自動(dòng)控制原理 課件 5.4 頻率穩(wěn)定判據(jù)

5.4頻率穩(wěn)定判據(jù)

頻率穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線(xiàn)來(lái)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。常用的頻率穩(wěn)定判據(jù)有奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)兩種，其理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。5.4.1幅角原理設(shè)

是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，若其有m個(gè)零點(diǎn)

，n個(gè)極點(diǎn)

，則

可以表示成對(duì)于s平面上的任意一點(diǎn)s，根據(jù)映射關(guān)系，在

平面上可以確定對(duì)應(yīng)的象

。若在s平面上任作一條不通過(guò)

任一零點(diǎn)和極點(diǎn)的閉合曲線(xiàn)

，當(dāng)s從

曲線(xiàn)上某點(diǎn)A開(kāi)始順時(shí)針沿

轉(zhuǎn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A，那么在

平面上對(duì)應(yīng)的象

亦從

開(kāi)始形成一條閉合曲線(xiàn)

回到

，如圖所示。（a）s平面（b）

平面

s平面和

平面的映射關(guān)系設(shè)s沿閉合曲線(xiàn)

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

的幅角變化為

。則有當(dāng)s沿閉合曲線(xiàn)

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，被

包圍的零點(diǎn)向量

和極點(diǎn)向量

的幅角變化均為

（逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正），即而不被

包圍的零點(diǎn)向量和極點(diǎn)向量的幅角變化均為0。若有

個(gè)零點(diǎn)和

個(gè)極點(diǎn)被

包圍，則有表明：在

平面上閉合曲線(xiàn)

逆時(shí)針繞原點(diǎn)

圈。幅角原理:設(shè)在s平面上閉合曲線(xiàn)不通過(guò)的任何零點(diǎn)和極點(diǎn)且包圍的個(gè)零點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)s沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，在平面上閉合曲線(xiàn)逆時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)滿(mǎn)足

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。幅角原理應(yīng)用于控制系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，需要選取合適的輔助函數(shù)

。1.輔助函數(shù)

的選取設(shè)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令輔助函數(shù)

為可見(jiàn)：輔助函數(shù)

是閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比。

具有如下特點(diǎn)：（1）

的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。因此，要使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，

的所有零點(diǎn)都必須位于左半s平面上。（2）若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式階次分別為

和

，通常

，則

的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)相同，均為

個(gè)。（3）

與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

之間只相差常數(shù)1，所以

平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)就是

平面上的

點(diǎn)。當(dāng)s沿閉合曲線(xiàn)

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，在

平面上形成的閉合曲線(xiàn)

逆時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)

就等于在

平面上形成的閉合曲線(xiàn)

逆時(shí)針繞點(diǎn)

的圈數(shù)。為了確定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，就要確定是否有閉環(huán)極點(diǎn)（即

的零點(diǎn)）在右半s平面上。根據(jù)幅角原理，可以在s平面上選取一條包圍整個(gè)右半s平面的閉合曲線(xiàn)

，將

的所有右零點(diǎn)（設(shè)有

個(gè)）和右極點(diǎn)（設(shè)有

個(gè)）包圍在內(nèi)；同時(shí)，在

平面上繪制閉合曲線(xiàn)

并確定

逆時(shí)針繞點(diǎn)

的圈數(shù)

。則有若，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。分兩種情況討論。2.閉合曲線(xiàn)

的選取和閉合曲線(xiàn)

的繪制（1）

無(wú)虛軸上極點(diǎn)

如圖所示，閉合曲線(xiàn)

由三部分組成。對(duì)應(yīng)的，

平面上閉合曲線(xiàn)

也由三部分組成。①正虛軸

，

從

變化。對(duì)應(yīng)的，在

平面上是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線(xiàn)

。③負(fù)虛軸

，

從

變化。對(duì)應(yīng)的，在

平面上是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線(xiàn)

關(guān)于實(shí)軸的鏡像。

實(shí)際系統(tǒng)分析中，只繪制

從

變化時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線(xiàn)

，如此得到的曲線(xiàn)稱(chēng)為半閉合曲線(xiàn)，仍用

表示。不難得到，若半閉合曲線(xiàn)

逆時(shí)針繞

點(diǎn)的圈數(shù)為

，則②半徑無(wú)窮大的右半圓

，

從

變化。對(duì)應(yīng)的，在

平面上是原點(diǎn)（

時(shí)）或

點(diǎn)（

時(shí)），

為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。此點(diǎn)不影響

的確定，所以確定圈數(shù)

時(shí)不考慮。（2）

在虛軸上有極點(diǎn)以

含有積分環(huán)節(jié)為例進(jìn)行說(shuō)明。

如圖所示，閉合曲線(xiàn)在（1）的基礎(chǔ)上略作修改，即在原點(diǎn)附近取以原點(diǎn)為圓心、半徑為無(wú)窮小的右半圓

，

從

變化。同樣只繪制

從

變化時(shí)的半閉合曲線(xiàn)

，此時(shí)s取值需要先從

繞半徑無(wú)窮小的圓弧逆時(shí)針轉(zhuǎn)

到

，然后再沿虛軸到

。這樣需要補(bǔ)充

從

變化時(shí)小圓弧所對(duì)應(yīng)的半閉合曲線(xiàn)部分。當(dāng)s沿著無(wú)窮小圓弧從

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到

時(shí)，有

，對(duì)應(yīng)

平面上的曲線(xiàn)為可見(jiàn)：當(dāng)s沿著無(wú)窮小圓弧從

變化到

時(shí)，

角沿逆時(shí)針?lè)较驈?/p>

變化到

，對(duì)應(yīng)

平面上的曲線(xiàn)從

開(kāi)始沿半徑無(wú)窮大圓弧順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)

角度到

，也可以說(shuō)，

平面上的曲線(xiàn)從

開(kāi)始沿半徑無(wú)窮大圓弧逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)

角度到

。上述分析表明，半閉合曲線(xiàn)

由開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)和根據(jù)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)所補(bǔ)作的無(wú)窮大半徑的虛圓弧兩部分組成。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：3.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

在s右半平面有

個(gè)極點(diǎn)，閉環(huán)傳遞函數(shù)

在

s右半平面有

個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)頻率

從

變化時(shí)，半閉合曲線(xiàn)

不穿過(guò)

點(diǎn)且逆時(shí)針包圍

點(diǎn)的圈數(shù)為

，則有那么系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是

；否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。其中，可通過(guò)半閉合曲線(xiàn)

穿越

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)來(lái)確定。

：正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）

：負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），注意，若

由上向下起于或止于

點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，則為半次正穿越；若

由下向上起于或止于

點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸，則為半次負(fù)穿越。當(dāng)半閉合曲線(xiàn)

穿過(guò)

點(diǎn)時(shí)，表明閉環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定，稱(chēng)

為臨界點(diǎn)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)；

（3）若

，補(bǔ)全半封閉曲線(xiàn)

。補(bǔ)線(xiàn)原則：從

點(diǎn)處開(kāi)始逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為

的圓?。焕?-14已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)如圖所示。（3）由于，所以無(wú)需補(bǔ)線(xiàn)。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點(diǎn)自上向下起于

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，所以為半次正穿越，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。例5-15已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。若系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，指出其在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。解：（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)如圖中實(shí)線(xiàn)所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（1）由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補(bǔ)全半封閉曲線(xiàn)：從點(diǎn)處開(kāi)始逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線(xiàn)所示。由圖可知，隨

增大，A點(diǎn)自下向上穿越

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，即

，而

，所以因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在

右半平面有2個(gè)極點(diǎn)。該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益

）無(wú)關(guān)，即無(wú)論系數(shù)如何變化，系統(tǒng)總是閉環(huán)不穩(wěn)定的，此系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。例5-16單位負(fù)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中

。試?yán)媚慰固胤€(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)總增益的關(guān)系，并確定臨界穩(wěn)定時(shí)的開(kāi)環(huán)總增益。解：根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可寫(xiě)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)如圖中實(shí)線(xiàn)所示。（1）由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（3）由于，所以需補(bǔ)全半封閉曲線(xiàn)：從點(diǎn)處開(kāi)始逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為的圓弧，如圖中虛線(xiàn)所示。（4）依據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可知，隨

增大，

點(diǎn)自下向上穿越負(fù)實(shí)軸，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：該例題的分析表明，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)（如開(kāi)環(huán)增益

）有關(guān)，當(dāng)系數(shù)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，此系統(tǒng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)

即

時(shí)，

點(diǎn)穿越

點(diǎn)右側(cè)負(fù)實(shí)軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)

即

時(shí)，

點(diǎn)穿越

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，所以

而

，因此

，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個(gè)極點(diǎn)；當(dāng)

即

時(shí)，

點(diǎn)穿過(guò)

點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。5.4.3對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)推廣運(yùn)用，即可得到對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。1.開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)與開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)（Nyquist圖）和開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)（Bode圖）有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系。（1）Nyquist圖的單位圓（

）對(duì)應(yīng)Bode圖的0dB線(xiàn)（

），單位圓的外部（

）對(duì)應(yīng)0dB線(xiàn)以上的部分（

），單位圓的內(nèi)部（

）對(duì)應(yīng)0dB線(xiàn)以下的部分（

）；（2）Nyquist圖的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)Bode圖的（3）Nyquist圖的

點(diǎn)對(duì)應(yīng)Bode圖的

且

的點(diǎn)；

點(diǎn)的左側(cè)負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)Bode圖的

且的區(qū)域；

點(diǎn)的右側(cè)負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)Bode圖的

且的區(qū)域。（4）Nyquist圖的半封閉曲線(xiàn)

與Bode圖的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)

和對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)

的對(duì)應(yīng)關(guān)系。①若在

虛軸上無(wú)極點(diǎn)，

是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)。對(duì)應(yīng)地，

是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)

，

是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)

。

②若

含有

個(gè)積分環(huán)節(jié)，

在系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)的基礎(chǔ)上，需從

點(diǎn)起逆時(shí)針作半徑無(wú)窮大、圓心角為

的虛圓弧。對(duì)應(yīng)地，

仍是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)

，而

在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)

的基礎(chǔ)上，需從

點(diǎn)處向上補(bǔ)作

的虛直線(xiàn)。（5）Nyquist圖和Bode圖的正負(fù)穿越次數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

①正穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線(xiàn)

從上向下穿越

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸一次，對(duì)應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線(xiàn)從下向上穿越

線(xiàn)一次。

②負(fù)穿越一次：Nyquist圖的半閉合曲線(xiàn)

從下向上穿越

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸一次，對(duì)應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線(xiàn)從上向下穿越

線(xiàn)一次。

③正穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線(xiàn)

從上向下起于或止于

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸一次，對(duì)應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線(xiàn)從下向上起于或止于

線(xiàn)。

④負(fù)穿越半次：Nyquist圖的半閉合曲線(xiàn)

從下向上起于或止于

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸一次，對(duì)應(yīng)于Bode圖中，在

的范圍內(nèi)，

曲線(xiàn)從上向下起于或止于

線(xiàn)。2.對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設(shè)

時(shí)，滿(mǎn)足

：截止頻率對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

若系統(tǒng)有

個(gè)s右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，

個(gè)s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)頻率

從

變化時(shí)，

且在

的范圍內(nèi)，

曲線(xiàn)穿越

線(xiàn)的次數(shù)滿(mǎn)足對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性的步驟：

（1）由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定

和

；（4）依據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)

和開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)

；

（3）若

，補(bǔ)畫(huà)相頻特性曲線(xiàn)

。補(bǔ)線(xiàn)原則：從

點(diǎn)處向上補(bǔ)作

的虛直線(xiàn)；例5-17已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)脤?duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：（1）由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知

。（2）繪制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(xiàn)如圖中實(shí)線(xiàn)所示。（4）依據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）由于，所以需補(bǔ)畫(huà)相頻特性曲線(xiàn)：從點(diǎn)處向上補(bǔ)作的虛直線(xiàn)，如圖中虛線(xiàn)所示。因此該系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面有2個(gè)極點(diǎn)。

由圖可知，隨

增大，在

的范圍內(nèi)，A點(diǎn)自上向下穿越

線(xiàn)，即

，而

，所以解：MATLAB程序如下：例5-18已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為clc;clearnum=[2,4];den=conv([1,1],[1,2,-3]);sys=tf(num,den);pzmap(sys);試?yán)L制系統(tǒng)的Nyquist圖，并利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.4MATLAB實(shí)現(xiàn)1.利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)