任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四章

DISIZHANG三角函數(shù)、解三角形

第1節(jié)任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

考試要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.

理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的遙點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

八東!按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

Q)分類[按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S

={￡|￡=a+k360。,kGZ].

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.

(2)公式

引=:(弧長(zhǎng)用1表示)

角a的弧度數(shù)公式1

l0-rad；lrad-[}

角度與弧度的換算1805

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

=2

扇形面積公式S=2^ha\r

3.任意角的三角函數(shù)

⑴定義

如圖，設(shè)a是一個(gè)任意

前提角，它的終邊與單位圓

交于點(diǎn)P(x,y)

正弦上叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即sina=y

余弦工叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即cosa=x

I叫做a的正切函數(shù)，記作tana,

Ji

正切

定義即tana=2(xW0)

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓

三角函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將

它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)定義的推廣

設(shè)尸(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為《廠＞0),那么sina

yxy

=；，

rcosa=r—tana=W(%W0).

［常用結(jié)論］

1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與弧度制可利用180。=兀rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量

制必須一致，不可混用.

3.象限角

4.軸線角

y［終邊落在%軸上的角a|a=A;IT,A：GZ

T終邊落在y軸上的角a=-^-+k7t,A:eZ)

終邊落在坐標(biāo)軸上的角a|OL=-2F,AEZ

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是銳角.()

⑵銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角.()

⑶角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān).()

(4)若a為第一象限角，則sina+cosa>L()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)銳角的取值范圍是(o,如

(2)第一象限角不一定是銳角.

n

2.(必修一Pl76T7(2))已知a是第一象限角，那么2是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

JT

解析易知2EVaV1+2E,

故所以舞第一或三象限角.

3.(必修一P180T3改編)已知角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—12,5),則sin6>+cos0=

7

答案一百

5—12

解析由三角函數(shù)的定義可得sine+cos8=//,八FI//IC、2Iu2

q(-12)2+52q(-12)2+52

=5__12=_2.

4.已知扇形的圓心角為30。，其弧長(zhǎng)為2兀，則此扇形的面積為.

答案12兀

JT2兀

角星析Va=30°=Tl=ar,.\r=——=12,

o?71

6

???扇形面積S=，r=T><27iX12=1271.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角

例1（1）（多選）下列命題正確的是（）

A.終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{a|a=2foi,左?Z}

B.終邊落在y軸上的角的集合為{m=90。+而，k￡Z}

C.第三象限角的集合為"|7i+2EWaW號(hào)+2防I,右z1

D.在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。角終邊相同的角為一675。和一315。

答案AD

解析A項(xiàng)顯然正確；

7T

B項(xiàng)，終邊落在y軸上的角的集合為{a|a=]+%n,左?Z},角度與弧度不能混用,

故錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，第三象限角的集合為“忱+2防1＜。＜學(xué)+2而，左?z],故錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，所有與45。角終邊相同的角可表示為夕=45。+左S60。，左?Z,

令一720°W45°+左SGOOVO。（左GZ）,

171

解得一）

hOWOkv—6/wz,

從而當(dāng)上=—2時(shí)，￡=—675。；

當(dāng)k——1時(shí)，0=—315°,故正確.

（2）已知角。在第二象限，且sin5=—sin3，則角萬(wàn)在（）

A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析.??角。是第二象限角，

.,.℃（2左兀+今2左兀+兀），左?Z,

/.-el左ez,

.?.角?在第一或第三象限.

.e?°??*

又vsin2=—sm..sin]＜0，

...角2在第三象限.

感悟提升1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出

與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過集合中的參數(shù)左(左弓Z)賦值來(lái)求得

所需的角.

2.確定此，3(左GN*)的終邊位置的方法

K

先寫出ka或系的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定ka或系的終邊所在的位置.

KK

訓(xùn)練1(1)集合］左?zj■中的角所表示的范圍(陰影部分)是

()

答案C

解析當(dāng)左取偶數(shù)時(shí)，比如攵=0,此時(shí)全故角的終邊在第一象限或y軸

正半軸；

5冗3冗

當(dāng)左取奇數(shù)時(shí)，比如攵=1,此時(shí)彳WaWg,

故角的終邊在第三象限或y軸的負(fù)半軸，

綜上，角的終邊在第一象限或第三象限或y軸上.

(2)終邊在直線丁=小刀上，且在［―2兀，2兀)內(nèi)的角a的集合為.

答案［一會(huì)—3?14

解析在坐標(biāo)系中畫出直線丁=小羽可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角為會(huì)在［0,2兀)內(nèi)，

終邊在直線y=\［3x上的角有胃和土;

25

在［―2兀，0)內(nèi)滿足條件的角有一鏟和一鏟，

故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為，|兀，一|兀，副.

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用

例2已知扇形的圓心角是a,半徑為凡弧長(zhǎng)為/.

7T

(1)若a=1,7?=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)/.

(2)若扇形的周長(zhǎng)是20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最

大？

jr

(3)若a=w，7?=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.

JT

解⑴因?yàn)閍=w，7?=10cm,

7T1OjT

所以l=\a\R=^X10=^-(cm).

(2)由已知，得/+2R=20,

所以S=|Z7?=|(2O-27?)T?=10R—R2=一(R—5產(chǎn)+25.

所以當(dāng)R=5(cm)時(shí)，S取得最大值，

此時(shí)/=10(cm),a=2,

2冗

(3)設(shè)弓形面積為S弓衫，由題意知/=丁cm,

22

所以S5?=1x^X2—1-X2Xsin方=停一小)cm.

感悟提升應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

訓(xùn)練2(1)(多選)(2022.青島質(zhì)檢)已知扇形的周長(zhǎng)是6,面積是2,下列選項(xiàng)可能正

確的有()

A.圓的半徑為2B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1D.圓心角的弧度數(shù)是2

答案ABC

解析設(shè)扇形半徑為「，圓心角弧度數(shù)為a,

2r+otr=6,

r=l,r=2,

則由題意得1解得

2?^9=2,a=4?=1,

可得圓心角的弧度數(shù)是4或1.

(2)(2023?廣州檢測(cè))數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人

以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC,再分別以點(diǎn)A,B,C

為圓心，線段A3長(zhǎng)為半徑畫圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三

角形(如圖所示).若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2兀，則其面積是()

A

r\

A.~2~+^/3

C.:—A/3D.2TI—2^/3

答案D

解析由已知得@=反1=檢=用，

則AB=BC=AC=2,扇形CBA的面積為用，AABC的面積為坐*22=小,

故弓形A3的面積為與一事，

所求面積為3停一下）+4=2兀一2小.故選D.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

角度1三角函數(shù)的定義

例3（1）（2023?石家莊質(zhì)檢）已知角a的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,1），則cosa

的值為（）

答案D

解析由題意可得cosa=//二：2「=—￥?

q（-2）2+i5

3

⑵（2023?長(zhǎng)沙質(zhì)檢）若角a的終邊過點(diǎn)P（8m,—3）,且tana=?,則m的值為（）

11

B，2

C「坐D.坐

答案A

—一331

解析因?yàn)閠ana=w濡=a，解得機(jī)=一

角度2三角函數(shù)值的符號(hào)

例4(多選)(2022.重慶八中月考)已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與%軸的非負(fù)

半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(/n,1—加).若機(jī)>0,則下列各式的符號(hào)無(wú)法確定的是

()

A.sinaB.cosa

C.sina—cosaD.sina+cosa

答案AC

1—mm

解析由三角函數(shù)的定義得,

Sin<Z=^m2+(1-m)"=［而+

對(duì)于A,當(dāng)相￡(0,1)時(shí)，sin(z>0；

當(dāng)機(jī)￡(1,+8)時(shí)，sina<0；

當(dāng)加=1時(shí)，sina=0,所以sina符號(hào)無(wú)法確定.

m

對(duì)于B,cosa—5〉0,

yjm2+(1—m)

所以cosa符號(hào)確定.

1—2m

對(duì)于C,sina-cosa=

yjm2-^(1—m)2,

時(shí)，；

當(dāng)csina—cos?>0

當(dāng)加￡!，+

oo時(shí)，sina—cosa<0；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，sina—cosa=0.

所以sina—cosa符號(hào)無(wú)法確定.

1~m

對(duì)于D,sina+cosa

^/m2+(1—m)2

______m______］

5>o,

［源+(1—加)2yjm2-^(1—m)

所以sina+cosa符號(hào)確定.

感悟提升1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

⑴直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

⑵已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求

參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根

據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象限，那就

要進(jìn)行分類討論求解.

訓(xùn)練3（1）（2023?無(wú)錫調(diào)考）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，

若點(diǎn)/5（51!10{,12110{）在第四象限，則角a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析..,點(diǎn)尸（sina,tana）在第四象限，

sina>0,tana<0,

...角a的終邊在第二象限，故選B.

（2）sin2-cos3-tan4的值（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

答案A

解析因?yàn)?2<3<兀<4<當(dāng)，

所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，

所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,

所以sin2-cos3-tan4<0.

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

L下列與角子的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

9兀

A.2E+45。（左?Z）B.^360°+y（^ez）

5兀

C.k?360°-315°（^ez）D.E+1（左?Z）

答案C

QTTQTT

解析與角的終邊相同的角可以寫成或左.360。+45。（左?Z）,

但是角度制與弧度制不能混用，排除A,B,易知D錯(cuò)誤，C正確.

2.若sinacos0<Q,黑%>0，則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由鬻>°，得七>°，所以cosG0.

又sin0-cos0<0,所以sin又0,

所以。為第四象限角.

3.（2023?北京東城區(qū)調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊過點(diǎn)（一1,0）,將a的

終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。與角夕的終邊重合，則cos0=（）

A.；B.-|

C.坐D「坐

答案A

解析由題意知。=兀+2依兀，kEZ,

5兀,

?“=行+2左2兀，kiGZ,

5兀1

故cos￡=cos與~=1?故選A.

4.已知點(diǎn)尸（sin（—30。），cos（—30。））在角。的終邊上，且?！闧—2兀，0）,則角。的

大小為（）

A兀C2兀

A—wBT

C—"D—也

J3-3

答案D

解析因?yàn)槭╯in（—30。），cos（—30。）），

所以P1—今由，所以。是第二象限角，

4冗

又。?[―2兀，0）,所以。=一于

5.（多選）下面說(shuō)法正確的有（）

7TS

A.角力與角一梟終邊相同

B.終邊在直線y=—x上的角a的取值集合可表示為{a|a=k360。一45。，左GZ}

C.若角a的終邊在直線y=—3x上，則cosa的取值為嚕

3兀

口.?；苫《仁嵌?/p>

6730,O

答案AD

JT5

解析角力與角一米相差2兀，終邊相同，故A正確；

終邊在直線y=—x上的角a的取值集合可表示為{a|a=L180。一45。，左?Z},故

B錯(cuò)誤；

若角a的終邊在直線y=—3x上，

則cosa的取值為故C錯(cuò)誤；

67。30,化成弧度是蓑，故D正確.

O

（5兀5兀\

6.（2023?棗莊模擬）已知角a的終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［sin石，cos可，則角a的

最小正值為（）

A兀C271

A-6B'T

C.普D粵

o3

答案D

解析因?yàn)閟in卷>0,cos等<0,

OO

所以角a的終邊在第四象限，

5兀、行

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知sina=cos普=一與，

o2

故角a的最小正值為2兀一?=苧，故選D.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，AB,CD,EF,俞是圓％2+廿=i上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)

尸在其中一段上，角a以。光為始邊，0P為終邊.若tana<cosa<sina,則尸所在

的圓弧是（）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

答案C

解析由題意知，四段弧是單位圓上的第一、二、三象限的弧，在◎上，tana>

sina,不滿足；

在CD上，tana>sina,不滿足；

在E77上，sina>0,cosa<0,tanct<0,

且cosa>tana,滿足；

在GH上，tanct>0,sinct<0,cosa<0,不滿足.

8.中國(guó)折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn).如圖，在半圓。中作出兩個(gè)扇形。43和OCD,

用扇環(huán)形A3DC（圖中陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形A3DC的面積為Si,

扇形的面積為S2,當(dāng)Si與S2的比值為嚀工時(shí)，扇面的形狀較為美觀，則

此時(shí)扇形。。的半徑與半圓。的半徑之比為（）

小+1

A.4

C.3一小D.小一2

答案B

解析設(shè)NAO3=6,半圓的半徑為「，扇形。CD的半徑為力,

依題意，有如上

即白&存1

訴］、/齊3一小6—2^5,2

所以2

從而得?=存1.

9.若a=1560。，角。與a終邊相同，且一360。＜。＜360。，則8=.

答案120?；蛞?40。

角星析因?yàn)閍=l560°=4X360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360。*左+120。，左GZ,

令左=-1或k=0可得0=—240?；?=120°.

10.已知扇形的圓心角為120。，弧長(zhǎng)為2兀，則扇形面積為.

答案3兀

2冗/2兀

解析V120°=v，l=ar,/.r=_=Y"=3,

3aZTI

T

/.S='r=3X2兀X3=3兀.

3

11.已知a的終邊過點(diǎn)(x,4),且cosa=—§,則tana=.

答案V

3

解析???&的終邊過點(diǎn)(元,4),且cosa=—

.*.x＜0.

x3

??元=-3,??tana=一

.2冗

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在角w的終邊上，且10Pl=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為.

答案（一1,小）

解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,

“2兀

x=|OP|cos-y,

由三角函數(shù)定義得＜。

2兀

y=|OP|sin亍，

所以［=小’所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1,73）.

【B級(jí)能力提升】

13.（多選）如圖，A,3是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（1,0）,ZBOA=60°,

質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)3以2rad/s的角

速度按順時(shí)針方向在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則（）

A.經(jīng)過1s后，N3Q4的弧度數(shù)為4+3

B.經(jīng)過自s后，扇形A03的弧長(zhǎng)為居

C.經(jīng)過腦后，扇形A03的面積為微

o3

D.經(jīng)過S半71s后，A,3在單位圓上第一次相遇

答案ABD

解析經(jīng)過1s后，質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)1rad,質(zhì)點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)2rad,此時(shí)N30A的弧度數(shù)

JT

為§+3,故A正確；

經(jīng)過普s后，ZAOB=Ty+?+2X-^-=Y^,故扇形A03的弧長(zhǎng)為弓X1=圣故

I乙_L乙DJL乙I乙JL乙I乙

B正確；

經(jīng)過"s后，ZAOB=T+?+2X^=^,故扇形A03的面積為S=；X普X12=1^,

oo3oozo12

故C不正確；

設(shè)經(jīng)過人后，A,5在單位圓上第一次相遇，則

jr'>jr

t(l+2)+g=2兀,解得t=w(s),故D正確.

14.(2022.全國(guó)甲卷)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了

計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，@是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是

AB的中點(diǎn)，。在@上，CDLAA“會(huì)圓術(shù)”給出檢的弧長(zhǎng)的