圓周，同時力心位于此圓上，那么力與距離五次方成反比。

(切如一質(zhì)點走一對數(shù)螺線，而其質(zhì)點即力心，那么力與距離立方成反比。

1.43質(zhì)點所受的有心力如果為

式中〃及1/都是常數(shù)，并且yV/?2,那么其軌道方程可寫成

試證明之。式中公二之上,〃二”,6=4嬖(A為積分常數(shù))。

1V//-//-

1.45如6“及%為質(zhì)點在遠(yuǎn)日點及近日點處的速率，試證明

6P:L=(l+e):(1-e)

1.46質(zhì)點在有心力作用下運動。此力的量值為質(zhì)點到力心距離廠的函數(shù)，而質(zhì)點的速率那么與距離成反

比，即〃=幺。如果/>a2(/?=，句，求點的軌道方程。設(shè)當(dāng)〃時，

1.47(〃)某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌道(假定為圓形)半徑的工。那么比彗星運行

n

時，在地球軌道內(nèi)停留的時間為一年的

倍，試證明之。

(b)試再證任何作拋物線軌道的彗星停留在地球軌道(仍假定為圓形)內(nèi)的最長時間為一年的Z倍,

34

或約為76日。

1.48試根據(jù)§1.9中所給出的我國第一顆人造地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù).求此衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點的速率匕及

v2以及它繞地球運行的周期r(參看79頁)。

1.49在行星繞太陽的橢圓運動中，如令a-r=aecosE,J巴/，=/，式中r為周期，。為半長軸，e為

偏心率，石為一個新的參量，在天文學(xué)上叫做偏近點角。試由能量方程推出下面的開普勒方程：

1.50質(zhì)量為根的質(zhì)點在有心斥力場me中運動，式中7?為質(zhì)點到力心O的距離，C為常數(shù)。當(dāng)質(zhì)點離O

很遠(yuǎn)時，質(zhì)點的速度為匕3而其漸進(jìn)性與O的垂直距離那么為夕(即瞄準(zhǔn)距離)。試求質(zhì)點與。的最

近距離

第一章習(xí)題解答

1.1由題可知示意圖如題圖:

設(shè)開始計時的時刻速度為飛，由題可知槍彈作勻減速運動設(shè)減速度大小為a.

那么有：

由以上兩式得

再由此式得

證明完畢.

1.2解由題可知，以燈塔為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)如題圖.

設(shè)A船經(jīng)過2小時向東經(jīng)過燈塔,那么向北行駛的8船經(jīng)過小時經(jīng)過燈塔任意時

刻A船的坐標(biāo)

%人=一（152一15。，yA=0

B船坐標(biāo)為=0?

那么船間距離的平方

即

不對時間/求導(dǎo)

AB船相距最近，即如3=o,所以

dt

即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離

'7闖+叵沁聯(lián)m

1.3解⑴如題圖

由題分析可知，點c的坐標(biāo)為

又由于在AAOB中，有」一=且（正弦定理）所以

sini//sin。

聯(lián)立以上各式運用

由此可得

得

得

化簡整理可得

此即為C點的軌道方程.

（2）要求?點的速度，分別求導(dǎo)

其中

又因為

對兩邊分別求導(dǎo)

故有

所以

L4解如題圖所示，

0L繞0點以勻角速度轉(zhuǎn)動，C在A3上滑動，因此C點有一個垂直桿的速度分量

C點速度

又因為8=3所以C點加速度

1.5解由題可知，變加速度表示為

由加速度的微分形式我們可知

代入得

對等式兩邊同時積分

可得：

v=ct+4-D（￡）為常數(shù)）

712T

代入初始條件：/=0時，v=o，故

即

又因為

所以

對等式兩邊同時積分，可得:

1.6解由題可知質(zhì)點的位矢速度

v?=々①

沿垂直于位矢速度

又因為V//=r=,即

v±=a=〃夕即占二政

r

a=—=—（ri）+—（r^）（取位矢方向i，垂直位矢方向j）

dtdtdtv

所以

故

即沿位矢方向加速度

垂直位矢方向加速度

對③求導(dǎo)

對④求導(dǎo)

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由題可知

』cosO①一②

y=rsin。

對①求導(dǎo)

x=rcosO-rsin6。③

對③求導(dǎo)

x=尸cos。一2『&sin夕一rdsin9一〃82cose④

對②求導(dǎo)

y=rsin0+，Ocos0⑤

對⑤求導(dǎo)

y=產(chǎn)sin0+2>Jcos0+rOcosO-rd1sin0⑥

對于加速度〃，我們有如下關(guān)系見題圖

即

x=arcos。+a0sin0⑦一⑧

y=arsinO+a?cos￡

對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦xcos。，⑧xsin。

即得

寵cos。=arcos。-a0sin6cos。.、彳◎

j；sin。=arsin6+傳sin夕cos。

⑨+⑩得

ar=Acos。+/sin。（"）

把④⑥代入（11）得

同理可得

1.8解以焦點產(chǎn)為坐標(biāo)原點，運動如題圖所示］

那么用點坐標(biāo)

對X,），兩式分別求導(dǎo)

故

如下圖的橢圓的極坐標(biāo)表示法為

對廠求導(dǎo)可得（利用8=又因為

即

所以

故有

即

（其中從/為橢圓的半短軸）

L9證質(zhì)點作平面運動，i殳速度表達(dá)式為

令為位矢與軸正向的夾角，所以

所以

又因為速率保持為常數(shù)，即

R+*=c,c為常數(shù)

對等式兩邊求導(dǎo)

所以

即速度矢量與加速度矢量正交.

L10解由題可知運動軌跡如題圖所示，

弗么質(zhì)點切向加速度

法向加速度a=—，而且有關(guān)系式

n

P

色=-2kE①

dtp

又因為

工」②

P（"y咔

所以

y'E③

y

y〃=_（④

y

聯(lián)立①?③④

p’

—=-2kv2

dt

（y~J

又

把y2=2px兩邊對時間求導(dǎo)得

又因為

所以

,2V2

丁二?、?/p>

14-2_

P2

把⑥代入⑤

既可化為

對等式兩邊積分

所以

L11解由題可知速度和加速度有關(guān)系如下圖

兩式相比得

即

對等式兩邊分別積分

即

此即質(zhì)點的速度隨時間而變化的規(guī)律.

1.12證由題1.11可知質(zhì)點運動有關(guān)系式

v2.

—=osina

/①②

civ

——=acosa

、力

所以包=包.也=也。，聯(lián)立①②，有

dtd0dtd0

又因為

所以包=的1團(tuán)。，對等式兩邊分別積分，利用初始條件,=（）時，

v

1.13證3）當(dāng)？=0，即空氣相對地面上靜止的，有v圣=丫相+v牽.式中I，絕

質(zhì)點相對靜止參考系的絕對速度，飛指向點運動參考系的速度，y牽指運動參考系相對

靜止參考系的速度.

可知飛機(jī)相對地面參考系速度：/即飛機(jī)在艦作勻速直線運動.所以飛機(jī)來回飛

行的總時間

2/

(人)假定空氣速度向東，那么當(dāng)飛機(jī)向東飛行時速度

飛行時間

當(dāng)飛機(jī)向西飛行時速度

飛行時間

故來回飛行時間

即

同理可證，當(dāng)空氣速度向西時，來回飛行時間

(c)假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題圖

所以來回飛行的總時間

同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為

1.14解正方形如題圖。

由題可知i=%=2Skm/h設(shè)風(fēng)速A_3，丫相=100km/h1當(dāng)匕機(jī)

Af8，v]=(100+28)km/h=128km/h

故飛機(jī)沿此邊長6攵〃〃〃正方形飛行一周所需總時間

L15解船停止時，干濕分界線在蓬前3,由題畫出速度示意圖如題.15.1圖

故

又因為4+/=]，所以

由圖可知

所以

v^(sinacosp+sinpcosa)=8/

匕"cosa

L16解以一岸邊為無軸，垂直岸的方向為)，軸.建立如題圖所示坐標(biāo)系.

所以水流速度

乂因為河流中心處水流速度為c

所以％=主。當(dāng)0<y?色時，L=仝），即

d---2水八

dx2c

＜了二下①一②

y=ut

得小現(xiàn)出，兩邊積分

d

.在③

聯(lián)立②③，得

x=—y2fo<y<—④

nd'v2,

同理，當(dāng)d之y24時，y水二空（］_y）即

2'd

X=Z￡y_Q+D（。為一常數(shù)）⑤

uud

由④知，當(dāng)y=U時，”=理代入⑤得

2’4”

有

2cC）廣cdd,

x=——y~——--'

uud2〃

所以船的軌跡

船在對岸的了；靠攏地點，即）,=d時有”里

'2u

1.17解以A為極點，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.

船沿垂直于r的方向的速度為—Gsin。，船沿徑向r方向的速度為C2和C|沿徑向的分量的

合成，即

r-=-C]sin。

dt①一②

—=C.cos-C

[dt1

②/①得如=——-----cot（p\d（pf對兩積分:

rIC.sin^%）*

設(shè)G=Z,四=%C為常數(shù)，即

G2

,?I

代入初始條件廠=%時，°=夕0.設(shè)”=。0,有C=In"-In$1n一°,得

22cos

1.18解如題圖

質(zhì)點沿QA下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點下滑的加速度為〃=gcose.設(shè)豎直線05=6,

余I?槽O4=s，易知/08/4=巳-0,/0248=工一。十夕,，由正弦定理

22

即

一呼sa①

cos（O-a）

又因為質(zhì)點沿光滑面OA下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.

所以

S=；々/=；gCOS夕2②

有①②

欲使質(zhì)點到達(dá)A點時間最短，由產(chǎn)=——2hcosa_可知，只需求出cos°cose-a）的極

geosOcos（。-a）

大值即可，令

把y對6求導(dǎo)

極大值時@=0，故有

dG

由于是斜面的夾角，即0NaN&,0N"出

所以

1.19解質(zhì)點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題圖，

上升時下降時

題圖

那么兩個過程的運動方程為：

上升

my=mg-nik1gy2?

下降：

-my=-mg+ink2gy2?

對上升階段：

即

對兩邊積分

所以

1

h=]1[（1+攵飛）③

2k2g

即質(zhì)點到達(dá)的高度.

對下降階段：

即

1

h=In（1-父用④

2k2g

由③二④可得

L20解作子彈運動示意圖如題圖所示.

題圖

水平方向不受外力，作勻速直線運動有

dcos0=%cosat①

豎直方向作上拋運動，有

2

dsin=v0sinat--gt?

由①得

v0cosa

代入化簡可得

因為子彈的運動軌跡與發(fā)射對仰角a有關(guān)，即〃是a的函數(shù)，所以要求〃的最大值.把〃對

a求導(dǎo)，求出極值點.

即

所以代入的表達(dá)式中可得：

42

此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離”的最大值

1.21解阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切

線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.

軌道的切線方向上有：

in—=-inkv-mgsin。①

凱道的法線方向上有:

2

m-=mgcos。②

r

由于角是在減小的，故

一農(nóng)③

dO

由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角e來確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于e的等式

由①

即

=一〃Mu—mgsin9@)

把代入可得

m\T—=-mgcos。⑤

ds

用④.⑤可得

即dgcos嘰kd。,兩邊積分得

v2cos20geos*

------!——=—tan+C?

ucos。g

代入初始條件r=0時，。二口小二%即可得

代入⑥式，得

g%cosa

v=⑦

cos0["cos(lana-tant?)+

2

又因為u=①r,m匚=mgcos。

所以

。=幽￡￡￡^⑧

—dtv

把⑦代入⑧

積分后可得

1.22各量方向如題圖.

電子受力

那么電子的運動微分方程為

trix=evyB=eBy

<my=eE-evxB=eE-eBx②一③一④

mz=0

由②〃,也=(為包，，即［‘憶=~^7

dtdt加J。dy

vv=-y+V?

m

代入③整理可得

nrm

對于齊次方程j；+II"y=0的通解

tn2

非齊次方程的特解

所以北齊次方程的通解

(y-?

代入初始條件：7=0時，＞，=0得4=m

eB\B

1=0時，v、.=0得4=0，故

m(EyeBmVmE今

y=—V——cos—t-------+-

eB\BJineBeB，

同理，把⑦代入⑤可以解出

把⑦代入⑤

代入初條件.=0時，工=0，得C=0.所以

mE

x=一展與加以+與)

eByB)mB

1.23證(a)在1.22題中，3=0時，那么電子運動受力尸=e與電子的運動微分方程

mx=0

my=eE①-②-③

niz=0

對②積分

"嗎+G④

m

對④再積分

又

故

z=0

.eEx2（C=G+C?為一常數(shù)）

y=----+C

/2mv

此即為拋物線方程.

G）當(dāng)E=0時

那么電子受力

那么電子的運動微分方程為

〃戊=eBvy

<my=—eBvx①一②-③

inz-0

同1.22題的解法，聯(lián)立①-②解之，得

于是

及電子軌道為半徑的圓叱.

eB

L24解以疑直向下為正方向，建立如題圖所示坐標(biāo)，

題圖題1.24.2圖

以①開始所在位置為原點.設(shè)①-②-③處物體所處坐標(biāo)分別為x，%,心，那么3個物體運動

微分方程為：

mg-T'=my1

?T'+mg-T=my2①-②-③

2〃ig-T=2my3

由②于③與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有力二_%，即

y=-y?

之間用倔強系數(shù)k=巡彈性繩聯(lián)結(jié).

a

故有

r=/1-%-4）=避（必-乂-。）⑤

a

由①⑤得

凡=-沙f)+2g⑥

由②③④得

T'=3my2+mg⑦

代入①，有

%=-3%⑧

代入⑥，有

=s?

3a

此即為簡諧振動的運動方程.

角頻率

所以周期

解⑨得

以初始時③為原點，,=0時，y=0,夕］=0.所以

V.=——acoscot4--6Z@

144

代入①得

聯(lián)立-③④⑧⑩得

L25解，選向下為正方向，滑輪剛停時物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點.建立如題.25.1圖所

示坐標(biāo)系.

題圖

原點的重力勢能設(shè)為。.設(shè)彈簧最大伸長”?整個過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒：

2nl

1W21-2W,\1.2

Uf①一②

2-V0+-U(.=-J^-(4ax-4)+2max

W=U(1

聯(lián)立①②得

彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，Tmax為最大張力，即

L26解以繩頂端為坐標(biāo)原點.建立如題圖所示坐標(biāo)系.

題圖

設(shè)繩的彈性系數(shù)為人那么有

mg=kb?

當(dāng)加脫離下墜前，加與加系統(tǒng)平衡.當(dāng)T脫離下墜前，團(tuán)在拉力丁作用下上升，之后作

簡運.運動微分方程為

nig—k(y-a)=時

聯(lián)立①②得

齊次方程通解

非齊次方程③的特解

所以③的通解

代入初始條件：/=0時，y=a+/?+c,得A=C，4=0；故有

即為〃7在任一時刻離上端O的距離.

1.27解對于圓柱凸面上運動的質(zhì)點受力分析如圖1-24.

運動的軌跡的切線方向上有：

〃吆sin9=m與①

法線方向上有：

mgcos。-N=②

對于①有”抽。=包=包包J為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即

dtds