2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系（原卷版）

專(zhuān)題46直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系................................................4

【考點(diǎn)2】圓的切線(xiàn)、弦長(zhǎng)問(wèn)題................................................5

【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系...................................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

2.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

?知識(shí)梳理

L直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(%—〃)2+(、一力2=戶(hù)，直線(xiàn)/：Ax-\-By+C=O,圓心C(Q,6)到直線(xiàn)/的距離為d,由

(x-6z)2+(y—b)2=戶(hù)，

41nl「八消去y(或X),得到關(guān)于％(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

[Ax+B_y+C=O

位置關(guān)系相離相切相交

圖形

方程觀點(diǎn)J<0/三0J>0

量化

幾何觀點(diǎn)d>rd三rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

則圓心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

則兩圓Ci,Q有以下位置關(guān)系：

位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

圓心距

In-2|<d〈ri

與半徑d>ri+nd<|ri1]2|。=|門(mén)一二|d=ri+r2

+廠2

的關(guān)系

?€)o0?

圖示電

公切線(xiàn)條數(shù)40213

常用結(jié)論

1.圓的切線(xiàn)方程常用結(jié)論

(1)過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線(xiàn)方程為xox+yoy=r2.

(2)過(guò)圓(X—Q)2+(y—力2=/上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線(xiàn)方程為(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=戶(hù).

(3)過(guò)圓外一點(diǎn)M(xo,yo)作圓的兩條切線(xiàn)，則兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為xox+yoy=r2.

2.直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的求法

⑴幾何法：運(yùn)用弦心距4半徑廠和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)履3|=2后彳.

2

（2）代數(shù)法：設(shè)直線(xiàn)y=履+用與圓/+'2+m+切+/=0相交于點(diǎn)M,N,將直線(xiàn)方程代入圓

的方程中，消去y,得關(guān)于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,則\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真題自測(cè)

一、單選題

L（2024?全國(guó),高考真題）已知直線(xiàn)分+辦一。+26=0與圓C：尤?+y?+4y-l=0交于兩點(diǎn)，則的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?全國(guó)高考真題）已知》是。,。的等差中項(xiàng)，直線(xiàn)6+勿+。=0與圓/+丁+4丫-1=0交于4,3兩點(diǎn)，

則|4B|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023?全國(guó)?高考真題）已知實(shí)數(shù)尤,V滿(mǎn)足爐+》2一4》-2》-4=0,則"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023?全國(guó)?高考真題）過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓/+/-以-1=0相切的兩條直線(xiàn)的夾角為a,貝hina=（）

A.1B.—C.巫D.諉

444

二、多選題

5.（2024?全國(guó)?高考真題）拋物線(xiàn)C：：/=?的準(zhǔn)線(xiàn)為/,P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作OA:d+（y-4『=1的

一條切線(xiàn)，。為切點(diǎn)，過(guò)尸作/的垂線(xiàn)，垂足為8,則（）

A./與：A相切

B.當(dāng)尸，A,2三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|尸Q|=JB

C.當(dāng)|P8|=2時(shí)，PA±AB

D.滿(mǎn)足I如月產(chǎn)切的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

三、填空題

6.（2023?全國(guó)?高考真題）己知直線(xiàn)/：x-沖+1=0與（C:（x-l）2+y2=43C^A,8兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿(mǎn)足"VABC

面積為|"的根的一個(gè)值____.

7.（2022?全國(guó)?高考真題）若雙曲線(xiàn)V一工=1（m>0）的漸近線(xiàn)與圓/+/-4〉+3=0相切，貝1]?1=.

m

8.（2022?全國(guó),高考真題）寫(xiě)出與圓爐+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一條直線(xiàn)的方

程.

3

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知直線(xiàn)/:x+(l+a)y=2—a,圓C:Y+/_6x+4y+12=0,則該動(dòng)直線(xiàn)與圓

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

2.（2024,湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)尸是直線(xiàn)無(wú)-y-機(jī)=。上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O:Y+y2=l引切線(xiàn)，切點(diǎn)分

別為M,N且/MPN=90,若滿(mǎn)足以上條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)，則根=（）

A.揚(yáng)B.±72C.2D.±2

二、多選題

3.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知電,0）,［（）,白，動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿(mǎn)足|%=的即，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形面積為兀

B.|P目的最小值為1一孝

C.4巴是尸的任意兩個(gè)位置點(diǎn)，貝UN6A鳥(niǎo)v1

D.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡交于點(diǎn)M,N,則MN的最小值為近

4.（23-24高三上,河北廊坊?期中）如圖,有一組圓^（左€此）都內(nèi)切于點(diǎn)汽-2,0）,圓。1：（%+3）2+”-1）2=2,

設(shè)直線(xiàn)無(wú)+y+2=0與圓G,在第二象限的交點(diǎn)為4,若則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C上的圓心都在直線(xiàn)x+y+2=0上

B.圓C99的方程為（尤+52>+（y-50）2=5000

c.若圓c*與y軸有交點(diǎn)，則處8

D.設(shè)直線(xiàn)x=-2與圓C#在第二象限的交點(diǎn)為線(xiàn)，則圍以」=1

4

三、填空題

5.（2022,全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系無(wú)?！分?，過(guò)點(diǎn)4。,-3）的直線(xiàn)/與圓C:-+（,-2）2=9相交于M,

N兩點(diǎn)，若以40'=1500”,則直線(xiàn)/的斜率為.

6.（19-20高一下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系尤S中，已知直角AABC中，直角頂點(diǎn)A在直線(xiàn)

x-y+4=0上，頂點(diǎn)B,C在圓/+丁=io上，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是.

反思提升：

判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法

（1）幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交.

【考點(diǎn)2】圓的切線(xiàn)、弦長(zhǎng)問(wèn)題

一、單選題

1.（23-24高二下?廣東茂名?階段練習(xí)）已知圓C:（尤—3y+（y—4）2=9,直線(xiàn)/:（m+3）x—（m+2）y+?7=0.

則直線(xiàn)/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）

A.2幣B.回C.2A/2D.娓

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)尸（。⑼作圓短+）2=2的切線(xiàn),A為切點(diǎn)，|PA|=1,則2a-2的最大值是（）

A.715B.V13C.4D.3

二、多選題

3.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M在直線(xiàn)/：y-4=Mx-3）上，點(diǎn)N在圓O:尤?+產(chǎn)=9上，則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.點(diǎn)N至I"的最大距離為8

4

B.若/被圓。所截得的弦長(zhǎng)最大，則左=：

C.若/為圓。的切線(xiàn)，則上的取值范圍為，0,（1

D.若點(diǎn)M也在圓。上，則。至I"的距離的最大值為3

4.（23-24高二上?湖南常德?期末）已知圓M:（x+1）2+V=2,直線(xiàn)/：x-y-3=0,點(diǎn)P在直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)，直

線(xiàn)巴4,PB分別與圓加切于點(diǎn)A,8.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|尸山最短為布

B.|上4|最短時(shí)，弦A3所在直線(xiàn)方程為丫=%

C.存在點(diǎn)尸，使得PA.P5=0

5

D.直線(xiàn)A3過(guò)定點(diǎn)為[-5,-5）

三、填空題

5.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線(xiàn)辦->+2=。與圓C：/+y2-2x-3=0交

于A,B兩點(diǎn),若鈍角VA3C的面積為百，則實(shí)數(shù)a的值是.

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，尸的坐標(biāo)滿(mǎn)足（tJ+2）,/eR,已知圓C:（x-3）2+/=1,

過(guò)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A3,當(dāng)上47歸最大時(shí)，圓C關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)的圓的方程為.

反思提升：

弦長(zhǎng)的兩種求法

（1）代數(shù)方法：將直線(xiàn)和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式/>0的

前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).

（2）幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為r,則弦長(zhǎng)/=2披二示.

求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線(xiàn)方程.若點(diǎn)在圓上（即為

切點(diǎn)），則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，此時(shí)注意斜率不存

在的切線(xiàn).

【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）己知A（—2,0）,5（2,0）,若圓（尤-a-l）?+（y-3a+2了=4上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足

PAPB=5>則。的取值范圍是（）

A.[—1,2]B.[—2,1]C.[—2,3]D.[—3,2]

2.（23-24高二上?安徽馬鞍山,階段練習(xí)）兩圓Y+y2=i與尤2+y+2》_2k1=0的公共弦長(zhǎng)為（）

A.—B.J2C.-D.1

2v2

二、多選題

3.（22-23高二上?浙江紹興?階段練習(xí)）以下四個(gè)命題表述正確的是（）

22_

A.橢圓上+匕=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y-應(yīng)=0的最大距離為加

164

B.已知圓C：/+尸=4,點(diǎn)p為直線(xiàn)3+5=1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸向圓C引兩條切線(xiàn)以、PB,AB為切

42

點(diǎn)，直線(xiàn)A8經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1,2）

C.曲線(xiàn)G：/+/+2x=0與曲線(xiàn)C2：x?+丁-4x-8y+租=0恰有三條公切線(xiàn)，則機(jī)=4

D.圓/+V=4上存在4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/：x-y+及=0的距離者B等于1

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知圓G：（x-3）2+y2=i，G：x2+（y_a）2=i6,則下列結(jié)論正確的有（）

6

A.若圓J和圓C2外離,則a>4

若圓G和圓&外切，貝Ua=±4

當(dāng)。=。時(shí)，圓C1和圓G有且僅有一條公切線(xiàn)

當(dāng)。=-2時(shí)，圓G和圓a相交

5.（2024?浙江麗水?二模）已知圓+（2/〃-l）y2-2ax-a-2=0,若對(duì)于任意的aeR,存在一條直線(xiàn)

被圓C所截得的弦長(zhǎng)為定值”，則m+n=.

6.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）圓G：/+/+4x+6y-23=0與圓C?:（X-2）2+（y-l）2=4的公切線(xiàn)長(zhǎng)為.

反思提升：

1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一

般不采用代數(shù)法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程可由兩圓的方程作差消去x2,V項(xiàng)得到.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若直線(xiàn)皿+"y=l與圓元2+y2=i有交點(diǎn)，則（）

A.m2+M2..1B.m2+n2?1

C.nr+M2>1D.7Z72+z?2<1

2.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線(xiàn)/：x-y+l=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓C：（尤-ly+y'l的一條切線(xiàn)，

切點(diǎn)為A，貝||尸山的最小值為（）

A.1B.72C.gD.2

3.（2024?貴州六盤(pán)水?三模）已知直線(xiàn)依-y+2=0與圓（彳_1），；/=4相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2石，

則。=（）

43

A.—B.1C.----D.-2

34

4.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2+y2-6x=0,過(guò)點(diǎn)尸（6,4）向這個(gè)圓作兩條切線(xiàn)，則兩切線(xiàn)的夾角的余

弦值為（）

724724

A.—B.—C.-----D.-----

25252525

、多選題

7

5.（2024?遼寧沈陽(yáng)三模）設(shè)橢圓C:工+亡=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳％P是。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確

2516

的是（）

A.「可|的最大值為8

4

B.橢圓C的離心率e=二

C.2片工面積的最大值等于12

D.以線(xiàn)段久居為直徑的圓與圓（x-4）2+。-3）2=4相切

6.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）已知圓G：（x-iy+y2=i和圓。2：尤2+y2-4x-4y+4=0,則（）

A.圓C?的半徑為4

B.'軸為圓G與G的公切線(xiàn)

C.圓。1與g公共弦所在的直線(xiàn)方程為x+2y-l=0

D.圓G與c?上共有6個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)2元-y-2=0的距離為1

7.（2023?河北?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O:尤2+/=戶(hù)“>0）與圓加：（無(wú)一6）2+在=4,P,Q

分別為圓。和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)44,2）作圓M的切線(xiàn)有且只有一條

B.若圓。和圓〃恰有3條公切線(xiàn)，則廠=4

C.若|PQ|的最小值為1,貝什=3

D.若/>=2,則直線(xiàn)PQ的斜率的最大值為城

5

三、填空題

8.（2024?天津?二模）設(shè)直線(xiàn)=6）（左片0）和圓。：/+丁-6工-4〉+5=0相交于加戶(hù)兩點(diǎn).若

CM-CN=Q，貝!1實(shí)數(shù)左=.

9.（2023?天津武清?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)41,0）,8（2,0）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3作圓（彳-貨+（y-2）2=5的切線(xiàn)與V軸交于

點(diǎn)尸，貝"AP|=.

10.（23-24高三下?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）已知直線(xiàn)x+y-5=0與圓C：d+y2-4x+2y-根=0相交于4,8兩

點(diǎn)，且|ABk4,則實(shí)數(shù)〃?=

四、解答題

11.（2020?云南保山?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C經(jīng)過(guò)A（T5）,5（5,5）,。（6,-2）三點(diǎn).

8

（I）求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡（-3,2）且和圓C相切的直線(xiàn)/的方程.

12.（22-23高二上?天津和平?期中）已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-1,1）和3（-2,-2）,且圓心在直線(xiàn)

I:x+y—1=0Ji,求：

⑴求圓心為。的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)。在直線(xiàn)尤->+5=0上，求|PQ|的最小值；

⑶若過(guò)點(diǎn)（。，5）的直線(xiàn)被圓C所截得弦長(zhǎng)為8,求該直線(xiàn)的方程.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?山東聊城?二模）若圓6：爐+丁=1與圓C2：（x-a>+（y-b）2=4恰有一條公切線(xiàn)，則下列直線(xiàn)一

定不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（。力）的是（）

A.2x+y-^2=QB.2x-y+2=0

C.x+y—s/2=0D.x—y+2—0

二、多選題

2.（2024?山東青島三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)N分別在圓￡:（x-iy+（y-2）2=l和C?:（x-3）2+（y-4）2=3上,

動(dòng)點(diǎn)尸在x軸上，則（）

A.圓C2的半徑為3

B.圓G和圓&